構(gòu)造全等三角形種常用方法

1、名師堂校區(qū)地址：南充市順慶區(qū)吉隆街咨詢電話:2244028優(yōu)學(xué)小班提分更快、針對更強、時效更高構(gòu)造全等三角形種常用方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應(yīng)邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：S|S（用SSS）S<A（用SAS）

2、S（用SAS）、A（用AASEASA）搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了.下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法,供同學(xué)們參考.1 .截長補短法例1.如圖（1）已知：正方形ABCD中，/BAC的平分線交BC于E,求證：AB+BE=AC.解法（一）（補短法或補全法）延長AB至F使AF=AC,由已知AEFAAEC,./F=ZACE=45o,BF=BE,AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB,由已知ABEAGE,.EG=BE,/AGE=/ABE,/ACE=4

3、5o,.CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC2 .平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt，有時可作出斜邊的中線.例2.4ABC中，/BAC=60°,/C=40°AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ.證明：如圖（1）,過。作OD/BC交AB于D,ADO=/ABC=180°-60°40°=80°,又./AQO=/C+/QBC=80°,/ADO=/AQO,又,：乙DAO=/QAO,OA=AO,ADOAAQO,OD=OQ,AD=AQ,又.OD/BP

4、,./PBO=/DOB,又./PBO=/DBO,，DBO=/DOB,BD=OD,AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ說明：本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD,構(gòu)造全等三角形，即“截長補短法”.本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：如圖（2）,過O作OD/BC交AC于D,則ADOABO來解決.如圖（3）,過O作DE/BC交AB于D,交AC于E,則ADOAQO,ABOAEO來解決.如圖（4）,過P作PD/BQ交AB的延長線于D,則APDAPC來解決.如圖（5），過P作PD/BQ交AC于D,則4ABPAADP來解決.（本題作平行線的方法還很多，感興趣的同學(xué)自己研究）.3

5、.旋轉(zhuǎn)法對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。例3如圖3所示，已知點E、F分別在正方形ABCD的邊BC與CD上，并且AF平分/EAD,求證：BE+DF=AE。分析：本題要證的BE和DF不在同一條直線上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起?？蓪DF繞點A旋轉(zhuǎn)90口到AABG,則ADF9MBG,BE=DF,從而將BE十BG轉(zhuǎn)化為線段GE,再進一步證明GE=AE即可。證明略。4 .倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。例4.如圖（7）AD是4ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證：AC=BF證明

6、：延長AD至H使DH=AD，連BH,BD=CD,/BDH=/ADC,DH=DA,BDHACDA,BH=CA/H=/DAC,又AE=EF,ZDAC=ZAFE,1./AFE=ZBFD,./AFE=/BFD=/DAC=/H,BF=BH，AC=BF.5、過手練習(xí)：（1） .已知：E是正方形ABCD的邊長AD上一點，BF平分/EBC,交CD于F,求證BE=AE+CF.（2） .如圖,4ABD和4ACE是4ABC外兩個等腰直角三角形，/BAD=/CAE=900.（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（2）探索DC與BE的夾角的大小.（3）取BC的中點M,連MA,探討MA與DE的位置關(guān)系。6.翻折法若題設(shè)中

7、含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形.例5.如圖（8）已知：在ABC中，/A=45o,AD±BC；若BD=3DC=2求：4ABC的面積.解：以AB為軸將ABD翻轉(zhuǎn)1800,得到與它全等的ABE,以AC為軸將ADC翻轉(zhuǎn)1800,得到與它全等的AFC,EB、FC延長線交于G,易證四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長為x,則BG=x3,CG=x2,在RtBGC中，（x-3）2+（x-2）2=52.解得x=6,貝UAD=6,S；AABC=->5X6=15.2,PB=4,PC=5,A例6.已知：如圖（6）,P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=3求/

8、APB的度數(shù).分析：直接求/APB的度數(shù)，不易求，由PA=3,PB=4,PC=5,聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形.略解：將BAP繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至&ACD,連接PD,則4BAPAADC,DC=BP=4,AP=AD,/PAD=60°,B又,.PC=5,PD2+DC2=PC2.PDC為Rj/PDC=90o，/APB=/ADC=/ADP+/PDC=60°+90o=150o.1、平移法構(gòu)造全等三角形例1如圖1所示，四邊形ABCD中，AC平分/DAB,若ABAAD,DC=BC,求證:/B+/D=180°。將/D轉(zhuǎn)移到ZAEC，而2AEC與/CEB互補，ZC

9、EB=/B,“線、角進行轉(zhuǎn)移”。DC圖1NACB=90*,BD平分NABC,求證:分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，從而證得NB+ZD=180%主要方法是：證明：在AB上截取AE=AD,在MDC與AAEC中，AD=AEI工DAC=/EACAC=ACMDCMEC(SAS)D=AEC,DC=CE,.DC=BC,CE=BC,CEB=B,.CEB.AEC=180,BD=180.2、翻折法構(gòu)造全等三角形例2如圖2所示，已知AABC中，AC=BCAB=BC+CD。證明：:BD平分/ABC,將ABCD沿BD翻折后，點C落在AB上的點E,則有BE=CE,在ABCD與ABED中，BC=BECBD=/EBDBD=BD

10、ABCDABED(SAS)DEA=/ACB=90,CD=DE,.已知AABC中，AC=BC,/ACB=901.A=45,.EDA=.A=45,DE=EA,AB=BE+EA=BC+CD。4、延長法構(gòu)造全等三角形例4如圖4所示，在AABC中，NACB=2/B,/BAD=/DAC,求證：AB=AC+CD。分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長一條短線段使其等于長線段，再證明延長部分與另一短線段相等即可；或者在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等于另一條短線段。本題可延長AC至E,使AEJB，構(gòu)造&ABD色MED,然后證明CE=CD,就可得AB=AC+CD。5、截取

11、法構(gòu)造全等三角形例5如圖5所示，在AABC中，邊BC上的高為AD,又NB=2/C,求證：CD=AB+BD。分析：欲證明CD=AB+BD,可以在CD上截取一線段等于BD,再證明另一線段等于AB。如果截取DE=BD（如圖所示），則AADE可認為而AADB沿AD翻折而來，從而只需證明CE=AE即可。證明略。除了上述的方法外，還可以根據(jù)題意和以圖形中現(xiàn)有的邊和角關(guān)系為基礎(chǔ)構(gòu)造全等的三角形。例6、已知/BAC=90,AB=AC,M是AC邊的中點，ADBM交BC于D,交BM于E,求證：/AMB=/DMC先延長AD至Ff使得CFj_AC,得出上ABMDAJ再根據(jù)AB二ACCF_lAC,得出AABMsziCA

12、Ff從而證出上BMA=上F,AM=CFFSISig所給的知書導(dǎo)出FCD=f即可得出上AMB=d=2CMD.證明：如圖，延長AD至F使得CF_LAC1/AB±AC'AD-BM,lABMjDAC,在AABM與ACAF中,rzABM=DACAB=CAt“BAM="CF/.AABMsACAF(ASA),.'.iBMA=zFfAM=CF,在FCD與AMCD中，'CV=CFMCD-FCDt3=8aiFCDsAMCD(SAS),lFCMD,，上AMB=DMC.1、作業(yè)：如圖，四邊形ABCD中，AD/BC,E是CD上一點，且AE、BE分別平分/BAD、ZABC.(1)求證：AEXBE;(2)求證：E是CD的中點;(3)求證：AD+BC=AB.BE+CF與EF的2 .如圖AABC中，/A=500,AB>AC,D、E分另在AB、AC上，且BD=CE,/BCD=/CBE,BE、CD相交于O點，求/BOC的度數(shù).3 .ABC中，D是BC中點，DEDF,E在AB邊上，F(xiàn)在AC邊上，判斷并證明4,已知：如圖，在AABC中，/A=90°,AB=AC,/1=/2,求證：BC=AB+AD.（分別用截長法和補短法各證一次）5、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC,ZBAC=90°,/1=Z2,CEX