人教版八年級數(shù)學(xué)下冊：18平行四邊形專項(xiàng)訓(xùn)練測試題(附答案)

1、第 18章 平行四邊形專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個方面：(1)從邊看：矩形的對邊平行且相等；(2)從角看：矩形的四個角都是直角；(3)從對角線看：矩形的對角線互相平分且相等判定一個四邊形是矩形可從兩個角度考慮：一是判定它有三個角為直角；二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個角為直角或兩條對角線相等利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉(zhuǎn)化思想)1 如圖，將矩形紙片ABCD 的四個角向內(nèi)折起，點(diǎn)A，點(diǎn)B 落在點(diǎn) M 處，點(diǎn)C，點(diǎn)D 落在點(diǎn) N 處，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形

2、EFGH，若EH 3 cm， EF 4 cm，求AD 的長（第1 題 ）利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系BD DC， P 是 BC 上的任意2如圖，在ABC 中， A 90°， D 是 AC 上的一點(diǎn)，一點(diǎn)，PE BD ， PF AC ， E， F 為垂足試判斷線段PE， PF， AB 之間的數(shù)量關(guān)系，并說（第 2 題 ）利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3如圖，在?ABCD 中，過點(diǎn)D 作 DE AB 于點(diǎn) E，點(diǎn) F 在邊 CD 上，DF BE，連接 AF ， BF.(1)求證：四邊形BFDE 是矩形；(2)若 CF 3， BF 4， DF 5，求證：AF 平分 DAB.利用矩

3、形的性質(zhì)與判定求面積4如圖，已知點(diǎn)F.(1)連接AC， BF，若(2)在 (1)的條件下，若E 是 ?ABCD 中 BC 邊的中點(diǎn)，連接AE 并延長交DC 的延長線于點(diǎn)AEC 2 ABC ，求證：四邊形ABFC 為矩形；AFD 是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC 的面積（第 4 題 ）專訓(xùn)2.菱形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時又具有一些特性，可以歸納為三個方面：(1)從邊看：對邊平行，四邊相等；(2)從角看：對角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對角線看：對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角判定一個四邊形是菱形，可先判定這個四邊形是平行四邊形，再

4、判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1 如圖，在Rt ABC 中， ACB 90°， D 為 AB 的中點(diǎn)，且AE CD， CE AB.(1)求證：四邊形ADCE 是菱形；(2)若B 60°， BC 6，求菱形ADCE 的高 (計(jì)算結(jié)果保留根號)（第1 題 ）利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對角線長2如圖，在矩形AFCG 中， BD 垂直平分對角線AC ，交 CG 于 D，交AF 于 B，交AC 于 O.連接 AD ， BC.(1)求證：四邊形ABCD 是菱形；(2)若 E 為 AB 的中點(diǎn)，DE AB ，求 BDC 的度數(shù)；(3)

5、在 (2)的條件下，若AB 1，求菱形ABCD 的對角線AC， BD 的長利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題（第 2 題 ）3如圖，在Rt ABC 中， ACB 90°， D， E 分別為AB ，AC 邊的中點(diǎn)，連接DE，將 ADE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)180° ，得到CFE，連接AF.(1)求證：四邊形ADCF 是菱形；(2)若 BC 8， AC 6，求四邊形ABCF 的周長（第 3 題 ）利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4如圖，在Rt ABC 中， BAC 90°， D 是 BC 的中點(diǎn)，E 是 AD 的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作 AF BC 交 BE 的延長線于點(diǎn)F.(1)求證

6、：AEF DEB ；(2)證明四邊形ADCF 是菱形；(3)若 AC 4， AB 5，求菱形ADCF 的面積（第 4 題 ）專訓(xùn) 3.正方形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題1 已知：在正方形ABCD 中， MAN 45°，MAN 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB， DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M， N.(1)如圖，當(dāng)MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM DN 時，易證：BM DN MN. 當(dāng)MAN繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM DN 時，如圖，請問圖中

7、的結(jié)論是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由(2)當(dāng)MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，線段 BM ， DN 和 MN 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明（第1 題 ）利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系2如圖，在正方形ABCD 中，對角線AC， BD 相交于點(diǎn)O， E， F 分別在OD， OC上，且 DE CF，連接DF， AE， AE 的延長線交DF 于點(diǎn) M.求證： AM DF.（第 2 題 ）正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3如圖，P， Q， R， S 四個小球分別從正方形的四個頂點(diǎn)A， B， C， D 同時出發(fā)，以AB ， BC， CD， DA 的方向滾動，其終點(diǎn)

8、分別是B， C， D， A.(1)不管滾動多長時間，求證：連接四個小球所得的四邊形PQRS 總是正方形(2)四邊形PQRS 在什么時候面積最大？(3)四邊形PQRS 在什么時候面積為原正方形面積的一半？并說明理由專訓(xùn) 4.特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：特殊平行四邊形的性質(zhì)區(qū)別主要從邊、角及對角線三個方面進(jìn)行區(qū)分；而判定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎(chǔ)上再附加什么條件方面進(jìn)行判定矩形的綜合性問題a矩形性質(zhì)的應(yīng)用1 如圖，將矩形紙片ABCD 沿對角線AC 折疊，使點(diǎn)B 落到點(diǎn)B的位置，AB 與 CD交于點(diǎn) E.(1)試找出一個與AED 全等的三角形，并加以證明；(2)若AB8，DE3

9、，P 為線段 AC 上的任意一點(diǎn)，PGAE 于點(diǎn)G，PH EC 于點(diǎn)H，試求PG PH 的值b矩形判定的應(yīng)用2如圖，點(diǎn)O 是菱形 ABCD（第1 題 ）對角線的交點(diǎn)，DE AC， CE BD，連接OE.求證：(1)四邊形OCED 是矩形；（2）OE BC.（第 2 題 ）c矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用3如圖，在ABC 中， AB AC ，點(diǎn)P 是 BC 上任意一點(diǎn)(不與B， C 重合)， PEAB ， PF AC ， BD AC. 垂足分別為E， F， D.(1)求證：BD PE PF.(2)當(dāng)點(diǎn)P 在 BC 的延長線上時，其他條件不變?nèi)鐖D，BD ， PE， PF 之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請

10、說明理由（第 3 題 ）菱形的綜合性問題a菱形性質(zhì)的應(yīng)用4已知：如圖，在菱形ABCD 中， F 是 BC 上任意一點(diǎn)，連接AF 交對角線BD 于點(diǎn)E，連接EC.(1)求證：AE EC.(2)當(dāng)ABC 60°， CEF 60°時，點(diǎn) F在線段 BC 上的什么位置？并說明理由b菱形判定的應(yīng)用5如圖，在RtABC 中，B90°，BC53，C30°.點(diǎn)D 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CA 方向以每秒2 個單位長的速度向點(diǎn)A 勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 方向以每秒1 個單位長的速度向點(diǎn)B 勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn) D， E

11、 運(yùn)動的時間是t s(t>0) 過點(diǎn) D 作DF BC 于點(diǎn)F，連接DE， EF.(1)求證：AE DF.(2)四邊形AEFD 能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t 值；如果不能，請說明理由(3)當(dāng) t為何值時，DEF 為直角三角形？請說明理由（第 5 題 ）c菱形性質(zhì)和判定的應(yīng)用6 (1)如圖，紙片?ABCD 中， AD 5， S?ABCD 15.過點(diǎn)A 作 AE BC，垂足為E，沿 AE 剪下 ABE ，將它平移至DCE 的位置，拼成四邊形AEED ，則四邊形AEED的形狀為 ()A平行四邊形B菱形C矩形D正方形(2)如圖， 在(1)中的四邊形紙片AEED中， 在EE上取一點(diǎn)F，使E

12、F4，剪下 AEF，將它平移至DE F的位置，拼成四邊形AFF D.求證：四邊形AFFD 是菱形；求四邊形AFFD的兩條對角線的長（第 6 題 ）正方形的綜合性問題a正方形性質(zhì)的應(yīng)用7如圖，在正方形ABCD 中， G 是 BC 上任意一點(diǎn)，連接AG ， DE AG 于 E， BFDE 交 AG 于點(diǎn)F，探究線段AF， BF， EF 三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（第 7 題 ）b正方形判定的應(yīng)用8 兩個長為2 cm， 寬為 1 cm 的矩形擺放在直線l 上 （如圖）， CE 2 cm， 將矩形 ABCD繞著點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn) 角，將矩形EFGH 繞著點(diǎn) E 逆時針旋轉(zhuǎn)相同的角度（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂

13、點(diǎn)D， H 重合時（如圖），連接AE， CG，求證：AED GCD；（2）當(dāng) 45°時 （如圖），求證：四邊形MHND 為正方形（第 8 題 ）答案專訓(xùn) 11 解：由折疊的性質(zhì)知HEM AEH ， BEF FEM ， HEF HEM 1FEM 2× 180° 90°.同理可得EHG HGFEFG90°，四邊形EFGH 為矩形HG EF， HG EF. GHN EFM. 又 HNG FME 90°， HNG FME. HN MF. 又 HN HD ，HD MF. AD AH HDHMMF HF. HF EH2EF232 42 5(cm)

14、，AD 5 cm.點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH 為矩形，然后利用三角形全等來證明HN MF ，進(jìn)而證明HD MF，從而將AD 轉(zhuǎn)化為直角三角形EFH 的斜邊 HF，進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想(第 2 題 )2解：PE PF AB. 理由：過點(diǎn)P 作 PG AB 于 G，交 BD 于 O，如圖所示PGAB，PFAC，A90°，AAGPPFA90°.四邊形AGPF 是矩形 AGPF，PGAC. CGPB.又BD DC， CDBP. GPB DBP. OB OP. PG AB， PE BD，1 BGOPEO90°.在BGO 和PEO 中，BGOPE

15、O，GOBEOP，OB OP，BGOPEO. BG PE. AB BG AG PE PF.3證明：(1)四邊形ABCD 是平行四邊形，AB CD. BE DF.又 BE DF，四邊形BFDE 是平行四邊形 DE AB， DEB 90° .四邊形BFDE 是矩形(2)四邊形ABCD 是平行四邊形， AB DC， AD BC. DFA FAB.由 (1)易得 BCF 為直角三角形，在 Rt BCF 中，由勾股定理，得BCCF2 BF232 42 5，AD BCDF 5.DAF DFA.DAF FAB ，即AF 平分DAB.4 (1)證明：四邊形ABCD 為平行四邊形，AB DC. ABE

16、又點(diǎn) E 為 BC 的中點(diǎn)，BE CE.在 ABE 和 FCE 中， ABE FCE， BE CE， AEB FEC， ABE FCE. AB CF.又 AB CF，四邊形ABFC 為平行四邊形AE EF.AEC AEC ABC EAB. 又 AEC 2 ABC ， ABC EAB. EF BE EC，即 AF BC. 四邊形ABFC 為矩形ECF.為 ABE 的外角， AE BE. AE AC DF. 又 AFD 是等邊三角形，CF CD D2F 2. AC42 222 3.S四邊形 ABFC2 3 × 2 4 3.(2)解：四邊形ABFC 是矩形，專訓(xùn) 2又 ACB 90

17、76;，1 (1) 證明： AE CD， CE AB ， 四邊形ADCE 是平行四邊形，D 是 AB 的中點(diǎn)，CD BD AD ，平行四邊形ADCE 是菱形(2)解：如圖，過點(diǎn)D 作 DF CE，垂足為點(diǎn)F，則DF 即為菱形ADCE 的高，B60°， CD BD，BCD 是等邊三角形，BCD 60°. CE AB ， BCE 180° B 120°， DCE 60°，又CD BC 6，在 Rt CDF 中，易求得DF 3 3，即菱形ADCE 的高為 3 3.(第1 題 )2 (1)證明：BD 垂直平分AC， OA OC， AD CD， AB B

18、C.四邊形AFCG 是矩形，CG AF. CDO ABO，DCOBAO. COD AOB( AAS) CD AB. AB BC CD DA.四邊形ABCD 是菱形(2)解：E 為 AB 的中點(diǎn)，DE AB ， DE 垂直平分AB. AD DB.又AD AB ，ADB 為等邊三角形，DBA 60° . CD AB ，BDC DBA 60° .11(3)解：由菱形性質(zhì)知，OAB 12 BAD 30°.在 Rt OAB 中， AB 1，OB 21， OA32. BD 1， AC3.3 (1)證明：將ADE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) 180°得到CFE，AE CE， DE

19、 FE.四邊形ADCF 是平行四邊形D， E 分別為 AB ， AC 邊的中點(diǎn)，DE 是 ABC 的中位線DE BC. ACB 90°，AED 90°. DF AC. 四邊形ADCF 是菱形(2)解：在Rt ABC 中， BC 8， AC 6，AB 10.點(diǎn)D 是 AB 邊的中點(diǎn)，AD 5.四邊形ADCF 是菱形， AF FC AD 5.四邊形ABCF 的周長為8 10 5 5 28.4 (1)證明：E 是 AD 中點(diǎn)，AE DE. AF BC， FAEBDE，又 AEF DEB，AEFDEB( ASA)(2)證明：由(1)知，AEF DEB ，則 AF DB， D 是 B

20、C 的中點(diǎn)，DB DC，AF CD， 又AF BC， 四邊形ADCF 是平行四邊形， BAC 90°， D 是 BC 的中點(diǎn)，1 AD DC 2BC，四邊形ADCF 是菱形(3)解：設(shè)菱形ADCF 的 DC 邊上的高為h，則Rt ABC 斜邊 BC 上的高也為h， BC524241 ， DC2BC2 ，h， 菱形 ADCF 的面積為：DC·h210.專訓(xùn) 31解：(1)仍有BM DN MN 成立證明如下：如圖(1)，過點(diǎn)A 作 AE AN ，交CB 的延長線于點(diǎn)E, 易證 ABE ADN ，DN BE， AE AN. 又 MAN 45°， EAM NAM 45&#

21、176;， AM AM ， EAM NAM. ME MN. ME BE BM DN BM ，BM DN MN .(2)DN BM MN. 證明如下：如圖(2)，在DN 上截取DE BM ，連接 AE. 四邊形ABCD 是正方形， ABM D 90°， AB AD.又 BM DE， ABM ADE. AM AE ，BAM DAE. DAB 90°，MAE 90° . MAN 45°， EAN 45° MAN. 又 AM AE， AN AN ， AMN AEN. MN EN. DN DE EN BM MN.DN BM MN.(2)(第 1 題 )2

22、證明：AC， BD 是正方形ABCD 的兩條對角線，AC BD， OA OD OCOB. DE CF，OE OF.在 Rt AOE 與 Rt DOF 中，OA OD， AOE DOF 90°，OE OF， RtAOE Rt DOF. OAE ODF. DOF 90°，DFO FDO 90°. DFOFAE 90°. AMF 90°，即AM DF.3 (1)證明：四邊形ABCD 是正方形，A BCD 90°， AB BCCD DA. 又不管滾動多長時間，AP BQ CR DS，SA PB QC RD. ASPBPQCQRDRS. PS

23、QP RQ SR， ASPBPQ.不管滾動多長時間，四邊形 PQRS是菱形 又APSASP90°，APSBPQ90°.QPS180° (APSBPQ)180° 90° 90° .不管滾動多長時間，四邊形PQRS 總是正方形(2)解：當(dāng)P，Q，R，S 在出發(fā)時或在到達(dá)終點(diǎn)時面積最大，此時的面積就等于原正方形 ABCD 的面積(3)解：當(dāng)P，Q，R，S 四點(diǎn)運(yùn)動到正方形四邊中點(diǎn)時，四邊形PQRS 的面積是原正方形 ABCD 面積的一半理由：設(shè)原正方形ABCD 的邊長為a.當(dāng)PS21a2時，在RtAPS 中，ASaSDaAP.2由勾股定理，

24、得AS2 AP2 PS2，即(a AP) 2 AP2 12a2，11解得 AP 2a.同理可得BQ CR SD 2a.當(dāng)P， Q， R， S 四點(diǎn)運(yùn)動到正方形ABCD 各邊中點(diǎn)時，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半專訓(xùn) 41 解：(1) AED CEB.證明：四邊形ABCD 是矩形，BC DA，BD.由折疊的性質(zhì)，知 BC BC ，BB， BC DA，B D.在 AED 和CEB 中， DEA B EC， D B ，DA BC ， AED CEB.(2)如圖，延長HP 交 AB 于點(diǎn) M，則 PM AB.1 2， PG AB ，PM PG.CD AB ，23，13，AE CE83 5.在

25、RtADE中，DE3，AE5， AD 52 32 4.PHPMAD ， PGPHAD4.2證明：(1) DE AC， CE BD，四邊形OCED 是平行四邊形四邊形ABCD 是菱形，ACBD.DOC 90°.四邊形OCED 是矩形(2)四邊形ABCD 是菱形， BC CD.四邊形OCED 是矩形，OE CD， OE BC.(第 3 題 )3 (1)證明：如圖，過點(diǎn)B 作 BH FP 交 FP 的延長線于點(diǎn)H. BD AC， PF AC，BHPF，四邊形BDFH 是矩形BDHF.ABAC， ABC C.PEAB， PFAC ，PEB PFC 90° .EPBFPC.又HPBF

26、PC，EPBHPB.PE AB，PHBH ， PEBPHB90°.又 PB PB，PEBPHB. PE PH， BD HF PF PH PF PE.即 BD PE PF.(2)解：不成立，此時PE BD PF.理由：過點(diǎn)B 作 BH PF 交 PF 的延長線于點(diǎn)H.與 (1)同理可得PE PH， BD HF.PE FH FP BD PF.(第 4 題 )4 (1)證明：連接AC，如圖BD 是菱形 ABCD 的對角線， BD 是線段 AC 的垂直平分線， AE EC.(2)解：點(diǎn)F 是線段 BC 的中點(diǎn)理由：四邊形ABCD 是菱形， AB CB.又 ABC 60°，ABC 是

27、等邊三角形，BAC 60° . AE EC，EAC ACE.CEF60°，EAC 30°，EAC EAB. AF 是 ABC 的角平分線 BF CF.點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)5 (1)證明：在DFC 中， DFC 90°，C 30°， DC 2t， DF t，又 AE t，AE DF.(2)解：能理由如下：AB BC， DF BC，AE DF.又 AE DF，四邊形AEFD 為平行四邊形在 Rt ABC 中，設(shè) AB x，則由C 30°，得AC 2x，AB 2 BC2 AC 2，即x2 (5 3)2 4x2，解得x 5(負(fù)根舍去)，AB 5.AC 2AB 10.AD AC DC 10 2t.由已知得點(diǎn)D 從點(diǎn) C 運(yùn)動到點(diǎn)A 的時間為10÷ 2 5(s)，點(diǎn)E 從點(diǎn) A 運(yùn)動到點(diǎn)B 的時5÷ 1 5(s)若使 ?AEFD 為菱形，則需AE AD ，即t 10 2t，解得t 10.符合題意310故當(dāng) t s時，四邊形AEFD 為菱形3(3)解：當(dāng)EDF 90°時，四邊形EBFD 為矩形在 Rt AED 中， ADE C 30°，5 AD 2AE ，即10 2t 2t，解