微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 - 4.7 曲率

1、第四章第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用用曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān)主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 MMM4.7 平面曲線的曲率一、一、 弧微分弧微分( )yf x設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為 AB,弧長(zhǎng)( )sAMs xsxMMMMMMxMMMM22()()xyx MMMM 21()yx0( )limxss xx 21()yxO( )yf xABabxyxMxx My0lim1xMMMM 則弧長(zhǎng)微分公式為22ddsxyt( )s x21()y

2、2d1() dsyx或22d(d )(d )sxyOdxxxdxyxMdyT幾何意義幾何意義:ds MTdcos;dxsdsindys若曲線由參數(shù)方程表示:( )( )xx tyy txt 表示對(duì)參數(shù) 的導(dǎo)數(shù)二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長(zhǎng)為,s對(duì)應(yīng)切線,定義弧段 上的平均曲率sKsMMs點(diǎn) M 處的曲率0limsKs dds注意注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !轉(zhuǎn)角為例例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解解: 如圖所示 ,sR 0limsKs 1R可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓

3、弧彎曲得愈小 .sRMM有曲率近似計(jì)算公式1,y 當(dāng)時(shí)tany()22設(shè)arctan y得d(arctan) dyx 2d1yxy2d1dsyx故曲率計(jì)算公式為ddKs322(1)yKyKy又曲率曲率K 的計(jì)算公式的計(jì)算公式( )yf x二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由說明說明: (1) 若曲線由參數(shù)方程( )( )xx tyy t給出, 則322(1)yKy(2) 若曲線方程為( ),xy則322(1)xKx3222()xyxyKxy例例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線316yxRl作緩和曲線,處的曲率.2(0, 0),( ,)6lOB lR說明說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)

4、且 l R. 其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 離心力必須連續(xù)變化 , 因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化 . Oyx例例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線316yxRl作緩和曲線,且 l R. 處的曲率.2(0, 0),( ,)6lOB lR其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)解解:0, ,xl當(dāng)時(shí)2lR01yxRl Ky1xRl顯然00;xK1x lKR212yxRl RB316yxRll例例3. 求橢圓cossinxatybt(02)t 在何處曲率最大?解解:故曲率為 ab322222(sincos)atbtsin ;xat cos ;ybtcosx

5、at sinybt 3222()xyxyKxyK 最大2222( )sincosf tatbt最小22( )2sin cos2cos sinftattbtt22()sin2abt求駐點(diǎn): ( )0,f t令0,t 得,23,22 ,設(shè)22( )()sin2f tabtt( )f t023222b2b2a2b2a從而 K 取最大值 .這說明橢圓在點(diǎn)0,ba0 , , 2t 則時(shí)(, 0)a處曲率計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:yxbaba( ),f t 取最小值最大.OK 最大2222( )sincosf tatbt最小三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑TyxO( ,)D R( , )M x yC設(shè)

6、 M 為曲線 C 上任一點(diǎn) , 在點(diǎn)在曲線1DMRK把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的曲率圓 ( 密切圓 ) , R 叫做曲率半徑, D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使設(shè)曲線方程為( ),yf x且0,y 求曲線上點(diǎn)M 處的曲率半徑及曲率中心( , )D 設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為222()()R故曲率半徑公式為1RK 322(1)yy滿足方程組, 222()()xyR( , )M x y 在曲率圓上()DMMTy xy的坐標(biāo)公式 .TyxO(

7、 ,)D R( , )M x yC滿足方程組, 222()()xyR( , )M x y 在曲率圓上()DMMTy xy由此可得曲率中心公式2(1)yyxy21yyy(注意y與y異號(hào) )當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線 ( )yf x移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心 曲率中心公式可看成漸曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線漸伸線 .屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).TyxOR( , )M x yC( ,)D Oyxab例例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設(shè)橢圓方程為cossinxatybt(02 ,)x

8、ba由例3可知, 橢圓在(,0)a處曲率最大,即曲率半徑最小, 且為 R 322222(sincos)atbtab0t 2ba顯然, 砂輪半徑不超過2ba時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生過量磨損 ,或有的地方磨不到的問題.( 仍為擺線 )(sin )a(1cos )a例例5. 求擺線(sin )(1cos )xa ttyat的漸屈線方程 . 解解:yyx sin,1costtdd()tyyx 21(1cos )at代入曲率中心公式,(sin )a tt(cos1)at得漸屈線方程 ,t令2aaO2(1)yyxy21yyyOyxM擺線內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 弧長(zhǎng)微分2d1dsyx或22d(d )(d )sxy2. 曲率公式ddKs322(1)yy3. 曲率圓曲率半徑1RK322(1)yy曲率中心2(1)yyxy21yyy思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系