混沌原理與應(yīng)用

1、課程論文課程系統(tǒng)科學(xué)概論學(xué)生姓名學(xué)號院系專業(yè)二0一五年月日混沌理論與應(yīng)用摘要：本文首先介紹了混沌理論的產(chǎn)生與背景。接著由混沌理論的產(chǎn)生引出了理解混沌系統(tǒng)需要注意的幾個基本概念，并就兩個容易混淆的概念進行了區(qū)分。然后本文對混沌系統(tǒng)的幾個基本特征進行了闡述，而且詳細解釋了每個具體特征含義。在結(jié)尾部分本文簡要敘述了混沌理論的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：混沌理論；混沌系統(tǒng)；基本特征；應(yīng)用1混沌理論的產(chǎn)生與背景混沌一詞很早就出現(xiàn)在人類的歷史中，在世界的幾個較為發(fā)達的古代文明中基本上都用自己的方式對混沌進行過描述，混沌基本就等同于未知。同時這些文明有一個對混沌有一個共同的觀點，那就是：宇宙起源于混沌1,這種觀點可以

2、說在某些方面與現(xiàn)代的理論不謀而合。雖然古人的這些觀點大部分是基于自己的想象而且其含義也局限于哲學(xué)方面，但是可以說這是人類早期對混沌狀態(tài)的一種探索。在此后的上千年中，一代又一代的研究者們探索了無數(shù)未知的領(lǐng)域。以至于在混沌理論之前，沒有人懷疑過精確預(yù)測的能力是可以實現(xiàn)的，一般認為只要收集夠足夠的信息就可以實現(xiàn)。十八世紀法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯甚至宣稱，如果已知宇宙中每一個粒子的位置與速度，他就能預(yù)測宇宙在整個未來的狀態(tài)。然而混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)徹底打破了這一假設(shè)?；煦缦到y(tǒng)對初始條件的敏感性使得系統(tǒng)在其運動軌跡上幾乎處處不穩(wěn)定，初始條件的極小誤差都會隨著系統(tǒng)的演化而呈現(xiàn)指數(shù)形式的增長，迅速達到系統(tǒng)所在空間的大小

3、，使得預(yù)測能力完全消失2。例如，著名的蝴蝶效應(yīng)：上個世紀70年代，美國一個名叫洛倫茲的氣象學(xué)家在解釋空氣系統(tǒng)理論時說，亞馬遜雨林一只蝴蝶翅膀偶爾振動，也許兩周后就會引起美國得克薩斯州的一場龍卷風(fēng)3,可以說對天氣的精準預(yù)測一直是人類未曾解決的問題。面對這樣的問題，科學(xué)家們又用到了混沌這個詞，看似又回到了起點，實際上今天的混沌理論與過去的說法已經(jīng)有了天壤之別。1903年，美國數(shù)學(xué)家J.H.Poincare在科學(xué)與方法一書中提到Poincare猜想，他把動力系統(tǒng)和拓撲學(xué)兩大領(lǐng)域結(jié)合起來指出了混沌存在的可能性4。1963年美國氣象學(xué)家愛德華諾頓洛倫茨提出混沌理論（Chaos）,非線性系統(tǒng)具有的多樣性和

4、多尺度性?；煦缋碚摻忉屃藳Q定系統(tǒng)可能產(chǎn)生隨機結(jié)果5。混沌也被認為是繼量子力學(xué)和相對論之后，20世紀物理學(xué)界第三次重大革命，混沌也一樣沖破了牛頓力學(xué)的教規(guī)。從此，混沌系統(tǒng)理論開始飛速發(fā)展，氣象學(xué)、生理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)中都發(fā)現(xiàn)了一種關(guān)于混沌的有序性。混沌理論正式誕生。2混沌系統(tǒng)的基本概念本文上一節(jié)簡要敘述了混沌理論的產(chǎn)生與背景,這一節(jié)本文將針對混沌系統(tǒng)的基本概念做一個介紹?；煦绗F(xiàn)象起因于物體不斷以某種規(guī)則復(fù)4。簡單來說，混沌是指發(fā)生在確定性混沌實際上目前并沒有一個通用的嚴格的定義，制前一階段的運動狀態(tài)，而產(chǎn)生無法預(yù)測的隨機效果系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性

5、-不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。具體而言，混沌現(xiàn)象發(fā)生在易變動的物體或系統(tǒng)，這個物體或者系統(tǒng)在其初始狀態(tài)非常的單純，但經(jīng)過一定規(guī)則的連續(xù)變動之后，卻會產(chǎn)生無法預(yù)料的后果?；煦缦到y(tǒng)雖然不可預(yù)測，但是卻并不能完全等同于混亂無章，有些確定的系統(tǒng)也會處于混沌狀態(tài)。很多人在這里會混淆確定性與可預(yù)測性，錯誤的將確定的系統(tǒng)等同為可以預(yù)測的系統(tǒng)6。在動力學(xué)系統(tǒng)中，確定性指的是系統(tǒng)在任意時刻被初始狀態(tài)所決定。雖然我們可以根據(jù)物體的初始狀態(tài)和運動規(guī)律推算出其在任意時刻的運動狀態(tài)，但是，由于初始條件有可能不能完全被考慮到，所以很可能造成預(yù)測的失敗或者完全無法被預(yù)測，就比如對天氣系統(tǒng)的預(yù)測。一個系統(tǒng)即便是確定的

6、，也有可能是不可預(yù)測的，兩者并不矛盾。在現(xiàn)實中有許多非線性的系統(tǒng)，盡管系統(tǒng)是確定的，但是卻對初始條件極為敏感，形成了一種看起來隨機的不可預(yù)測的運動狀態(tài)，這就是混沌狀態(tài)。3混沌系統(tǒng)的特征在上一節(jié)本文描述了混沌的基本概念，這一節(jié)本文將對混沌系統(tǒng)的基本特征進行闡述。通過對混沌系統(tǒng)的研究，人們認識到混沌的奇特之處在于它把“表現(xiàn)”的無序與內(nèi)在的決定論機制巧妙地溶為一體。具體來講，混沌系統(tǒng)有以下三個基本特征7：(1)內(nèi)在隨機性非平衡非線性混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的類似無規(guī)的非周期行為，常叫做內(nèi)在隨機性，或稱內(nèi)稟隨機性，意思是隨機性完全是系統(tǒng)自身的屬性，而與外在因素?zé)o關(guān)。可以從兩個層面理解上述內(nèi)容：其一，一個確定性系統(tǒng)

7、，由于系統(tǒng)參數(shù)值的不同，其解的狀態(tài)是不確定的；其二，在系統(tǒng)參數(shù)值已知的條件下，其解可能是隨機的，即沒有一個確定性值8。正如洛侖茲動力學(xué)方程體現(xiàn)的那樣，混沌是從完全確定論的方程中出現(xiàn)的。洛侖茲方程是確定論方程，其中不含任何隨機項，方程的系數(shù)、初始條件等都是確定的，然而確定的原因卻引出來隨機的結(jié)果。內(nèi)在隨機性是相對于外在隨機性而言的。在量子力學(xué)中，做熱運動的粒子，由于其數(shù)量太大，只能用統(tǒng)計學(xué)的方法來尋求其規(guī)律。而單個粒子的隨機性是由于觀測儀器引起的。這樣的隨機性就看作是外在隨機性，外在隨機性可以通過統(tǒng)計學(xué)的方法把隨機性去掉，揭示其內(nèi)在的規(guī)律。然而混沌理論中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在隨機性與這樣的外在隨機性有本質(zhì)的

8、不同，它要求人們突破原來對隨機性的認識。(2)對初值的敏感性系統(tǒng)的混沌運動，無論是離散的或連續(xù)的，低維的或高維的，保守的或耗散的。時間演化的還是空間分布的，均具有一個基本特征，即系統(tǒng)的運動軌道對初值的極度敏感性5。例如，著名的“蝴蝶效應(yīng)”理論，它的提出者洛倫茨提出一個簡化的氣象模型，這個模型簡化到只剩3個必不可少的變量的非線性微分方程組，其中不含有任何外加隨機因素，利用計算機計算天氣的變化。用同一組初值輸入計算機，重復(fù)計算，兩次計算的差別僅在于一次采用的初值比另一次只少最后一位有效數(shù)字。在線性系統(tǒng)中這點微小差別也許不會影響計算結(jié)果，但是在混沌系統(tǒng)中隨著計算進程不斷前進，兩次計算結(jié)果差別越來越大

9、，最后導(dǎo)致兩組數(shù)據(jù)完全不同。這表明個別結(jié)果對于初始條件的敏感依賴行為。因此，洛倫茲斷言：長期預(yù)報注定要失敗。(3)非規(guī)則的有序自從嫡的統(tǒng)計解釋被引入生命與社會現(xiàn)象之后，有序與無序的講法日漸頻繁。根據(jù)常識有序和無序是一個相對的概念，二者互不包含。而非平衡非線性混沌既不是簡單的無序，也不是通常意義下的有序，科學(xué)家建議將其稱為“混沌序”7。混沌現(xiàn)象表面是無序的。但混沌區(qū)的系統(tǒng)行為并非真正的混亂不堪，而是不具備周期性和其他明顯對稱特征的有序態(tài)，確定性的非線性系統(tǒng)的控制參量按一定方向部斷變化，當(dāng)達到某種極限狀態(tài)時，就會出現(xiàn)混沌這種非周期運動體制。但是非周期運動不是無序運動，而是另一種類型的有序運動。因此

10、，混沌現(xiàn)象表面上是無序的，但這種無序不是絕對的無序，而是在無序中存在有序。當(dāng)然，它的有序又不是通常意義上的有序。而且混沌系統(tǒng)在不同層次上其結(jié)構(gòu)具有相似性，即所謂的自相似性?；煦鐓^(qū)的系統(tǒng)行為往往體現(xiàn)出無窮嵌套自相似結(jié)構(gòu)，這種不同層次上的結(jié)構(gòu)相似性是標(biāo)度變換下的不變性，這種不變性體現(xiàn)出混沌運動的規(guī)律9。4混沌理論的應(yīng)用上一節(jié)本文講的是混沌系統(tǒng)的基本特征，在這一節(jié)同時也是本文最后一節(jié)我們將探討混沌理論的應(yīng)用前景?；煦缋碚撌且婚T嚴謹?shù)目茖W(xué)，它不是一個對最基本粒子的探索，而是關(guān)于流通變遷以及模型的形成和解體的探索10。混沌也不是獨立存在的科學(xué)，它與其它各門科學(xué)互相促進、互相依靠，由此派生出許多交叉學(xué)科，

11、如混沌氣象學(xué)、混沌經(jīng)濟學(xué)、混沌數(shù)學(xué)等。混沌學(xué)不僅極具研究價值，而且有現(xiàn)實應(yīng)用價值，能直接或間接創(chuàng)造財富。在過去20年中，混沌在工程系統(tǒng)中逐漸由被認為僅僅是一種有害的現(xiàn)象轉(zhuǎn)變到被認為是具有實際應(yīng)用價值的現(xiàn)象來加以探討。近年來的大量研究工作表明，混沌與工程技術(shù)聯(lián)系愈來愈密切，它在生物醫(yī)藥工程、動力學(xué)工程、化學(xué)反應(yīng)工程、電子信息工程、計算機工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)和實驗物理等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用前景?；煦绲木唧w的潛在應(yīng)用可概括如下11(1)優(yōu)化：利用混沌運動的隨機性Z遍歷性和規(guī)律性尋找最優(yōu)點，可用于系統(tǒng)辨識、最優(yōu)參數(shù)設(shè)計等眾多方面。(2)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：將混沌與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相融合，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由最初的混沌狀態(tài)逐漸退化到

12、一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用中間過程混沌狀態(tài)的動力學(xué)特性使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逃離局部極小點，從而保證全局最優(yōu)，可用于聯(lián)想記憶、機器人的路徑規(guī)劃等。(3)圖像數(shù)據(jù)壓縮：把復(fù)雜的圖像數(shù)據(jù)用一組能產(chǎn)生混沌吸引子的簡單動力學(xué)方程代替，這樣只需記憶存儲這一組動力學(xué)方程組的參數(shù)，其數(shù)據(jù)量比原始圖像數(shù)據(jù)大大減少，從而實現(xiàn)了圖像數(shù)據(jù)壓縮。(4)高速檢索：利用混沌的遍歷性可以進行檢索，即在改變初值的同時，將要檢索的數(shù)據(jù)和剛進入混沌狀態(tài)的值相比較，檢索出接近于待檢索數(shù)據(jù)的狀態(tài)。這種方法比隨機檢索或遺傳算法具有更高的檢索速度。(5)非線性時間序列的預(yù)測：任何一個時間序列都可以看成是一個由非線性機制確定的輸入輸出系統(tǒng)，如果不規(guī)則的運動

13、現(xiàn)象是一種混沌現(xiàn)象，則通過利用混沌現(xiàn)象的決策論非線性技術(shù)就能高精度地進行短期預(yù)測。(6)模式識別：利用混沌軌跡對初始條件的敏感性，有可能使系統(tǒng)識別出只有微小區(qū)別的不同模式。(7)故障診斷：根據(jù)由時間序列再構(gòu)成的吸引子的集合特征和采樣時間序列數(shù)據(jù)相比較，可以進行故障診斷。隨著混沌不同學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，混沌理論已經(jīng)日益成熟。但是還有很多問題值得當(dāng)今的研究者們?nèi)ヅμ綄ぃ缛绾慰刂苹煦缇褪钱?dāng)下熱門的一個領(lǐng)域，不過這就涉及更深層次的問題了，本文在此暫且不予討論。參考文獻1混沌EB/OL.(2014-03-18)2015-11-10.http:2混沌理論簡介EB/OL.(2014-07-30)201

14、5-11-10.3什么是蝴蝶效應(yīng)EB/OL.(2014-05-03)2015-11-10.4混沌理論及應(yīng)用EB/OL.(2012-12-11)2015-11-10.GT5vgSRI7MZgcq8aOVpWO4OEptYZ05so79APjIrZJPFOM63fcs-YoBLXVGkmS9CnErXQUyls1CyzIcwoLjZ3olRKpya5混沌理論EB/OL.(2015-10-19)2015-11-10.03nh0oPhQMqqIsEIvlJ0_9xnhDwF6MGL1G3adIAQl7fnRtyO_w_QebS-GAfcvGiiVorTJMDhO09dj1EWWXi6混沌(非線性科學(xué)概念)EB/OL.(2013-07-14)2015-11-10.http:y3CsQcUqDvfUnTXueDEowAvhAoLVnwvDogjrtKz1FCqUvei7AOE7hnyYV-amRL8D6cEItF1o5CVq7曹海英