第五章概率統(tǒng)計(jì)

1、1/18隨機(jī)數(shù)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)隨機(jī)數(shù)應(yīng)用實(shí)驗(yàn) 隨機(jī)數(shù)與統(tǒng)計(jì)直方圖隨機(jī)數(shù)與統(tǒng)計(jì)直方圖相遇問(wèn)題及其統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)相遇問(wèn)題及其統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)計(jì)算面積的蒙特卡羅方法計(jì)算面積的蒙特卡羅方法平面多邊形填充圖平面多邊形填充圖2/18隨機(jī)數(shù)注記隨機(jī)數(shù)注記rand(m,n)產(chǎn)生區(qū)間產(chǎn)生區(qū)間(0,1)上均勻分布的上均勻分布的mn個(gè)隨機(jī)個(gè)隨機(jī)數(shù)數(shù). 工作原理是隨機(jī)數(shù)發(fā)生器用其儲(chǔ)存的工作原理是隨機(jī)數(shù)發(fā)生器用其儲(chǔ)存的種子種子 按一定規(guī)律產(chǎn)生數(shù)據(jù)按一定規(guī)律產(chǎn)生數(shù)據(jù). .在默認(rèn)狀態(tài)下在默認(rèn)狀態(tài)下, ,每次啟動(dòng)每次啟動(dòng)Matlab調(diào)用調(diào)用rand函數(shù)將產(chǎn)生重復(fù)的隨機(jī)數(shù)。為函數(shù)將產(chǎn)生重復(fù)的隨機(jī)數(shù)。為發(fā)生發(fā)生器器指定一個(gè)不同初始指定一個(gè)不同初始種子

2、種子可避免重復(fù)，如：可避免重復(fù)，如：rand(state,sum(100*clock);產(chǎn)生整型隨機(jī)數(shù)方法產(chǎn)生整型隨機(jī)數(shù)方法產(chǎn)生產(chǎn)生 “0” 或或 “1” 隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù): fix(2*rand)產(chǎn)生產(chǎn)生“1”到到“100”整型隨機(jī)數(shù)整型隨機(jī)數(shù): 1+fix(100*rand)3/18均勻分布隨機(jī)數(shù)均勻分布隨機(jī)數(shù)MATLAB產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)方法產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)方法: rand(m，n) 產(chǎn)生產(chǎn)生mn個(gè)個(gè) 0,1 之間之間均勻隨機(jī)數(shù)均勻隨機(jī)數(shù).隨機(jī)數(shù)等可能落入?yún)^(qū)隨機(jī)數(shù)等可能落入?yún)^(qū)間間0，1內(nèi)長(zhǎng)度相等子區(qū)間中。內(nèi)長(zhǎng)度相等子區(qū)間中。引例引例1. 觀察觀察12個(gè)個(gè)1 14 4整型隨機(jī)數(shù)情況整型隨機(jī)數(shù)情況 1

3、+ fix(4*rand(1,12) ans= 4 1 3 2 4 4 2 1 4 2 3 4引例引例2. 觀察觀察1000個(gè)隨機(jī)點(diǎn)分布情況個(gè)隨機(jī)點(diǎn)分布情況P=rand(2,1000);x=P(1,:);y=P(2,:);plot(x,y,b.)O14/18統(tǒng)計(jì)直方圖統(tǒng)計(jì)直方圖其中其中,data是需要處理的數(shù)據(jù)塊是需要處理的數(shù)據(jù)塊,繪圖原理繪圖原理:利用利用data中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間,將將區(qū)間等分為區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間，統(tǒng)計(jì)落入每個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)小區(qū)間，統(tǒng)計(jì)落入每個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖。如果省量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖

4、。如果省略參數(shù)略參數(shù)n，MATLAB將將n的默認(rèn)值取為的默認(rèn)值取為10。 直方圖也可以用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算直方圖也可以用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算N=hist(data，n)計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果N是是n個(gè)數(shù)的一維數(shù)組，分別表示個(gè)數(shù)的一維數(shù)組，分別表示data中各個(gè)中各個(gè)小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計(jì)算而不繪圖。小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計(jì)算而不繪圖。直方圖繪圖命令直方圖繪圖命令: hist(data，n)123450100020005/18N5 = 1969 2010 2018 1999 2004例例5.1 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)10000個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)在五個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)在五個(gè)小區(qū)間的分布個(gè)小區(qū)間的分布 。data=rand(10000,1

5、);figure(1),hist(data,5)N5=hist(data,5)figure(2),bar(N5,r)1234505001000150020002500即觀察即觀察10000 個(gè)隨機(jī)數(shù)在個(gè)隨機(jī)數(shù)在0,0.2,0.2,0.4, 0.4,0.6,0.6,0.8,0.8,1分布情況分布情況00.20.40.60.81050010001500200025006/18例例5.2:5.2:相遇問(wèn)題相遇問(wèn)題: :甲、乙兩船在甲、乙兩船在2424小時(shí)內(nèi)獨(dú)立地隨機(jī)到小時(shí)內(nèi)獨(dú)立地隨機(jī)到達(dá)碼頭達(dá)碼頭. .如果甲船到達(dá)碼頭后停留如果甲船到達(dá)碼頭后停留2 2小時(shí)小時(shí), ,乙船到達(dá)碼頭乙船到達(dá)碼頭后停留后停

6、留1 1小時(shí)小時(shí). .問(wèn)兩船相遇的概率有多大？問(wèn)兩船相遇的概率有多大？ S1S2XYO242422122424),(SSDYXP 21225 . 0 S22235 . 0 S24,0 , 21| ),( yxxyxyxD設(shè)兩船到達(dá)碼頭時(shí)刻分別為設(shè)兩船到達(dá)碼頭時(shí)刻分別為 X X 和和 Y Y。均勻分布隨機(jī)變量均勻分布隨機(jī)變量 X U(0 , 24), Y U(0 , 24)1&| ),(2 yxxyyxD2&| ),(1 xyyxyxD21DDDy x = 2x y = 17/1821225 . 0 S22235 . 0 S22122424),(SSDYXP = 0.1207模擬

7、求解模擬求解向此正方形區(qū)域內(nèi)均勻投兩個(gè)點(diǎn)向此正方形區(qū)域內(nèi)均勻投兩個(gè)點(diǎn)X X，Y Y，則，則X X，Y Y落在帶形內(nèi)的概率為落在帶形內(nèi)的概率為p p（即所求）。（即所求）。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：現(xiàn)在做現(xiàn)在做n n次實(shí)驗(yàn)，其中次實(shí)驗(yàn)，其中m m次實(shí)驗(yàn)次實(shí)驗(yàn)X X，Y Y落在帶形內(nèi)，則落在帶形內(nèi)，則m mn np模擬算法：模擬算法：m=0;for i=1:n, 均勻投點(diǎn)均勻投點(diǎn)X，Y 若若X，Y落在帶形落在帶形內(nèi)，內(nèi)， 則則m=m+1;endmyp=m/n8/18function F=shipmeet(N)if nargin=0,N=2000;endP=24*rand(2,N);X=P(1,:);Y=

8、 P(2,:);I=find(X=Y&Y=X+2);J=find(Y=X&X=Y+1);F=(length(I)+length(J)/Nplot(X,Y,b.) ,hold on相遇問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)相遇問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)F = 0.118521225 . 0 S22235 . 0 S1&| ),(2 yxxyyxD2&| ),(1 xyyxyxD22122424),(SSDYXP = 0.12079/18例例5.3計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線 y =x2 ，x = y 2 所圍圖形的面積所圍圖形的面積. 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基，或稱(chēng)

9、計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于于“隨機(jī)統(tǒng)計(jì)隨機(jī)統(tǒng)計(jì)”的計(jì)算方法。方法源于美國(guó)在第二次的計(jì)算方法。方法源于美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃曼哈頓計(jì)劃”。在正方形區(qū)域在正方形區(qū)域D內(nèi)投入內(nèi)投入N個(gè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)坐標(biāo)滿足個(gè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)坐標(biāo)滿足 xyx 2的點(diǎn)的點(diǎn)P(x，y)的數(shù)目的數(shù)目M。面積近似。面積近似計(jì)算公式為：計(jì)算公式為：S=M/N data=rand(N,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(y=x.2);M=length(II);S=M/N S = 0.327610/18例例5.4 計(jì)算計(jì)算 其中其中D為為y= x 2與與y2 =

10、 x 所圍所圍 D的邊界曲線交點(diǎn)為的邊界曲線交點(diǎn)為：(1，1)，(4，2)，被積函數(shù)在求被積函數(shù)在求積區(qū)域內(nèi)的最大值為積區(qū)域內(nèi)的最大值為1616。積分值是三維體積，該三維積分值是三維體積，該三維圖形位于立方體區(qū)域圖形位于立方體區(qū)域0 x 4，1 y 2，0 z 16內(nèi)，立方體區(qū)域的體積為內(nèi)，立方體區(qū)域的體積為1 192。 data=rand(10000,3); x=4*data(:,1); y=-1+3*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x=y.2&x=y+2&z=x.*(y.2); M=length(II); V=192*M/10000 D

11、dxdyxy211/18例例5.55.5. .求求 | ln x | + | ln y | = 1所圍平面圖形的面積所圍平面圖形的面積。 分析分析：由曲線方程由曲線方程，| ln x | 1，| ln y | 1，1/e x e，1/e y e 正方形域：正方形域：D =(x，y) | 0.3x2.8，0.3y 2.8 S=(2.8-0.3)2;Sk=;for k=1:5 data=0.3+2.5*rand(10000,2); x=data(:,1); y=data(:,2); II=find(abs(log(x)+abs(log(y)=1); M=length(II); s=S*M/N;Sk

12、=Sk,s;endSk12/18二維多邊形填充圖二維多邊形填充圖 fill() 使用格式使用格式用用c所指定的顏色對(duì)多邊形填充所指定的顏色對(duì)多邊形填充.其中其中,多邊形的多邊形的頂點(diǎn)由頂點(diǎn)由x,y確定確定. c 指定顏色不允許省略指定顏色不允許省略;x,y確定確定的點(diǎn)必須形成封閉的多邊形的點(diǎn)必須形成封閉的多邊形.fill(x,y,c)填充圖繪制方法填充圖繪制方法:13/18x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1);x2=1:-.01:0;y2=x2.2;fill(x1,x2,y1,y2,r) 填充圖繪制方法填充圖繪制方法y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1;x11=y1.*y1;x

13、22=y2+2;fill(x11,x22,y1,y2,r) y =x2 , x = y 2 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 y2 = x與與 y= x 2 所圍區(qū)域所圍區(qū)域14/18 該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的諾伊曼用馳名世界的賭城賭城摩納哥的摩納哥的Monte Carlo來(lái)命名這種方法來(lái)命名這種方法, ,為它蒙為它蒙上了一層神秘色彩。上了一層神秘色彩。蒙特卡羅蒙特卡羅方法方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率頻率”來(lái)來(lái)決定事件的決定事件的“概率概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定圓周率。決定圓周率。20世紀(jì)世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來(lái)高速電