2021中考數(shù)學(xué)熱點題型專練：相似

1、、選擇題1.如圖，在一斜邊長30cm的直角三角形木板（即RtAACB）中截取一個正方形CDEF,點D在邊BC上,點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF:AC=1:3,則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）【解析】設(shè)AF=x,則AC=3x,四邊形CDEF為正方形, EF=CF=2x,EFABC, EFABC,那EFBC,A AEFAFEFAF1 1=BCAC3BCAC3 BC=6x,在RtAABC中，AB=|（配居/*）2=35x,3fx=30,解得x=2f, AC=6,氐BC=1275,相似A.200cm2B. 170cm2C. 150cm2D.100cm2AD/CGADH54

2、GCH.4一丁HR先1丁占叁GCHQ 口（3d-d又AGCHS4GBA:,求然=(G7=R=百備0二幺婕田二:乂尹春故選A剩余部分的面積=2 2X6xi詆-（4泥）2=100（cm2）.2.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖3 3的方式放置.則圖中陰影部分的面積為i_ii氣（C）5（叱【答案】A【 解 析 】 如3.如圖，在4ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2,O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E,則BE:EC=B.1:3【答案】B【解析】如圖，過O作OGBC,交AC于G, O是BD的中點，AG是DC的中點.又AD:DC=1:2,AAD=DG=GC, AG:GC=2:1,AO:OE

3、=2:1,ASAAOB:SABOE=2,設(shè)SABOE=S,SAAOB=2S,又BO=OD,SAAOD=2S,SAABD=4S, AD:DC=1:2,SZBDC=2SAABD=8S,S四邊形CDOE=7S, S從EC=9S,S從BE=3S,C.1:4故選：B.4.如圖，在AABC中，點D,E分別在AB和AC上，DEABC,M為BC邊上一點（不與點B,C重合），連A AATATANAND DBDBDMtMtA.B.ANANAEAEMNMNCECE【答案】C【解析】ADNABM,AADNAAABM,咀=型,蝴NEAMC,AANEAAAMC,ANEANMCMC領(lǐng)A ADNDNNENE= =, ,即MC

4、MC故選：C.5.正方形ABCD的邊AB上有一動點1點B的過程中，矩形ECFG的面積(LC.典上DR3.BMMCMCBMMCMC而E,以EC為邊作矩形ECFG,且邊FG過點D.在點E從點A移動到)接AM交DE于點N,則(A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變【答案】D【解析】正方形ABCD和矩形ECFG中，DCB=AFCE=90,AF=AB=90,ADCF=AECB,BCEAAFCD,ACFCD,:ECF?CE=CB?CD,矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等.故選：D.6.如圖1,長、寬均為3,高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6,繞底面一棱進行旋

5、轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰女?觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）設(shè)DE=x,則AD=8-x,解得：x=4,DE=4,E=90,由勾股定理得：CD=JDE+CE卬4Q，?-5,BCE=ADCF=90,DCE=ABCF,【解析】過點C作CFABG于F,如圖所示:根據(jù)題意得:看(8-x+8)X3X手3X3X6DEC=ABFC=90,CDEAABCF,ACECDCFCFCBCBA A2424CF=5 57.下列命題是真命題的是（）A.如果兩個三角形相似，相似比為8 .如果兩個三角形相似，相似比為C.如果兩個三角形相似，相似比為D.如果兩個三角形相似，相似比為【答案】B4:9,那么這兩個三

6、角形的周長比為4:9,是假命題;4:9,那么這兩個三角形的周長比為4:9,是真命題;即CFCF8C、如果兩個三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為16:81,是假命題;D、如果兩個三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個三角形的面積比為16:81,是假命題;8.如圖,ABOAACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,則AB的長是（4:9,那么這兩個三角形的周長比為2:34:9,那么這兩個三角形的周長比為4:94:9,那么這兩個三角形的面積比為2:34:9,那么這兩個三角形的面積比為4:9【解析】A、如果兩個三角形相似，相似比為B、如果兩個三角形相似，相似比為共有6個組合分別為:A

7、EGsADC,AEGsCFG,AEGsADCsCFG,ADCsCBA,【解析】BO/DO,DODCDODCBO=6,DO=3,CD=2,【解析】圖中三角形有:-AB/EF/DC,AD/BCAEGsADCsCFGsCBAB.3C.4D.一ABAB解得：AB=4.故選：C.9.（2019廣西玉林市）如圖，AB/EF/DC,AD/BC,EF與ACG,則是相似三角形共有（）A.3對B.5對C.6對【解析】DE=4ACB,AA=AA,AADEAACB,人畫AHAHBnBn2 2AEAE=,即-=,ACABACAB4646解得，AE=3,故選：C.CFGsCBA故選：C.10.如圖,D、E分別是ABC邊A

8、B,AC上的點，ZADE=AACB,若AD=2,AB=6,AC=4,貝UAE的長B. 2C. 3二、填空題11.如圖，在矩形ABCD中，AD=3AB=3T5,點P是AD的中點，點E在BC上，CE=2BE,點M、N在線段BD上.若4PMN是等腰三角形且底角與4DEC相等，則MN=.【答案】6【解析】作PFAMN于F,如圖所示：則PFM=APFN=90,四邊形ABCD是矩形， AB=CD,BC=AD=3AB=3i/lQ,AA=AC=90,AB=CD=lio,BD=JAB：=10, PDF小DA,PF9PF9即一=一-一，Vioio解得：PF=2,2 CE=2BE, BC=AD=3BE, BE=CD

9、, CE=2CD, PMN是等腰三角形且底角與ADEC相等，PFAMN,MF=NF,APNF=ADEC,點P是AD的中點，PDF=ABDA,二二SBBDPFN=AC=90,PNFAADEC,=2,NF=2PF=3,MN=2NF=6;12.已知三個邊長分別為2cm,3cm,5cm的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為m 加【答案】3.75cm2【解析】對角線所分得的三個三角形相似，5x根據(jù)相似的性質(zhì)可知5-,105解得x2.5,即陰影梯形的上底就是32.50.5(cm).再根據(jù)相似的性質(zhì)可知-，2.5所以梯形的下底就是312(cm),故答案為：3.75cm2.交CD于點Q,則CQ的最大值為【解

10、析】AABEP+ABPE=90,AQPC+ABPE=90,BEP=ACPQ.又B=4C=90,BPEACQP.BEBPBEBP口-設(shè)CQ=y,BP=x,貝UCP=12-x. T二三,化簡得y=-=(x2T2x),IZryIZry整理得y=(x-6)2+4,所以陰影梯形的面積是(20.5)323.75(cm2).13.如圖，正方形ABCD中,AB=12,AE=，點P在BC上運動(不與B、C重合)，過點P作PQAEP,所以當x=6時，y有最大值為4.故答案為4.14.如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF,GH折疊（點E,H在AD邊上，點F,G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱

11、點為A點，D點的對稱點為D點，若FPG=90,那EP的面積為4,ADPH的面積為1,則矩形ABCD的面積等于.【答案】2（5+3宿）【解析】四邊形ABC是矩形, AB=CD,AD=BC,設(shè)AB=CD=x,由翻折可知：PA=AB=x,PD=CD=x,那EP的面積為4,PH的面積為1, AE=4DH,設(shè)DH=a,則AE=4a,AAEPAADPH,。H HPDPD，x2=4a2,x=2a或-2a(舍棄)，PA=PD=2a,i?a?2a=1,2 2a=1,x=2,AB=CD=2,PE=242=275,PH=!匹於=*底AD=4+2Vs+/5+l=5+3,矩形ABCD的面積=2(5+3不).故答案為2(

12、5+3S)三、解答題：15.如圖，RtABC中，ACB90,ACBC,P為ABC內(nèi)部一點，且APBBPC(1)求證：PABsPBC;(2)求證：PA2PC;(3)若點P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為h1,h2,%,求證h；h,*h3.【解析】（1）-ACB90ABBC,135ABC45PBAPBC又APBPABPBA45PBCPABBPC135PABsPBC(2)PABsPBCPAPBABPBPCBC在RtABC中，ABACABBC.2PB2PC,PA2PBPA2PC(3)如圖，過點PDBC,PEAC交BC、AC于點D,E,PFh1PDPECPBAPB135135270APCEAPA

13、CP90又ACBACPPCD90EAPRtAEPsRtCDPhs2h2-PABsPBC,*AB2,h2BCh.2h22_2_h2m2m/2h2h3.即：h2h2*h3.16.已知AABC和點A,如圖.(1)以點A為一個頂點作AABC,使巳匕公BC,且那BC的面積等于AABC面積的4倍；(要求:尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(2)設(shè)D、E、F分別是AABC三邊AB、BC、AC的中點，D、E、F分別是你所作的那BC三邊AB、BC、CA的中點，求證：DEFADEF.PEDPAPPC2,即h32,h2【解析】（1）作線段AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC,得那BC即可所求.證明：AAC=2A

14、C、AB=2AB、BC=2BC,（2）證明:D、E、F分別是“BC三邊AB、BC、AC的中點,DE=EC,DF=yAC,DF=yAC,即士四,坦乙乙DEFABC由（1）可知：AABCAABC；DEFADEF.17.如圖，在ABC中，A90,AB3,AC4,點M,Q分別是邊AB,BC上的動點(點M不與A,B重合)，且MQBC,過點M作BC的平行線MN，交AC于點N,連接NQ,設(shè)BQ為x.(1)試說明不論x為何值時，總有QBMsABC;(2)是否存在一點Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由;(3)當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值.【解析】(1)AMQBC,MQB90,MQBCAB,又QBMABC,QBMsABC；(2)當BQMN時，