勞斯判據(jù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)(pn j)第一頁(yè)，共19頁(yè)。q 控制系統(tǒng)(kn zh x tn)設(shè)計(jì)的首要目的就是要確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定； q 控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的穩(wěn)定性：輸入是有界信號(hào)時(shí)，當(dāng)t時(shí)，其輸出也是有界值；q 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的一種屬性。第1頁(yè)/共18頁(yè)第二頁(yè)，共19頁(yè)。一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)(xtng)可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。系統(tǒng)(xtng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)(xtng)特征根（極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部。 q 解析方法 求解系統(tǒng)的特征方程q 高階系統(tǒng)求解困難q 勞斯穩(wěn)定判據(jù)第2頁(yè)/共18頁(yè)第三頁(yè)，共19頁(yè)。已知系統(tǒng)(xtng)的特征方程式為：0011

2、1 asasasannnn(1) 系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正 必要條件；(2) 勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正 充分條件；(3) 第一列的系數(shù)符號(hào)改變(gibin)的次數(shù)等于實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)。第3頁(yè)/共18頁(yè)第四頁(yè)，共19頁(yè)。043214321432175316424321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnnn ,13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab,17613 nnnnnaaaaab,121311bbaabcnn ,121211ccbbcd 131512bbaabcnn ,141713bbaabcnn ,131312

3、ccbbcd 系統(tǒng)(xtng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)(xtng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號(hào)。勞斯穩(wěn)定(wndng)判據(jù)：00111 asasasannnn第4頁(yè)/共18頁(yè)第五頁(yè)，共19頁(yè)。利用(lyng)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 102118712)()(234 ssssssRsY解：它的特征(tzhng)方程式是： 01021187234 ssss特征(tzhng)方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式： 勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實(shí)際上該系統(tǒng)的4個(gè)根為： jsss73. 015. 1,76. 2,94.

4、14,321 01234sssss0217101810100001010517157105第5頁(yè)/共18頁(yè)第六頁(yè)，共19頁(yè)。若一系統(tǒng)(xtng)的特征方程為： 05432234 ssss利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)(xtng)是否穩(wěn)定。 解：列寫勞斯行列式： 該系統(tǒng)的特征(tzhng)方程式有兩個(gè)實(shí)部為正的特征(tzhng)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的4個(gè)根為：jsjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符號(hào)改變一次 符號(hào)改變一次 01234sssss04253105006051 第6頁(yè)/共18頁(yè)第七頁(yè)，共19頁(yè)。（1）第一列有零值出現(xiàn)(chxin)q 用一很小的正數(shù)來(lái)代替這個(gè)

5、(zh ge)零，并繼續(xù)勞斯行列式的計(jì)算；q 當(dāng)?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶?，?，檢驗(yàn)第一列的符號(hào)變化次數(shù)；q 若符號(hào)沒(méi)有發(fā)生變化，則說(shuō)明系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根,可利用輔助方程求出；q若符號(hào)發(fā)生變化，符號(hào)變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。第7頁(yè)/共18頁(yè)第八頁(yè)，共19頁(yè)。014222345sssssS5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 0S2 1 0S1 0 0S0 0 0 021 21 114系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素兩次變號(hào)，有兩個(gè)(lin )正根在右半平面。特征(tzhng)根（Matlab:c=1 2 2 4 1 1;roots(c) 例例5.3 第8頁(yè)/共18頁(yè)第九頁(yè)，共19頁(yè)。015

6、106322345 sssss試判定(pndng)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：計(jì)算(j sun)勞斯行列式如下：15621031012345ssssss0首 列 整 理(zhngl)為:1510/25/521012345 ssssss系統(tǒng)有二個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 方程解為： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符號(hào)改變一次 符號(hào)改變一次 第9頁(yè)/共18頁(yè)第十頁(yè)，共19頁(yè)。l 表明系統(tǒng)具有成對(duì)的實(shí)根或共軛虛根，這些根 大小相等(xingdng)，符號(hào)相反；l 利用

7、全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式 P（s），然后由 的系數(shù)代替零行，繼續(xù) 勞斯行列式的計(jì)算；dssdP)(l 輔助多項(xiàng)式為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的因子式，可以 通過(guò)求解(qi ji)輔助方程求出那些對(duì)根。第10頁(yè)/共18頁(yè)第十一頁(yè)，共19頁(yè)。05025482422345 sssss試判定(pndng)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為： 解：計(jì)算(j sun)勞斯行列式0123455048225241ssssss 輔助(fzh)多項(xiàng)式： 50482)(24 sssP00求p(s)對(duì)s 的導(dǎo)數(shù):ssdssdP968)(3 導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代入s3 行。896507 .1125024 第11頁(yè)/共18頁(yè)第十

8、二頁(yè)，共19頁(yè)。)2)(5)(5)(1)(1( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 可利用(lyng)輔助方程求出那些大小相等，符號(hào)相反的根： 50482)(24 sssP行列式第一列系數(shù)(xsh)符號(hào)變化一次，說(shuō)明系統(tǒng)有一個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。0)1)(25(22 ss輔助方程是系統(tǒng)(xtng)特征方程的一個(gè)因子式。第12頁(yè)/共18頁(yè)第十三頁(yè)，共19頁(yè)。1、判斷(pndun)系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響第13頁(yè)/共18頁(yè)第十四頁(yè)，共19頁(yè)。解題(ji t)思路：1、列出閉環(huán)傳

9、遞函數(shù)2、寫出閉環(huán)特征方程式3、利用勞斯行列式判斷 控制系統(tǒng)(xtng)方塊圖如圖所示，確定能保證該系統(tǒng)(xtng)穩(wěn)定的K值范圍。KssssKsRsY )2)(1()()(2解：系統(tǒng)(xtng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：R(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其閉環(huán)特征方程為：勞斯行列式為：02331K為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須大于零，同時(shí)還必須滿足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是。9/140 K0233234 Kssss第14頁(yè)/共18頁(yè)第十五頁(yè)，共19頁(yè)。(2) 若要求閉環(huán)極點(diǎn)(jdin)全部位于s = -1垂線的左側(cè)，求K的

10、取值范圍。 已知單位(dnwi)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )177()(20 sssKsG確定使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生(chnshng)持續(xù)振蕩的K的取值，并求振蕩頻率。分析： (1) 若使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則必有一對(duì)共軛虛根存在。系統(tǒng)的振蕩頻率就是此根的虛部值。1 ss (2) 只要把虛部向左平移1，構(gòu)成新的s 復(fù)平面: 用勞斯判據(jù)求出所有落在s平面的根對(duì)應(yīng)的K值。-10ss第15頁(yè)/共18頁(yè)第十六頁(yè)，共19頁(yè)。確 定 使 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 產(chǎn) 生(chnshng)持續(xù)振蕩的K的取值，確定振蕩頻率。（1）系統(tǒng)(xtng)閉環(huán)傳遞函數(shù) )(1)()(00sGsGsG 閉閉KsssK 17723勞斯行列

11、式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由為零的上一行組成輔助(fzh)方程：則K=119。07)(2 KssP可求出：。17,17,172 njss （振蕩頻率）)177()(20 sssKsG119？第16頁(yè)/共18頁(yè)第十七頁(yè)，共19頁(yè)。代入閉環(huán)特征方程： ,1 ss令令, 0)1(17)1(7)1(23 Ksss0116423 Ksss勞斯行列式：01104K35114610123 KssKss,011035 KK令令則有11K35。當(dāng)11K35時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)(jdin)落在s=-1垂線左側(cè)。 (2) 若要求閉環(huán)極點(diǎn)(jdin)全部位于s = -1垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。 ？KsssKG 17723閉閉第17頁(yè)/共18頁(yè)第十八頁(yè)，共19頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)