函數(shù)的連續(xù)性與間斷點65845學習教案

1、會計學1函數(shù)函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性與間斷點的連續(xù)性與間斷點65845第一頁，共33頁。2【引言【引言(ynyn(ynyn) )】自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、動植物的生長等等河水的流動、動植物的生長等等(dn(dn dndn) )都是都是連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學上連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性. .第1頁/共32頁第二頁，共33頁。31.【增量【增量(zn lin)】xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 【增量的幾何【增量的幾何(j h)解釋解

2、釋】第2頁/共32頁第三頁，共33頁。42.【連續(xù)【連續(xù)(linx)的定義的定義】【概念【概念(ginin)描述】描述】【定義【定義(dngy)1】連續(xù)的本質(zhì)連續(xù)的本質(zhì)第3頁/共32頁第四頁，共33頁。5【定義【定義(dngy)2】【注】【注】f (x)f (x)在在x0 x0處連續(xù)處連續(xù)(linx)(linx)的三個條件（三的三個條件（三條缺一不可）條缺一不可）則稱函數(shù)則稱函數(shù)(hnsh) y = f (x) 在點在點x0處連處連續(xù)續(xù).第4頁/共32頁第五頁，共33頁。6【注解【注解(zhji(zhji) )】條件條件0lim0 yx 條件條件)()(lim00 xfxfxx 在本質(zhì)上是一樣

3、在本質(zhì)上是一樣(yyng)(yyng)的，只是形式上的不同的，只是形式上的不同條件式清楚地反映條件式清楚地反映(fnyng)(fnyng)了連續(xù)概了連續(xù)概念的實質(zhì)，念的實質(zhì)，即即自變量產(chǎn)生微小變化時，函數(shù)自變量產(chǎn)生微小變化時，函數(shù)的變化也很微小的變化也很微小. .但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時，但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時，常應用條件常應用條件式（因為條件式（因為條件要具體計算要具體計算y, ,往往很麻煩）往往很麻煩）第5頁/共32頁第六頁，共33頁。7【補例補例1】【證證】由定義由定義(dngy)2(dngy)2知知f (x) 在在x0的鄰域內(nèi)顯然的鄰域內(nèi)顯然(xinr

4、n)有有定義定義第6頁/共32頁第七頁，共33頁。83.【單側(cè)連續(xù)【單側(cè)連續(xù)(linx)】【左連續(xù)【左連續(xù)(linx)(linx)】【右連續(xù)【右連續(xù)(linx)(linx)】【定理定理】第7頁/共32頁第八頁，共33頁。9【補例補例2】【解解】右連續(xù)右連續(xù)(linx)(linx)但不左但不左連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)，第8頁/共32頁第九頁，共33頁。104.【連續(xù)【連續(xù)(linx)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)與連續(xù)(linx)區(qū)間】區(qū)間】在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)(hnsh),(hnsh),叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間上的連續(xù)函數(shù)(hnsh),(hnsh),或者說函

5、數(shù)或者說函數(shù)(hnsh)(hnsh)在在該區(qū)間上連續(xù)該區(qū)間上連續(xù). .連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)函數(shù)的圖形是一條(y tio)(y tio)連續(xù)而不連續(xù)而不間斷的曲線間斷的曲線. .【幾何表現(xiàn)幾何表現(xiàn)】閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)上的連續(xù)函數(shù)的集合函數(shù)的集合第9頁/共32頁第十頁，共33頁。11【相關【相關(xinggun)(xinggun)結(jié)論】結(jié)論】5中已證多項式中已證多項式 f ( (x) )有有 在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)(linx).(linx).3 3 例例5 5 已證明已證明(zhngmng)(zhngmng)第10頁/共32頁第十一頁，共33頁。12【例例3】【證證】【相關【相關

6、(xinggun)結(jié)論結(jié)論】第11頁/共32頁第十二頁，共33頁。13;)(0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在在xxf; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 【描述【描述(mio sh)】如果上述三個條件如果上述三個條件(tiojin)中只要有一個不中只要有一個不滿足，則稱函數(shù)滿足，則稱函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處不連續(xù)（或處不連續(xù)（或間斷），并稱點間斷），并稱點 x0 為為 f (x) 的不連續(xù)點（或的不連續(xù)點（或間斷點）間斷點）.函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點x0處處連續(xù)連續(xù)必須滿足的三個條件必須滿足的三個條件第12頁/共32頁第十三頁，共33頁。141.

7、【間斷【間斷(jindun)點定點定義】義】設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在點在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義(dngy)。在此前提下，如果函數(shù)在此前提下，如果函數(shù) f (x) 有下列三種情形之一：有下列三種情形之一：在在 x=x0 沒有沒有(mi yu)定義；定義；雖在雖在 x=x0 有定義，但有定義，但 不存在；不存在；)(lim0 xfxx雖在雖在 x=x0 有定義，且有定義，且 存在，但存在，但)(lim0 xfxx則函數(shù)則函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處處不連續(xù)不連續(xù)（或（或間斷間斷），并稱點），并稱點 x0 為為 f (x) 的的不連續(xù)點不連續(xù)點（或（或間斷點間斷點

8、）.第13頁/共32頁第十四頁，共33頁。15【特別強調(diào)特別強調(diào)】連續(xù)點要求連續(xù)點要求(yoqi)在在x0的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義；義；間斷間斷(jindun)點要求在點要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定的某去心鄰域內(nèi)有定義；義； 失去這個前提失去這個前提(qint)，則不能研究點，則不能研究點x0的連的連續(xù)性續(xù)性.例如例如定義域是一些離散的點的集合，在這些點的定義域是一些離散的點的集合，在這些點的某去心鄰域某去心鄰域 f (x) 無定義無定義,則這些點既則這些點既不是不是f (x)的的連續(xù)點連續(xù)點，也，也不是不是它的它的間斷點間斷點連續(xù)點連續(xù)點x0與間斷點與間斷點x0的共性是：的共性是： 均

9、要求在均要求在x0的某的某去心鄰域內(nèi)有定義（去心鄰域內(nèi)有定義（ 【思考思考】 為什么？為什么？），），在這在這個前提下才有個前提下才有“f (x)的不連續(xù)點就是它的間斷點的不連續(xù)點就是它的間斷點”成立成立.第14頁/共32頁第十五頁，共33頁。16跳躍跳躍(tioyu)(tioyu)間斷點間斷點【補例補例4】【解解】2.【函數(shù)【函數(shù)(hnsh)間斷點的幾種常見類間斷點的幾種常見類型】型】(1).【第一類間斷點】【第一類間斷點】(左右左右(zuyu)極限都存在的極限都存在的點點).oxy1第15頁/共32頁第十六頁，共33頁。17可去間斷可去間斷(jindun)(jindun)點點【補例補例5】

10、oxy112第16頁/共32頁第十七頁，共33頁。18【解解】【說明】【說明】 可去間斷點只要可去間斷點只要(zhyo)(zhyo)改變（原來有定義時改變（原來有定義時）或者補充（原來無定義時）間斷點處函數(shù)的定義）或者補充（原來無定義時）間斷點處函數(shù)的定義, , 則可則可使其變?yōu)檫B續(xù)點，故稱其為可去間斷點使其變?yōu)檫B續(xù)點，故稱其為可去間斷點. .oxy112第17頁/共32頁第十八頁，共33頁。19如例如例5中中, ,跳躍間斷跳躍間斷(jindun)(jindun)點與可去間斷點與可去間斷(jindun)(jindun)點統(tǒng)點統(tǒng)稱為第一類間斷稱為第一類間斷(jindun)(jindun)點點.

11、.【特點【特點(tdin)(tdin)】oxy112可去型可去型 ： 左右極限左右極限(jxin)(jxin)存在且存在且相等相等. .跳躍型跳躍型： 左右極限存在但左右極限存在但不相等不相等. .第18頁/共32頁第十九頁，共33頁。20(2)【第二類間斷【第二類間斷(jindun)點點】【補例補例6】【解解】oxy, 0)00( f【特點【特點(tdin)(tdin)】 這種情況這種情況(qngkung)稱為無窮稱為無窮間斷點間斷點第19頁/共32頁第二十頁，共33頁。21【例例7】【解解】xy1sin 這種情況這種情況(qngkung)(qngkung)稱稱為振蕩間斷點為振蕩間斷點. .

12、【特點【特點(tdin)(tdin)】 振蕩振蕩(zhndng)(zhndng)而不存在，但均不為而不存在，但均不為，稱之，稱之. .第20頁/共32頁第二十一頁，共33頁。22狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(hnsh)(hnsh)在定義域在定義域R R內(nèi)每一點內(nèi)每一點(y din)(y din)處都間斷處都間斷, ,且都且都是第二類間斷點是第二類間斷點. .僅在僅在x = 0 x = 0 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點處處其余各點處處(chch)(chch)間斷間斷. .特別地特別地課后習題課后習題P P65 5（3）反例）反例【注意注意】 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只

13、是個別的幾個點. .第21頁/共32頁第二十二頁，共33頁。23o1x2x3xyx xfy 在定義域在定義域R R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, , 但其絕對值處處但其絕對值處處(chch)(chch)連續(xù)連續(xù). .【觀察練習】立即【觀察練習】立即(lj)(lj)說出下列間斷點說出下列間斷點類型類型: :課后習題課后習題(xt)P65 (xt)P65 5 5（2 2）反例）反例第22頁/共32頁第二十三頁，共33頁。24又如:xoy1xytan2xyoxyxy1sin0無窮無窮(wqing)間間斷點斷點振蕩振蕩(zhndng)間斷點間斷點可去間斷可去間斷(jindun)點點第23頁/共32

14、頁第二十四頁，共33頁。25【補例補例8】【解解】第24頁/共32頁第二十五頁，共33頁。26【典型補充【典型補充(bchng)例題】例題】備用備用機動題機動題【補充【補充(bchng(bchng)1)1】【解解】x的間斷點為的間斷點為則則xx的間斷點為的間斷點為因為因為(y(yn n wiwi) )所所以以, 2, 1 x是是 的第一類間斷點（跳躍型）的第一類間斷點（跳躍型）)(xf第25頁/共32頁第二十六頁，共33頁。27【補充【補充(bchng)(bchng)2 2】【解解】則則是是 的第一類（可去）間斷點的第一類（可去）間斷點. . )(xf第26頁/共32頁第二十七頁，共33頁。2

15、8右連續(xù)右連續(xù)(linx)左連續(xù)左連續(xù)(linx)(. 1xf0 x在點在點連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點第二類間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個左右極限至少有一個不存在不存在)(. 2xf0 x在點在點間斷的類型間斷的類型其它其它第27頁/共32頁第二十八頁，共33頁。29可去型可去型第一類間斷第一類間斷(jindun)(jindun)點點oyx跳躍跳躍(tioyu)(tioyu)型型無窮無窮(wqing)(wqing)型型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x第28頁/共32頁第二十九頁，共33頁。30【思考題思考題】第29頁/共32頁第三十頁，共33頁。31【思考題解答【思考題解答(jid)】)()()()(000 xfxfxfxf 且且第30頁/共32頁第三十一頁，共33頁。32但反之但反之(fnzh)(fnzh)不成不成立立. .例例但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù) 第31頁/共32頁