函數(shù)展開成冪級數(shù)49368學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)函數(shù)(hnsh)展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)49368第一頁，共33頁。上節(jié)例題(lt)問題(wnt):1.如果能展開, 是什么?na2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?和函數(shù)( )S x求 和展開？函數(shù))(xf第1頁/共32頁第二頁，共33頁。泰勒(ti l)公式泰勒(ti l)(Taylor)中值定理其中(qzhng)為n次多項式，如果函數(shù)0 x , a b在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 有其系數(shù)則對任一個第2頁/共32頁第三頁，共33頁。由泰勒(ti l)公式：設(shè)想(shxing)： nnfxpxRx有第3頁/共32頁第四頁，共33頁。定義(dngy)0

2、x 如果在點處任意階可導(dǎo),0 x稱為在點的泰勒(ti l)級數(shù).則冪級數(shù)00 x稱為在點的麥克勞林級數(shù)(j sh).第4頁/共32頁第五頁，共33頁。問題(wnt)即泰勒級數(shù)除 外是否收斂? 0 x是否(sh fu)收斂于f (x)?第5頁/共32頁第六頁，共33頁。定理(dngl)0()U x在內(nèi),0 x0()U x在的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，設(shè)0()U x在內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)則由泰勒(ti l)公式： nnfxpxRx第6頁/共32頁第七頁，共33頁。證明(zhngmng)必要性由泰勒(ti l)公式第7頁/共32頁第八頁，共33頁。充分性第8頁/共32頁第九頁，共33頁。展開式的惟一(wi

3、y)性：逐項求導(dǎo),得第9頁/共32頁第十頁，共33頁。泰勒(ti l)系數(shù)是唯一的,第10頁/共32頁第十一頁，共33頁。 第11頁/共32頁第十二頁，共33頁?？梢?kjin)在x=0點任意(rny)可導(dǎo),第12頁/共32頁第十三頁，共33頁。 因此，函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)存在，可以寫出冪（泰勒）級數(shù)，但該級數(shù)是否收斂，以及(yj)是否收斂于該函數(shù)本身，卻需要進一步考察.lim( )0nnRx 必須證明第13頁/共32頁第十四頁，共33頁。1.直接法(泰勒(ti l)級數(shù)法)步驟(bzhu):第14頁/共32頁第十五頁，共33頁。例1解第15頁/共32頁第十六頁，共33頁。第16頁/共32頁第十七頁，

4、共33頁。例2解第17頁/共32頁第十八頁，共33頁。42246420246第18頁/共32頁第十九頁，共33頁。357911113!5!7!9!sin xxxxxx 42246420246冪級數(shù)與多項式逼近(bjn)1( 1)21(21)!nnnx 第19頁/共32頁第二十頁，共33頁。 由直接展開(zhn ki)法可得幾個常用函數(shù)的麥克勞林展開(zhn ki)式：21112!xnexxxn第20頁/共32頁第二十一頁，共33頁。牛頓(ni dn)二項式展開式第21頁/共32頁第二十二頁，共33頁。2.間接(jin ji)展開法 根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒

5、等變形(bin xng), 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,求展開式.例如(lr),( x第22頁/共32頁第二十三頁，共33頁。第23頁/共32頁第二十四頁，共33頁。例3解第24頁/共32頁第二十五頁，共33頁。例4解第25頁/共32頁第二十六頁，共33頁。例5解第26頁/共32頁第二十七頁，共33頁。第27頁/共32頁第二十八頁，共33頁。1.如何(rh)求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒(ti l)級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開(zhn ki)成泰勒級數(shù)的方法.第28頁/共32頁第二十九頁，共33頁。思考題什么叫冪級數(shù)的間接(jin ji)展開法？第29頁/共32頁第三十頁，共33頁。思考題解答(jid) 從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運算或逐項求導(dǎo)、逐項積分(jfn)等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法.第30頁/共32頁第三十一頁，共33頁。習(xí)題(xt)11-4 p.2232.(3); (5); 4. 5. 6作 業(yè)第31頁/共32頁第三十二頁，共33頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。1.如果能展開, 是什么。即泰勒級數(shù)除 外是否收斂。因此，函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)存在，可以寫出冪（泰勒）級數(shù)，但該級數(shù)是否收斂，以及是否收斂于該函數(shù)本身，卻需要進一步考察.。1.直接法(泰勒級數(shù)法)。根據(jù)唯一性, 利用常見(chn jin