金融數(shù)學(xué)引論答案第一章北京大學(xué)出版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章習(xí)題答案1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3In = A(n) A(n 1)= (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3)= 2n + 12. 解: (2) 3.解: 由題意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72 a = 0.08, b = 1 A(5) = 100A(10) = A(0) a(10) = A(5) a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300.4. 解：(1)i5 =(A(5) A(4)/A(4)=

2、5120 4.17%i10 =(A(10) A(9)/A(9)=5145 3.45%(2)i5 =(A(5) A(4)/A(4)5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)= 1000 × 1.05 × 1.06 × 1.07= 1190.916.解: 設(shè)年單利率為i500(1 + 2.5i) = 615解得i = 9.2%設(shè)500 元需要累積t 年500(1 + t × 7.8%) = 630解得t = 3 年4 個(gè)月7.解: 設(shè)經(jīng)過(guò)t 年后，年利率達(dá)到2.5% t 36.3678. 解:(1 + i)11 = (1

3、+ i)5+2*3 = XY 39. 解: 設(shè)實(shí)利率為i600(1 + i)2 1 = 264解得i = 20% A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10.解: 設(shè)實(shí)利率為i解得(1 + i)-n =所以(1 + i)2n = 11.解:由500×(1 + i)30 = 4000 (1 + i)30 = 8于是PV = = 1000 × = 3281.2512解:(1 + i)a = 2 (1)(1 + i)b = (2)(1 + i)c = 5 (3)(1 + i)n = (4)(4) n ln (1 + i) = ln 5 ln 3(3) ln 5

4、= c × ln (1 + i)(1) × (2) ln 3 = (a + b) ln (1 + i)故n = c (a + b)13.解:A i = 336A d = 300i d = i d A = 280014.解: (1)d5 = 6.67% (2)a-1(t) = 1 0.1t a(t) = d5 = 16.67%15.解:由由16.解: (1) 終值為100 × (1 + i(4)/4 )4*2 = 112.65元(2) 終值為100 × (1 4d( 1/4 )1/4 -2 = 114.71元17.解: 利用1/d(m) 1/i(m) =

5、1/m m = 818. 解:aA(t) = 1 + 0.1t A(t) 由A(t) = B(t)得t = 519.解: 依題意，累積函數(shù)為a(t) = at2 + bt + 1a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025a(1) = a + b + 1 = 1.07a = 0.04b = 0.03于是0.5 =20.解: 依題意，A(t) =, 由 t > 121解：，設(shè)復(fù)利下月實(shí)貼現(xiàn)率為d，單利下實(shí)利率為d0。_全部采用復(fù)利：前兩年用復(fù)利： 22解： 設(shè)第3年初投入X,以第3年初為比較日，列價(jià)值方程解得X = 504.67 元23解： 對(duì)兩種付款方式，以第5年為

6、比較日，列價(jià)值方程：所以24解：解得： t = 36 年25解： 列價(jià)值方程為解得n = 6.2526解：，得基金B(yǎng)的積累函數(shù)為欲使則解得t = 1.427解： 1000(1 + i)15 = 3000則28解： 列價(jià)值方程為解得i = 11.96%29解： 則積累函數(shù)為由a(10) = 2 得解得k = 0.013930解：(1 + i)3 + (1 i)3 = 2.0096解得i = 0.0431.解： 一個(gè)貨幣單位在第一個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收入j，第二個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收入j + j2,故差為j2,即第一期利息產(chǎn)生的利息。32.解： 設(shè)半年實(shí)利率為，則有：解得:故：33.解： 價(jià)值方程：正常:

7、 轉(zhuǎn)讓: 解得：j = 6.98%, k = 7.4%從而:j < k34.解： 和等價(jià)的年利率,年利率變化：和等價(jià)的年貼現(xiàn)率, 年貼現(xiàn)率變化：35證明：證：36.解: 設(shè)貨款為S,半年實(shí)利率為,則有：解得：故37解： 1)單利方式：X1(1 + (1 t)i) = 12)復(fù)利方式：X2(1 + i)1-t = 13)單利方式：由Taylor展開易證：38解： 設(shè)基金A,B的本金為A,B解得： 從而5年底的累積值和=1405.6139解: 設(shè)第二年的實(shí)利率i2,由題意：i1 = d2 = 從而：解得：i2 = 0.1，進(jìn)而i1 = 40.解： 3）即波動(dòng)范圍：95238.095 

8、7; 453.5141解： 2) 令y = ln(1 + j)/m,則原式化為：由Taylor展開可見上式關(guān)于y增,由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得證。第二章習(xí)題答案1某家庭從子女出生時(shí)開始累積大學(xué)教育費(fèi)用5萬(wàn)元。如果它們前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。計(jì)算X 。解：2價(jià)值10,000元的新車。購(gòu)買者計(jì)劃分期付款方式：每月底還250元，期限4年。月結(jié)算名利率18%。計(jì)算首次付款金額。解： 設(shè)首次付款為X ，則有解得X = 1489.363設(shè)有n年期期末年金，其中年金金額為n，實(shí)利率i = 1。試計(jì)算該年金的現(xiàn)值。解：4解： 則5已知：。計(jì)算i。解：解得i = 6.0%

9、6.證明：證明：7已知：半年結(jié)算名利率6%，計(jì)算下面10年期末年金的現(xiàn)值：開始4年每半年200元，然后減為每次100元。解：8某人現(xiàn)年40歲，現(xiàn)在開始每年初在退休金帳號(hào)上存入1000元，共計(jì)25年。然后，從65歲開始每年初領(lǐng)取一定的退休金，共計(jì)15年。設(shè)前25年的年利率為8%，后15年的年利率7%。計(jì)算每年的退休金。解： 設(shè)每年退休金為X，選擇65歲年初為比較日解得X = 8101.659已知貼現(xiàn)率為10%，計(jì)算。解： d = 10%，則10.求證：并給出兩等式的實(shí)際解釋。證明： (1)所以 (2)所以12.從1980年6月7日開始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季結(jié)算名利率6

10、%，計(jì)算：1）該年金在1979年9月7日的現(xiàn)值；2）該年金在1992年6月7日的終值。解：PV = 100a49】1.5% 100a 21.5% = 3256.88AV = 100s491.5% 100s21.5% = 6959.3713.現(xiàn)有價(jià)值相等的兩種期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B(yǎng)在第110年和第2130年中每年付款金額為Y ，在第1120年中沒有。已知：，計(jì)算Y 。解： 因兩種年金價(jià)值相等，則有所以14.已知年金滿足：2元的2n期期末年金與3元的n期期末年金的現(xiàn)值之和為36；另外，遞延n年的2元n 期期末年金的現(xiàn)值為6。計(jì)算

11、i。解： 由題意知，解得i = 8.33%15.已知。求X，Y和Z。解： 由題意得解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化簡(jiǎn)解：17.計(jì)算下面年金在年初的現(xiàn)值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年結(jié)算名利率9%。解： 年金在4月1日的價(jià)值為P = (1+4.5%)/4.5%× 2000 = 46444.44 ，則18.某遞延永久年金的買價(jià)為P，實(shí)利率i，寫出遞延時(shí)間的表達(dá)式。解： 設(shè)遞延時(shí)間為t，有解得19.從現(xiàn)在開始每年初存入1000元，一直進(jìn)行20年。從第三十年底開始每年領(lǐng)取一定的金額X，直至永遠(yuǎn)。計(jì)算X。解： 設(shè)年實(shí)利率為i，由兩年金的現(xiàn)值相等，有解得

12、20.某人將遺產(chǎn)以永久年金的方式留給后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人繼承。如果四人的遺產(chǎn)份額的現(xiàn)值相同。計(jì)算。解： 設(shè)遺產(chǎn)為，則永久年金每年的年金為i，那么A,B,C得到的遺產(chǎn)的現(xiàn)值為，而D得到遺產(chǎn)的現(xiàn)值為vn。由題意得所以21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分?jǐn)?，A接受第一個(gè)n年，B接受第二個(gè)n年，C接受第三個(gè)n 年，D接受所有剩余的。已知：C與A的份額之比為0.49，求B與D的份額之比。解： 由題意知那么22.1000元年利率4.5%的貸款從第五年底開始每年還貸100元，直至還清，如果最后一次的還款大于100元。計(jì)算最后一次還款的數(shù)量和

13、時(shí)間。解：解得n = 17列價(jià)值方程解得X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；兩者現(xiàn)值相等。如果以同樣的年利率計(jì)算貨幣的價(jià)值在n年內(nèi)將增加一倍，計(jì)算n。解： 兩年金現(xiàn)值相等，則，可知由題意， 解得n = 924.某借款人可以選擇以下兩種還貸方式：每月底還100元，5年還清；k個(gè)月后一次還6000元。已知月結(jié)算名利率為12%，計(jì)算k。解： 由題意可得方程100a60p1% = 6000(1 + i)k解得k = 2925.已知，求i。解： 由題意得解得i = 9.38%26.某人得到一萬(wàn)元人壽保險(xiǎn)賠付。如果購(gòu)買10年期末年金可以每年得到1538元，20

14、年的期末年金為每年1072元。計(jì)算年利率。解：27.某人在銀行中存入一萬(wàn)元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半內(nèi)提前支取，銀行將扣留提款的5% 作為懲罰。已知：在第4、5、6和7年底分別取出K元，且第十年底的余額為一萬(wàn)元，計(jì)算K 。解： 由題意可得價(jià)值方程28.貸款P從第六個(gè)月開始分十年逐年還清。第一次的還款額為后面還款的一半，前四年半的年利率為i，后面的利率為j。計(jì)算首次付款金額X的表達(dá)式。解： 選取第一次還款日為比較日，有價(jià)值方程29.已知半年名利率為7%，計(jì)算下面年金在首次付款8年后的終值：每?jī)赡旮犊?000元，共計(jì)8次。解：30.計(jì)算下面十年年金的現(xiàn)值：前5年每季度初支付400元，

15、然后增為600元。已知年利率為12%。（缺命令）解：31.已知半年結(jié)算的名貼現(xiàn)率為9%，計(jì)算每半年付款600元的十年期初年金的現(xiàn)值表達(dá)式。解：32.給出下面年金的現(xiàn)值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一個(gè)貨幣單位。解：33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年換算名利率4%，求R的表達(dá)式。解： 設(shè)年實(shí)利率為i，則(1 + 2%)2 = 1 + i。有題意得解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的現(xiàn)值為125/91，計(jì)算年利率。解： 由題意知解得i = 20%35.已知：1元永久期初年金的現(xiàn)值為20，它等

16、價(jià)于每?jī)赡旮犊頡元的永久期初年金，計(jì)算R。解： 由題意得解得R = 1.9536.已知每半年付款500元的遞延期初年金價(jià)格為10000元。試用貼現(xiàn)率表示遞延時(shí)間。解： 設(shè)貼現(xiàn)率為d，則設(shè)遞延時(shí)間為t，由題意得解得37. 計(jì)算：計(jì)算i 。解：解得：39.已知：。求的表達(dá)式。解：40.已知一年內(nèi)的連續(xù)年金函數(shù)為常數(shù)1，計(jì)算時(shí)刻t，使得只要在該時(shí)刻一次性支付一個(gè)貨幣單位，則兩種年金的現(xiàn)值相等。解： 第一種年金的現(xiàn)值為第二種年金的現(xiàn)值為，則所以41.已知： = 0.08。計(jì)算從現(xiàn)在開始每個(gè)季度初存入100元的20年期初年金的現(xiàn)值。（結(jié)果和李凌飛的不同）解： 設(shè)季度實(shí)利率為i。因，則所以42.現(xiàn)有金額為

17、40,000元的基金以4%的速度連續(xù)累積。同時(shí)每年以2400元的固定速連續(xù)地從基金中取錢，該基金可以維持多少時(shí)間？解： 設(shè)年實(shí)利率為i，則設(shè)基金可維持t年，由兩現(xiàn)值相等得解得t = 2843.已知某永久期末年金的金額為：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的現(xiàn)值相等，計(jì)算該永久年金的現(xiàn)值。解： 由題意： 解得:PV = 6644.給出現(xiàn)值表達(dá)式所代表的年金序列。用這種表達(dá)式給出如下25年遞減年金的現(xiàn)值：首次100元，然后每次減少3元。解： 年金序列：A + nB,A + (n 1)B, . . . ,A + 2B,A + B所求為45. 某期末年金（半年一次）為：800, 750

18、, 700, . . . , 350。已知半年結(jié)算名利率為16。若記： ，試用A表示這個(gè)年金的現(xiàn)值。解： 考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減，故有：47. 已知永久年金的方式為：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此類推。證明其現(xiàn)值為:解： 把年金分解成：從第5年開始的100元永久年金，從第7年開始的100元永久年金. . .。從而48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。證明其現(xiàn)值為：元證： 首先把一年四次的付款折到年初：從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：元再貼現(xiàn)到開始時(shí)：元49. 從

19、現(xiàn)在開始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，計(jì)算現(xiàn)值。解： 半年的實(shí)利率：50. 某人為其子女提供如下的大學(xué)費(fèi)用：每年的前9個(gè)月每月初500元，共計(jì)4年。證明當(dāng)前的準(zhǔn)備金為：證： 首先把9個(gè)月的支付貼現(xiàn)到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：貼現(xiàn)到當(dāng)前：51. 現(xiàn)有如下的永久年金：第一個(gè)k 年每年底還；第二個(gè)k 年每年底還2R ；第三個(gè)k 年每年底還3R；依此類推。給出現(xiàn)值表達(dá)式。解： 把此年金看成從第nk年開始的每年為R的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ):每個(gè)年金的值為在分散在每個(gè)k年的區(qū)段里：再按標(biāo)準(zhǔn)永久年金求現(xiàn)值：v52.X表示首次付款從第二年底開始的標(biāo)準(zhǔn)永久年金的現(xiàn)值，20X表示首次付款從第三年底開始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的現(xiàn)值。計(jì)算貼現(xiàn)率。解： 由題意： 解得：i = 0.05即：53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，計(jì)算現(xiàn)值。與原答案有出入解： (期初年金) (期末年金)54. 永久連續(xù)年金的年金函數(shù)為:(1 + k)t，年利率i，如果：0 < k < i ，計(jì)算該年金現(xiàn)值。與原答案有出入解： 由于0 <