隱函數(shù)定理及其應ppt課件

1、第十八章 隱函數(shù)定理及其運用第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式 8-58-5隱函數(shù)的隱函數(shù)的 微分法微分法 與一元函數(shù)的情形類似，多元函也有隱函數(shù)。假設(shè)在方程式0),(zyxF中，2),(Ryx時， 相應地總有滿足該方程的獨一的 z 值存在 , 那么稱該方程在 內(nèi)確定隱函數(shù)。),(yxfz 每一個方程都能每一個方程都能 確定一個隱函數(shù)嗎？確定一個隱函數(shù)嗎？0122 yx 此外，隱函數(shù)不一定都能顯化。此外，隱函數(shù)不一定都能顯化。假設(shè)在方程式0),(uXF中，nRX時， 相應地總有滿足該在 內(nèi)確定隱函數(shù)。)(Xfu 方程的獨一的 u 值存在 , 那么稱該方程 ),( 1nxxX 將概念推行到普通情形將概念推行

2、到普通情形 一元函數(shù)的隱函數(shù)的求導法 一、設(shè)0),(yxF確定隱函數(shù)。)(xfy 假設(shè),),(1CyxF那么對方程兩邊關(guān)于 x 求導，得0),(yxF0ddxyyFxF從而得到一元隱函數(shù)求導公式 )0( dd yFyFxFxy這是利用多元函數(shù)的偏導數(shù)求這是利用多元函數(shù)的偏導數(shù)求一元函數(shù)的隱函數(shù)導數(shù)的公式一元函數(shù)的隱函數(shù)導數(shù)的公式設(shè),022yxxy求。xydd解令,22),(yxxyyxF那么xF2ln2xy yF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx例例二、由一個方程確二、由一個方程確定定 的隱函數(shù)的求導的隱函數(shù)的求導法法 定理定理 2(隱函數(shù)存在定理)設(shè)1.

3、 2. 3. ;),(U(),(0001zyxCzyxF;0),(000zyxF,0),(000zyxFz那么方程0),(zyxF在),U(00yx內(nèi)獨一確定一個函數(shù)),(U(),(001yxCyxfz且, ),(000yxfz 。0),(,(yxfyxF 由隱函數(shù)存在定理的條件及一元隱函數(shù)求導方法, 利用多元函數(shù)求導方法，對方程 F(x, y, u) = 0 兩邊關(guān)于x , y 求偏導，得 0 xzzFxF由于,),(U(),(0001zyxCzyxF又0yzzFyF,0),(000zyxFz由延續(xù)函數(shù)性質(zhì),),U(00yx在其中,0),(zyxFzzFxFxzzFyFyz 本人算一下，本人

4、算一下，z 對對 x , y 的的偏導數(shù)是多少。偏導數(shù)是多少。求方程xyez20ze所確定的函數(shù)),(yxzz 的偏導數(shù)。解令),(zyxFxye,ze那么xF,xyyez2yF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(zezFyFyzzxyexe22zxyexe)02(ze例例設(shè)0),(xyzzyxF確定),(yxzz 求,xz,yz其中，。1CF 解xF,21FyzFyF,21FxzFzF,21FxyFxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF例例定理定理(隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理)設(shè)1. 2. 3. ；),(U(),(001uXCuXF；0

5、)(0XF,0),(00uXFu那么方程0),(uXF在)U(0X內(nèi)唯一確定一個函數(shù))U()(01XCXfu且, )(00Xfu 。0)(,(XfXF 請同窗們本人將上面的隱函數(shù)存在請同窗們本人將上面的隱函數(shù)存在定理推行至普通的定理推行至普通的 n 元函數(shù)情形元函數(shù)情形 ), 2, 1( niuFxFxuii三、由方程組確定的三、由方程組確定的 隱函數(shù)的求導法隱函數(shù)的求導法 雅可比行列式雅可比行列式 , )(),(121CxxxFunii), 2, 1( ni),(),(2121nnxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnn

6、xF2xFn 當所出現(xiàn)的函數(shù)均有一階延續(xù)偏導數(shù)時，雅可比行列式有以下兩個常用的性質(zhì)：1. 1),(),(),(),(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2.),(),(),(),( ),(),(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu設(shè)方程組0),(0),(zyxGzyxF確定函數(shù), )(xzz 求,ddxy。xzdd,1CGF想一想，怎樣做想一想，怎樣做 ？, )(xyy 問題問題1 1方程組中每個方程兩邊關(guān)于x 求導：xFxyyFdd0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG運用克萊滿法那么解此二元一次方程運用克萊滿法那么解此二元一次方程組組移

7、項，得xyyFddxzzFddxFxyyGddxzzGddxG當0),(),(zyGF時， 方程組有獨一解：xydd ),(),(zxGF),(),(zyGFxzdd ),(),(xyGF),(),(zyGF這樣我們實踐上已找到了求方程組確這樣我們實踐上已找到了求方程組確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)的公式定的隱函數(shù)的偏導數(shù)的公式(之一之一)。zGxGzFxFzxGF),(),(xGyGxFyFxyGF),(),(zGyGzFyFzyGF),(),(問題問題2 2設(shè)方程組0),(0),(vuyxGvuyxF確定函數(shù), ),(yxuu , ),(yxvv ,1CGF求,xu,yu,xv。yv 利用問題 1

8、的結(jié)論，他能夠曾經(jīng)知道應該怎樣做了。 依葫蘆畫瓢哦 ！將將 x 或或 y 看成常數(shù)看成常數(shù)本人動手做！本人動手做！0),(),(vuGF當時，xu),(),(vxGF ),(),(vuGFxv ),(),(xuGF),(),(vuGF 將將 y 看成常數(shù)看成常數(shù) 公式公式0),(),(vuGF當時,yu),(),(vyGF ),(),(vuGFyv ),(),(yuGF),(),(vuGF 將將 x 看成常數(shù)看成常數(shù) 公式公式設(shè)0022yvuxvu確定函數(shù)),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG那么),(),(vuGFv

9、u211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2例例同理可得),(),(xuGF0112u1 xv14uv1),(),(vyGFv21101 yu14uv1),(),(yuGF1102uu2 yv14uvu2 問題 1 和問題 2 的方法可以推行到更普通的情形。定理定理 (隱函數(shù)存在定隱函數(shù)存在定理理)設(shè),),(U(),(001YXCYXFi；mi, 2, 1,0),(00YXFi1.2.；mi, 2, 13.0),(),(),(002121YXyyyFFFmm其中，, ),(21nxxxX, ),(21myyyY方程組0),(,0),(1YXFYXFm那么在)U(0X

10、內(nèi)獨一確定一組函數(shù))(U()(01XCXyIi且,0)(,),(,(1XXXFmi, ), 2, 1(mi。)(,),(0010XXYm一一 問題的提出問題的提出定義定義.)(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題2:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?問題問題1:隱函數(shù)能否可導隱函數(shù)能否可導?二二 隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法.01dxdyyexyey的的導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程例例 yexydxdy ,求導求導

11、方程兩邊對方程兩邊對x解解0 ydxdyxdxdyey直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導例例2 2.)0 , 0(, 02357處處的的值值在在點點求求設(shè)設(shè)yyyxx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對x05212146 yyyx得得代入代入0, 0 yx;2100 yxy求求導導得得兩兩邊邊再再對對將將上上方方程程x05)(2021264235 yyyyyx得得2100 yxy, 0, 0 yx代代入入. 000 yxy三三 對數(shù)求導法對數(shù)求導法1 對數(shù)求導法對數(shù)求導法2 2 適用范圍適用范圍: :.)()(的求導的求導數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu先在先在 兩邊取

12、對數(shù)兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導方法求出求導方法求出y的導數(shù)的導數(shù).)(xfy 冪指函數(shù)求導：冪指函數(shù)求導：)0)()()( xuxuyxvydxdyydxd 1ln然后兩端取導數(shù)然后兩端取導數(shù)ydxdyyln 得得)()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 所所以以uvylnln 先先兩兩端端取取對對數(shù)數(shù)例例3 3解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx

13、函數(shù)函數(shù)的導數(shù)也可轉(zhuǎn)化為指數(shù)的導數(shù)也可轉(zhuǎn)化為指數(shù)xxysin 的導數(shù)的導數(shù)求導方法，求出求導方法，求出然后利用復合函數(shù)然后利用復合函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)yeyxx ,lnsin )1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx )sinln(cossinxxxxxx 例例4 4解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x4131)2(11121 xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy 求求設(shè)設(shè)4131)2(111)4)(3()2)(1(21 x

14、xxxxxxxy四四 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx xy2 消參數(shù)法消參數(shù)法 消參困難或無法消參的求導可用復合函數(shù)消參困難或無法消參的求導可用復合函數(shù) 求導方法求導方法1 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導數(shù)的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都

15、都可可導導再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法那么得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法那么得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故,)()( 二階可導二階可導同樣得到函數(shù)同樣得到函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故例例5 5解解:先求運動的方向先求運動的方向。的的運運動動方方向向和和速速度度大大小小拋拋射射體體在在時時刻刻求求設(shè)設(shè)拋拋射射體體的的運運動動方方程程為為tgttvytv

16、x ,21,221xyovxvyv0v.,可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映軌道的切線方向軌道的切線方向時刻的運動方向，即時刻的運動方向，即在在t)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度為為1vdtdxvx gtvdtdyvy 2時刻拋射體的速度為時刻拋射體的速度為故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，則則設(shè)設(shè)切切線線的的傾傾角角為為 再求速度的大小再求速度的大小鉛鉛直直分分速速度度為為例例6 6解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程處的切線處的切線在在求橢圓求橢圓4sincos ttbyta

17、x.22,22,4byaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)22(22axabby abbxay2 即即例例7 7 解解.arctan)1ln(2表表示示的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導導數(shù)數(shù)求求由由方方程程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 五五 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題., ,)()( 變變化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量都都是是可可導導

18、函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)定定義義：相相關(guān)關(guān)變變化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率處理的問題相關(guān)變化率處理的問題: :知其中一個變化率時求出另一個變化率知其中一個變化率時求出另一個變化率例例7 7解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 tdtdhdtd 5001sec2 ,

19、/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時時當當h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 米米500米米500例例8 8解解大速率。大速率。厘米時，氣體體積的增厘米時，氣體體積的增求在半徑為求在半徑為秒的速度增大，秒的速度增大，厘米厘米已知一氣球半徑以已知一氣球半徑以 10 /103334rVVr ，則則，體體積積為為設(shè)設(shè)氣氣球球的的半半徑徑為為dtdrrdtdv24 于于是是有有240,10rdtdVscmdtdr 則則已已知知scmdtdVcmr324000104010 時時，當當六六 小結(jié)與思索判別題小結(jié)與思索判別題隱函數(shù)求導方法隱函數(shù)求導方法: : 直接對方程兩邊求導直接對方程

20、兩邊求導; ;對數(shù)求導法對數(shù)求導法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù), ,按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導法那么求導導法那么求導; ;參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導: 本質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法那本質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法那么么;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 經(jīng)過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的經(jīng)過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率變化率; ; 由其中一個變化率時求出另一個變化率由其中一個變化率時求出另一個變化率思索題思索題1,2,2222 tdxydtttdxdytytx設(shè)設(shè)下下面面的的計計算算是是否否正正確確0),(. 1 yxF一、一個方程的情形隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式.yxFFdxdy 隱函數(shù)

21、存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點在點),(00yxP的某一鄰域內(nèi)具有的某一鄰域內(nèi)具有 連續(xù)的偏導數(shù)，且連續(xù)的偏導數(shù)，且0),(00 yxF，. 0),(00 yxFy 則方程則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi) 恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的 函數(shù)函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并有，并有 0),( yxF例例驗驗證證方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能 唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的隱隱

22、函函 數(shù)數(shù))(xfy ，并并求求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導導數(shù)數(shù)在在 0 x的的值值. . 解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依定理知方程依定理知方程0122 yx在點在點)1 , 0(的某鄰的某鄰 域內(nèi)能唯一確定一個單值可導、且域內(nèi)能唯一確定一個單值可導、且0 x時時 1 y的函數(shù)的函數(shù))(xfy . 1 , 000 yx均延續(xù)。均延續(xù)。yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd函數(shù)的一階和二階導數(shù)為函數(shù)的一階和二階導數(shù)為例

23、例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，用公式求，用公式求dxdy. . 解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,22yxyx ,22yxxy yxFFdxdy .xyyx xxxyyxF arctanln22 yyxyyxF arctanln22 0),(. 2 zyxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點在點),(000zyxP的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且0),(000 zyxF， 0),(000 zyxFz，則方程，則方程0),( zyxF在點在點 ),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一

24、確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個個 單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)),(yxfz 它滿足條件它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),( zyxFzyFFyz zyFFyz 例例 3 3 設(shè)設(shè)04222 zzyx，求求22xz . . 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFzzxFFxz 22xz2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,2zx xzx 2 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy . . 解

25、解1：). ,(),( xyzzyxfzzyxF 令令xvxuxyzfzyxf)()( , zyxu ,xyzv ).( vufzxf ).,(vufzF xxvufzF),( ),( vufzyf yvyuxyzfzyxf)()( yyvufzF),( .1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),( 于是，于是，zxFFxz .1vuvufxyffyzf xyFFyx .vuvufyzffxzf .1vuvufxzffxyf yzFFzy ).( vufzxf yyvufzF),( .1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),( x

26、xvufzF),( ),( vufzyf 思緒思緒2：把把z看成看成yx,的函數(shù)，對的函數(shù)，對x求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得xz ， 把把x看成看成yz,的函數(shù)，對的函數(shù)，對y求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得yx ， 把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)，對對z求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得zy . . 解解2：令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)，對的函數(shù)，對x求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得 xvvfxuufxz )1(xzfu ),(xzxyyzfv vuvufyzfxzfxyf )1(整理得整理得xz ,1vuvufxyffyzf 把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)，對對y求求偏偏導導數(shù)數(shù)

27、得得 )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvufyzffxzf yx 把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)，對對z求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得 )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvufxzffxyf 第十八章 隱函數(shù)定理及其運用 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程組的情形？何何時時唯唯一一確確定定函函數(shù)數(shù) ),( ),( yxvvyxuu ? xu? yu? xv? yv隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 3 3 設(shè)設(shè)),(vuyxF、),(vuyxG在點在點),(0000vuyxP的某的某 一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且一鄰域內(nèi)有對各個

28、變量的連續(xù)偏導數(shù)，且,(00yxF 0),00 vu，0),(0000 vuyxG，且偏導數(shù)所組成的，且偏導數(shù)所組成的 函數(shù)行列式（或稱雅可比式）函數(shù)行列式（或稱雅可比式） ),(),(vGuGvFuFvuGFJ 在在點點),(0000vuyxP不不等等于于零零，則則方方程程組組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在在點點),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒能能唯唯一一確確定定一一 組組單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)),(yxuu ， ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿

29、足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx 并有并有 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 下面推導公式：下面推導公式： 0),(0),(vuyxGvuyxF).,( ),( yxvvyxuu 確定了確定了即，即， 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式兩邊對等式兩邊對 x 求導，求導， 00 xvGxuGGxvFxuFFuuxvux xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF現(xiàn)現(xiàn) xuuxvuGx

30、vGxuGFxvFxuF這是關(guān)于這是關(guān)于xvxu ,的的二元線性方程組。二元線性方程組。vuvuGGFFD , 0 J方程組有獨一解。方程組有獨一解。vxvxGGFFD 1vxvxGGFF ),(),(vxGF xuxuGGFFD 2xuxuGGFF ),(),(xuGF DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 類似，對類似，對 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式兩邊對等式兩邊對 y 求導，求導，得關(guān)于得關(guān)于yvyu ,的線性方程組。的線性方程組。解方程組得解方程組得 yu.),(),(1vyGFJ yv.),(),

31、(1yuGFJ DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 特別地，方程組特別地，方程組 0),(0),(zyxGzyxF且且可可以以確確定定函函數(shù)數(shù) ),( ),( xzzxyy ,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz 例例5 設(shè)設(shè) . 432,50222zyxzyx. , dxdzdxdy求求解解 1： 令令, 050),(222 zyxzyxF. 0432),( zyxzyxG那那么么zyzyGGFFzyGF ),(),(,2

32、xFx ,2yFy ,2zFz , 1 xG, 2 yG. 3 zG3222zy .46zy zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx xxxxGGFFxyGF ),(),(zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx .42xy 1222xy ),(),( ),(),( zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),( ),(),( zyGFxyGFdxdz ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 時，時，當當 046 ),(),( zyzyGF . 432,50222zyxzyx解解 2：方程兩端對方程兩端對 x 求導。求導。

33、. 0321, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx留意：留意：),(xyy ).(xzz 即即得得 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 即即 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 311 zxD,3xz 122 xyD.2yx DDdxdy1 DDdxdz2 ,233zyxz ,232zyyx 時時，當當 0 D例例 6 6 設(shè)設(shè) 1, 0 xvyuyvxu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . . 解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2運用公式推導的方法。運用公式推導的方法。將所給方程的兩邊

34、對將所給方程的兩邊對 x x 求導并移項求導并移項: :, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJD ,22yx 當當 0 JD 時時， DDxu1 ,22yxyvxu DDxv2 ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 y y 求導，用同樣方法求導，用同樣方法得得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv xvyuD 1 ,yvux vyuxD 2.xvyu xyyxJD ,22yx 隱函數(shù)的求導法那么隱函數(shù)的求導法那么0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié)分以下幾種情況分以下幾種情況常用解法：常用解法：公式法

35、公式法方程兩邊求導法方程兩邊求導法作業(yè)：作業(yè)：151頁頁 1 ,2,3(1 6)，4，5.第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的運用微分法在幾何上的運用第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的運用微分法在幾何上的運用一一 問題的提出問題的提出二二 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面(Applications of differential calculus in geometry)一一 問題的提出問題的提出 偏導數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點0M處的切線xTM0對x軸的斜率. 偏導數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點0M處的切線yTM0對y軸的斜率.

36、 我們可以利用偏導數(shù)來確定空間曲線的我們可以利用偏導數(shù)來確定空間曲線的切向量和空間曲面的法向量切向量和空間曲面的法向量推導過程推導過程二二 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面1 空間曲線 切向量：切向量： 000, , tttT 切線方程：切線方程： 000000tzztyytxx 法平面方程：法平面方程： 0000000 zztyytxxt tztytx 0 z , y , 0000ttxM (Tangent and normal plane of space curve)解：解：2tt3z , 2y , 1 ttxt 在在 1 ，1 ，1 點對應參數(shù)為點對應參數(shù)為 t = 1 3

37、 , 2 , 1 T切線方程：切線方程：312111 zyx法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 6例例1 求曲線求曲線 在點在點 處的處的切線及法平面方程。切線及法平面方程。 3,2,tztytx )1 , 1 , 1(2 切線方程：切線方程： 000001tzztyyxx xzxy: z , y , 0000 xM法平面方程：法平面方程： 000000 zztyytxx 0) z , y ,G(x 0 ) z , y ,x F( : 3 z , y , 0000 xMyyxxxxzzzzyyGFGF

38、zzGFGFyyGFGFxx 000 切線方程：切線方程： 0 000 zzGFGFyyGFGFxxGFGFyyxxxxzzzzyy法平面方程：法平面方程：例例2、求曲線、求曲線 在點在點 1 ，-2 ，1處的切線及法平面方程。處的切線及法平面方程。0, 6222 zyxzyx30163032 222222 12 12, 12 12, 12 12 121121,yxxzzyTyxxzzyT即：解：法平面方程：法平面方程： x - z = 0 切線方程：切線方程：110211 zyx1 設(shè)曲面方程為0),(zyxF),(),(),(000tttT曲線在M處的切向量在曲面上任取一條經(jīng)過點M的曲線,

39、)()()(:tztytx三三 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線nTM (Tangent plane and normal line of surface),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令那那么么,Tn 由于曲線是曲面上通過M的任意一條曲線， 它們在M的切線都與同一向量n垂直， 故曲面上通過M的一切曲線在點M的切線都在同一平面上，這個平面稱為曲面在點M的切平面. 切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通過過點點),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的