控制系統(tǒng)的計算機輔助設計1_08

1、1 本章內容本章內容(1)利用MATLAB實現(xiàn)串聯(lián)頻率校正串聯(lián)頻率校正的三種方法；(2)利用MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)反饋系統(tǒng)狀態(tài)反饋的兩種方法；(3)利用MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的兩種方法；(4)利用MATLAB實現(xiàn)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)；(5)利用MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)的解耦；(6)利用MATLAB實現(xiàn)狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制器 的設計；(7) 利用MATLAB實現(xiàn)輸出反饋的線性二次型的最優(yōu)控制。 第第8章章 控制系統(tǒng)的計算機輔助設計控制系統(tǒng)的計算機輔助設計2并聯(lián)校正并聯(lián)校正 E(s) C(s) R(s) + - G(s) 固有特性 E(s

2、) C(s) R(s) Gc(s) + - G0(s) + - 固有系統(tǒng) 校正裝置 )()(1)()(00sGsGsGsGc局部閉環(huán)傳函局部閉環(huán)傳函 優(yōu)點：高靈敏度優(yōu)點：高靈敏度 高穩(wěn)定度高穩(wěn)定度3)(L20-60-40-2060400.0010.110.01-80-40-20-40820) 105. 005. 0)(1125. 0)(110() 1100(10)(22223sssssssGK420lgK0dB0-180L()()cLgcg5 控制系統(tǒng)的設計，就是在系統(tǒng)中引入控制系統(tǒng)的設計，就是在系統(tǒng)中引入適當?shù)沫h(huán)節(jié)，用以對原有系統(tǒng)的某些性能適當?shù)沫h(huán)節(jié)，用以對原有系統(tǒng)的某些性能進行校正，使之達

3、到理想的效果，故進行校正，使之達到理想的效果，故又稱又稱為系統(tǒng)的校正為系統(tǒng)的校正，下面介紹幾種常用的系統(tǒng)，下面介紹幾種常用的系統(tǒng)校正方法的計算機輔助設計實現(xiàn)。校正方法的計算機輔助設計實現(xiàn)。68.1 頻率法的串聯(lián)校正方法頻率法的串聯(lián)校正方法 應用頻率法對系統(tǒng)進行校正，其目的是改應用頻率法對系統(tǒng)進行校正，其目的是改變系統(tǒng)的頻率特性形狀，使校正后的系統(tǒng)頻變系統(tǒng)的頻率特性形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標。指標?？刂葡到y(tǒng)中控制系統(tǒng)中常用的串聯(lián)校正裝置常用的串聯(lián)

4、校正裝置是帶有是帶有單單零點與單極點零點與單極點的濾波器，若其的濾波器，若其零點比極點更零點比極點更靠近原點，靠近原點，則稱之為則稱之為超前校正超前校正，否則稱之為，否則稱之為滯后校正。滯后校正。78.1.1 基于頻率響應法的串聯(lián)超前校正基于頻率響應法的串聯(lián)超前校正1.超前校正裝置的特性超前校正裝置的特性設設超前超前校正裝置的傳遞函數(shù)為校正裝置的傳遞函數(shù)為其頻率特性為其頻率特性為) 1(11cTsTssG）（) 1(j1j1jcTTG）（jT1T1圖8-1 超前校正裝置的零極點圖o8(1) 極坐標圖極坐標圖 超前校正裝置的極坐標圖如超前校正裝置的極坐標圖如圖圖8-2所示。所示。 當當0變化時，

5、變化時，Gc(j)的相位角的相位角 0，Gc(j)的軌跡的軌跡為一半圓，由圖可得超前校正為一半圓，由圖可得超前校正的最大超前相位角的最大超前相位角m為為 (8-3) 令令 可得對應于最大相位角可得對應于最大相位角m時時的頻率的頻率m為為11sin1m0d)(dT1mj01)0(圖8-2 超前校正裝置的極坐標圖m9(2) 對數(shù)坐標圖對數(shù)坐標圖 超前校正裝置的對數(shù)坐標圖如超前校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖圖8-3所示。所示。 當當 由此可見，由此可見，超前校正裝置超前校正裝置是一是一個個高通濾波器高通濾波器(高頻通過，低高頻通過，低頻被衰減頻被衰減),它主要能使系統(tǒng)的它主要能使系統(tǒng)的瞬態(tài)響應得到顯著改善

6、瞬態(tài)響應得到顯著改善，而穩(wěn)，而穩(wěn)態(tài)精度的提高則較小。態(tài)精度的提高則較小。越大，越大，微分作用越強微分作用越強，從而超調量和，從而超調量和過渡過程時間等也越小。過渡過程時間等也越小。0|j|lg20, 0c）（Glg20|j|lg20,c）（Glg10|j|lg20,cm）（GT1T10lg10lg20L( )dB0mm圖8-3 超前校正裝置的對數(shù)坐標圖m102.串聯(lián)超前校正方法串聯(lián)超前校正方法 超前校正超前校正裝置的主要作用是通過其裝置的主要作用是通過其相位相位超前超前效應來改變頻率響應曲線的形狀，效應來改變頻率響應曲線的形狀，產產生足夠大的相位超前角生足夠大的相位超前角,以補償原來系統(tǒng)中以補

7、償原來系統(tǒng)中元件造成的過大的相位滯后。因此校正時元件造成的過大的相位滯后。因此校正時應使校正裝置的應使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在最大超前相位角出現(xiàn)在校校正后正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的交接幅頻特性的交接頻率頻率)c處處。11利用頻率法設計超前校正裝置的步驟利用頻率法設計超前校正裝置的步驟:(1)根據(jù)性能指標對根據(jù)性能指標對穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求系數(shù)的要求,確定確定開環(huán)增益開環(huán)增益k；(2)利用確定的開環(huán)增益利用確定的開環(huán)增益k，畫出，畫出未校正未校正系統(tǒng)的系統(tǒng)的Bode圖，圖，并求出其并求出其相位裕量相位裕量r0和幅值裕量和幅值裕量kg；(3)確定為使相位裕量達

8、到要求值，所需增加的超前相位確定為使相位裕量達到要求值，所需增加的超前相位角角，即，即r -r0+.式中式中 r為要求的相位裕量，為要求的相位裕量，是考是考慮到系統(tǒng)增加串聯(lián)超前校正裝置后系統(tǒng)的剪切頻率要向慮到系統(tǒng)增加串聯(lián)超前校正裝置后系統(tǒng)的剪切頻率要向右移而右移而附加的相位角附加的相位角，一般取，一般取=5 15 ；(4)令超前校正裝置的最大超前相位角令超前校正裝置的最大超前相位角=，則由下式，則由下式可可求出求出校正裝置的參數(shù)校正裝置的參數(shù)；ccsin1sin112(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率作為作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率校正后系統(tǒng)的剪切頻率，

9、則有，則有即即或或由此可見，由此可見，未校正系統(tǒng)未校正系統(tǒng)的的對數(shù)幅頻對數(shù)幅頻特性幅值等于特性幅值等于-20lg（-10lg ）時的頻率即為時的頻率即為c；0| )(j)(j|lg20coccGGlg20| )(j|lg200| )(j|lg20lg20ococGG1| )(j|coG13(6) 根據(jù)根據(jù)=c，利用下式，利用下式求參數(shù)求參數(shù)T(7) 畫出校正后系統(tǒng)的畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，圖，檢驗檢驗性能指性能指標是否已全部達到要求，若不滿足要求，標是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增大可增大值，從第三步起重新計算。值，從第三步起重新計算。c1T14例例8-1 設有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)

10、傳遞函數(shù)為設有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=20(1/s),相位裕量相位裕量 r50度度,幅值裕量幅值裕量kg10dB,試確定串聯(lián)校正裝置試確定串聯(lián)校正裝置解解 根據(jù)根據(jù)可求出可求出k =40，即，即 根據(jù)串聯(lián)超前校正的設計步驟，可編寫以下根據(jù)串聯(lián)超前校正的設計步驟，可編寫以下m文件。文件。ex8_1.m202)2(lim)(lim000kssksssGkssv)2(40)(0sssG)2()(0ssksG15執(zhí)行后可得如下結果及圖執(zhí)行后可得如下結果及圖8-4所示曲線所示曲線num/den = 0.22541 s + 1 - 0.05

11、3537 s + 1num/den = 9.0165 s + 40 - 0.053537 s3 + 1.1071 s2 + 2 s 校正前：幅值裕量校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量相位裕量=17.9642 校正后：幅值裕量校正后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量相位裕量=50.7196 16 圖圖8-4 超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖178.1.2 基于頻率響應法的串聯(lián)滯后校正基于頻率響應法的串聯(lián)滯后校正 1.滯后校正裝置的特性滯后校正裝置的特性 設滯后校正裝置的傳遞設滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為函數(shù)為其頻率特性為其頻率特性為) 1(11cTsTssG

12、）（) 1(j1j1(jcTTG）圖8-5 滯后校正裝置的零極點圖jT1T1o18（1）極坐標圖）極坐標圖 滯后校正裝置的極坐標圖滯后校正裝置的極坐標圖如圖如圖8-6所示。由圖可知，所示。由圖可知，當當=0變化時，變化時，Gc(j)的相位角的相位角0，Gc(j)的根的根軌跡為一半圓。軌跡為一半圓。 同理可求得同理可求得最大滯后相最大滯后相位角位角和對應的頻率和對應的頻率分別為分別為11sin1mT1m11)(0j0m圖8-6 滯后校正裝置的極坐標圖19（2）對數(shù)坐標圖）對數(shù)坐標圖滯后校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖滯后校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖8-7所示所示由此可見，由此可見，滯后校正滯后校正裝置是一個

13、裝置是一個低低通濾波器通濾波器（低頻通過，高頻被衰（低頻通過，高頻被衰減），且減），且越大，越大，高頻衰減高頻衰減越厲越厲害，抗高頻干擾性能越好，但使響害，抗高頻干擾性能越好，但使響應速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)應速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)得到顯著提高，但瞬態(tài)響應時間卻得到顯著提高，但瞬態(tài)響應時間卻隨之而增加，隨之而增加，越大，積分作用越越大，積分作用越強，穩(wěn)態(tài)誤差越小強，穩(wěn)態(tài)誤差越小。0|lg20, 0c）（jGlg20|lg20,c）（jGlg10|lg20,cm）（jGlg20lg10T1T1mmdB00)(L圖8-7 滯后校正裝置的極坐標圖m202.串聯(lián)滯后校正方法串聯(lián)滯后校正方法

14、滯后校正裝置的主要作用是在滯后校正裝置的主要作用是在高頻段造成幅值衰減高頻段造成幅值衰減，降低降低系統(tǒng)的系統(tǒng)的剪切頻率剪切頻率，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量，但應同時保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性量，但應同時保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性曲線變化不大。曲線變化不大。利用頻率法設計滯后校正裝置的步驟利用頻率法設計滯后校正裝置的步驟:（1）根據(jù)性能指標對）根據(jù)性能指標對穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定系數(shù)的要求，確定開環(huán)增開環(huán)增益益k；（2）利用已確定的開環(huán)增益）利用已確定的開環(huán)增益k，畫出未校正系統(tǒng)的，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，圖，并求出其相位裕量并

15、求出其相位裕量r0和幅值裕量和幅值裕量kg；21（3）如）如未校正系統(tǒng)未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，的相位和幅值裕量不滿足要求，尋尋找一新的剪切頻率找一新的剪切頻率c，在，在c處開環(huán)傳遞函數(shù)的相位角處開環(huán)傳遞函數(shù)的相位角應滿足下式應滿足下式 Go(jc)= -180+ r + 式中式中 r為要求的相角裕量，為要求的相角裕量，是為補償滯后校正裝置的是為補償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取相位滯后而附加的相位角，一般取=5 12 ； (4) 為使為使滯后校正裝置對系統(tǒng)的滯后校正裝置對系統(tǒng)的相位滯后影響較小相位滯后影響較?。ㄒ唬ㄒ话阆拗圃诎阆拗圃? 12 ），），m應遠離應遠離c

16、，一般取滯后校正裝，一般取滯后校正裝置的第一個交接頻率：置的第一個交接頻率：1=1/T=(1/51/10)c（即（即mc），此時有），此時有|Gc(jc)|=-20lg。1取得愈小，取得愈小，對系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時對系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時間常數(shù)間常數(shù)T將很大，這也是不允許的；將很大，這也是不允許的；22(5)確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻率率c處下降到處下降到0dB所需的衰減量所需的衰減量20lg|Go(jc)|，并根據(jù)，并根據(jù)20lg |Go(jc)Gc(jc)|20lg |Go(jc)|-20lg=

17、0即即 =|Go(jc)|求求出校正裝置的參數(shù)出校正裝置的參數(shù)； (6) 畫出校正后系統(tǒng)的畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，圖，檢驗檢驗性能指標性能指標是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增大大值，從第三步起重新計算。值，從第三步起重新計算。23例例8-2 設有一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設有一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=5(1/s)，相位裕量，相位裕量r400，幅值裕量，幅值裕量kg10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。，試確定串聯(lián)校正裝置。解解 根據(jù)根據(jù)可求出可求出k=5，即，即) 125. 0)(1

18、()(0sssksG5) 125. 0)(1(lim)(lim000ksssksssGkssv) 125. 0)(1(5)(0ssssG24根據(jù)串聯(lián)滯后校正的設計步驟，可編寫以下根據(jù)串聯(lián)滯后校正的設計步驟，可編寫以下m文件。文件。 ex8_2.m25執(zhí)行后可得如下結果及圖執(zhí)行后可得如下結果及圖8-8所示曲線。所示曲線。num/den = 8.3842s + 1 - 59.7135s + 1num/den = 41.9208s+5 - 14.9284s4+74.8918s3+60.9635s2+s校正前：幅值裕量校正前：幅值裕量= -3.8573e-015 dB，相位裕量，相位裕量=7.3342

19、e-006 校正后：幅值裕量校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕量，相位裕量=40.6552 26圖圖8-8 滯后校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖滯后校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖278.1.3 基于頻率響應法的串聯(lián)滯后基于頻率響應法的串聯(lián)滯后-超前校正超前校正1.滯后滯后-超前校正裝置的特性超前校正裝置的特性設滯后設滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為上式等號右邊的上式等號右邊的第一項第一項產生產生超前超前網(wǎng)絡的作網(wǎng)絡的作用，而用，而第二項第二項產生產生滯后滯后網(wǎng)絡的作用。網(wǎng)絡的作用。) 1,(1111G122211cTTsTsTsTsTs）（28(1) 極坐標圖極坐

20、標圖 滯后滯后-超前校正裝置的極超前校正裝置的極坐標圖如圖坐標圖如圖8-9所示。所示。 由圖可知，當角頻率由圖可知，當角頻率在在00之間變化時之間變化時, 滯后滯后-超前校正裝置起著超前校正裝置起著相位相位滯后校正滯后校正的作用；當?shù)淖饔?；當在?之間變化時之間變化時,它起它起著著超前校正超前校正的作用，對應的作用，對應相位角為零的頻率相位角為零的頻率0為為2101TT010mIeR0圖8-9 滯后-超前校正裝置的極坐標圖29（2）對數(shù)坐標圖）對數(shù)坐標圖 滯后滯后-超前校正超前校正裝置的對數(shù)坐裝置的對數(shù)坐標圖如圖標圖如圖8-10所示。從圖可所示。從圖可清楚看出，當清楚看出，當00時滯后時滯后-

21、超前校正裝置超前校正裝置起著起著相位滯后相位滯后校正校正的作用；的作用；當當0A=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1; b=1;1;1; rc=rank(ctrb(A,b); p=-1,-2,-3; K=acker(A,b,p)結果顯示結果顯示K= -1 2 443 對于對于多變量系統(tǒng)的極點配置多變量系統(tǒng)的極點配置，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也給出了函數(shù)控制系統(tǒng)工具箱中也給出了函數(shù)place( )，其調用格式為其調用格式為K=place(A,B,P)例例8-5 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 求使狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點為求使狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點為-2,-3,(-1j3)/2

22、的狀態(tài)反饋陣的狀態(tài)反饋陣K。uxx331134029514102033821310140044解解 MATLAB程序為程序為 ex8_5.m執(zhí)行后得執(zhí)行后得K= 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239452.部分極點配置部分極點配置 在一些特定的應用中，有時沒有必要在一些特定的應用中，有時沒有必要去對所有的極點進行重新配置，而只需去對所有的極點進行重新配置，而只需對其中若干

23、個極點進行配置，使得其他對其中若干個極點進行配置，使得其他極點保持原來的值，例如若系統(tǒng)開環(huán)模極點保持原來的值，例如若系統(tǒng)開環(huán)模型是不穩(wěn)定的，則型是不穩(wěn)定的，則可以將那些不穩(wěn)定的可以將那些不穩(wěn)定的極點配置成穩(wěn)定的值極點配置成穩(wěn)定的值，而不去改變那些而不去改變那些原本穩(wěn)定的極點原本穩(wěn)定的極點。作這樣配置的。作這樣配置的前提前提條條件是件是原系統(tǒng)沒有重極點原系統(tǒng)沒有重極點，這就能保證由，這就能保證由系統(tǒng)特征向量構成的矩陣是非奇異的。系統(tǒng)特征向量構成的矩陣是非奇異的。46 假設假設xi為對應于為對應于i的特征向量，即的特征向量，即A xi =i xi，這樣可，這樣可以對各個特征值構造特征向量矩陣以對各

24、個特征值構造特征向量矩陣X=x1,x2,xn，由，由前面的假設可知前面的假設可知X矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣T=X-1，且令，且令T的第的第i個行向量為個行向量為Ti，且想把，且想把i配置到配置到i的的位置，則可以定義變量位置，則可以定義變量ri=（i-i）/bi，其中，其中bi為向量為向量Tb的第的第i個分量，這時配置全部的極點，則可以得出狀態(tài)個分量，這時配置全部的極點，則可以得出狀態(tài)反饋陣反饋陣 特別地，特別地，若不想對哪個極點進行重新配置，則可以將若不想對哪個極點進行重新配置，則可以將對應的項從上面的求和式子中刪除就可以得出相應的狀對應的項從上面的求

25、和式子中刪除就可以得出相應的狀態(tài)反饋陣態(tài)反饋陣，它能按指定的方式進行極點配置。，它能按指定的方式進行極點配置。niiiTrK147例例8-6對于例對于例8-4所示系統(tǒng)，實際上只有一所示系統(tǒng)，實際上只有一個不穩(wěn)定的極點個不穩(wěn)定的極點1,若僅將此極點配置到若僅將此極點配置到-5，試采用，試采用部分極點配置方法部分極點配置方法對其進行。對其進行。解解 MATLAB程序為程序為ex8_6.m執(zhí)行后得執(zhí)行后得K= 1.5000 -1.5000 -6.0000488.2.2 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器1.全維狀態(tài)觀測器的設計全維狀態(tài)觀測器的設計 極點配置是基于狀態(tài)反饋，因此狀態(tài)極點配置是基于狀態(tài)反饋，因此狀態(tài)x

26、必須必須可量測，可量測，當狀態(tài)不能量測時，則應設計狀態(tài)當狀態(tài)不能量測時，則應設計狀態(tài)觀測器來估計狀態(tài)觀測器來估計狀態(tài)。對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)若系統(tǒng)完全能觀測若系統(tǒng)完全能觀測，則可構造如圖，則可構造如圖8-12所示的狀所示的狀態(tài)觀測器。態(tài)觀測器。CxyBuAxx 49uyBACBACL-+-圖8-12 帶狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)-+xx 50由上圖可得觀測器的狀態(tài)方程為由上圖可得觀測器的狀態(tài)方程為即即 其特征多項式為其特征多項式為 f（s）=|sI-(A-LC)| 由于工程上要求能比較快速的逼近由于工程上要求能比較快速的逼近x，只要只要調整反饋陣調整反饋陣L，觀測器的極點就可以任意配置，觀測器的極點就可以任意

27、配置達到要求的性能達到要求的性能，所以，所以，觀測器的設計與狀態(tài)反饋觀測器的設計與狀態(tài)反饋極點配置的設計類似極點配置的設計類似。LyxLCBuxAxLyBuxLCAx)(51 假 定 單 變 量 系 統(tǒng) 所 要 求 的假 定 單 變 量 系 統(tǒng) 所 要 求 的 n 個 觀 測 器 的 極 點 為個 觀 測 器 的 極 點 為1,2,n，則可求出，則可求出期望的狀態(tài)觀測器的特征方程期望的狀態(tài)觀測器的特征方程為為 f*(s)=(-1)(-2)(-n)=sn + a1sn-1 + + an這時可求得反饋陣這時可求得反饋陣L為為 式中式中 ， , f*（A）是將系統(tǒng)期望的觀測器）是將系統(tǒng)期望的觀測器特

28、征方程特征方程中中s換成系統(tǒng)矩陣換成系統(tǒng)矩陣A后的矩陣多項式。后的矩陣多項式。100)(10*VAfL10nCACACV52 利用對偶原理，可使設計問題大為簡化利用對偶原理，可使設計問題大為簡化，求解，求解過程如下：過程如下：首先構造首先構造系統(tǒng)式系統(tǒng)式(8-14)的的對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng) (8-15)然后，根據(jù)下式可然后，根據(jù)下式可求得狀態(tài)觀測器的反饋陣求得狀態(tài)觀測器的反饋陣L。 LT=acker(AT,CT,P)或或 LT=place(AT,CT,P)其中其中 P為給定的極點，為給定的極點，L為狀態(tài)觀測器的反饋陣。為狀態(tài)觀測器的反饋陣。zBwnCAzTTT53例例8-7 已知開環(huán)系統(tǒng)已知開環(huán)系

29、統(tǒng)其中其中設計全維狀態(tài)觀測器設計全維狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為，使觀測器的閉環(huán)極點為 -2j23,-5。CxybuAxx 001,100,6116100010CbA54解解 為求出狀態(tài)觀測器的反饋陣為求出狀態(tài)觀測器的反饋陣L，先為原，先為原系統(tǒng)系統(tǒng)構造一對偶系統(tǒng)構造一對偶系統(tǒng)。然后采用極點配置方法然后采用極點配置方法對對偶系統(tǒng)進行閉環(huán)對對偶系統(tǒng)進行閉環(huán)極點位置的配置極點位置的配置，得到反饋陣，得到反饋陣K，從而可由，從而可由對對偶原理偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋陣得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋陣L。MATLAB程序為程序為ex8_7.mzBwnCAzTTT55執(zhí)行后得執(zhí)行后得The

30、Rank of Obstrabilaty Matrixr0 = 3 3L = 3.0000 3.0000 7.0000 7.0000 -1.0000 -1.0000 由于由于rankr0=3，所以系統(tǒng)能觀測，因此可設計全，所以系統(tǒng)能觀測，因此可設計全維狀態(tài)觀測器。維狀態(tài)觀測器。562.2.降維觀測器的設計降維觀測器的設計 前面所討論的狀態(tài)觀測器的維數(shù)和被控系統(tǒng)的前面所討論的狀態(tài)觀測器的維數(shù)和被控系統(tǒng)的維數(shù)相同，故稱為全維觀測器，實際上系統(tǒng)的輸維數(shù)相同，故稱為全維觀測器，實際上系統(tǒng)的輸出出y總是能夠觀測的。因此，可以總是能夠觀測的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸利用系統(tǒng)的輸出量出量y來直接產生部分狀態(tài)變

31、量來直接產生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測，從而降低觀測器的維數(shù)。假設系統(tǒng)是完全能觀測器，若狀態(tài)器的維數(shù)。假設系統(tǒng)是完全能觀測器，若狀態(tài)x為為n維，輸出維，輸出y為為m維，由于維，由于y是可量測的，因此是可量測的，因此只需對只需對n-m個狀態(tài)進行觀測個狀態(tài)進行觀測，也就是說用，也就是說用(n-m)維維的狀態(tài)觀測器可以代替全維觀測器，這樣觀測器的狀態(tài)觀測器可以代替全維觀測器，這樣觀測器的結構可以大大簡化。的結構可以大大簡化。5758Matlab程序為：ex8_8598.2.3 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構問題

32、，構問題，為為那些狀態(tài)變量不能直接量測得那些狀態(tài)變量不能直接量測得到的系統(tǒng)到的系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件實現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。帶狀。帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，即即原系統(tǒng)原系統(tǒng)、觀測器觀測器和和控制器控制器，圖，圖8-13是一是一個帶有全維觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。個帶有全維觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。60uryBACBACL-+-圖8-13 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)-+Kxx +-61設能控能觀測的受控系統(tǒng)為設能控能觀測的受控系統(tǒng)為 （8-21）狀態(tài)反饋控制律為狀態(tài)反饋控制律為 （8-22）狀態(tài)觀測器方程為狀態(tài)觀測器方程為 （8-23）由以上三式可得

33、由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為為CxyBuAxx xKruLyBuxLCAx)(CxyBrxBKLCALCxxBrxBKAxx)(62 可以證明，由觀測器構成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系可以證明，由觀測器構成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，其統(tǒng)，其特征多項式特征多項式等于等于狀態(tài)反饋部分狀態(tài)反饋部分的特征多項的特征多項式式|sI-(A-BK)|和和觀測器部分觀測器部分的特征多項式的特征多項式|sI-(A-LC)|的的乘積乘積，而且兩者相互獨立。因此，只要系，而且兩者相互獨立。因此，只要系統(tǒng)統(tǒng)0(A,B,C)能控能觀測，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣能控能觀測，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測器反饋陣和

34、觀測器反饋陣L可分別根據(jù)各自的要求，可分別根據(jù)各自的要求，獨立獨立進行配置進行配置，這種性質被稱為，這種性質被稱為分離特性分離特性。 同理，用降維觀測器構成的反饋系統(tǒng)也具有分同理，用降維觀測器構成的反饋系統(tǒng)也具有分離特性離特性63例例8-9 已知開環(huán)系統(tǒng)已知開環(huán)系統(tǒng)設計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為設計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為 -1.8j2.4，而且狀態(tài)不，而且狀態(tài)不可量測，因此設計狀態(tài)觀測器使其閉環(huán)極點為可量測，因此設計狀態(tài)觀測器使其閉環(huán)極點為-8,-8。解解 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設計分開進行狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設計分開進行，狀態(tài)觀，狀態(tài)觀測器的設計借助于對偶原理。在設計之前，應先判別測器的設計借助于

35、對偶原理。在設計之前，應先判別系統(tǒng)的能控性和能觀測性，系統(tǒng)的能控性和能觀測性，MATLAB的程序的程序 ex8_9.mxyuxx011006 .201064執(zhí)行后得執(zhí)行后得The rank of Controllability Matrixrc = 2The rank of Observability Matrixro = 2K = 29.6000 3.6000L = 16.0000 84.6000658.2.4 離散系統(tǒng)的極點配置和狀態(tài)觀測器的設計離散系統(tǒng)的極點配置和狀態(tài)觀測器的設計 離散離散系統(tǒng)的系統(tǒng)的極點配置極點配置和和狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器的設計的的設計的求解過程與連續(xù)系統(tǒng)基本相同，在求

36、解過程與連續(xù)系統(tǒng)基本相同，在MATLAB中，中，可直接采用工具箱中的可直接采用工具箱中的place( )和和acker( )函數(shù)函數(shù)進行設計，這里不在贅述。進行設計，這里不在贅述。66Matlab程序為程序為ex8_10.m678.2.5 系統(tǒng)解耦系統(tǒng)解耦 在在多變量系統(tǒng)多變量系統(tǒng)中，如果中，如果傳遞函數(shù)陣不是傳遞函數(shù)陣不是對角矩陣對角矩陣，則不同的輸入與輸出之間存在，則不同的輸入與輸出之間存在著耦合，即第著耦合，即第i輸入不但會對第輸入不但會對第i輸出有影響，輸出有影響，而且還會影響到其他的輸出，就而且還會影響到其他的輸出，就給控制系給控制系統(tǒng)的設計造成了很大的麻煩統(tǒng)的設計造成了很大的麻煩，

37、故在多變量，故在多變量控制系統(tǒng)的設計中就出現(xiàn)了解耦控制方法?？刂葡到y(tǒng)的設計中就出現(xiàn)了解耦控制方法。68假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 (8-25) 其中其中 A:nn;B:nr;C:mn;D:mr引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋 (8-26)其中其中 R為為r1參考輸入向量，在解耦控制中實際還應參考輸入向量，在解耦控制中實際還應要求要求r=m，亦即系統(tǒng)的輸入個數(shù)等于輸出個數(shù)，這時，亦即系統(tǒng)的輸入個數(shù)等于輸出個數(shù)，這時閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成KxHRuHDBBKAsIDKCsRsYsG)()()()(1DuCxyBuAxx 69 若閉環(huán)系

38、統(tǒng)的若閉環(huán)系統(tǒng)的mr矩陣矩陣G(s)為對角的非奇異矩陣，則為對角的非奇異矩陣，則稱該系統(tǒng)是動態(tài)解耦的系統(tǒng)稱該系統(tǒng)是動態(tài)解耦的系統(tǒng)，若，若G(0)為對角非奇異矩為對角非奇異矩陣，且系統(tǒng)為穩(wěn)定的，則稱該系統(tǒng)是靜態(tài)解耦的。陣，且系統(tǒng)為穩(wěn)定的，則稱該系統(tǒng)是靜態(tài)解耦的。 在給定的控制結構下，若系統(tǒng)的在給定的控制結構下，若系統(tǒng)的D矩陣為矩陣為0，則，則閉環(huán)傳閉環(huán)傳遞函數(shù)陣遞函數(shù)陣G(s)可以簡化成可以簡化成 (8-28)BHBKAsICsRsYsG1)()()()(70 由上式可見，若由上式可見，若H矩陣為奇異矩陣，則矩陣為奇異矩陣，則G(s)矩陣必矩陣必為奇異的，所以為奇異的，所以為使得系統(tǒng)可以解耦，首

39、先應該要求為使得系統(tǒng)可以解耦，首先應該要求H為非奇異矩陣為非奇異矩陣。對于給定系統(tǒng)對于給定系統(tǒng),狀態(tài)方程可以狀態(tài)方程可以寫成為可控標準型寫成為可控標準型，故，故其中其中HsCBaBBKACCBsBKAsIsGnnn)(|1)(211.|011asasBKAsInnn71 首先這里將給出首先這里將給出能解耦的條件能解耦的條件：可以證明，若按下面：可以證明，若按下面方法生成的矩陣方法生成的矩陣B*為非奇異的為非奇異的，若取，若取H=(B*)-1，則由，則由前面給出的控制格式得出的系統(tǒng)能解耦原系統(tǒng)。前面給出的控制格式得出的系統(tǒng)能解耦原系統(tǒng)。 （8-29） 式中式中 C,C, Cm為為C矩陣的行向量矩

40、陣的行向量，參數(shù)，參數(shù)d,d,dm是在保證是在保證B為非奇異的前提下任選區(qū)間為非奇異的前提下任選區(qū)間0,n-1上的整數(shù)。若確定了上的整數(shù)。若確定了di參數(shù)參數(shù)，則可以直接獲，則可以直接獲得得解耦矩陣解耦矩陣BACBACBACBmdmdd21211111mdmdACACHK72例例8-11 對如下系統(tǒng)進行解耦對如下系統(tǒng)進行解耦解解 MATLAB程序為程序為Example8_11.mxyuxx11100133320130002000173執(zhí)行后可得執(zhí)行后可得H = 1.0000 0 1.0000 0 -1.3333 0.3333 -1.3333 0.3333K = -1.0000 0 0 -1.0

41、000 0 0 1.6667 1.3333 3.0000 1.6667 1.3333 3.0000n1 = 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000d1 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 -0.0000 0n2 = 0 0 0 00 0 0 0 0 0.0000 1.0000 0 0 0.0000 1.0000 0d2 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.00

42、00 -0.0000 074 亦即系統(tǒng)亦即系統(tǒng)解耦后解耦后的傳遞函數(shù)陣為的傳遞函數(shù)陣為 解耦控制系統(tǒng)的目的是將原模型變換成解耦的模解耦控制系統(tǒng)的目的是將原模型變換成解耦的模型，而并型，而并不必去考慮變換之后的響應品質不必去考慮變換之后的響應品質，因為響，因為響應品質這類問題可以在解耦之后應品質這類問題可以在解耦之后按照單變量系統(tǒng)進按照單變量系統(tǒng)進行設計補償行設計補償，單回路的設計當然可以采用單變量系，單回路的設計當然可以采用單變量系統(tǒng)的各種方法，例如可以采用超前滯后補償，統(tǒng)的各種方法，例如可以采用超前滯后補償，PI設設計以及計以及PID設計等，并能保證這樣設計出來的控制設計等，并能保證這樣設計

43、出來的控制器不會去影響其他回路。器不會去影響其他回路。1001001)(223ssssssG758.2.6 狀態(tài)估計器或觀測器狀態(tài)估計器或觀測器假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為函數(shù)函數(shù)estim( )將生成下述狀態(tài)和輸出估計器將生成下述狀態(tài)和輸出估計器DuCxyBuAxx xICxyxCyLxAx)( 76 在在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)estim( )的調用格式如下的調用格式如下est=estim(A,B,C,D,L) 其中其中 A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，L為為狀態(tài)估計增狀態(tài)估計增益矩陣益矩陣。狀態(tài)估計增益矩陣。狀態(tài)估計增益矩陣L可由極點配置

44、函數(shù)可由極點配置函數(shù)place( )形成形成，或者由，或者由Kalman濾波函數(shù)濾波函數(shù)kalman生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣L下的下的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型A,B,C,D的輸出估計器的輸出估計器est。7778例例8-13 利用例利用例8-7所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣L，求，求其系統(tǒng)的狀態(tài)估計器。其系統(tǒng)的狀態(tài)估計器。解解 MATLAB程序為程序為A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0; L=3;7;-1est=estim(A,b,C,0,L)執(zhí)行后得執(zhí)行后得est = -3.0000

45、 1.0000 0 -3.0000 1.0000 0 -7.0000 0 1.0000 -7.0000 0 1.0000 -5.0000 -11.0000 -6.0000 -5.0000 -11.0000 -6.0000798.2.7 系統(tǒng)控制器系統(tǒng)控制器假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為利用函數(shù)利用函數(shù)reg( )可生成下述控制器可生成下述控制器DuCxyBuAxx xKuLyxKLDBLCAx)( 80 在在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)reg( )的調用格式為的調用格式為est=reg(A,B,C,D,K,L) 其中其中 A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，為系統(tǒng)系數(shù)矩

46、陣，K為狀為狀態(tài)反饋增益矩陣，態(tài)反饋增益矩陣，L為狀態(tài)估計增益矩陣。為狀態(tài)估計增益矩陣。利用以上命令可生成給定狀態(tài)反饋增益利用以上命令可生成給定狀態(tài)反饋增益矩陣矩陣K及狀態(tài)估計增益矩陣及狀態(tài)估計增益矩陣L下的狀態(tài)空下的狀態(tài)空間模型間模型A,B,C,D的控制器的控制器est。假定系統(tǒng)。假定系統(tǒng)的所有輸出可測。的所有輸出可測。81例例8-14 利用例利用例8-7所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣L，求，求其系統(tǒng)的控制器。假設狀態(tài)反饋陣其系統(tǒng)的控制器。假設狀態(tài)反饋陣K=-1 2 4。解解 MATLAB程序為程序為A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0

47、 0;K=-1 2 4;L=3;7;-1est=reg(A,b,C,0,K,L)執(zhí)行后得執(zhí)行后得 est = -3 1 0 -3 1 0 -7 0 1 -7 0 1 -4 -13 -10 -4 -13 -10828.3 最優(yōu)控制系統(tǒng)設計最優(yōu)控制系統(tǒng)設計 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也提控制系統(tǒng)工具箱中也提供了很多函數(shù)用來進行系統(tǒng)的最優(yōu)供了很多函數(shù)用來進行系統(tǒng)的最優(yōu)控制設計，相關函數(shù)如表控制設計，相關函數(shù)如表8-3所示。所示。83848.3.1 狀態(tài)反饋的狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 (8-31)式中式中 A:nn

48、;B:nr;C:mn并設目標函數(shù)為并設目標函數(shù)為二次型性能指標二次型性能指標 (8-32) 式中式中 Q(t)為為nn半正定實對稱矩陣，半正定實對稱矩陣，R(t)為為rr正定實對稱矩陣。一般情況下，假定這兩個矩陣正定實對稱矩陣。一般情況下，假定這兩個矩陣為定常矩陣，它們分別決定了系統(tǒng)暫態(tài)誤差與控為定常矩陣，它們分別決定了系統(tǒng)暫態(tài)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。制能量消耗之間的相對重要性。S為對稱半正定終為對稱半正定終端的加權陣，它為常數(shù)。端的加權陣，它為常數(shù)。)()()()()(tCxtytButAxtx f0d)()()()()()(21)()(21TTffTttttutRtutxtQt

49、xtSxtxJ85 當當x(tf)值固定時，則為終端控制問題，特別是值固定時，則為終端控制問題，特別是當當x(tf)0 時，則為調節(jié)器問題；當時，則為調節(jié)器問題；當t0 , tf均固均固定時，則為暫態(tài)過程最優(yōu)控制。定時，則為暫態(tài)過程最優(yōu)控制。 最優(yōu)控制問題是為給定的線性系統(tǒng)式（最優(yōu)控制問題是為給定的線性系統(tǒng)式（8-31）尋找一個最優(yōu)控制律尋找一個最優(yōu)控制律u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉移到終端狀態(tài)轉移到終端狀態(tài)x(tf)，且滿足性能指標式，且滿足性能指標式（8-32）最小。它可以用變分法、極大值原理）最小。它可以用變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃等三種方法中的任一種求解。這里和動態(tài)規(guī)劃等三種方法中的任一種求解。這里我們采用極大值原理求解我們采用極大值原理求解u*(t)。86 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了完整的解決的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其中命令線性二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其中命令lqr( )和和lqry( )可以直接求解可以直接求解二次型調節(jié)器二次型調節(jié)器問題及相關的問題及相關的Riccati方程，它