正四面體與正方體的相關問題歸納學習教案

1、會計學1正四面體與正方體的相關正四面體與正方體的相關(xinggun)問題問題歸納歸納第一頁，共33頁。2一、正方體高考(o ko)十年 十年來，立體幾何的考題一般呈“一小一大”的形式.分數(shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. 立幾題的難度一般在0.55左右，屬中檔考題，是廣大考生“上線競爭”時勢在必奪的“成敗線”或“生死線”.十年的立幾高考，考的都是多面體. 其中：（1）直接考正方體的題目占了三分之一；（2）間接考正方體的題目也占了三分之一.因此有人(yu rn)說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題.第1頁/共33頁第二頁，共33頁。3解 析外接球的表面積，比起內接正方體的全面積

2、來，自然要大一些，但絕不能是它的(C)約6倍或(D)約9倍，否定(C)，(D)；也不可能與其近似相等(xingdng)，否定(A)，正確答案只能是(B) .考題(ko t) 1 （正方體與其外接球）第2頁/共33頁第三頁，共33頁。4考題(ko t) 2 （正方體中的線面關系）小問題很多，但都不難. 熟悉正方體各棱、各側面間位置關系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要(zhyo)知道棱AD與后側面垂直就夠了.說 明11EDAFV（1997年）如圖，在正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點（1）證明ADD1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED

3、面A1FD1；（4）設AA1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積 . 第3頁/共33頁第四頁，共33頁。5考題 3 （正方體的側面(cmin)展開圖）考查(koch)空間想象能力. 如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、為真，答案是C.解 析（2001年）右圖是正方體的平面展開(zhn ki)圖在這個正方體中，BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60角；DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（A）（B）（C）（D）第4頁/共33頁第五頁，共33頁。6考題4 （正方體中主要(zhyo)線段的關系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂

4、線定理知其正確答案為A.平移(pn y)法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故選（A）.解 析第5頁/共33頁第六頁，共33頁。7 考題(ko t) 5 （正方體與正八面體）解 析將正八面體一分為二，得2個正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的 ，再乘 得 .答案選C.213161第6頁/共33頁第七頁，共33頁。8 考題(ko t) 6 （正方體中的三角形）解 析在正方體上任選3個頂點連成三角形可得 個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線)，共有24個，得 ，所以選C. 38C2438C第7頁/共33頁第八頁，共33頁。9在三棱錐OA

5、BC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直(chuzh)，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的正弦值是 考題(ko t) 7 2006年四川卷第13題正方體的一“角”如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求證(qizhng)：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）求三棱錐PDEN的體積. 考題8 2006年四川卷第19題兩正方體的“并”P第8頁/共33頁第九頁，共33頁。10如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側棱CC1上的

6、一點，CP=m. ()試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3 ；()在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結論.2分析：熟悉正方體對角面和對角線的考生，對第()問，可心算出結果為m=1/3；對第()問，可猜出這個Q點在O1點.可是由于對正方體熟悉不多，因此第()小題成了大題(d t)，第()小題成了大難題. 考題(ko t)9 （2006年湖北卷第18題）第9頁/共33頁第十頁，共33頁。11NoImage多面體上，位于同一條(y tio)棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面，其余頂點在的同側

7、，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結論正確的為_.（寫出所有正確結論的編號）第10頁/共33頁第十一頁，共33頁。12二、正四面體(zhn s min t)與正方體從“正方體高考十年”和“全國熱炒正方體”中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來. 我們認定了正方體是多面體的“根基”. 我們在思考(sko)：（1）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐

8、？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？第11頁/共33頁第十二頁，共33頁。13考 題 1 （正四面體(zhn s min t)化作正方體解）說 明本題如果(rgu)就正四面體解正四面體，則問題就不是一個小題目了，而是有相當計算量的大題. 此時的解法也就淪為拙解.第12頁/共33頁第十三頁，共33頁。14拙解 硬碰正四面體(zhn s min t)第13頁/共33頁第十四頁，共33頁。15聯(lián)想(linxing) 、 、 的關系正四面體的棱長為 ，這個正四面體豈不是由棱長為1的正方體的6條“面對角線”圍成？2則三棱錐BA1C1D是棱長為 的正四面體.于是正四面體問題可化歸為對應的正方體解決.2為此，

9、在棱長為1的正方體BD1中，（1）過同一(tngy)頂點B作3條面對角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點A1，C1，D依次(yc)首尾連結.A1C1DBACA1B1D1C1DB第14頁/共33頁第十五頁，共33頁。16妙解 從正方體中變出正四面體(zhn s min t)以 長為面對角線，可得邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，這個正方體的體對角線長為 ，則其外接球的半徑為 ，則其外接球的表面積為S=4R2=4( )23以 為棱長的正四方體B-A1C1D與以1為棱長的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.答案為A.2323232第15頁/共33頁第十六頁，共33頁。17

10、尋根 正方體割出三棱錐在正方體中割出一個內接正四面體后，還“余下”4個正三棱錐.每個正三棱錐的體積均為1/6，故內接正四面體的體積為1/3 .這5個四面體都與正方體“內接”而“共球”.事實上，正方體的內接四面體（即三棱錐）共有 -12=58個.至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.48C第16頁/共33頁第十七頁，共33頁。18按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在0.4到0.7之間. 所以，十年來立幾考題哪怕是解答題也沒有(mi yu)出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在6個大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分.然而，不知是因為是考生疏忽，還是命題人粗心，竟然在立幾考

11、題中弄出了大難題，其難度超過了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為(chngwi)十年大難題第17頁/共33頁第十八頁，共33頁。19命題(mng t) 將正方體一分為二2003年全國卷第18題，天津卷第18題，河南卷第19題等，是當年數(shù)學卷的大難題. 其難度，超過了當年的壓軸題.在命題人看來，其載體是將正方體沿著對角面一分為二，得到了一個再簡單不過的直三棱柱(lngzh).圖中的點E正是正方體的中心.第18頁/共33頁第十九頁，共33頁。20考題(ko t)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.側棱AA1，D、E分別是CC1與A1

12、B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B與平面ABD所成角的大小(dxio)(結果用反三角函數(shù)值表示)；()求點A1到平面AED的距離.第19頁/共33頁第二十頁，共33頁。21解 析（轉下頁）考場反饋：按出題人給出的圖形(txng)（右上），答題時無法作輔助線.第20頁/共33頁第二十一頁，共33頁。22（轉下頁）解 析（續(xù)上）考場反饋：按出題(ch t)人給出的這種解析，無法在原圖上顯示.第21頁/共33頁第二十二頁，共33頁。23解 析（續(xù)上）（解畢）閱卷人說：在見到的答卷(d jun)中，幾乎沒有看到這種“標準答案”.第22頁/共33頁第二十三頁，共33頁。24

13、難點突破(tp)：斜二測改圖法，把問題轉到正方體中.本題難在哪里(n li)？從正方體內切出的直三棱柱的畫法不標準！第23頁/共33頁第二十四頁，共33頁。25難題(nnt)（0318）的題圖探究正方體立體圖常見(chn jin)的畫法有兩種：（1）斜二測法（圖右）此法的缺點：A1、B、C 三點“共線”導致(dozh)“三線”重合（2）正等測法（圖右）此法的缺點：A、C、C1、A1“共線”導致“五線”重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對角面置于正前面.第24頁/共33頁第二十五頁，共33頁。26四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個“簡單的正方體”看得太簡單. 像數(shù)學(s

14、hxu)中其他板塊的基礎內容一樣，越簡單的東西，其基礎性就越深刻，其內涵和外延的東西就越多.我們既然認定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很“簡單”的時候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關系，都弄個清楚明白！第25頁/共33頁第二十六頁，共33頁。27正方體，（ ）個面， 線面距轉（ ）面距，（ ）個頂點（ ）棱。 尋找（ ）要根據(jù)。頂點連線（ ）條， 異面直線求距離，一頂（ ）線來相交。 確定（ ）是難題。三頂確定三角形， 正方體，是個寶，要求三頂不共（ ）。 各種關系藏得巧。四頂確定四面體， 正四面體（ ）條棱，要求四頂不共（ ）。 選自6面（ ）線；三種線段結數(shù)緣， 正八

15、面體（ ）個頂，根1、根2和（ ）。 6面（ ）對得準。68 12 28 7 線 面點射影(shyng)垂足(chu z)6對角(du jio)6中心根3關于正方體 你已經知道了多少？關于正方體 還有許多許多！例如，8個頂點中，4頂共面的有（ ）個，4頂異面的（ ）個。正是4頂異面的個數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個數(shù)。第26頁/共33頁第二十七頁，共33頁。28五、解正四面體(zhn s min t)統(tǒng)計十年的高考立幾題，除直接考“解正方體”的題目比重最大以外，接下來的就是“解正四面體”的題目了. 其實，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質上是正方體的“演生體”，通俗地說：正四面體是正方

16、體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考“正四面體”中，凡是就“兒子解兒子”的解法(ji f)，都是拙法；凡是由“老子解兒子”的辦法都是妙法！第27頁/共33頁第二十八頁，共33頁。29正四面體棱長設作1，則對應的正方體棱長為底面正三角形高為（ ）； 底面正三角形的外半徑為（ ）；正三角形的內半徑為（ ）； 正四面體的斜高為（ ）；斜高在底面上的射影為（ ）； 斜面與底面成角余弦值（ ）；正四面體高為（ ）； 外接球半徑為（ ）；內切球半徑為（ ）.22一句話小結 正四面體與正方體的對應量只相差一個系數(shù)： （或 ）2224612623336323633136第28頁/共33頁第二十九頁，共33頁。30 （2006年湘卷理9）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 A. B. C. D.222323.PDA1P.C1B22A1PC1妙解 （找老子(lo zi)解兒子）2答案(d n)為C第29頁/共33頁第三十頁，共33