計算水力學--第五章(第2講)

1、長江：潮汐河道里下河：平原河網(wǎng)太湖流域：湖區(qū)，河網(wǎng)、堰閘 江、河、湖、海 聯(lián)合作用Leila for 水文09 版權所有環(huán)狀河網(wǎng) 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算Leila for 水文09 版權所有對于環(huán)狀河網(wǎng)，可以利用顯式差分求解，但工程上一般傾向于利用隱式求解。早期針對小型河網(wǎng)，以河道斷面的水力要素為基本未知量，采用對所有未知量建立方程組直接求解的一級解法。|在這種方法中，方程組系數(shù)矩陣過于龐大，難以應用于大型河網(wǎng)。為了適用于大型河網(wǎng)，其后發(fā)展了以河道首、末斷面的水力要素為基本未知量的二級解法。 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算Leila for 水文09 版權所有該法是在一級解法的基礎上，對河道中

2、間斷面未知量形成的子矩陣先行求解，表達為基本未知量的函數(shù)，消去中間斷面未知量，從而使得方程組的系數(shù)矩陣大大降階，易于求解。為了進一步降低方程組的階數(shù)，有效求解大型河網(wǎng)，對二級解法的基本未知量再進一步消元，形成以節(jié)點水位為基本未知量的三級解法，這就是目前最常用的方法。 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算計算流程 Leila for 水文09 版權所有環(huán)狀河網(wǎng)計算示意圖 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算 單一河道節(jié)點NN2 2節(jié)點NN1 1123n-1n2n個未知量，2(n-1)個方程 Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水

3、流計算單一河道追 趕 系 數(shù) Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算單一河道追 趕 系 數(shù) Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算單一河道節(jié)點NN2 2節(jié)點NN1 1123n-1n首、末斷面流量表達為首、末節(jié)點水位的線性組合。環(huán)狀河網(wǎng)的追趕方程，每個河段有6個需要保存的追趕系數(shù)。當首、末斷面水位求得后，利用同一斷面上的追趕關系可解得水位和流量。Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算單一河道| 對同一斷面上的流量| 聯(lián)立求解得 Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算 節(jié)點水位方程| 如

4、何求解節(jié)點水位是河網(wǎng)求解的關鍵問題。|求解河網(wǎng)節(jié)點水位，必須建立節(jié)點水位方程。節(jié)點水位方程建立的依據(jù)： 水量守衡原理，即流進某一節(jié)點的水量之和等于該節(jié)點蓄水量的變化。Leila for 水文09 版權所有|把首、末斷面流量的節(jié)點水位關系式代入節(jié)點水量平衡方程，得到與節(jié)點i相鄰的節(jié)點水位為未知變量的線性代數(shù)方程：|對河網(wǎng)每一個節(jié)點，都可建立這樣的節(jié)點水位方程，形成以河網(wǎng)節(jié)點水位為基本未知變量的線性代數(shù)方程組： 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程,0ii jf ZLeila for 水文09 版權所有|節(jié)點水位方程|系數(shù)矩陣|節(jié)點水位列陣 |右端項列陣 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程L

5、eila for 水文09 版權所有首先、確定基本河網(wǎng)。 第二、對基本河網(wǎng)節(jié)點編碼。 第三、對計算河道編碼。 第四、計算斷面編碼。 第五、結合邊界條件，計算內河道的水位流量 追趕方程。 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算 求解步驟Leila for 水文09 版權所有第六、建立節(jié)點水位方程。第七、求解節(jié)點水位方程組。 第八、求得節(jié)點水位后，利用追趕關系求解 河道各計算斷面上的水位和流量。第九、將節(jié)點的水位代入外河道的追趕方程，逐步回代求得外河道各斷面的水位和流量。 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算求解步驟Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程環(huán)狀河網(wǎng)計算示意圖 132

6、546Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程1111(1)(1)(1)(1)(1)(3)5555(1)(1)(1)(1)(1)(5)2222(1)(1)(1)(1)(1)(2)QZZQZZQZZ512(1)(1)(1)0QQQ12515221(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)2155(1)(1)(1)(1)(5)ZZZZ | 節(jié)點(1)水量平衡條件Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程2222(2)(2)(2)(2)(2)(1)6666(2)(2)(2)(2)(2)(6)3333(2)(2)(2)(2

7、)(2)(3)QZZQZZQZZ263(2)(2)(2)0QQQ32622633(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(3)3266(2)(2)(2)(2)(6)ZZZZ | 節(jié)點(2)水量平衡條件Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程3333(3)(3)(3)(3)(3)(2)4444(3)(3)(3)(3)(3)(4)1111(3)(3)(3)(3)(3)(1)QZZQZZQZZ341(3)(3)(3)0QQQ13413341(3)(1)(3)(2)(3)(3)(3)(3)1344(3)(3)(3)(3)(4)ZZZZ| 節(jié)點(3)水量平衡條件L

8、eila for 水文09 版權所有| 節(jié)點水位方程15221(1)(1)(1)(1)(1)(1)22633(2)(2)(2)(2)(2)(2)13341(3)(3)(3)(3)(3)(3)2155(1)(1)(1)(1)(5)3266(2)(2)(2)(2)(6)1344(3)(3)(3)(3)(4)ZZZZZZ 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算節(jié)點水位方程132546Leila for 水文09 版權所有 3.3. 環(huán)狀河網(wǎng)水流計算| 求解各斷面的水位、流量Leila for 水文09 版權所有一、最優(yōu)編碼解法v河網(wǎng)水流的求解最終歸結于節(jié)點水位方程的求解。節(jié)點水位方程的求解效率，決定河網(wǎng)計算的效

9、率。因此，節(jié)點水位方程的求解顯得相當重要。下面討論一種常見的求解方法，最優(yōu)編碼解法。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有v河網(wǎng)節(jié)點水位方程組的系數(shù)矩陣A，當矩陣的階n較小時，可用任何一種方法求解，如高斯消元法。而隨著n的增加，求解方程的工作量正比于n3?？梢姡敽泳W(wǎng)節(jié)點數(shù)較多時，會因為求解方程組的工作量龐大而無法實現(xiàn)。先分析矩陣的性質。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有環(huán)狀河網(wǎng)計算示意圖 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有 系數(shù)矩陣特性：l (1) 非零元素對稱分布

10、于主對角線。l (2) 矩陣為一個稀疏矩陣，矩陣中的大多數(shù)元素為 零，非零元素的個數(shù)相對于元素總數(shù)來說很少。 l (3) 矩陣的非零元素集中在以主對角線為中心的斜帶 形區(qū)域。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有 直接求解方程必須解決的問題：l （1）排列方程和未知元，使得對角元是一個合適的主元，而且在消元過程中必須保持系數(shù)矩陣的稀疏性結構。l （2）盡量避免零元素的存貯和運算。l （3）存貯矩陣元素時應使矩陣的一行和一列元素能夠有效的存取。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有 高斯消元法求解的步驟 l (1) 用第1行的元素，消去第2行到第n

11、行第1列的元素；l (2) 用第2行的元素，消去第3行到第n行第2列的元素；以此類推，用第i行的元素，消去第i+1行到第n行第i列的元素，直到第n行，使矩陣成為上三角矩陣，解出第n個變量。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有l(wèi) 最后從n-1到1逐個回代求出所有未知變量。這是一般的解法，其求解運算的工作量正比于n3?？紤]到矩陣A的性質，其非零元素集中在以主對角線為中心的斜帶形區(qū)域內，帶寬為W。求解運算只需在代形域內進行，域外為零元素，不必參加運算。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有l(wèi) 所以，可以用 nW 的矩陣來存貯對應各行的非零元素。求解的

12、帶寬為W： 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有v用帶形存貯的高斯消元法求解方程組的計算工作量正比于nW2。所以，減小帶寬不僅可以節(jié)省計算機內存，而且能有效提高計算的速度。對于特定的河網(wǎng)，帶寬主要取決于節(jié)點編碼，隨著節(jié)點編碼的好或壞而減小或增大。因此在求解河網(wǎng)水流時，存在著一個最優(yōu)節(jié)點編碼問題，即得到帶寬最小的編碼方法。 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有編碼A（W7） 4.4. 最優(yōu)編碼解法3Leila for 水文09 版權所有編碼B（W7） 4.4. 最優(yōu)編碼解法3Leila for 水文09 版權所有編碼C（W11） 4.4. 最優(yōu)編碼

13、解法5Leila for 水文09 版權所有編碼D（W11） 4.4. 最優(yōu)編碼解法5Leila for 水文09 版權所有l(wèi) (1) 帶寬由編碼決定，取決于同一層的最多節(jié) 點數(shù)。l (2) 最優(yōu)編碼不是唯一的。l (3) 最優(yōu)編碼應遵循的原則是： 沿著節(jié)點數(shù)目少的方向順序編碼，即同一 層的節(jié)點數(shù)盡可能的少。最優(yōu)編碼原則 4.4. 最優(yōu)編碼解法Leila for 水文09 版權所有v天然河網(wǎng)節(jié)點分布是非常不規(guī)則的，可以采用分層的辦法進行優(yōu)化編碼。對結構復雜的河網(wǎng)常常不會導致最優(yōu)編碼，因為每一層中包含的節(jié)點數(shù)目相差太大。應當進行必要的調整，使每一層包含的節(jié)點數(shù)盡可能均勻，調整包含的節(jié)點數(shù)目最多的

14、層次，減少該層所包含的節(jié)點數(shù)，反復試驗，直到帶寬無法減小為止。 4.4. 最優(yōu)編碼解法天然河網(wǎng)編碼方法Leila for 水文09 版權所有1.數(shù)據(jù)準備l (1)節(jié)點編碼：根據(jù)系數(shù)矩陣帶寬最小原則，對內節(jié)點進行統(tǒng)一編碼。l (2)河道編碼：統(tǒng)一編碼，編碼順序可以任意。l (3)斷面編碼：對于內河道，以首節(jié)點對應于首斷面，末節(jié)點對應于末斷面，首斷面向末斷面方向遞增，代表河道的計算流向。對于外河道，以外節(jié)點向內節(jié)點遞增為原則。二、編程技巧 4.4. 最優(yōu)編碼解法編程技巧Leila for 水文09 版權所有l(wèi) (4) 外河道邊界信息：按實際的邊界條件類型確定。l (5) 河道的計算信息：根據(jù)(1)

15、的節(jié)點編碼和(3)的斷面編碼， 確定內河道的首節(jié)點和末節(jié)點號， 確定外河道的末節(jié)點號， 確定河道的首斷面號和末斷面號。l (6) 計算河道的基本地形資料和邊界條件資料。 4.4. 最優(yōu)編碼解法編程技巧Leila for 水文09 版權所有2.計算編程l (1) 計算外河道的邊界條件，系數(shù)矩陣初始化。l (2) 對可調蓄節(jié)點，將蓄水量的變化表達成流量與水位 的線性關系，迭加到相應的節(jié)點水位方程。l (3) 按外河道的順序計算追趕系數(shù)。l (4) 按內河道的順序計算追趕系數(shù)。l (5) 用高斯消去法求解節(jié)點水位方程。l (6) 用節(jié)點水位回代求出各斷面的水位和流量。 4.4. 最優(yōu)編碼解法編程技巧

16、Leila for 水文09 版權所有v(3)按外河道的順序，依次計算外河道的追趕系數(shù)。 (a)首斷面的追趕系數(shù)由邊界條件確定。 (b)按單一河道計算追趕系數(shù)P、V、S、T。 (c)將末斷面的流量水位關系迭加到末節(jié)點水位方程。 4.4. 最優(yōu)編碼解法編程技巧Leila for 水文09 版權所有v(4) 按內河道的順序計算內河道的追趕系數(shù)。 (a) 計算各河段的差分方程系數(shù)C、D、E、F、 G、。 (b) 計算各斷面的追趕系數(shù)。 (c) 將首、末斷面流量的水位表達式迭加到相應 的節(jié)點水位方程。 4.4. 最優(yōu)編碼解法編程技巧Leila for 水文09 版權所有一、矩陣標識法對于大型復雜河網(wǎng)，優(yōu)化編碼是困難的，節(jié)點編碼常常因人而