第10章 應(yīng)力狀態(tài)理論的基礎(chǔ)

1、一 應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述二 平面應(yīng)力狀態(tài)分析數(shù)解法三 平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法四 三向應(yīng)力狀態(tài)五 廣義虎克定律六 三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能一 應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述1 問題的提出2 應(yīng)力的三個重要概念3 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述討論基本變形強(qiáng)度問題時的共同特點(diǎn):危險截面上的危險點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力FAF拉(壓):PmaxmaxWM扭轉(zhuǎn):討論基本變形強(qiáng)度問題時的共同特點(diǎn):危險截面上的危險點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力M中性軸Mmaxmax*bISFzzQ maxmaxWxM討論基本變形強(qiáng)度問題時的共同特點(diǎn):危險截面上的危險點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力 對于橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的一些點(diǎn)如何建立強(qiáng)度條件?這些點(diǎn)

2、強(qiáng)度條件的危險應(yīng)力如何確定?FPl/2l/2S平面平面4PlFMz 2PF5 54 44 43 33 32 22 21 1 S平面平面1x 12x232PFS平面 5 54 44 43 33 32 22 21 12334PlFMz 為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗過程中,除了在跨中底部會發(fā)生豎向裂縫外,其他部位還會發(fā)生斜向裂紋?這些問題都要通過應(yīng)力狀態(tài)的分析來解決.2.應(yīng)力狀態(tài)的三個重要概念(1)應(yīng)力的面的概念(2)應(yīng)力的點(diǎn)的概念(3)應(yīng)力狀態(tài)的概念軸向拉壓軸向拉壓同一橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等：AFFF同一點(diǎn)在斜截面上時：2cos2sin2 此例表明：即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的

3、，此即應(yīng)力的面的概念。橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念zMQF應(yīng) 力哪一個面上哪一個面上哪一點(diǎn)哪一點(diǎn)？ 哪一點(diǎn)哪一點(diǎn)哪個方向面？哪個方向面？ 過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。就是研究一點(diǎn)處沿各個不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。3 .一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述0dzdydx,BACFFaaABCABCFPl/2l/2S平面平面4PlFMz 2PF5 54 44 43 33 32 22 21 1 S平面平面1x12x 234PlFMz 2PFS平面平面5 54 44 43 33 32 22 21 12332FPlaS繪圖示

4、構(gòu)件固端S截面上、下、左、右切線點(diǎn)處的應(yīng)力單元體xzy4321S平面平面SFPyxzMzFQyMx4321143l承受內(nèi)壓、扭轉(zhuǎn)的薄壁圓筒,試從加強(qiáng)肋之間取應(yīng)力單元體omom DDpxxx0 xF42DpDxpp4pDxlt2t t 0yFlDplt22pDtlomomp22onrM4mpD2tpDlt m p22onrM二 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 數(shù)解法1.1.斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力已知受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體x yxx y求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應(yīng)力ef公式推導(dǎo)使用的符號規(guī)定：角 由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。nx正 應(yīng) 力yx拉應(yīng)力為正x壓應(yīng)力為負(fù) yx 使單元體或其

5、局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。公式推導(dǎo) (1) 面上的應(yīng)力：ex y fx b ey f nx yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosxa 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx用 斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為2p2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx公式推導(dǎo) (2) 面上的應(yīng)力：x yyx xyyx即單元體兩

6、個相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個常數(shù)。即又一次證明了剪應(yīng)力的互等定理。公式推導(dǎo) (3) 面上的應(yīng)力之間的關(guān)系：,?maxmin在何處在何處? ? 該處該處?0dd令,0222sin22cosxyx則:022sin22)cos(xyx即:0面上有maxmin在何處?0令022sin2cosxyx得:yxxotg22任意(為方便)令:12otg可發(fā)現(xiàn):正應(yīng)力極值有兩個方面522452.oo51122252.oo相差maxmin90?maxmin將代入式,得2222xyxyx)(maxmin顯然,在面上maxmin0omaxmin, 0dd02sin22cos22xyx3 3、= ? = ? 在何處

7、？在何處？ 該處該處=？ 令0)2sin2cos2(2xyxxyxtg220maxmin2sin2cos2200 xyxyx面上的正應(yīng)力:即:方位:大小: 22maxmin)2(xyx將 代 式,得:04 4、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：單元體中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主 平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：用代數(shù)值確定，排列為213321、 、 三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)1235 5、應(yīng)力狀態(tài)的分類：、應(yīng)力狀態(tài)的分類：平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)xyxxy三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)

8、特例特例40MPa30MPa60 一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知 ,30,60MPax.30MPaxy試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面； （3）繪出主應(yīng)力單元體。,40MPay40MPa30MPa60 （1）斜面上的應(yīng)力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58解、解、(1) 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力2yx222xyyx)(maxminMPaMPa3 .48, 0,3 .6832140MPa30MPa6024060 22)30

9、(24060)(MPa348368.主平面的方位：yxxyotg224060302)(6 . 0,.4815o48105904815.o哪個主應(yīng)力對應(yīng)于哪一個主方向，可以采用以下方法：40MPa30MPa60MPa60主應(yīng)力 的方向：3主應(yīng)力 的方向：1+MPa30,.515oMPa40+MPa305105.oMPa20MPa10MPa30abc1n xy 222cosyx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin

10、20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個垂直面上，其的和為一常數(shù)。3060低碳鋼拉伸時，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。x xy 22cos2yx2sinx2cos22yx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045min045max0450045minmax 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗時，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷

11、開的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。三 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法1、應(yīng)力圓方程2222sincos)(xyxyx222cossinxyx2222sincosxyxyx(1)(2)對(1) (2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用12222cossin消去 和 ，得2sin2cos222222xyxyx)()(3)RxyyxR222)(),(02yxxyR),( 0a 比照解析幾何的曲線方程 是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，222Ryax )(222222xyxyx)()(則 是個應(yīng)力圓的方程2.應(yīng)力圓是個信息源(從力學(xué)觀點(diǎn)分析）（1）若已知一個應(yīng)力單元體兩個互相垂直面上的應(yīng)

12、力就一定可以作一個圓，圓周上的各點(diǎn)就是該單元體任意斜截面 上的應(yīng)力。（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面 上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化。 在-坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元A、D面上 應(yīng)力對應(yīng)的點(diǎn)a和d 連ad交 s 軸于c點(diǎn)，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。 yyxADa( x , x)d( y , y)cR xy 23.應(yīng)力圓的畫法xyx222)(x點(diǎn)面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力4、幾種對應(yīng)關(guān)系 yyxxcaA),(aa轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。 a yyxxDn dxA2b(y ,y) Oca(x ,

13、x) yyBxAx yyBxAx x xAD odacxyy45x245245beBE（1）對基本變形的應(yīng)力分析5、應(yīng)力圓的應(yīng)用xyBE x x 45oBE 45o 45方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大?？梢姡?45o 45o o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 45o BE45（1）對基本變形的應(yīng)力分析5、應(yīng)力圓的應(yīng)用BE BE45 45o 5.應(yīng)力圓的應(yīng)用（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下求任意截面上的應(yīng)力點(diǎn)面相對應(yīng)，首先找基準(zhǔn)。轉(zhuǎn)向要相同，夾角兩倍整。 yyxxn),(E),(xx),(yyE2 x x y y oc2 0adA AD主平面： = 0

14、,與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對應(yīng)的面1A1B5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向 x x y yA AD主應(yīng)力的確定 oc2oad1A1B1oA10cAc 2yxxyyx22)2( 1oB10cBc 2yxxyyx22)2(5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向主應(yīng)力排序： oc2 pad12 o13 o235、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向 xy x y yxA AD oc2 oad o( x , xy) 主方向的確定yxxy22tan22yxxxytg負(fù)號表示從主應(yīng)力的正方向到x軸的正方向為順時轉(zhuǎn)向g5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力

15、狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向?qū)?yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的面上切應(yīng)力最大，稱為“ 面內(nèi)最大切應(yīng)力”。 max 224212xyyx 5、應(yīng)力圓的應(yīng)用（4）面內(nèi)最大剪應(yīng)力 oc2 oad1A1B4 . 42 . 2n030ef oadcMPa2 . 5030MPa8 . 003006040MPa30MPa60 例題一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知 ,30,60MPax.30MPaxy試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面； （3）繪出主應(yīng)力單元體。,40MPayA AD用應(yīng)力圓解法40MPa30MPa60 o )30,60(b)30,40(acd60) 3 .58,02. 9(MPa3 .681

16、MPa3 .483feo2)0,10(MPaR31.58)23030()2)40(60(226 . 022yxxyptg48.15p解：解：o13主應(yīng)力單元體：MPaMPa3 .48, 0,3 .68321三向應(yīng)力狀態(tài)1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓3.一點(diǎn)處的最大應(yīng)力 空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài) 1 2 3 z x y x y至少有一個主應(yīng)力及其主方向已知 y x y x z三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形32II123(1)求平行于1的方向面的應(yīng)力 、 ,其上之應(yīng)力與1 無關(guān).于是由2 、3作出應(yīng)力圓III1 3III2O231(2)求平行于2的方向面的應(yīng)力、 ,其

17、上之應(yīng)力與2 無關(guān).于是由1 、3作出應(yīng)力圓IIIO3III21III213(3)求平行于3的方向面的應(yīng)力 、 ,其上之應(yīng)力與3 無關(guān).于是由1 、2作出應(yīng)力圓 1 2 3(4)一點(diǎn)處任意斜截面上的應(yīng)力n 、n ,其上之應(yīng)力與1 、2 、3都有關(guān).在- 平面內(nèi),代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上,或位于三個應(yīng)力圓所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi).III3III21O一點(diǎn)處最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力 由1和3 所作成的最大應(yīng)力圓可見:1max3minIIIIII Ozyx213(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點(diǎn)處最大剪應(yīng)力O32 zyx23(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點(diǎn)處最大剪應(yīng)力zyx131O32 (2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一

18、點(diǎn)處最大剪應(yīng)力zyx2111O32 (2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點(diǎn)處最大剪應(yīng)力Oxyx 221232 231 在三組特殊方向面中都有各自的面在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力內(nèi)最大切應(yīng)力, ,即：即：231max一點(diǎn)處最大剪應(yīng)力 五 廣義虎克定律1.橫向變形與泊松比2.三向主應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律3.三向一般應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律4.彈性常數(shù) E、G、之間的關(guān)系 各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）xExxExxy-泊松比泊松比yx2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法2311223+231231231231122,11E,12EE13,21E ,22E E23 2

19、312313,31E ,32E E33 2312313211E1111 3121E2222 1231E3333 123,321,321即即.,min3max1(2)當(dāng) 時，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：03)(1211E)(1122E)(213E)0(3(3)當(dāng) 時，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；0, 032即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。 x y z xy yx yz zy zx xz 若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力 時，則單元體不僅有線變形 ，而且有角變形 。其應(yīng)力-應(yīng) 變關(guān)系為： zyxzxyzyx,zyx,zyxzxy,zyxxE1zxyyE1xyzzE1xzxzzyzyxyxy

20、GGG1,1,1yxz3.三向一般應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律 12EG 邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。已知，=0.3，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計。試求立方體各個面上的正應(yīng)力。0 x0zAFy202010143MPa35zyxxE100353 . 0zxyxzzE100353 . 0 xzMPazx15kNF14xyz 某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示,當(dāng)x,y,z不變,x增大時,關(guān)于x值的說法正確的是_.A.不變B.增大C.減小 D.無法判定y x z x僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大時，線應(yīng)變不變。AzyxxE1 一受扭圓軸,

21、直徑d=20mm,圓軸的材料為,E=200GPa,=0.3.現(xiàn)測得圓軸表面上與軸線成450方向的應(yīng)變?yōu)?5.210-4,試求圓軸所承受的扭矩.T045pWE11E1p1163dET3 . 0116210200102 . 5334pNm7 .125 已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45方向測出線應(yīng)變。現(xiàn)測得軸向應(yīng)變 ，45方向的應(yīng)變?yōu)?。若軸的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。6010500610400uFmmFkuu45解：解：（1 1）K點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分析點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分析

22、在在K點(diǎn)取出單元體：點(diǎn)取出單元體：xKxy其橫截面上的應(yīng)力分量為：其橫截面上的應(yīng)力分量為：316DmWmWMppnxp,AFAFNx（2 2）計算外力）計算外力F.由廣義胡克定律：由廣義胡克定律：zyxxE16010500Ex解得：解得：AFxAE0626910)100(41050010200pKN785（3 3）計算外力偶）計算外力偶m.已知已知zvuuE1610400式中式中, 0z)45(2sin)45(2cos2200 xxxuxx2)45(2sin)45(2cos2200 xxxvxx2xKxyuuuvv由由6104001xxxxE解得：解得：26/106 .34mNxmKNDmx79. 6163p因此因此 六 三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能1.體積應(yīng)變2.體積改變與形狀改變43.三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能變形前單元體體積231dxdydzdxdydzVo變形后單元體的各棱邊長度將分別變?yōu)?(111dxdxdx)(221dydydy)(331dzdzdz變形后單元體體積為)()()(3211111dzdydxV略去二階