第七章行列式

1、 第七章第七章 行列式行列式實訓目標1.理解二階行列式、三階行列式、n2.了解行列式的性質和幾個常用的特殊行列式并利用“三角化”計算行列式。階行列式的定義。3.了解克萊姆法則，并會用克萊姆法則解方程。一、二階行列式的定義一、二階行列式的定義記號記號 表示代數和表示代數和 ，稱為，稱為二階行列式。即二階行列式。即 其中數叫做其中數叫做行列式的元素，橫排叫做行，豎排叫做列。元行列式的元素，橫排叫做行，豎排叫做列。元素的第一個下標素的第一個下標i叫做行標，表明該元素位叫做行標，表明該元素位I行，第二個下標行，第二個下標j叫做列標，表明該元素位于第叫做列標，表明該元素位于第j列。列。 22211211

2、aaaa21122211aaaa2112121122211211aaaaaaaa 由上述定義可知，二階行列式是由由上述定義可知，二階行列式是由4個數按一個數按一定的規(guī)律運算所得的代數和。這個規(guī)律性表定的規(guī)律運算所得的代數和。這個規(guī)律性表現在行列式的記號中就是現在行列式的記號中就是“對角線法則對角線法則”。如圖如圖10-1-1所示，把到的實連線稱為主對角所示，把到的實連線稱為主對角線，把到的虛連接線稱為副對角線，于是，線，把到的虛連接線稱為副對角線，于是，二階行列等于主對角線上兩元素之積減去去二階行列等于主對角線上兩元素之積減去去副對角線上兩元素之積。副對角線上兩元素之積。2111aa2212a

3、a二、三階段行列式定義二、三階段行列式定義 下面，我們利用二階行列式的概念來討論二元線性下面，我們利用二階行列式的概念來討論二元線性方程組的解。方程組的解。 設有二元線性方程組設有二元線性方程組22221211212111bxaxabxaxa)2 . 1 () 1 . 1 (得）式（）式（12222 . 11 . 1aa122221121122211ababxaaaa）（)3 . 1 (得）式（）式（21111 . 12 . 1aa211112221122211ababxaaaa）（)4 . 1 (利用二階行列式的定義，記利用二階行列式的定義，記2221121121122211aaaaaaaa

4、D2221211222211ababababD2211112111122babaababD則式（1.3）、式（1.4）可改寫為2211,DDxDDx0D于是，在系數行列式 的條件下，式（1.1）、式（1.2）構成的方程組有唯一解：DDx11DDx22例例1 解方程組解方程組 328322121xxxx解解 713)2(22132D7) 3(3)2(823381D1418) 3(238122D因0D，故題設方程組有唯一解 17711DDx271422DDx二、三階段行列式定義二、三階段行列式定義類似地，我們定義三階行行列式類似地，我們定義三階行行列式31221333211232231132211

5、3312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa將上式右端按第一行的元素提取公因子，可得)()()(312232211331233321123223332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa)5 . 1 (式（1.5）具有兩個特點：（1）三階行列式可表示為第一行元素分別與一個二階行列式乘積的代數和； 11a12a13a11a12a13a11a12a13a，（2）元素 ， ， 后面的二階

6、行列式是從原來三階行列式中分別劃去元素 ， ， ，所在的行與列后剩下的元素按原來順序所組成的，分別稱其為元素 ， ， ，11a的余子式，余子式，記為 ,即131211,MMM3332232211aaaaM3331232112aaaaM3231222113aaaaMijjiijMA) 1(ija令令 ，稱其為元素 的代數余子數代數余子數 于是，式（1.5）也可以表示為3111131312121111333231232221131211jjjAaAaAaAaaaaaaaaaa式（1.6）稱為三階行列式按第一行展開的展開式第一行展開的展開式)6 . 1 (注注：根據上述推倒過程，讀者也可以得到三階行

7、列式按其它行或列展開的展開式，例如，三階行列式按第二列展開的展開式為3122323222221212333231232221131211iijAaAaAaAaaaaaaaaaa此外，關于三階行列式的上述概念也可以推廣到更高階的行列式中去 （1.7） 601504321例例2 計算三階行列式解解 按第一行展開，得131211321601504321AAA5803)29(2010104) 1(36154) 1(26050) 1(1312111注注：讀者可嘗試將行列式按第二列展開進行計算三、三、n階行列式的定義階行列式的定義前面，我們首先定義了二階行列式，并指出了三階行列式可通過按行或列展開的方法轉

8、化為二階行列式來計算。一般地，可給出 階行列式的一種歸納定義。n2nija定義定義 由 個元素 （i，j=1,2，n）組成的記號nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211稱為n階行列式，階行列式，其中橫排稱為行，行，豎排稱為列列。它比奧斯一個由確定的遞推運算關系所得到的數：當n=1時，規(guī)定 ；當n=2時，111aD 21122211222112112aaaaaaaaD當n2時，jnjjnnnAaAaAaAaD1111112121111)8 . 1 (ijAija其中 稱為元素 的代數余子式代數余子式，且ijjiijMA) 1(ijMijanDija這里 為元素 的余子式，余子式

9、，它是 在中劃去元素 所在的行與列后余下的元素按原來順序構成的n-1階行列式。例如例如，在四階行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 32a中，元素 的余子式和代數余子式為34333124232114131132aaaaaaaaaN32322332) 1(MMA4D4356140327001025例例3 計算行列式解解 由行列式的定義，有270451364) 1()5(102270451) 1(3411145D2745) 1(21027) 1(1331112736) 1(12745) 1()4(52111466)2112()28

10、10()4(5)2810(273式（1.8）稱為n階行列式按第一行展開的展開式按第一行展開的展開式。事實上，我們可以證明n階行列式可按其任意一行或列展開，例如，將定義中的n階行列式按第i行或第j列展開，可得展開式nkikikininiiiinAaAaAaAaD12211），n21(i）（ 9 . 1nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAaD12211n)n2 , 1(， j）（ 10. 1或 例例4 計算行列式57108000629020143D解解 因為第三列中有三個零元素，可按第三列展開，得578006123) 1(232D對于上面的三階行列式，按第三行展開，得2006123) 1(5

11、233D注：注：由此可見，計算行列式時，選擇先按零元素多的行或列展開可大大簡化行列式的計算，這是計算行列式的常用技巧之一 四、幾個常用的特殊行列式四、幾個常用的特殊行列式形如nnnnaaaaaa00022211211與 annaaaaann21222111000的行列式分別稱為上三角形行列式上三角形行列式與下三角形行列式下三角形行列式，其特點是主對角線一下或以上的元素全為零。我們先來計算下三角形行列式的值。根據n階行列式的定義，每次均通過按第一行展開的方法來降低行列式的階數，而每次第一行都僅有第一項不為零，故有nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa323332221111212221110

12、00) 1(000nnnnnnaaaaaaaaaaa221143444333112211000) 1(對上三角形行列式，我們可通過每次按最后一行展開的方法來降低行列式的階數，而每次最后一行都僅有最后一項不為零，同樣可得nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000特別的，非主對角線上元素全為零的行列式稱為對角行列式，易知nnnnaaaaaa22112211000000綜上所述可知，上、下三角形行列式和對角行列式的值都等于其主對角線上元素的乘積。習題習題 7-11.計算下列二階行列式 （1）4131 （2）2112 (3)22baba 原式 11341.習題習題 解答解答原式. 5

13、) 1(122原式 .22abababba2.計算下列三階行列式：231404532630351241（1）（2）231404532 450311253314243012312111.48128424 63035124132340623416335123643365. 9624930 3.求行列式123040253中元素2和-2的代數余子式。112311211（3）112311211321121211113111 2131221) 1(13111. 5462131 ; 03040113;293543123元素2的代數余子式為 元素-2的代數余子式為 4.已知四階行列式D中第三列元素以此為-1，

14、2，0，1它們的余子式依次為5，3，-7， 4，求D。 41703251D.15 5.證明：322)(11122babbaababa00122222221213ababaabaabaccccabababaab2212221321abaabab3ba 左邊=右邊.6.按第三列展開下列行列式，并計算其值：011111101101dcba （1） 111110101011110101011111101011111110bcba1111011111110111ba1110111111100111dc.dba原式=（2）00000000052514241323125242322211514131211a

15、aaaaaaaaaaaaaaa00000000052514241323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaa. 000000000000052514241323115141211235251424132312524222113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa7.2 行列式的性質行列式的性質一、行列式的性質一、行列式的性質TDD將行列式D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉置轉置行列式行列式，記為 或 即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111若，則 性質性質1 行列式與它

16、的轉置行列式相等，即TDD 注：注：由性質1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質，它的列也同樣具有。性質性質2 交換行列式的兩行（列）。行列式變號。注：注：交換i，j兩行（列）記為)(jijiccrr。推論推論1 若行列式中有兩行（列）的對應元素相同，則此行列式為零。DD0D證明證明 互換D中相同的兩行(列)，有 ，故 。kk性質性質3 用數 乘行列式的某一行（列），等于用數乘此行列式，則kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin2121112112121112111kkrikci注：注：第i行（列）乘以 ，記為 （或 ）。 推

17、論推論2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論推論3 行列式中若有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。例如，行列式 ，因為第一列與第二列對應元素成比例，根據推論 3，可直接得到。 4103614532D04103614532D1333231232221131211aaaaaaaaa33231332221231211155102336aaaaaaaaa例例1 設，求333231232221131211332313322212312111535353255102336aaaaaaaaaaaaaaaaaa解解3015) 3(25) 3(233323123222113

18、1211aaaaaaaaa性質性質4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，設nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211則21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin性質性質5 將行列式的某一行（列）的所有元素都乘以數 后加到另一行（列）對應位置的元素上，行列式的值不變。kkji例如，以數 乘以第 列加到第 列上，則有)(1122222111111112222111111jiDaakaaaaakaaaaakaaaaaaaaaaaaaaaDnnnjnjninnjjinjjinnnjnin

19、njinji證明證明 nnnjnjnnjjnnnjninnjiaakaaaakaaaaaaaaaaD11111111111114性質3推論DD0 kjijikrr kjijkcc 1注：注：以數 乘第 行加到第 行上，記作 ；以數 乘第 列加到第 列上，記作。二、利用二、利用“三角化三角化”計算行列式計算行列式注：注：今大部分用于計算一般行列式的計算機程序都是按上述方法進行設計的?？梢宰C明，利用行變換計算n階行列式需要大約 次算術運算。任何一臺現代的微型計算機都可以在幾分之一秒內算出50階行列式的值，運算量大約為83300次。如果用行列式的定義來計算，其運算量大約為4950！次，這顯然是個非常

20、大的數值。3/23n3/23n3142313150111253D例例2 計算D21cc314231311253501114125rrrr71622141162830001解解 32rr 76122411168230001242384rrrr15101210811000020313445rr 402/51012081100002031例例3 計算3111131111311113D解解 注意到行列式中各行（列）4各數之和都為6，故可把第二，三，四行同時加到第1行，提出公因子6，然后各行減去第1行，化為上三角形行列式來計算：D4321rrrr31111311113111116311113111131

21、6666141312rrrrrr4820000200002011116注：注：仿照上述方法可得到更一般的結果：1)() 1(nbabnaabbbbbabbbba習題習題7-21.用行列式的性質計算下列行列式：（1）29092280923521534215 習題解答習題解答29092280923521534215100028092100034215128092134215100028092342151000.6123000= 600300301395200199204100103600300301395200199204100103100030015200141003031521413 行列式中

22、第1列的三個數分別與100，,200，300較接近，而第3列的數與200,400,600相近，故可把第2列的-1倍及-2倍分別加至第1列與第3列，第2列再提取公因數100，便可化簡計算，即 =（2）.20005548100001551483 =100（3）efdeaecfcdacbfbdabefdeaecfcdacbfbdabadfeeecccbbb111111111111111111adfbceadfbce.4021201001adfbceadfbcedcba110100011001（4）dcba110100011001dcbaabrar100110011010210101111011011

23、12312cdcadaabdccdcaab. 11111123adcbababcdcdadab711002510202142141111111111111111； （5）；（6）7110025102021421432347cccc0110142310202110214424121cccc. 00100142171720001029911111111111111112000220022201111 =82.用行列式的性質證明下列等式 xzyyxzzyxzyyxxzxzzyyxyxxzzy2zyyxxxzzyyyxxzzzyyxzxzzyxyxxzyyyxzzzyxxxzyzyyxxzzyyxxz

24、2zyxxzyyxzyxzzyxxzyxzyyxzzyx右邊.左邊=3.已知255,459，527都能被17整除，不求行列式的值，證明行列式 能被17整除。79525554279525554217527459255255542312715255542312715255542795255542 =因為是整數，所以能被17整除.4.把下列行列式化為上三角形行列式，并計算其值：1350523401122342（1）1350523401122342213505232011123411350185224310001215401106220110001210754013106200110001714013

25、2620011000113140126200110001101134012620011000110.27027134001620011000110=2=3214214314324321（2）3214214314324321103211021410143104321032112141143143212011102240313043211110111031104321.160400022003110432120= = =2100012100012100012100012（3）D5610001451000134100012300001221000145100013410001230000122100

26、0121000134100012300001221000121000121000123000012. 65645342325.用降階法計算下列行列式：yyxx1111111111111111（1）；yyx0010010010001yyxx111011101110111yyxxyyxxy110110111111111112xxy 2yyxyy1111002.11222222yxyxxyxy原式= 0000bbaaabbaaaba（2）432,CCC1Cbabbbaaabababaababa202020220101011abaabaababa2abaabbabbaaaba000001ba2abaa

27、bbabbaa00.42222abbaabababba將都加到,得=xyyxyxyx000000000000110000110001002211nnaaaaaa（3） （4）xxyxyx0000000yn 11yxyxxy000000.) 1(1nnnyx原式= 1n110000110001000221nnaaaaan1111nnnnaaaaa0000000221 .1121nnaaan將第2列至第列分別加到第1列，得 = 原式=7.3 克萊姆法則克萊姆法則引例引例 對三元線性方程組333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa在其系數行

28、列式 的條件下，已知它有唯一解：0DDDx11DDx22DDx33,，,其中333231232221131211aaaaaaaaaD 3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 注：注：這個解可通過消元的方法直接求出。1x2xnx對更一般的線性方程組是否有類似的結果？答案是肯定的。在引入克萊姆法則之前,我們先介紹有關n元線性方程組的概念，含有n個未知數 ， ， 的線性方程組,，nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111

29、) 1 . 3(1b2bnb1b2bnb稱為n元線性方程組元線性方程組。當其右端的常數項 ， ， 不全為零時，線性方程組（3.1）稱為非齊次線性方程組非齊次線性方程組，當 , , 全為零時，線性方程組（3.1）稱為齊次線性方齊次線性方程組程組，即， 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa)2 . 3(線性方程組（3.1）的系數 構成的行列式稱為該方程組的系數行列式系數行列式D，即ijannnnnnaaaaaaaaaD212222111211定理定理1（克萊姆法則）（克萊姆法則） 若線性方程組（3.1）的系數行列式 ，則線性方程組（3.1

30、）有唯一解，其解為0DDDxjj)2 , 1(nj， )3 . 3()21(njDj，ja1ja2nja1b2bnb其中 ,是把D中第j列元素 , , 對應地換成常數項 , , ，而其余各列保持不變所得到的行列式。,例例1 用克萊姆法則解方程組 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx6261710542311012D21242rrrr122613710572370010解解 12772121357212322cccc2723732037710538162617105423105981D10862617105059801022D276261059842

31、3110123D270598710542311012D所以3278111DDx42710822DDx1272733DDx1272744DDx， ，, ，例例2 大學生在飲食方面存在很多問題，多數大學生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規(guī)律，為了身體的健康就需注意日常飲食中的營養(yǎng)。大學生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質、脂肪和碳水化合物，表7-3-1給出了這三種食物提供的營養(yǎng)以及大學生的正常所需的營養(yǎng)（它們的質量以適當的單位計量）表表7-3-1營養(yǎng)單位食物所含的營養(yǎng)所需營養(yǎng)食物一食物二食物三蛋白質36511333脂肪071.13碳水化合物52347445試根據這個問題建立一個線性方程組，并通過求解方程

32、組來確定每天需要攝入的上述三種食物的量。1x2x3x解解 設 , , 分別為三種食物的攝入量，則由表中的數據可得出下列線性方程組：4574345231 . 173313513632132321xxxxxxxx由克萊姆法則可得8 .154867434521 . 170135136D3 .42937434451 . 1731351331D6 .60697445521 . 1301333362D36124534523703351363D則277. 011DDx392. 022DDx233. 033DDx，從而我們每天輸入0.277個單位的食物一、0.392個單位的食物二、0.233個單位的食物三就可

33、以保證我們的健康飲食了 一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。目前用計算機解線性方程組已經有了以整套成熟的方法 克萊姆法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性，與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。撇開求公式（3.3），克萊姆法則可敘述為下面的定理 定理定理2 如果線性方程組（3.1）的系數行列式 ，則線性方程組（3.1）一定有解，且解是唯一的。0D定理定理2 如果線性方程組（3）無解或解不是唯一的，則它的系數行列式必為零。 對齊次線性方程組（3.2），易見 一定是該方程組的解，稱其

34、為齊次 021nxxx線性方程組（3.2）的零解零解。把定理2應用于齊次線性方程組（3.2），可得到下列結論。定理定理3 如果齊次線性方程組（3.2）的系數行列式 ，則齊次線性方程組（3.2）只有零解。0D定理定理3 如果齊次線性方程組（3.2）有非零解，則它的系數行列式0D注：注：在第9章中還將進一步證明，如果齊次線性方程組的系數行列式 ，則齊次線性方程組（3.2）有非零解。0D例例1 1 為何值時，齊次線性方程組0)1 (0)3(2042)1 (321321321xxxxxxxxx有非零解？解解 由定理3知，若所給齊次線性方程組有非零解，則其系數行列式0D 111132421D12cc 1

35、011124311141) 1)(1 (1112) 1)(3(2221（按第二了展開） 4)1)(1 ( 1)1 (2)3(2)3)(2(3)1 (2)1 (230D023如果齊次線性方程組有非零解，則 ,即 或 時，齊次線性方程組有非零解 習題習題7-31.用克萊姆法則解下列線性方程組：44522272532zyxzyxzyx(1).習題解答習題解答,634547222213,634527252111DD45272252312D45472222131DDDx1, 16363DDy2, 263126. 3631893DDz126，于是得 189003202azcxbcbzcyabaybx0ab

36、c； (2)，其中,503200abcacbcabD,500320221bcaabcbcaabD,50300222cabacbbcabbD,5020223abcacbccababD,5521aabcbcaDDx,5522babccabDDy.5523cabcabcDDx于是得2.用克萊姆法則解下列線性方程組：01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(1).,142D,142112105132412211151D,284112035122412111512D,426110135232422115113D,14202132132212151114D

37、1, 3, 2, 144332211DDxDDxDDxDDx24324322256511324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (2), 01043114312251151132D, 0431243122512511361D,20432143222521511622D, 042114212221156323D, 0231123122511611324D, 010 D, 01D,202D, 03D, 04D, 010011DDx, 2102022DDx, 010033DDx. 010044DDx系數行列式系數行列式于是得 3.醫(yī)院營養(yǎng)師為病人配制的一份菜肴由蔬菜，魚

38、和肉松組成，這份菜肴需含1200cal熱量，30g蛋白質和300mg維生素C，已知三種食物每100g中有關營養(yǎng)的含量如下表所列：蔬菜魚肉松熱量/cal60300600蛋白質/g396維生素C/mg906030試求所配菜肴中每種食物的數量。21,xx30030609030693120060030060321321321xxxxxxxxx1023102320105321321321xxxxxxxxx0461232311051D,7012102310105201D,11011032101102012D301023103120513D,65. 04630,39. 246110,52. 14670321

39、xxx設每份菜肴中蔬菜，魚和肉松的數量分別為（單位100g），簡化得 由于系數行列式 故方程組有唯一解，又容易算得所以方程組的解為即每份菜肴中應有蔬菜152g，魚239g和肉松65g.那么由已知條件可得線性方程組4.判斷齊次線性方程組0285042022321321321xxxxxxxxx是否僅有零解。 , 03022180421960285421122D, 0321DDD但 所以方程組僅有零解.,0200321321321xxxxxxxxx5. 取何值時，齊次線性方程組 有非零解？01211111D, 0D00, 101齊次線性方程組有非零解，則即或不難驗證，當或時，該齊次線性方程組確有非零

40、解。nnn實訓目標一、知識小結1.目的要求(1)理解二階行列式、三階行列式、(2)了解行列式的性質和幾個常用的特殊行列式并利用“三角化”計算行列式。(3)了解克萊姆法則，并會用克萊姆法則解方程。2.重點難點重點：二階行列式、三階行列式、 階行列式的定義，行列階行列式的定義、用克萊姆法則解方階行列式的定義。式的性質克萊姆法則。難點：三階行列式、程，幾個常用的特殊行列式并利用“三角化”計算行列式。22221211212111bxaxabxaxa)2 . 1 () 1 . 1 (得）式（）式（12222 . 11 . 1aa122221121122211ababxaaaa）（) 3 . 1 (得）式

41、（）式（21111 . 12 . 1aa211112221122211ababxaaaa）（)4 . 1 (2221121121122211aaaaaaaaD2221211222211ababababD2211112111122babaababD2211,DDxDDx0DDDx11DDx223.學習指導（1）幾個重要的概念1）二階行列式的有關概念：利用二階行列式的概念來討論二元線性方程組的解。設有二元線性方程組 利用二階行列式的定義，記 則式（1.3）、式（1.4）可改寫為于是，在系數行列式 的條件下，式（1.1）、式（1.2）構成的方程組有唯一解：3122133321123223113221

42、13312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312232211331233321123223332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa)5 . 1 (2）三階行列式的概念：將上式右端按第一行的元素提取公因子，可得 11a12a13a11a12a13a11a12a13a131211,MMM3332232211aaaaM3331232112aaaaM3231222113a

43、aaaM)6 . 1 (式（1.5）具有兩個特點：（1）三階行列式可表示為第一行元素分別與一個二階行列式乘積的代數和；（2）元素，后面的二階行列式是從原來三階行列式中分所在的行與列后剩下的元素按原來順序所的余子式，余子式，記為,即別劃去元素組成的，分別稱其為元素ijjiijMA) 1(3111131312121111333231232221131211jjjAaAaAaAaaaaaaaaaa令，稱其為元素于是，式（1.5）也可以表示為的代數余子數代數余子數。ija3122323222221212333231232221131211iijAaAaAaAaaaaaaaaaa2nijannnnnnnaaaaaaaaaD212222111211式（1.6）稱為三階行列式按第一行展開的展開式第一行展開的展開式注注：根據上述推倒過程，讀者也可以得到三階行列式按其它行或列展開的展開式，例如，三階行列式按第二列展開的展開式為 此外，關于三階行列式的上述概念也可以推廣到更高階的行列式中去。3）n階行列式的定義由 個元素（i，j=1,2，n）組成的記號（1.7）稱為n階行列