高中數(shù)學(xué)公式匯總

1、高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全1. 懇巨* o工“討o x毎衛(wèi).0Q丿O /h02. Cl(】q 二島蟲UClQUC4U3 二.3. '匚二 ©oqu 月二設(shè)仙叫石 的子集個(gè)數(shù)共有嚴(yán) 個(gè)；真子集有y,個(gè)；非空子集有甞1個(gè)；非空的真子集有2H-2個(gè).一般式1':'_ '" "f II; 頂點(diǎn)式八-、：- ：- '1;當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為此式 零點(diǎn)式' ''-；當(dāng)拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為二|:丄“；時(shí)，設(shè)為此式4切線式：" 二".。當(dāng)拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí),設(shè)為此式 -'

2、1 " 二常有以下轉(zhuǎn)化形式NVZMo / 一 M叮-N<Q M-y H/W>Z7宀亦SO)在靠竝內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于畑心宀或3護(hù)-40。8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值_ h二次函數(shù)/(QmC處衣也"在閉區(qū)間b占上的最值只能在勿處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a>0時(shí)，假設(shè)；廣，那么1 =皿)丿敘pg 當(dāng) a<0時(shí)，假設(shè)，那么-*.- -' 1,假設(shè)小討，那么/喚珂/處/，/y=mm如J.，； -':0的實(shí)根分布p2 藝皿1方程/W = °在區(qū)間臨皿內(nèi)有根的充要條件為/欄<0或I 22方程$-在區(qū)間'

3、;內(nèi)有根的充要條件為p拠十左懣 <-<2 2加十用pS- CK22尹=一韌壬Q*聲4孑王0/(«) >0_/帥)x 0/W/W <0或或Wp2 _4? 2.0-j3方程煮小=°在區(qū)間F熾內(nèi)有根的充要條件為于旳vU或I 2.10.定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立或有解的條件依據(jù)在給定區(qū)間Eg的子區(qū)間E形如血Q，卜叫禺，広曲不同上含參數(shù)的不等式八沁1牡為參 數(shù)恒成立的充要條件是'''"：，TI " ' _ ' 0在給定區(qū)間一八' 的子區(qū)間T上含參數(shù)的不等式'H - :為參數(shù)恒成立的充

4、要條件是 /OU/"O 在給定區(qū)間：°二的子區(qū)間二上含參數(shù)的不等式為參數(shù)的有解充要條件是4在給定區(qū)間.J匚的子區(qū)間上上含參數(shù)的不等式. 1 -為參數(shù)有解的充要條件是對于參數(shù)*及函數(shù)=-':.假設(shè)恒成立，貝U心;:;假設(shè)“二''<恒成立，那么L' -<T 1 ；假設(shè)諾一'1 有解，那么丿一 TT.T. -；假設(shè)衛(wèi)-有解，貝U；假設(shè).，有解,那么"'"''.假設(shè)函數(shù)：V 八；"無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論11.真值表Pq非Pp或qp且q直/、直/、假直/、直

5、/、直/、假假直/、假假直/、直/、直/、假假假直/、假假原命題firiJFJq否否命題 假設(shè)謹(jǐn)命題 假設(shè)唄加te逆否命題 假設(shè)1叔山卩原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有邛個(gè)至多有總一 1個(gè)小于不小于至多有總個(gè)至少有用+1個(gè)對所有X，成立存在某K，不成立且F對任何X,不成立存在某X，成立P或罕13.四種命題的相互關(guān)系右圖:''表示條件，.表示結(jié)論1充分條件：假設(shè)；-，那么廠是.充分條件.2必要條件：假設(shè)匚一-，那么廠是必要條件.3充要條件：假設(shè)一，且4 /，那么和是丁充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，那么乙是甲的

6、必要條件；反之亦然設(shè)可網(wǎng)亡口上眄工可那么亞-呵裔>0呂石也>0»/x在上是增函數(shù);可-叫屮叼-/鳧VO0如二h 0O/在以"-乃上是減函數(shù). 設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果.'J -，那么廠Y為增函數(shù)；如果，那么為減函數(shù).' 和都是減函數(shù),那么在公共定義域內(nèi),和函數(shù) WW 也是減函數(shù)；如果函數(shù)I；和!一 ："都是 增函數(shù),那么在公共定義域內(nèi),和函數(shù)二7也是增函數(shù)；如果函數(shù)-和廠-在其對應(yīng)的定 義域上都是減函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)-匸是增函數(shù)； 如果函數(shù)1J-和'-在其對應(yīng)的定義域上都是增函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)丿-是增函數(shù)；如果函數(shù)1'

7、; -：|和“在其對應(yīng)的定義域上一個(gè)是減函數(shù)而另一個(gè)是增函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)二丄 是減函數(shù).17奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱, 那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).18.常見函數(shù)的圖像:在+ b- I-上 '-:恒成立，那么函數(shù)的對稱軸是:'兩個(gè)函數(shù)'與baz 廠i “：的圖象關(guān)于直線對稱. '- ，- -；,那么函數(shù)'的圖象關(guān)于點(diǎn)一對稱；假設(shè)八廠+'：',那么函數(shù)為周期為二的周期函數(shù).21多項(xiàng)式函數(shù)+ 竹的奇偶性多項(xiàng)

8、式函數(shù)亍-匚是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)即奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)二二匸的奇次項(xiàng)即偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)全為零.1" 的圖象的對稱性1函數(shù) 門；的圖象關(guān)于直線：_匚對稱L、丨工J 一- 丄._ a+6 函數(shù)卩的圖象關(guān)于直線：對稱，：一 ' ；1函數(shù)L" 二與函數(shù)，門 '的圖象關(guān)于直線：即“軸對稱._ « +Z?函數(shù)- '' ；1A ：與函數(shù)''''的圖象關(guān)于直線-：'對稱. 函數(shù)一 和二'的圖象關(guān)于直線y=x對稱. = yw的圖象右移盤、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)廠燼-十也的圖象；假設(shè)將曲線兀刃二

9、°的圖象 右移J上移'個(gè)單位，得到曲線點(diǎn)八 '的圖象.正比例函數(shù)了他+必=/或+ f=匚.指數(shù)函數(shù)-'|： '. - '''.' 1.-'L -廠-'.對數(shù)函數(shù)' |： -111 ? 1 T'/|_ +,：T 1 '-1' .' ; _ ir '-r 1 .幕函數(shù)，"丨-. 余弦函數(shù)/ W= c°,正弦函數(shù) 或二別11 k , 了兀-劉=/力/0+或月,s x .26.幾個(gè)函數(shù)方程的周期約定a>01；' 1 ，貝的周期T=a

10、；2一=' ''，或r ,那么的周期 丁=2迅/W = iC/刃蓋 0，那么丿：的周期T=3a；_ /輛+丿花T=4a；且/二工J 可工V兀17?X加那么/E的周期27.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 ./ =曙7 >卑E礦，且n>2當(dāng)“為奇數(shù)時(shí),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),<029. 有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)ar =卅a > 0,尸，呂 Q了二瀘心0/代0.393尸=/擴(kuò)直、0> 03r e Q注：假設(shè)a>0, p是一個(gè)無理數(shù)，那么ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù) 指數(shù)幕都適用30. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：.匸 一丁 -曲那= '臨3

11、1. 對數(shù)的換底公式:I 二-:,且"一，八:,且：丨，:-】.對數(shù)恒等式：丿廠，且“子1,幾二.推論-,且32. 對數(shù)的四那么運(yùn)算法那么：假設(shè)a>0, a 1, M>0, N>0,那么_.嚴(yán)一甘;-=二亠宀mm-；=一-記 -；-匚假設(shè)的定義域?yàn)?那么l且假設(shè)的 值域?yàn)?，那?1 ,且v。34. 對數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，且，二一，那么m.2.35. 平均增長率的問題負(fù)增長時(shí)-如果原來產(chǎn)值的根底數(shù)為 N,平均增長率為叩，那么對于時(shí)間丁的總產(chǎn)值J，有.- 一 - | ._ pb « = 136. 數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系：" 転弘嚴(yán)之2

12、數(shù)列仏J的前n項(xiàng)的和為巧二陽+巾+十陽.37. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:m；如耳=十仝亠=9 +.打M其前n項(xiàng)和公式為：咳二礬樸二生尸處礦38. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：丿其前n項(xiàng)的和公式為 :“亠'的通項(xiàng)公式為b 十甸= 1叫二遽+ 坊廠H 衛(wèi)芒L曠1.7其前n項(xiàng)和公式為:祐+科并 一 1Z? = 1 姑令甘+缶恥1+創(chuàng)n =40.分期付款按揭貸款：每次還款 11 -"元貸款杯元/'次還清，每期利率為一.41 常見三角不等式霞S1假設(shè)'，貝u I -,'.假設(shè)e:，那么sin42.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式:山?-一二丄-，L一-43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變

13、偶不變，符號(hào)看象限MS竺斗口2 '(-l)ws«,(冷為偶數(shù))J44-1£- I)丁 Sill £ 0為奇數(shù))I I . '：-1 I i :;- ： . I；，-： I 廠 - :： r. i. I I r ；湎匕土處竺業(yè)巴£1 干tantan &節(jié). 十''-:'TI -平方正弦公式;cos(a+ )cos(af- p) - cor3 asin2 py" "I-J,輔助角樣所在象限由點(diǎn)的象限決定-.45. 二倍角公式及降幕公式2 tan asm 2a = sin orcas a 1

14、十 tan3 al - tan3 am:二:；乙 j.n 丄二'1 _二二二,.-、r 2 tan a tan Za 、i'.- - / '.t 1 -cos2c3f 2 1+cos 2a sin a =, cos a =2 2sin 2a 1- cos 2atan ci =:1h-cos2o:sLti246. 三角函數(shù)的周期公式T =7T函數(shù)人 ，xR及函數(shù)亠 »',x RA, co,'為常數(shù)，且AM 0的周期；函數(shù)7T2 A, o,卩為常數(shù)，且Am 0的周期三角函數(shù)的圖像:0 jt/20五點(diǎn)法作圖列表:+ ®0n /2n3n /2

15、2nX7厶=2 =厶七47. 正弦定理 ：行二“" R為一心 外接圓的半徑.U 衛(wèi)=2a sm 耳 口二上氐= 2K siti C* 4 b ：；二 jin / : sin g: sin C a2 二 b2 +c3 - 2bc nos j4 . b2 = c1 -t-a2 - 2ca cos B . c1 = a2 + b2 - cos C£一C -A - ccir. £'2 ； :- -J顧麗刃碩/G內(nèi)切3a +d+c在 ABC中，有+£+C二兀OU=河-丄+為222 Q 2C=測-2/+舊50.簡單的三角方程的通解,!.-| - -.>

16、- - '.' - ； I ： . I； -' -',-':'：. J : / - I ：-：，-：:', I一 .-. .7丨丄一Lu一一1 '丄匚 二.匚 丄i 特別地，有'f - 一 i ：-'一.-：一 ： 1 LC - - -'= cos RO=2k/r士 0上 2.丄二 L.2.:二.二:;'Z _sin 忑 A 常|© $1 O 兀亡 t2t+ arcsin a, "7T+7T air 孔口口，疋 E Z沁兀 Vq| 口 任 1 O 不亡2fcT-/T-越冏n.算

17、2izr-Farcsin«t Zcos x 二山| u |蘭 1 O jt 迂2t7T-arccos a, 2+arc匚工 Jte Z cos x 弋列伍 1 Oh e 2Att 4-sire cos af 2-F 2tt arccosct, te Ztan x > E 氏二工 E 此7F+ ai'Ctartan x < aa e x - 上zr+ arctanZ.52. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)入、卩為實(shí)數(shù)，那么結(jié)合律：入卩=入卩2第一分配律：入+卩：二入：+卩7 ;第二分配律:入+=入丁 +入二.53. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：1； ，= 1 交換律；|=I,

18、.'.=：；：.=；.i1 匚3二 + i_ = 一1 廠 +.54. 平面向量根本定理如果、二是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)入i、入2，使得'=入1 ' + X 2 -.不共線的向量下、匚叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底.55. 向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) 2，且 A - j，那么 I 廠二二二丁- 二 J .56. 7與L的數(shù)量積或內(nèi)積:廠二=|匸| '：'57. 7 ：的幾何意義:數(shù)量積匚.等于三的長度|三|與在了的方向上的投影r | -上r的乘積.a_b_向量1在向量上的投影：| | -：二=二丨.

19、設(shè)茁=%H,$=S乃，那么怎屈'=珂+勺戸+乃.設(shè)莊=心，了=吃丿，那么£ 一虧=5 吃.3設(shè)aEJi，BEjJ,那么巫二方-刃二-召宀-旳4設(shè)匚=忑J兄亡R，那么靈口 =1幾不池y . 設(shè)茁=%H,$=忌乃，那么孑£ =可乃+戸乃公式茁占 _羽兀十y空肩+圧肩+丈I =】；仏=|畫二倔喬二血-12十七丫Ax“X，B勺，61. 向量的平行與垂直：設(shè)川=r“J = ，且圧，那么和|，丁 '=入丄 '- - - ： .*S_LbJ _ 了=0_ - 一62. 線段的定比分公式：設(shè)談3亍，是線段 H 的分點(diǎn)是實(shí)數(shù)，且,%十忑“1+兄_、丿+冊手_0竝+恥烏

20、 _ _r_1.63.三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 八i一、；-：、'二：i ,那么厶ABC的重心的坐標(biāo)是亞+可+碼乃+片+乃3 13:/ =萬十刀 x = f 向LM=P +上 了=卩一氏O。卩二菲+函注：圖形F上的任意一點(diǎn)Px，y在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為? -1 ，且廠 的坐標(biāo)為.65. “按向量平移的幾個(gè)結(jié)論1點(diǎn)；，' 1 ：按向量盲二:平移后得到點(diǎn)八=. 函數(shù)" 的圖象二按向量了二匚'平移后得到圖象,那么的函數(shù)解析式為' 7 . 圖象按向量。平移后得到圖象匚,假設(shè)-的解析式-" -：那么廠的函數(shù)解析式為曲線:&qu

21、ot;按向量="'；平移后得到圖象"，那么"的方程為'''P'. 向量二 按向量二 八八平移后得到的向量仍然為飛 八二.66. 三角形五“心向量形式的充要條件設(shè)匚為'帖廠所在平面上一點(diǎn)，角"J -所對邊長分別為，貝U1 °為酎0C的外心O 0A三 QC2、為1"的重心 ；.' ： /' I ： 1 ':.3為的垂心:工 .：4為.I' 1 '的內(nèi)心. I -:.5_為一印一的.丄的旁心 -':67. 常用不等式： 4門八丿_丄；當(dāng)且僅當(dāng)a=

22、 b時(shí)取“二號(hào).2 當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取“二號(hào).3 /-'-：./-.-|- I4 - - -：! I 7" - ，- I】5bUkb十引蘭討+創(chuàng)6當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取“二號(hào)68. 最值定理：'都是正數(shù)，那么有1假設(shè)積是定值和，那么當(dāng)1時(shí)和+有最小值幾;+ - “2假設(shè)和+是定值二那么當(dāng)T " '時(shí)積t有最大值-.3'"，假設(shè)，一°:那么有2十丄二:十妙丄十丄=a+Z?+ + 5+ 2jab二Ja十的尸x yx ya y4：“ 一，假設(shè)二"那么有yyTr-' -:" 1 - - rL. - 1-

23、l - ' :，如果二與'J | ''同號(hào)，那么其解集在兩根之外；如果;：與LJ 川一異號(hào)，那么其解集在兩根之間簡言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間:一：一打:' -' r I > -.-'；?X < 工I ?或工 > 可 0X X藍(lán)一 J：2 > DX丈可70.含有絕對值的不等式：當(dāng)a> 0時(shí)，有x<a<=> co1<xr/wo7/(x) > J或x) 0 g(H)工 07/CCgW>oJW >swf/心g兀<000 < gx> o3 lyx72.指

24、數(shù)不等式與對數(shù)不等式 1當(dāng)廠時(shí),log* /to >( Jf) <=5> sM > of/w>o <g(x)呃/W 沢唱t g(x) O 4 g(x) > 0"<g(j)勺血牡W、坊 J .74.直線的五種方程1點(diǎn)斜式'"" '' '直線過點(diǎn)-Jp",且斜率為J .2斜截式丁 -1 b為直線在y軸上的截距.刀_不一碼3 兩點(diǎn)式 “:.嚴(yán)H、二】八兩點(diǎn)式的推廣：宀応：，門八，r：y ；一 |無任何限制條件!+ = 1 截距式：丄分別為直線的橫、縱截距，工八5 一般式'&

25、#39;''其中A、B不同時(shí)為0.直線'''的法向量：，方向向量：75.兩條直線的平行和垂直假設(shè)片:二百人+勾，二屯H+爲(wèi)假設(shè)丄亠L(fēng)1 + '.''',且Al、A、B、B2都不為零, ： 1；. 4 亠十-；心二呂工+£/+G二o d&x十*+G二。4& +坊氏工。此時(shí)直線7丄-76四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：1定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)： '爲(wèi) 的直線系方程為;_ '除直線，其中'：是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn): w 的直線系方程為_一 I亠' ,其中是待

26、定的系數(shù).共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線I'-，“丨：y . !的交點(diǎn)的直線系方程為+ ' -'1'除一，其中入是待定的系數(shù).3平行直線系方程：直線一：中當(dāng)斜率k 一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程與直線 平行的直線系方程是一 一亠一，入是參變量. 垂直直線系方程：與直線：+'1 A工0, BM0垂直的直線系方程是丄 ,入是參變量.5直線系 °| 與線段相交 - !。甘_ I /陽+肉心+ CI77點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)-r ：1 ,直線一二-T -.78. 亠 J 1八或J所表示的平面區(qū)域設(shè)直線 m，那么-一 ' 1'或：所表示的平面

27、區(qū)域是：假設(shè)-r -，當(dāng)"與'，；''同號(hào)時(shí)，表示直線'的上方的區(qū)域；當(dāng)與' ''異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在上，異號(hào)在下.假設(shè)丄-一，當(dāng)與-'同號(hào)時(shí)，表示直線.：'的右方的區(qū)域；當(dāng)上與4異號(hào)時(shí)，表示直線 .'的左方的區(qū)域.簡言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左79. 一廠亠亠亠： 或所表示的平面區(qū)域亠：亠I亠."，+ . T亠I ： '或-所表示的平面區(qū)域是兩直線八亠tT + - 1和-J；-；. 所 成的對頂角區(qū)域上下或左右兩局部。80. 圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2圓的一般方程

28、 廠孑I二一 一小八 > 0.3圓的參數(shù)方程4圓的直徑式方程=圓的直徑的端點(diǎn)是工、：“.81. 圓系方程過點(diǎn)- 'L- =的圓系方程是 匸-可匕一巧+妙-血0-乃+爲(wèi)工-丙伽-乃一0一叼-可二00工-和伏-勺+0-乃3-丹+丸伽+切我=0 ,其中處+如+"0是直線A?的方程,入是待定的 系數(shù). 過直線'：上“ = .與圓二：；丨JT廠的交點(diǎn)的圓系方程是入是待定的系數(shù).f -by2 +口忑 + 型 + 廳 + 幾月x+帥+U ='0過圓l：i一與圓的交點(diǎn)的圓系方程是H+才+D*十十広+十門去十氐葉助二0入是待定的系數(shù)特別地，當(dāng)一時(shí)就是 當(dāng)兩圓相交時(shí)，為公共

29、弦所在的直線方程； 向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡直線方程82. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓:''J ' 1:; 的位置關(guān)系有三種假設(shè)'一那么L二點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上-“點(diǎn)！在圓內(nèi).j4(3 + Bb + d? = /直線丄與圓' -.- '的位置關(guān)系有三種(一 ，)：f|=呂：.；.；-廠二卜 -；,了F 寧-''JJ84.兩圓位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩圓圓心分別為O, Q，半徑分別為ri,2,二.| 二丨二上 I ；J 一 :|' 7 - : 二+廠二:|;J|rj-r2 <d “十內(nèi)a相交0 2條公切銭；Jd二h -勺

30、| O內(nèi)切U> 1條公切線；J0 < < |rj - r21»內(nèi)含«無公切線(1)圓'1 1 "-.假設(shè)切點(diǎn)二在圓上，那么切線只有一條，其方程是昭+燉+今旦+型嚴(yán)當(dāng)1 /圓外時(shí),'-匕、*-+ '表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程求切點(diǎn)弦方 程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。 過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為-'廠 -，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線. 斜率為k的切線方程可設(shè)為門，再利用相切條件求b,必有兩條切線.圓'1_! _. 過圓上的口點(diǎn)的切線方程為 I 扎八&#

31、39;； 斜率為的圓的切線方程為.的離心率過圓外一點(diǎn)的切線長為I "' ；，1過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為:|*i| =總北 + <- =&+曲88.橢圓的的內(nèi)外部2232口s-+4 = la>S>0»4+4<11點(diǎn) ''在橢圓的內(nèi)部 ''2在橢圓的外部7橢圓二血 >b > 0)點(diǎn)處的切線方程是/幾巫+型二12過橢圓. 一外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 汀3 橢圓：'與直線一-)- 一 L 相切的條件是 I ；' -'.= 1( >0,3 >05的離心率過

32、焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為:|亠呼1卜十二)冃口十丘打|閃|十(巳-力冃紡|? Ja_點(diǎn)在雙曲線1 f 在雙曲線;!?(1假設(shè)雙曲線方程為丁/ =1“一漸近線方程:芻十尸士紜a ba(2) 假設(shè)漸近線方程為雙曲線可設(shè)為-' 假設(shè)雙曲線與廠'有公共漸近線，可設(shè)為廠 !，焦點(diǎn)在X軸上，九V C1，焦點(diǎn)在y軸上.(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是1雙曲線竺九1點(diǎn)廠 處的切線方程是. 蘭疋二1巫皿_12過雙曲線./廠八外一點(diǎn) 丿所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 J 一3雙曲線+ -.與直線丄相切的條件是 -.94.拋物線：A的焦半徑公式拋物線二| ,二匸匚花 其中9為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

33、到 FC的角過焦點(diǎn)弦長刖=巧+壬+乜+彳二珂+也+ pCD 二血其中a為傾斜角戸=2刃上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為p兒或F即宀2輿pD，其中疋二如y=用 +站+7 = c3x + 5 +仏 占 幣勿 牝 農(nóng)工的圖象是拋物線:壬b 4處-擴(kuò)孑b 4加-護(hù)十11頂點(diǎn)坐標(biāo)為：' 2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為-也3準(zhǔn)線方程是4a97.以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線 相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。拋物線： 一 '上一點(diǎn)-處的切線方程是.+ h'.2過拋物線1 " - ' f外一點(diǎn)二二；所引兩條切線的切點(diǎn)

34、弦方程是.3拋物線-"'i/1 j 與直線-+宀+相切的條件是二j . 過曲線丿一'的交點(diǎn)的曲線系方程是- !為參數(shù).2 2工I于 _3彳共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程：- - ；,其中i -THV '.當(dāng)心二時(shí),表示橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線.100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式期二Jg-叨+4-曲 或|j45| 二 J1 十F工？十可7 4% 再=| 呵一毛 | -Jl+tan2 a 二|片一片 | jl-co t3 ay = kx +b弦端點(diǎn)，由方程國務(wù)= o消去y得到亦十加仕二o，心匸0，為直線朋的傾斜角:為直線的斜率，： 廠咕二.1曲線''-

35、關(guān)于點(diǎn)九-丁成中心對稱的曲線是X 一 .2曲線'關(guān)于直線丄 卜成軸對稱的曲線是鮎北歹十Qy + C羽缶十總y+C、門心才十羅才用二°.特別地，曲線 J：關(guān)于原點(diǎn)匚成中心對稱的曲線是門 :'.曲線'關(guān)于直線丁軸對稱的曲線是.曲線- -關(guān)于直線：軸對稱的曲線是"二匚 .曲線關(guān)于直線丁 7軸對稱的曲線是» Yl .曲線-關(guān)于直線 i軸對稱的曲線是J 一 I -.:的距離之比為常數(shù)宀，假設(shè): -. . , M的軌跡為橢圓；假設(shè)-I , M的軌跡為拋物線；假設(shè) -I , M的 軌跡為雙曲線。103. 證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直

36、線無交點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.104. 證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.105. 證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.106. 證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107. 證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該

37、直線垂直于另一個(gè)平行平面。108. 證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3) 轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。加法交換律； = +匯(2)加法結(jié)合律：(F +】)+ 丁二+ ( + ).數(shù)乘分配律：入(G+ ；)=入0 +入'.始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量對空間任意兩個(gè)向量 二(匕工)，下/ '存在實(shí)數(shù) 入使亍=V .只比B三點(diǎn)共線u 處II朋 a = o °尸=. 1 " l . ：、一共線且 Q 二不共線- * -且-不共線.112.

38、共面向量定理向量"與兩個(gè)不共線的向量丘、共面的I存在實(shí)數(shù)對,使J.推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAE內(nèi)的二存在有序?qū)崝?shù)對；1 ,使 f 廣小匚,或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對*，使-'-rm .和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足仁 -:,那么當(dāng)；_1時(shí)，對于空間任一點(diǎn)匚， 總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)必H1時(shí)，假設(shè)0E平面ABC那么P、A B C四點(diǎn)共面；假設(shè)0居平面ABC 那么P、A、B、C四點(diǎn)不共面.,I四點(diǎn)共面J與I 、共面_ 八+_亠 -平面 ABC114.空間向量根本定理如果三個(gè)向量、一不共面，那么對空間任一向量：，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使匸=推論 設(shè)O A

39、、B C是不共面的四點(diǎn)，那么對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x，y，z,使-、 - - ' ' 1 '向量=和軸，是上與''同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影,作B點(diǎn)在上的射影,那么=| AS | cos < a,e>= a-e設(shè)耳=吟勺礙& =幾如也那么 F“十！、.,-；臣$ =硯勺宀-虬礙婦；入一了 =丄顯七花入 R;& . b =坷對+旳坊+眄鳥.L.- :' ,，那么一二門:- I.-.1.118. 空間的線線平行或垂直設(shè)一 ，貝卩 =見兀鳥* yi =入刈FTTTFT口 |占o(jì)詭=久占色疋0 o

40、2_ 乂 ；a丄占O a i = 0呂兩心+滬北+右習(xí)=0119. 夾角公式士 r©曲+口曲+0血cos <arb >= .：_ _一 _設(shè)&二®厲，£ =片爼鳥，那么J£+£+£屈廚+£推論吶+叢+哦讓&+述+迖膺+閏+目，此即三維柯西不等式.洱日=蛍®120. 正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為F,貝U*：C>£ 3 =特別地，對于正四面體每兩個(gè)面所成的角為，有_121. 異面直線所成角GO5 0 =丨也+ j空叮平？ | +才尼+%' +專其中 '： &#

41、39; ''：為異面直線所成角，I分別表示異面直線*的方向向量. AB wp = arc sin斗 _'一“止為平面宀的法向量.A： -二的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角門m nm-n&= arc CQ5-k7T arc cos一于丨卞門或，：為平面門，匚的法向量.124折疊角定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，AD是 a的一條斜線AB在a內(nèi)的射影，且BDL AD垂足為D,設(shè)AB與a AD 所成的角為，AD與AC所成的角為Q, AB與AC所成的角為F 貝U川.125.空間兩點(diǎn)間的距離公式假設(shè)A%兒習(xí)，Bg乃適，貝U弘麗=倔忌二厲二円冠石円百石-到直線.距離&qu

42、ot;丄J問氏訂點(diǎn)'在直線'上,，為直線的方向向量,127.異面直線間的距離是兩異面直線，其公垂向量為 J亠廠分別是上任一點(diǎn),'為間的距離.11到平面門的距離卜丨用為平面的法向量，丿巴，占是的一條斜線段.129.異面直線上兩點(diǎn)距離公式2 2-Vm + 淚cos &十川 一 2/wi cos p- E- AA - F(兩條異面直線a b所成的角為B,其公垂線段丄：的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F,AS = m,=闖，豆F = d).$+&+匚*=s+c -2a-b + 2b c -2c -a+羅 +/ + 2| |g |2| |c| cos0,7

43、+ 21131. 作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行132. 棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到 截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的 比等于對應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方 比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.V = -71“ 屛133. 球的半徑是R,那么其體積 -,其外表積- :.(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直

44、徑是長方體的體對角線長(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方 體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.' 口_ a 球與正四面體的組合體：棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為匕(正四面體高- 的1-),外接球的半徑為dJ (正四面體高135. 柱體、錐體的體積F 二£陽卮祚3 E是柱體的底面積、'是柱體的高.F 廠-是錐體的底面積、是錐體的高136. 分類計(jì)數(shù)原理加法原理:137. 分步計(jì)數(shù)原理乘法原理:笛二用沖一9®一朋十1=曲一巒.“，戰(zhàn) N，且廉蘭閱.規(guī)定0= 1.:1 亠： ，_ 卜 +

45、 八；2''-一 fn3忙二曲檸；4叭之：卜&；5船嚴(yán)厝+啦：6 ' ' -料-料聊十D:"=二lxjx- -=牌| -總一閥I料 N*,灑E腫，且牌莖科.141.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：1廣廠盤一盛廣fKt 廣f熬J prK廣rO _-二，;2-八.規(guī)定.；2、7秒+ C：+ C：二2“6 - 8：亠+ 寸- +： 宀(9)10靂尸+© +©；】 i+Q：尸二 .143. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：蘭二悶工；.144. 單條件排列以下各條的大前提是從"個(gè)元素中取：個(gè)元素的排列1 “在位與“不在位 某特元必在某位有種；某特元

46、不在某位有-補(bǔ)集思想"-1著眼位置著眼元素種.2緊貼與插空即相鄰與不相鄰 定位緊貼： 八二認(rèn)-匚個(gè)元在固定位的排列有：二種. 浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有二亠：種.注：此類問題常用捆綁法； 插空：兩組元素分別有k、h個(gè)二；+丨，把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有 排列數(shù)有種.3兩組元素各相同的插空個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？- V 捲*當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)“宀T丨時(shí)，有：種排法.4兩組相同元素的排列：兩組元素有 m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.145. 分配問題1平均分組有歸屬問題將相異的】；:個(gè)物件等分給個(gè)人，各得Y件，

47、其分配方法數(shù)共有2平均分組無歸屬問題將相異的】；：個(gè)物體等分為無記號(hào)或無順序的 衛(wèi)堆，其分配方法數(shù)共有3非平均分組有歸屬問題將相異的_ 7-'" 1個(gè)物體分給屮個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，H這個(gè)數(shù)彼此不相等，那么其分配方法數(shù)共有，K 件，且"，:,4非完全平均分組有歸屬問題將相異的個(gè)物體分給宀個(gè)人，物件必須被分完，分別得到“，件，且"，了，J這宀個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，那么其分配方法數(shù)有/ 'p m叩片姓！& !占2!. J5非平均分組無歸屬問題將相異的丄 個(gè)物體分為任意的:，,件無記號(hào)的嚴(yán)堆, 且，=,、這卩個(gè)數(shù)彼此不相等，那

48、么其分配方法數(shù)有-.6非完全平均分組無歸屬問題將相異的-J"" "-1-個(gè)物體分為任意的二，J件無記號(hào)N=的堆，且"，這二個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，那么其分配方法數(shù)有八八.7限定分組有歸屬問題將相異的個(gè)物體分給甲、乙、丙，等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得“件，乙得件，丙得：件，時(shí)，貝U無論“，"，'等' 個(gè)數(shù)是否全相 異或不全相異其分配方法數(shù)恒有對一印£冷農(nóng)！馬!旳！ mJ146 “錯(cuò)位問題2封信與2個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：1;3封信與3個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：2;4封信與4個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：9;5封信與5個(gè)

49、信封全部錯(cuò)位排列數(shù)：44;一般記著上面的就夠了推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題：信“封信與丁個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為推廣：叮個(gè)元素與叮個(gè)位置,其中至少有住個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為/佩熬二創(chuàng)一-1!+處於_2!-詳仗_耳4代理一 4!147. 不定方程x的解的個(gè)數(shù)方程 ': 一的正整數(shù)解有個(gè). 方程-''-11 一的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). 方程?滿足條件上：； 廠 匸一的非負(fù)整數(shù)解有；+：m 個(gè).148. 二項(xiàng)式定理卄疔二說屮+%叫乂汁于+ 穴擴(kuò) Y；護(hù);二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式- < .一的展開式的系數(shù)關(guān)系：碼斗如+說+叫二/.坯一阿+碼十十T馮=/T . a0 = /0F(A)-1

50、49. 等可能性事件的概率：.150. 互斥事件A, B分別發(fā)生的概率的和：P(A+ B)=P(A) + P(B).151. 冒個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(Ai + A2+-+ A)=P(A" + P(A2)+ + P(An).152. 獨(dú)立事件 A, B同時(shí)發(fā)生的概率：P(A- B)= P(A) P(B).153. n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A1 A 2 An)=P(A1) P(A2) P(An)15 4.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率：i, - ：|'1，H ": '；2 I _ -156.數(shù)學(xué)期望：二二t十；f+，那么“丄2假設(shè)

51、： ；，那么丫 -假設(shè)服從幾何分布，且廠- ' '： ' - ''158.方差:皿=(丙-畸a+(帀-葩血斗H斗_略丫 a+159.標(biāo)準(zhǔn)差：' = ' '.(2假設(shè)-"，那么八 假設(shè)匚服從幾何分布，且-，那么"丁_-"I161.方差與期望的關(guān)系：'-r '心.162.正態(tài)分布密度函數(shù):式中的實(shí)數(shù)卩，是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差163.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù):止：，取值小于x的概率:戸(巧 <X0 < x2)=<x2 )< 巧)165.回歸直線方程土佃-無0廠刃土山-亍3廠刃166.相關(guān)系數(shù)i-lLIV i-1Z|r| < 1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小. 167.特殊數(shù)列的極限0I水1lrniq"二；1g 二1不存在I小1或"-1Cl(E)1 迪一；二十鳥_旳 +州不存在(上 > 耳H】&:-無窮等比數(shù)列(丿I')的和.lim f(x) = a lim /(x) = lin /