函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、 函數(shù)的單調(diào)性醴陵五中 張承一、教學(xué)內(nèi)容解析1教材內(nèi)容及地位本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)（必修1）第二章第3節(jié)函數(shù)單調(diào)性的第一課時(shí)，主要學(xué)習(xí)用符號(hào)語(yǔ)言（不等式）刻畫(huà)函數(shù)的變化趨勢(shì)（上升或下降）及簡(jiǎn)單應(yīng)用。它是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個(gè)、也是最基本的一個(gè)性質(zhì)，為后繼學(xué)習(xí)奠定了理性思維基礎(chǔ)。如研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，包括導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容等；在對(duì)函數(shù)定性分析、求最值和極值、比較大小、解不等式、函數(shù)零點(diǎn)的判定以及與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題上都有重要的應(yīng)用。 因此，它是高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)之一，是函數(shù)教學(xué)的戰(zhàn)略要地。2教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性。3教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性概念的生成，

2、證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。二、學(xué)生學(xué)情分析1教學(xué)有利因素 學(xué)生在初中階段，通過(guò)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，已經(jīng)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有了“形”的直觀認(rèn)識(shí)，了解用“隨的增大而增大（減?。泵枋龊瘮?shù)圖象的上升（下降）的趨勢(shì)。亳州一中實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生基礎(chǔ)較好，數(shù)學(xué)思維活躍，具備一定的觀察、辨析、抽象概括和歸納類比等學(xué)習(xí)能力。2教學(xué)不利因素本節(jié)課的最大障礙是如何用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)一種運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，從直觀到抽象、從有限到無(wú)限是個(gè)很大的跨度。而高一學(xué)生的思維正處在從經(jīng)驗(yàn)型向理論型跨越的階段，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng)。另外，他們的代數(shù)推理論證能力非常薄弱。這些都容易產(chǎn)生思維障礙。三、課堂教學(xué)目標(biāo)1理解函

3、數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念。掌握證明簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法。2通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫(huà)的自然跨越，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比等思想方法。3通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無(wú)限、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神和力量。4引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成思辨和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，鍛煉探究、概括和交流的學(xué)習(xí)能力。四、教學(xué)策略分析在學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中會(huì)存在兩方面的困難：一是如何把“y隨x的增大而增大（減?。边@一描述性語(yǔ)言“翻譯”為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)化語(yǔ)言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫(huà)“無(wú)限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性

4、的代數(shù)推理論證。對(duì)高一學(xué)生而言，作差后的變形和因式符號(hào)的判斷也有一定的難度。為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我們主要采取以下形式組織學(xué)習(xí)材料：1指導(dǎo)思想。 充分發(fā)揮多媒體形象、動(dòng)態(tài)的優(yōu)勢(shì)，借助函數(shù)圖象、表格和幾何畫(huà)板直觀演示。在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過(guò)師生對(duì)話自然生成。2在“創(chuàng)設(shè)情境”階段。 觀察并分析沙漠某天氣溫變化的趨勢(shì)，結(jié)合初中已學(xué)函數(shù)的圖象，讓學(xué)生直觀感受函數(shù)單調(diào)性，明確相關(guān)概念。3在“引導(dǎo)探索”階段。 首先創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性；然后設(shè)置遞進(jìn)式“問(wèn)題串”，借助多媒體引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“y隨x的增大而增大”進(jìn)行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)函

5、數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴(yán)謹(jǐn)性”的跨越。4在“學(xué)以致用”階段。 首先通過(guò)3個(gè)判斷題幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析，逐步形成對(duì)概念正確、全面而深刻的認(rèn)識(shí)。 然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強(qiáng)化變形的方向和符號(hào)判定方法。接著請(qǐng)學(xué)生板演實(shí)踐。五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題實(shí)例 科考隊(duì)對(duì)沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，下圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線。請(qǐng)你根據(jù)曲線圖說(shuō)說(shuō)氣溫的變化情況？預(yù)設(shè)：學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)不同，如氣溫的最值，某時(shí)刻的氣溫，某時(shí)間段氣溫的升降變化（若學(xué)生沒(méi)指明時(shí)間段，可追問(wèn)），等。 圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢(shì)反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)單調(diào)

6、性（板書(shū)課題）。設(shè)計(jì)說(shuō)明：從科考情境導(dǎo)入新課，了解“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候，直觀形象感知?dú)鉁刈兓匀灰牒瘮?shù)的單調(diào)性。 函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。 如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應(yīng)實(shí)物的變化規(guī)律。在事物變化過(guò)程中，保存不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)。因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的。問(wèn)題1 ：觀察下列函數(shù)圖象，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)這些函數(shù)有什么變化趨勢(shì)？ 設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生回答時(shí)可能會(huì)漏掉“在某區(qū)間上”，規(guī)范表達(dá)“函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上具有怎樣的單調(diào)性”。 借此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間。在區(qū)間上，若函數(shù)的圖

7、象（從左向右）總是上升的，即y隨x的增大而增大，則稱函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（學(xué)生類比定義“遞減”，接著推出下圖，讓學(xué)生準(zhǔn)確回答單調(diào)性。）設(shè)計(jì)說(shuō)明：從圖象直觀感知到文字描述，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)知。 明確相關(guān)概念，準(zhǔn)確表述單調(diào)性。學(xué)生認(rèn)為單調(diào)性的知識(shí)似乎夠用了，為下面的認(rèn)知沖突做好鋪墊。（二）引導(dǎo)探索，生成概念問(wèn)題2（1）下圖是函數(shù)的圖象（以為例），它在定義域R上是遞增的嗎？（2）函數(shù)在區(qū)間上有何單調(diào)性？預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)不置可否，或者憑感覺(jué)猜測(cè)，可追問(wèn)判定依據(jù)。設(shè)計(jì)說(shuō)明：函數(shù)圖象雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式；但僅憑解析式常常也難以判斷其單調(diào)性。 借此認(rèn)

8、知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)符號(hào)化定義的必要性。 自然開(kāi)始探索。問(wèn)題3 （1）如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？以二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為例，用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對(duì)數(shù)據(jù)）。設(shè)計(jì)說(shuō)明：先借助圖形、動(dòng)畫(huà)和表格等直觀感受“y隨x的增大而增大”，然后讓學(xué)生思考、討論得出，若，則必須有。（2）已知，若有。能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動(dòng)“拖動(dòng)點(diǎn)”改變函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增。（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動(dòng)“拖動(dòng)點(diǎn)”，觀察函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化。設(shè)計(jì)說(shuō)明：先讓學(xué)生討論交流、舉反例，

9、然后借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)說(shuō)明驗(yàn)證兩個(gè)定點(diǎn)不能確定函數(shù)的單調(diào)性，三個(gè)點(diǎn)也不行，無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)行不行呢？引導(dǎo)學(xué)生過(guò)渡到符號(hào)化表示，呈現(xiàn)知識(shí)的自然生成。（4）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？設(shè)計(jì)說(shuō)明：可先請(qǐng)持贊同觀點(diǎn)的同學(xué)說(shuō)明理由，再請(qǐng)持反對(duì)意見(jiàn)的學(xué)生畫(huà)出反駁，然后追問(wèn)：無(wú)數(shù)個(gè)也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學(xué)生回答全部取完或任取，追問(wèn)“總不能一個(gè)一個(gè)的驗(yàn)證吧？”緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）再次體驗(yàn)對(duì)“任意一個(gè)”進(jìn)行操作，實(shí)現(xiàn)“無(wú)限”目標(biāo)的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)用“任意”來(lái)處理“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題4：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫(huà)函數(shù)在區(qū)間上遞增呢？ 預(yù)設(shè)：請(qǐng)學(xué)生自愿嘗試概括定義。

10、 板書(shū)“任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上遞增”，則突出關(guān)鍵詞“任意”和“都有”；若缺少關(guān)鍵詞“任取”或“任意”，則追問(wèn)“驗(yàn)證兩個(gè)點(diǎn)就能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎”。問(wèn)題5：請(qǐng)你試著用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義函數(shù)在區(qū)間上是遞減的。預(yù)設(shè)：為表達(dá)準(zhǔn)確規(guī)范，要求學(xué)生先寫(xiě)下來(lái)，然后展示。 并有意引導(dǎo)使用“任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上遞減”，以此打破必須“”的思維定勢(shì)。（三）學(xué)以致用，理解感悟判斷題：你認(rèn)為下列說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。（舉例或者畫(huà)圖）（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意，都有，則在區(qū)間上遞增；（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意，且，都有，則是遞增的； （3）反比例函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是。設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生

11、分組討論，然后作展示性回答。若學(xué)生認(rèn)為正確，則要求說(shuō)明理由；若學(xué)生認(rèn)為錯(cuò)誤，則要求學(xué)生到黑板上畫(huà)出反例（題（3）可追問(wèn)怎么修改）。通過(guò)構(gòu)造反例，逐步完善和加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解。例題：判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)照定義板書(shū)示范，指明變形的目的是變出因式等，并讓學(xué)生提煉證明的基本步驟。練習(xí)：證明函數(shù)的單調(diào)性：（1）在上遞減；（2）在上遞增。設(shè)計(jì)說(shuō)明：回答“問(wèn)題2”懸而未決的問(wèn)題。先請(qǐng)兩位學(xué)生板演，然后由其他學(xué)生完善步驟。思考題：物理學(xué)中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時(shí)，壓強(qiáng)將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明。設(shè)計(jì)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其他學(xué)科的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。（四）回顧反思，深化認(rèn)識(shí)課堂小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？（關(guān)鍵詞：三種語(yǔ)言，證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn)，等。）設(shè)計(jì)說(shuō)明：先給出問(wèn)題，要求學(xué)生自主小結(jié)，再推出引導(dǎo)性關(guān)鍵詞，使得總結(jié)簡(jiǎn)明、到位、拔高。（五）布置作業(yè)課堂作業(yè)：（1）第38頁(yè)習(xí)題2-3 A組：3，5；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。探究題：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜。 請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)