函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計1

1、 函數(shù)的單調(diào)性醴陵五中 張承一、教學(xué)內(nèi)容解析1教材內(nèi)容及地位本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)（必修1）第二章第3節(jié)函數(shù)單調(diào)性的第一課時，主要學(xué)習(xí)用符號語言（不等式）刻畫函數(shù)的變化趨勢（上升或下降）及簡單應(yīng)用。它是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個、也是最基本的一個性質(zhì)，為后繼學(xué)習(xí)奠定了理性思維基礎(chǔ)。如研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，包括導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容等；在對函數(shù)定性分析、求最值和極值、比較大小、解不等式、函數(shù)零點的判定以及與其他知識的綜合問題上都有重要的應(yīng)用。 因此，它是高中數(shù)學(xué)核心知識之一，是函數(shù)教學(xué)的戰(zhàn)略要地。2教學(xué)重點函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。3教學(xué)難點函數(shù)單調(diào)性概念的生成，

2、證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。二、學(xué)生學(xué)情分析1教學(xué)有利因素 學(xué)生在初中階段，通過學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，已經(jīng)對函數(shù)的單調(diào)性有了“形”的直觀認(rèn)識，了解用“隨的增大而增大（減?。泵枋龊瘮?shù)圖象的上升（下降）的趨勢。亳州一中實驗班的學(xué)生基礎(chǔ)較好，數(shù)學(xué)思維活躍，具備一定的觀察、辨析、抽象概括和歸納類比等學(xué)習(xí)能力。2教學(xué)不利因素本節(jié)課的最大障礙是如何用數(shù)學(xué)符號刻畫一種運動變化的現(xiàn)象，從直觀到抽象、從有限到無限是個很大的跨度。而高一學(xué)生的思維正處在從經(jīng)驗型向理論型跨越的階段，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng)。另外，他們的代數(shù)推理論證能力非常薄弱。這些都容易產(chǎn)生思維障礙。三、課堂教學(xué)目標(biāo)1理解函

3、數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念。掌握證明簡單函數(shù)單調(diào)性的方法。2通過實例讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比等思想方法。3通過探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認(rèn)知過程，體驗數(shù)學(xué)的理性精神和力量。4引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成思辨和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，鍛煉探究、概括和交流的學(xué)習(xí)能力。四、教學(xué)策略分析在學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性的過程中會存在兩方面的困難：一是如何把“y隨x的增大而增大（減?。边@一描述性語言“翻譯”為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號化語言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性

4、的代數(shù)推理論證。對高一學(xué)生而言，作差后的變形和因式符號的判斷也有一定的難度。為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，我們主要采取以下形式組織學(xué)習(xí)材料：1指導(dǎo)思想。 充分發(fā)揮多媒體形象、動態(tài)的優(yōu)勢，借助函數(shù)圖象、表格和幾何畫板直觀演示。在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過師生對話自然生成。2在“創(chuàng)設(shè)情境”階段。 觀察并分析沙漠某天氣溫變化的趨勢，結(jié)合初中已學(xué)函數(shù)的圖象，讓學(xué)生直觀感受函數(shù)單調(diào)性，明確相關(guān)概念。3在“引導(dǎo)探索”階段。 首先創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識到繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性；然后設(shè)置遞進(jìn)式“問題串”，借助多媒體引導(dǎo)學(xué)生對“y隨x的增大而增大”進(jìn)行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識經(jīng)驗，實現(xiàn)函

5、數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴(yán)謹(jǐn)性”的跨越。4在“學(xué)以致用”階段。 首先通過3個判斷題幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析，逐步形成對概念正確、全面而深刻的認(rèn)識。 然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強(qiáng)化變形的方向和符號判定方法。接著請學(xué)生板演實踐。五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題實例 科考隊對沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，下圖是某天氣溫隨時間的變化曲線。請你根據(jù)曲線圖說說氣溫的變化情況？預(yù)設(shè)：學(xué)生的關(guān)注點不同，如氣溫的最值，某時刻的氣溫，某時間段氣溫的升降變化（若學(xué)生沒指明時間段，可追問），等。 圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)單調(diào)

6、性（板書課題）。設(shè)計說明：從科考情境導(dǎo)入新課，了解“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候，直觀形象感知氣溫變化，自然引入函數(shù)的單調(diào)性。 函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。 如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應(yīng)實物的變化規(guī)律。在事物變化過程中，保存不變的特征就是這個事物的性質(zhì)。因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的。問題1 ：觀察下列函數(shù)圖象，請你說說這些函數(shù)有什么變化趨勢？ 設(shè)計說明：學(xué)生回答時可能會漏掉“在某區(qū)間上”，規(guī)范表達(dá)“函數(shù)在哪個區(qū)間上具有怎樣的單調(diào)性”。 借此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。 設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間。在區(qū)間上，若函數(shù)的圖

7、象（從左向右）總是上升的，即y隨x的增大而增大，則稱函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（學(xué)生類比定義“遞減”，接著推出下圖，讓學(xué)生準(zhǔn)確回答單調(diào)性。）設(shè)計說明：從圖象直觀感知到文字描述，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)知。 明確相關(guān)概念，準(zhǔn)確表述單調(diào)性。學(xué)生認(rèn)為單調(diào)性的知識似乎夠用了，為下面的認(rèn)知沖突做好鋪墊。（二）引導(dǎo)探索，生成概念問題2（1）下圖是函數(shù)的圖象（以為例），它在定義域R上是遞增的嗎？（2）函數(shù)在區(qū)間上有何單調(diào)性？預(yù)設(shè)：學(xué)生會不置可否，或者憑感覺猜測，可追問判定依據(jù)。設(shè)計說明：函數(shù)圖象雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式；但僅憑解析式常常也難以判斷其單調(diào)性。 借此認(rèn)

8、知沖突，讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)符號化定義的必要性。 自然開始探索。問題3 （1）如何用數(shù)學(xué)符號描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？以二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對數(shù)據(jù)）。設(shè)計說明：先借助圖形、動畫和表格等直觀感受“y隨x的增大而增大”，然后讓學(xué)生思考、討論得出，若，則必須有。（2）已知，若有。能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動“拖動點”改變函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增。（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動“拖動點”，觀察函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化。設(shè)計說明：先讓學(xué)生討論交流、舉反例，

9、然后借助幾何畫板動態(tài)說明驗證兩個定點不能確定函數(shù)的單調(diào)性，三個點也不行，無數(shù)個點行不行呢？引導(dǎo)學(xué)生過渡到符號化表示，呈現(xiàn)知識的自然生成。（4）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？設(shè)計說明：可先請持贊同觀點的同學(xué)說明理由，再請持反對意見的學(xué)生畫出反駁，然后追問：無數(shù)個也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學(xué)生回答全部取完或任取，追問“總不能一個一個的驗證吧？”緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）再次體驗對“任意一個”進(jìn)行操作，實現(xiàn)“無限”目標(biāo)的數(shù)學(xué)方法，體會用“任意”來處理“無限”的數(shù)學(xué)思想。問題4：如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確刻畫函數(shù)在區(qū)間上遞增呢？ 預(yù)設(shè)：請學(xué)生自愿嘗試概括定義。

10、 板書“任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上遞增”，則突出關(guān)鍵詞“任意”和“都有”；若缺少關(guān)鍵詞“任取”或“任意”，則追問“驗證兩個點就能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎”。問題5：請你試著用數(shù)學(xué)語言定義函數(shù)在區(qū)間上是遞減的。預(yù)設(shè)：為表達(dá)準(zhǔn)確規(guī)范，要求學(xué)生先寫下來，然后展示。 并有意引導(dǎo)使用“任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上遞減”，以此打破必須“”的思維定勢。（三）學(xué)以致用，理解感悟判斷題：你認(rèn)為下列說法是否正確，請說明理由。（舉例或者畫圖）（1）設(shè)函數(shù)的定義域為，若對任意，都有，則在區(qū)間上遞增；（2）設(shè)函數(shù)的定義域為，若對任意，且，都有，則是遞增的； （3）反比例函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是。設(shè)計說明：讓學(xué)生

11、分組討論，然后作展示性回答。若學(xué)生認(rèn)為正確，則要求說明理由；若學(xué)生認(rèn)為錯誤，則要求學(xué)生到黑板上畫出反例（題（3）可追問怎么修改）。通過構(gòu)造反例，逐步完善和加深對函數(shù)單調(diào)性的理解。例題：判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計說明：對照定義板書示范，指明變形的目的是變出因式等，并讓學(xué)生提煉證明的基本步驟。練習(xí)：證明函數(shù)的單調(diào)性：（1）在上遞減；（2）在上遞增。設(shè)計說明：回答“問題2”懸而未決的問題。先請兩位學(xué)生板演，然后由其他學(xué)生完善步驟。思考題：物理學(xué)中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時，壓強(qiáng)將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明。設(shè)計說明：引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解釋其他學(xué)科的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。（四）回顧反思，深化認(rèn)識課堂小結(jié)： 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？（關(guān)鍵詞：三種語言，證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗，等。）設(shè)計說明：先給出問題，要求學(xué)生自主小結(jié)，再推出引導(dǎo)性關(guān)鍵詞，使得總結(jié)簡明、到位、拔高。（五）布置作業(yè)課堂作業(yè)：（1）第38頁習(xí)題2-3 A組：3，5；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。探究題：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜。 請你運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)