第8章 第3課時 空間點、線、面間位置關(guān)系

1、第八章立第八章立 體體 幾幾 何何第第3課時空間點、線、面間位置關(guān)系課時空間點、線、面間位置關(guān)系 1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解作為推理理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解作為推理依據(jù)的公理和定理依據(jù)的公理和定理 2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題系的簡單命題 請注意請注意 平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)，而兩條異面直線所成平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)，而兩條異面直線所成的角和距離是高考熱點，在新課標(biāo)高考卷中頻頻出現(xiàn)的角和距離是高考熱點，在新課標(biāo)高考卷中頻頻出現(xiàn) 1平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì) 公理公

2、理1：如果一條直線上的：如果一條直線上的 在一個平面內(nèi)，那么這條直在一個平面內(nèi)，那么這條直線就在此平面內(nèi)線就在此平面內(nèi) 公理公理2：經(jīng)過：經(jīng)過 的三點，有且只有一個平面的三點，有且只有一個平面 公理公理3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有且只有 條通過條通過 的公共直線的公共直線兩點不在同一直線上一該點 2用集合語言描述點、線、面間的關(guān)系用集合語言描述點、線、面間的關(guān)系 (1)點與平面的位置關(guān)系：點與平面的位置關(guān)系： 點點A在平面在平面內(nèi)記作內(nèi)記作 ，點，點A不在平面不在平面內(nèi)記作內(nèi)記作 . (2)點與線的位置關(guān)系：點與線的位置關(guān)

3、系： 點點A在直線在直線l上記作上記作 ，點，點A不在直線不在直線l上，記作上，記作 . (3)線面的位置關(guān)系：線面的位置關(guān)系： 直線直線l在平面在平面內(nèi)記作內(nèi)記作 ，直線，直線l不在平面不在平面內(nèi)記作內(nèi)記作_. (4)平面平面與平面與平面相交于直線相交于直線a，記作，記作 . (5)直線直線l與平面與平面相交于點相交于點A，記作，記作 . (6)直線直線a與直線與直線b相交于點相交于點A，記作，記作 .AA AlA lll alAabA 3直線與直線的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角異面直線所成的角 定義：設(shè)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線

4、，經(jīng)過空間中任一點是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作作直線直線aa，bb，把，把a(bǔ)與與b所成的所成的 叫做異面叫做異面直線直線a，b所成的角所成的角(或夾角或夾角)銳角或直角 1判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確(打打“”或或“”) (1)如果兩個不重合的平面如果兩個不重合的平面，有一條公共直線有一條公共直線a，那么就，那么就說平面說平面，相交，并記作相交，并記作a. (2)兩個平面兩個平面，有一個公共點有一個公共點A，就說，就說，相交于過相交于過A點點的任意一條直線的任意一條直線 (3)兩個平面兩個平面，有一個公共點有一個公共點A，就說，就說，相交于相交于A點，點，并記作并記作A.

5、(4)兩個平面兩個平面ABC與與DBC相交于線段相交于線段BC. (5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面 答案答案(1)(2)(3)(4)(5) 2空間四點中，三點共線是這四點共面的空間四點中，三點共線是這四點共面的() A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 答案答案A 3(2014廣東文廣東文)若空間中四條兩兩不同的直線若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是，則下列結(jié)論一定正確的是() Al1l4 B

6、l1l4 Cl1與與l4既不垂直也不平行既不垂直也不平行 Dl1與與l4的位置關(guān)系不確定的位置關(guān)系不確定 答案答案D 解析解析在正六面體中求解，也可以借助教室中的實物幫助在正六面體中求解，也可以借助教室中的實物幫助求解求解 在如圖所示的正六面體中，不妨設(shè)在如圖所示的正六面體中，不妨設(shè)l2為直線為直線AA1，l3為直線為直線CC1，則直線，則直線l1，l4可以是可以是AB，BC；也可以是；也可以是AB，CD；也；也可以是可以是AB，B1C1，這三組直線相交，平行，垂直，異面，這三組直線相交，平行，垂直，異面，故選故選D. 4已知直線已知直線a，b，c，有下面四個命題：，有下面四個命題： 若若a，

7、b異面，異面，b，c異面，則異面，則a，c異面；異面； 若若a，b相交，相交，b，c相交，則相交，則a，c相交；相交； 若若ab，則，則a，b與與c所成的角相等；所成的角相等； 若若ab，bc，則，則ac. 其中真命題的序號是其中真命題的序號是_ 答案答案 解析解析a，c可能相交、平行或異面；可能相交、平行或異面；a，c可能相交、可能相交、平行或異面；平行或異面；正確；正確；a，c可能相交、平行或異面可能相交、平行或異面 5.如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分別是分別是A1B1，B1C1的中點問：的中點問： (1)AM和和CN是否是異面直線？是否是異面

8、直線？ (2)D1B和和CC1是否是異面直線？是否是異面直線？ 思路思路(1)易證易證MNAC，所以，所以AM與與CN不是異面直線；不是異面直線；(2)由圖易判斷由圖易判斷D1B和和CC1是異面直線，證明時常用反證法是異面直線，證明時常用反證法 例例1下列命題：下列命題： 空間不同三點確定一個平面；空間不同三點確定一個平面； 有三個公共點的兩個平面必重合；有三個公共點的兩個平面必重合； 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；空間兩兩相交的三條直線確定一個平面； 三角形是平面圖形；三角形是平面圖形； 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； 垂直于同一直線的兩直

9、線平行；垂直于同一直線的兩直線平行；題型一題型一 平面的性質(zhì)平面的性質(zhì) 一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形 其中正確的命題是其中正確的命題是_ 【解析解析】由公理由公理3知，不共線的三點才能確定一個平面，知，不共線的三點才能確定一個平面，所以知命題所以知命題錯，錯，中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時當(dāng)這三個公共點共線時)，錯錯空間兩兩相交的三條空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點，若為三個交點，則這三線共直

10、線有三個交點或一個交點，若為三個交點，則這三線共面，若只有一個交點，則可能確定一個平面或三個平面，若只有一個交點，則可能確定一個平面或三個平面面中平行四邊形及梯形由公理中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖四邊形有可能是空間四邊形，如圖(1)所示所示 在正方體在正方體ABCDABCD中，直線中，直線BBAB，BBCB，但但AB與與CB不平行，不平行，錯錯ABCD，BBABB，但，但BB與與CD不相交，不相交，錯如圖錯如圖(2)所示，所示，ABCD，BCAD，四邊形，四邊形ABCD不是平行四邊形，故不是平行四邊形，故也錯也錯 【答案答案】

11、 探究探究1對于空間幾何中的一些概念、公理、定理和推論的對于空間幾何中的一些概念、公理、定理和推論的理解一定要結(jié)合圖形，理解其本質(zhì)，準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵，特理解一定要結(jié)合圖形，理解其本質(zhì)，準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵，特別是定理、公理中的限制條件，如公理別是定理、公理中的限制條件，如公理3中中“不共線的三不共線的三點點”，“不共線不共線”是很重要的條件另外，對于平面幾何是很重要的條件另外，對于平面幾何中的一些正確命題，包括一些定理推論，在空間幾何中應(yīng)中的一些正確命題，包括一些定理推論，在空間幾何中應(yīng)當(dāng)重新認(rèn)定，有些命題因為空間中位置關(guān)系的變化，可能當(dāng)重新認(rèn)定，有些命題因為空間中位置關(guān)系的變化，可能變?yōu)殄e誤命題，學(xué)

12、習(xí)中要養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，再就是結(jié)變?yōu)殄e誤命題，學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，再就是結(jié)合較熟悉的立體幾何圖形或現(xiàn)實生活中的實物進(jìn)行辨析，合較熟悉的立體幾何圖形或現(xiàn)實生活中的實物進(jìn)行辨析，也可利用手中的筆、書本等進(jìn)行演示，驗證也可利用手中的筆、書本等進(jìn)行演示，驗證(2013安徽理安徽理)在下列命題中，不是公理在下列命題中，不是公理的是的是() A平行于同一個平面的兩個平面相互平行平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所

13、有的點都在此平面內(nèi)上所有的點都在此平面內(nèi) D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線只有一條過該點的公共直線 【解析解析】B，C，D都是公理都是公理 【答案答案】A思考題思考題1 例例2已知在正方體已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分別為分別為D1C1，C1B1的中點，的中點，ACBDP，A1C1EFQ. 求證：求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；四點共面； (2)若若A1C交平面交平面DBFE于于R點，則點，則P，Q，R三點共線；三點共線； (3)DE，BF，CC1三線交于一點三線交于一點題型二題型二

14、 平面基本性質(zhì)的應(yīng)用平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 【證明證明】(1)如圖所示如圖所示 因為因為EF是是D1B1C1的中位線，所以的中位線，所以EFB1D1.在正方體在正方體AC1中，中，B1D1BD，所以，所以EFBD.所以所以EF，BD確定一個確定一個平面，即平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面四點共面 (2)在正方體在正方體AC1中，設(shè)中，設(shè)A1CC1確定的平面為確定的平面為， 又設(shè)平面又設(shè)平面BDEF為為.因為因為QA1C1，所以，所以Q. 又又QEF，所以，所以Q.所以所以Q是是與與的公共點同理，的公共點同理，P是是與與的公共點所以的公共點所以PQ. 又又A1CR，所以，所以RA1C，R，且，且R.

15、則則RPQ，故，故P，Q，R三點共線三點共線 (3)EFBD且且EFBD， DE與與BF相交設(shè)交點為相交設(shè)交點為M， 則由則由MDE，DE平面平面D1DCC1， 得得M平面平面D1DCC1，同理，點，同理，點M平面平面B1BCC1.又平面又平面D1DCC1平面平面B1BCC1CC1，MCC1. DE，BF，CC1三線交于點三線交于點M. 【答案答案】(1)略略(2)略略(3)略略 探究探究2(1)點共線問題的證明方法：點共線問題的證明方法： 證明空間點共線，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的證明空間點共線，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再依據(jù)公理公共點，再依據(jù)公理3證明這些點都在這

16、兩個平面的交線證明這些點都在這兩個平面的交線上上 (2)線共點問題的證明方法：線共點問題的證明方法： 證明空間三線共點，先證兩條直線交于一點，再證第三條證明空間三線共點，先證兩條直線交于一點，再證第三條直線經(jīng)過這點，將問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上直線經(jīng)過這點，將問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上 (3)點線共面問題的證明方法：點線共面問題的證明方法： 納入平面法：先確定一個平面，再證有關(guān)點、線在此平納入平面法：先確定一個平面，再證有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；面內(nèi)； 輔助平面法：先證有關(guān)點、線確定平面輔助平面法：先證有關(guān)點、線確定平面，再證明其余點、，再證明其余點、線確定平面線確定平面，最后證明平面，最后證明平面，

17、重合重合(1)下列各圖是正方體和正四面體，下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是()思考題思考題2 【解析解析】在在A中易證中易證PSQR， P，Q，R，S四點共面四點共面 在在C中易證中易證PQSR，P，Q，R，S四點共面四點共面 在在D中，中，QR平面平面ABC， PS面面ABC P且且P QR， 直線直線PS與與QR為異面直線為異面直線 P，Q，R，S四點不共面四點不共面 在在B中中P，Q，R，S四點共面，證明如下：四點共面，證明如下： 取取BC中點中點N，可證，可證PS，NR交于直線交于直線B1C1

18、上一點，上一點，P，N，R，S四點共面，設(shè)為四點共面，設(shè)為. 可證可證PSQN，P，Q，N，S四點共面，設(shè)為四點共面，設(shè)為. ，都經(jīng)過都經(jīng)過P，N，S三點，三點，與與重合，重合，P，Q，R，S四點共面四點共面 【答案答案】D (2)如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分別是分別是AB和和AA1的中點求證：的中點求證： E，C，D1，F(xiàn)四點共面；四點共面； CE，D1F，DA三線共點三線共點 【證明證明】如圖所示，連接如圖所示，連接EF，CD1，A1B. E，F(xiàn)分別是分別是AB，AA1的中點，的中點，EFBA1. 又又A1BD1C，EFCD1. E，C，D1

19、，F(xiàn)四點共面四點共面 EFCD1，EFCD1， CE與與D1F必相交，設(shè)交點為必相交，設(shè)交點為P. 則由則由PCE，CE平面平面ABCD，得，得P平面平面ABCD. 同理同理P平面平面ADD1A1. 又平面又平面ABCD平面平面ADD1A1DA， P直線直線DA，CE，D1F，DA三線共點三線共點 【答案答案】略略略略 例例3在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分別為棱分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交都相交的直線有的直線有_條條題型三題型三 空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的位置關(guān)系 【解析解析】方法一：在

20、方法一：在EF上任意取一點上任意取一點M，直線，直線A1D1與與M確定一個平面，這個平面與確定一個平面，這個平面與CD有且僅有有且僅有1個交點個交點N，當(dāng)，當(dāng)M取取不同的位置就確定不同的平面，從而與不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點有不同的交點N，而直線而直線MN與這與這3條異面直線都有交點如圖所示條異面直線都有交點如圖所示 方法二：在方法二：在A1D1上任取一點上任取一點P，過點，過點P與直線與直線EF作一個平面作一個平面，因，因CD與平面與平面不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接連接PQ，則，則PQ與與EF必須相交，即必須相交，即PQ

21、為所求直線由點為所求直線由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都都相交相交 【答案答案】無數(shù)無數(shù) 探究探究3解決立體幾何問題常用的方法是空間問題的平面化，解決立體幾何問題常用的方法是空間問題的平面化，轉(zhuǎn)化為平面問題后就可以用我們熟悉的方法來解決，這體轉(zhuǎn)化為平面問題后就可以用我們熟悉的方法來解決，這體現(xiàn)了空間立體幾何的轉(zhuǎn)化與化歸的思想現(xiàn)了空間立體幾何的轉(zhuǎn)化與化歸的思想(2014廣東廣東)若空間中四條兩兩不同的直若空間中四條兩兩不同的直線線l1，l2，l3，l4，滿足，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一，則下列結(jié)論一定正確的是定正

22、確的是() Al1l4 Bl1l4 Cl1與與l4既不垂直也不平行既不垂直也不平行 Dl1與與l4的位置關(guān)系不確定的位置關(guān)系不確定思考題思考題3 【解析解析】如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，取中，取l1為為BC，l2為為CC1，l3為為C1D1.滿足滿足l1l2，l2l3.若取若取l4為為A1D1，則有則有l(wèi)1l4；若??；若取l4為為DD1，則有，則有l(wèi)1l4.因此因此l1與與l4的位置關(guān)系的位置關(guān)系不確定，故選不確定，故選D. 【答案答案】D 例例4在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E為為AB的中點的中點 (1)求證：求證：AC平面平面BDD1； (2)

23、求求BD1與與CE所成角的余弦值所成角的余弦值題型四題型四 異面直線所成的角異面直線所成的角 探究探究4高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，其步驟為：題的某一步，其步驟為： (1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線線中的一條或兩條成為相交直線 (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角證明：證明所作的角是異面直線所成的角 (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之并解之 (4)

24、取舍：因為異面直線所成角取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是的取值范圍是090，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角的角(1)如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AA12AB，則異，則異面直線面直線A1B與與AD1所成角的余弦值為所成角的余弦值為()思考題思考題4【答案】D 【解析解析】如圖，設(shè)如圖，設(shè)G是是AC的中點，的中點， 連接連接EG，F(xiàn)G. 【答案答案】90 1公理公理2是立體幾何最基本、最重要的定理，它的主要作是立體幾何最基

25、本、最重要的定理，它的主要作用是確定平面用是確定平面 2不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線不共線”條件條件 3兩條異面直線所成角的范圍是兩條異面直線所成角的范圍是(0，90 1(2015滄州七校聯(lián)考滄州七校聯(lián)考)若直線若直線l不平行于平面不平行于平面，且，且l ，則則() A內(nèi)的所有直線與內(nèi)的所有直線與l異面異面 B內(nèi)不存在與內(nèi)不存在與l平行的直線平行的直線 C內(nèi)存在唯一的直線與內(nèi)存在唯一的直線與l平行平行 D內(nèi)的直線與內(nèi)的直線與l都相交都相交 答案答案B 解析解析若在平面若在平面內(nèi)存在與直線內(nèi)存在與直線l平行的直線，因平行的直線，因l ，故，故l，這與題意矛盾，故選，這與題意