拉格朗日中值定理教案

1、拉格朗日中值定理教案授課人：*一、 教材分析微積分學是高等數學的重要的部分，是近代數學的偉大成果之一。它為我們研究函數和變量提供了重要的方法。微分中值定理(羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等)是微分學的重要組成部分，在導數的應用中起著橋梁作用。拉格朗日中值定理，建立了函數值和導數之間的定量聯系，成為我們討論怎樣由導數的已知性質推斷函數所具有的性質的有效工具。二、教學重點和難點教學重點：學習羅爾定理，類比探求和理解拉格朗日中值定理。教學難點：探求拉格朗日中值定理條件，運用定理研究函數單調性。三、教學目標1、通過學習羅爾定理，類比學習理解拉格朗日中值定理，培養(yǎng)學生分析，抽象，概括

2、，遷移的學習能力。2、通過學習定理，發(fā)現數學知識的融會貫通，培養(yǎng)數形結合的思想，以及嚴密的思維方法。四、授課過程1、知識回顧費馬定理：設函數f (x)在X0的某領域內有定義，且在X0可導。若X0為f 的極值點，則必有f(x0) 0。它的幾何意義在于，若函數 f(x)在X X0可導, 那么在該點的切線平行于 X軸。2、新科講授首先看一個定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。(板書)羅爾定理：如果函數f(X)滿足(1) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù);(2) 在開區(qū)間a, b 內可導;(3) f(a)f(b) .那么在a,b內至少存在一點 ，使得函數在該點的導數等于零，即f ( ) 0.羅爾定理的幾何

3、意義在于：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上， 如果曲線的兩 端高度相同，則至少存在一條水平切線。如圖，f(x)的圖像曲線弧AB,點C處的切線平行于x軸，即f ( 1) 0(1)點D處也是符合定理結論的點 而不是唯一存在的。,故應注意原定理中的至少存在一點,(2)定理的三個條件缺少任何一個，結論都會不一定成立;接下來看下面三個函數的圖像：2xy1y x(2)x 1,00,1x 0x 1,1(3) y x 3x 0,3然后給出羅爾定理的嚴格數學證明:證明：因為f在a,b上連續(xù)，所以必然存在最大值和最小值，分別設為 M,m, 卜面分兩種情況來討論：(1)若M m,則f在a,b是常函數，從而結論顯然成立

4、；(2)若M m,則因f a f b ,使得最大值M和最小值m至少有一個是在a,b內某一點 處取到，從而 是f的極值點。而且f在 處可導，由費馬定理可得f ( ) 0接下來講授本節(jié)課的主要定理。(板書)拉格朗日中值定理如果函數f(x)滿足在閉區(qū)間a,b上連續(xù);在開區(qū)間a,b內可導;那么在a,b內至少存在一點，使得f b f a f b a ,即f b fab a注：顯然特別的，當f(a) f(b)時，本定理的結論即為前面羅爾定理的結論，這表明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形。幾何意義：在滿足定理條件的曲線y f x上至少有一點P ,f ，使得該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線A

5、B.思路條件中與羅爾定理相差f a f b弦 AB的方程為 y f a -f-b一f-a- x a 。b a用曲線f x減去弦AB的方程所得曲線a,b兩端點的函數值相等。證明 作輔助函數 F x f x f af-bf-a- x ab aF x滿足羅爾定理的三個條件，則在a,b內至少存在一點，使得F 0。即 fa-0 或 fbfaf ba。I_Ib a我們把拉格朗日中值定理的結論的等式(1)稱為拉格朗日公式。 它還有下面常見的形x x 其中01.還可寫為 y f x x x ,此式子叫做有限增量公式。它精確表達了函數在一個 區(qū)間上的增量與函數在這區(qū)間內某點處的導數之間的關系。作為拉格朗日中值定理的應用，有以下推論。推論 如果f x在區(qū)間I上的導數包為零，那么f x在區(qū)間I上是一個常 數。證明：在區(qū)間I上任取兩點xi,x2且使xi x2,那么由拉格朗日中值定理得，存在xi,x2使得f x2 f x1fx2xi又由已知得f 0 , f x1f x2再加上xi,x2的任意性，所以f x在區(qū)間I上是一個常數。x3、例題證明當x 0時，In 1 x x o1 x證明：設f x In 1 x , f