拉格朗日中值定理教案

1、拉格朗日中值定理教案授課人：*一、 教材分析微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要的部分，是近代數(shù)學(xué)的偉大成果之一。它為我們研究函數(shù)和變量提供了重要的方法。微分中值定理(羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等)是微分學(xué)的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中起著橋梁作用。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)之間的定量聯(lián)系，成為我們討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)所具有的性質(zhì)的有效工具。二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)羅爾定理，類比探求和理解拉格朗日中值定理。教學(xué)難點(diǎn)：探求拉格朗日中值定理?xiàng)l件，運(yùn)用定理研究函數(shù)單調(diào)性。三、教學(xué)目標(biāo)1、通過學(xué)習(xí)羅爾定理，類比學(xué)習(xí)理解拉格朗日中值定理，培養(yǎng)學(xué)生分析，抽象，概括

2、，遷移的學(xué)習(xí)能力。2、通過學(xué)習(xí)定理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，以及嚴(yán)密的思維方法。四、授課過程1、知識(shí)回顧費(fèi)馬定理：設(shè)函數(shù)f (x)在X0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在X0可導(dǎo)。若X0為f 的極值點(diǎn)，則必有f(x0) 0。它的幾何意義在于，若函數(shù) f(x)在X X0可導(dǎo), 那么在該點(diǎn)的切線平行于 X軸。2、新科講授首先看一個(gè)定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。(板書)羅爾定理：如果函數(shù)f(X)滿足(1) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù);(2) 在開區(qū)間a, b 內(nèi)可導(dǎo);(3) f(a)f(b) .那么在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f ( ) 0.羅爾定理的幾何

3、意義在于：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上， 如果曲線的兩 端高度相同，則至少存在一條水平切線。如圖，f(x)的圖像曲線弧AB,點(diǎn)C處的切線平行于x軸，即f ( 1) 0(1)點(diǎn)D處也是符合定理結(jié)論的點(diǎn) 而不是唯一存在的。,故應(yīng)注意原定理中的至少存在一點(diǎn),(2)定理的三個(gè)條件缺少任何一個(gè)，結(jié)論都會(huì)不一定成立;接下來看下面三個(gè)函數(shù)的圖像：2xy1y x(2)x 1,00,1x 0x 1,1(3) y x 3x 0,3然后給出羅爾定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明:證明：因?yàn)閒在a,b上連續(xù)，所以必然存在最大值和最小值，分別設(shè)為 M,m, 卜面分兩種情況來討論：(1)若M m,則f在a,b是常函數(shù)，從而結(jié)論顯然成立

4、；(2)若M m,則因f a f b ,使得最大值M和最小值m至少有一個(gè)是在a,b內(nèi)某一點(diǎn) 處取到，從而 是f的極值點(diǎn)。而且f在 處可導(dǎo)，由費(fèi)馬定理可得f ( ) 0接下來講授本節(jié)課的主要定理。(板書)拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間a,b上連續(xù);在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo);那么在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f b f a f b a ,即f b fab a注：顯然特別的，當(dāng)f(a) f(b)時(shí)，本定理的結(jié)論即為前面羅爾定理的結(jié)論，這表明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情形。幾何意義：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y f x上至少有一點(diǎn)P ,f ，使得該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線A

5、B.思路條件中與羅爾定理相差f a f b弦 AB的方程為 y f a -f-b一f-a- x a 。b a用曲線f x減去弦AB的方程所得曲線a,b兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等。證明 作輔助函數(shù) F x f x f af-bf-a- x ab aF x滿足羅爾定理的三個(gè)條件，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得F 0。即 fa-0 或 fbfaf ba。I_Ib a我們把拉格朗日中值定理的結(jié)論的等式(1)稱為拉格朗日公式。 它還有下面常見的形x x 其中01.還可寫為 y f x x x ,此式子叫做有限增量公式。它精確表達(dá)了函數(shù)在一個(gè) 區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用，有以下推論。推論 如果f x在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)包為零，那么f x在區(qū)間I上是一個(gè)常 數(shù)。證明：在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)xi,x2且使xi x2,那么由拉格朗日中值定理得，存在xi,x2使得f x2 f x1fx2xi又由已知得f 0 , f x1f x2再加上xi,x2的任意性，所以f x在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。x3、例題證明當(dāng)x 0時(shí)，In 1 x x o1 x證明：設(shè)f x In 1 x , f