第12講從“角地度量”看測(cè)量教學(xué)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第 12 講 從“角的度量”看測(cè)量教學(xué)主講：楊利亞江蘇無(wú)錫市名師江蘇省江陰市講師進(jìn)修學(xué)校張葉清中學(xué)高級(jí)教師上海市師范高等?？茖W(xué)校附屬小學(xué)楊：各位老師，大家好今天我們一起來(lái)從“角的度量”看測(cè)量教學(xué)，為什么選這個(gè)題目呢？測(cè)量是空間和圖形中一個(gè)重要的部分，而這個(gè)內(nèi)容里面有很多的東西非常難， 比如說(shuō)角的度量。 今天我們就來(lái)解剖這節(jié)課，討論一些關(guān)于測(cè)量教學(xué)的問(wèn)題。一、現(xiàn)狀和原因的分析（字幕）張：我們先來(lái)了解一些基本情況：一般是怎樣教學(xué)“角的度量”的？教學(xué)時(shí)遇到什么問(wèn)題？產(chǎn)生這些問(wèn)題的原因又是什么？（字幕）楊：我也多次教過(guò)角的度量，我一般是這樣教的，首先認(rèn)識(shí)量角器和角的的計(jì)量單位“度”，接著教

2、學(xué)量角的方法“對(duì)點(diǎn)、對(duì)邊、讀刻度”，最后就進(jìn)行大量的練習(xí)。張：但是象這樣的教學(xué)經(jīng)常遇到的問(wèn)題有三個(gè)，第一是學(xué)生不會(huì)擺量角器，頂點(diǎn)和中心、零刻度線和角的一條邊很難同時(shí)達(dá)到要求， 最極端的錯(cuò)誤是明明角在這里， 量角器竟然會(huì)放到角的另一側(cè)， 也就是說(shuō)角不在量角器的范圍里邊。 第二種錯(cuò)誤是擺好了量角器也不會(huì)讀刻度， 內(nèi)圈和外圈分不清， 70 度讀成 110 度，遇到 65 度這樣的角更難理解，學(xué)生會(huì)讀成 75 度、125 度、115 度。而第三個(gè)問(wèn)題，整個(gè)課堂中灌輸?shù)奈兜缹?shí)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案在太濃，學(xué)生真的成了接收灌輸?shù)娜萜鳌睿耗阌龅降膯?wèn)題啊其實(shí)我也經(jīng)常遇到， 我認(rèn)為產(chǎn)生這些問(wèn)題的原因不能歸結(jié)于我

3、們自己講解不清，指導(dǎo)不細(xì)， 訓(xùn)練不夠，恐怕這些原因只是表面的原因，我認(rèn)為最根本的原因是學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)不太明了。學(xué)生不明白“量角器就是單位小角的集合” （字幕）。因?yàn)榱拷堑幕締挝皇嵌?，而這個(gè)“度的角”實(shí)在太小，在量角器上根本不能反映出來(lái)，所以量角器的制作者往往把度分割線去掉大部分， 就留下沿著圓周的一小部分，因此學(xué)生很難理解“量角器就是小角的集合”。而且學(xué)生不明白量角器上兩圈刻度的作用和由來(lái)（字幕）。學(xué)生最熟悉的度量工具是“尺”“尺”上只有單向刻度，這是因?yàn)椤俺摺钡臄[放與讀數(shù)比較容易；而用量角器量角時(shí)呢，如果只有單向刻度， 那么量不同朝向的角的大小時(shí)是非常麻煩的，因此不得不加上兩圈刻度，

4、學(xué)生對(duì)此也不太理解。因此我認(rèn)為：量角器的高度簡(jiǎn)約化、高度智慧化、高度截面化和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之間的矛盾使得學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了障礙。張：楊老師，我還認(rèn)為還有一個(gè)原因，是學(xué)生對(duì)量角方法的本質(zhì)不明。學(xué)生不明白量角的本質(zhì)就是看測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)單位小角。無(wú)論是長(zhǎng)度、面積、體積、重量、角度的度量的本質(zhì)都是用基本單位與當(dāng)前所測(cè)量對(duì)象進(jìn)行比較， 例如：測(cè)量面積就是把被測(cè)量對(duì)象與單位面積進(jìn)行比較， 被測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)面積單位它的面積就是多少； 而量角的本質(zhì)是看被測(cè)量的角中包含多少個(gè)單位角。 正由于學(xué)生對(duì)于量角器的本質(zhì)不明，學(xué)生才不會(huì)擺量角器。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、怎樣從揭示本質(zhì)的角度來(lái)改進(jìn)“

5、角的度量”的教學(xué)（字幕）楊：原因找到了，是由于學(xué)生對(duì)量角器和量角方法的本質(zhì)不明。那么該怎樣從揭示本質(zhì)入手改進(jìn)我們當(dāng)前的教學(xué)呢？全國(guó)第八屆課堂教學(xué)大比武的一等獎(jiǎng)獲得者強(qiáng)震球老師在這方面作了很好的探索， 我們分兩個(gè)段落來(lái)剖析他的教學(xué)方法和設(shè)計(jì)意圖。首先來(lái)研究（一） 怎樣揭示“量角的本質(zhì)是看對(duì)象中含有多少個(gè)單位小角”“量角器的本質(zhì)是單位小角的集合”（字幕）請(qǐng)看錄像。案例 12-1 角的度量（江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué)強(qiáng)震球）（字幕）1、錄像觀摩：2、討論：楊：剛才這段錄像其實(shí)可以分成兩個(gè)段落1. 由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大小2. 由單位角的使用不便引出要可以把單位角合并為半圓工具，并進(jìn)行

6、方法教學(xué)（字幕）我們來(lái)分析一下這兩個(gè)段落的設(shè)計(jì)意圖：張：由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大小。這個(gè)段落其實(shí)是為了說(shuō)明量角的本質(zhì)是看大角里有多少個(gè)單位角。復(fù)習(xí)角的大小的含義， 喚醒學(xué)生對(duì)角的大小的理解，為用單位角量角的大小打下鋪墊； 復(fù)習(xí)用活動(dòng)角比較角的大小，用活動(dòng)角來(lái)比較角的大小時(shí)的注意點(diǎn)“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，邊對(duì)邊”實(shí)際上是用量角器量角的方法的雛形，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案因此需要激活。 本環(huán)節(jié)還通過(guò)學(xué)生的討論與操作， 引導(dǎo)得出用小角來(lái)比較的方法，比較了用活動(dòng)角比大小和用小角比大小各自的優(yōu)劣， 突出了小角度量比較精確的特點(diǎn)。 量角器的本質(zhì)是單位角的集合， 讓學(xué)生悟出用小角測(cè)量的可行性與操作要點(diǎn)，

7、可以為學(xué)生理解量角的原理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。楊：第二個(gè)段落由單位角的使用的不便引出要把單位角集合為半圓工具，并進(jìn)行方法教學(xué)。 這個(gè)段落的目的在于揭示量角器的本質(zhì)是單位角的集合。強(qiáng)老師呢，針對(duì)“用單位角比較”的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)非常準(zhǔn)確地設(shè)問(wèn)：能否保留“用小角比” 的優(yōu)勢(shì)而改變操作不便的不足呢？在這個(gè)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生把單位小角合并起來(lái)， 這樣就非常巧妙揭示了量角器的本質(zhì)是單位角的集合。本環(huán)節(jié)還強(qiáng)化了用“簡(jiǎn)易量角器”測(cè)量角的大小的方法。簡(jiǎn)易量角器上沒(méi)有刻度，但是正因?yàn)闆](méi)有刻度，學(xué)生就只能數(shù)出得數(shù)了，對(duì)學(xué)生掌握量角的方法反而減少了很多干擾，更利于學(xué)生掌握量角的方法。（二）怎樣讓學(xué)生明白量角器上兩圈刻度的作用和由來(lái)

8、（字幕）1、導(dǎo)入：楊：到現(xiàn)在為止，學(xué)生明白了量角器是小角的集合，量角的本質(zhì)也明白了，但是學(xué)生還不明白兩圈刻度的作用和由來(lái)，那么強(qiáng)老師接下來(lái)會(huì)怎樣呢呢？讓我們接著看下去。2、錄像觀摩案例 12-2角的度量（江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué)強(qiáng)震球）（字幕）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3、討論：楊：這部分內(nèi)容的教學(xué)還是可以分成兩個(gè)階段：第一個(gè)階段由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位小角分得更細(xì)些第二個(gè)階段由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度， 進(jìn)而引出兩圈刻度（字幕）拿這兩個(gè)段落設(shè)計(jì)意圖又是什么呢？張：我認(rèn)為，前一段落中老師用的單位角比較大，具有便于操作、便于學(xué)生掌握原理和方法的作用，但是真正使用的量角器中的單位角是

9、 1 度的角， 1 度的角非常小，具有度量準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。因此強(qiáng)老師就從單位角太大度量不準(zhǔn)確入手啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出：要把單位角分得更細(xì)些。學(xué)生實(shí)際使用的量角器的靠近中心部分是沒(méi)有分割線的， 使得學(xué)生不易理解量角器是單位小角的集合， 強(qiáng)老師演示量角器的動(dòng)態(tài)演變過(guò)程用意就在于彌補(bǔ)這個(gè)不足。楊：第二個(gè)段落是由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度， 進(jìn)而引出兩圈刻度。與直尺相比，量角器有兩圈刻度，這是理解量角器的構(gòu)成的一大難點(diǎn)。這個(gè)環(huán)節(jié)中強(qiáng)老師精心設(shè)計(jì)了讀數(shù)不便的現(xiàn)實(shí)情景， 讓學(xué)生產(chǎn)生要加兩圈刻度的想法，這樣一來(lái)刻度成了學(xué)生自己的作品，當(dāng)然它的由來(lái)、作用、使用方法就不言自明了。在平時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)之下， 量角的

10、方法是要由教師一個(gè)步驟一個(gè)步驟地示范講解的，但是在本課的教學(xué)前提之下， 量角的方法當(dāng)然不再需要教師精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案拼命死灌了， 量角的方法只是學(xué)生的思維的自然延伸，因此完全可以由學(xué)生自己得出了。三、整個(gè)課堂設(shè)計(jì)的核心思想（字幕）楊：為了捕捉整堂課設(shè)計(jì)的主要思想，我們來(lái)完整地來(lái)看一下整節(jié)課的五個(gè)段落：1. 由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大??；2. 由單位角的使用的不便引出要把單位角合并為半圓工具；3. 由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位角分得更細(xì)些；4. 由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度，進(jìn)而引出兩圈刻度；5. 完整總結(jié)量角方法，進(jìn)行相應(yīng)練習(xí)（字幕）這個(gè)段落呢剛才大家沒(méi)有

11、看到從這五個(gè)段落和他們之間的相互聯(lián)系中我們也可以看出強(qiáng)老師在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)有哪些重要設(shè)計(jì)理念呢？張：我認(rèn)為在本課當(dāng)中，強(qiáng)老師非常重視揭示知識(shí)和方法的本質(zhì)，揭示本質(zhì)是本課的第一個(gè)設(shè)計(jì)理念。量角器的本質(zhì)是“單位角”的集合，角的度量的本質(zhì)是看被測(cè)對(duì)象中含有多少個(gè)“單位角” ，促使學(xué)生對(duì)這兩個(gè)本質(zhì)充分而又深刻地理解是上好這節(jié)課的邏輯基礎(chǔ)， 強(qiáng)老師的教學(xué)策略的設(shè)計(jì)就是圍繞這樣的主題展開(kāi)的。楊：但是強(qiáng)老師揭示本質(zhì)不是通過(guò)灌輸來(lái)實(shí)現(xiàn)的， 而是通過(guò)動(dòng)態(tài)建構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此動(dòng)態(tài)建構(gòu)是本課設(shè)計(jì)的第二個(gè)理念。建構(gòu)主義的教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)，建構(gòu)的過(guò)程是

12、從“不平衡”到“平衡”的不斷反復(fù)的過(guò)程（字幕）。這節(jié)課里，強(qiáng)老師能夠追蹤量角器設(shè)計(jì)者的思考軌跡，凸現(xiàn)種種矛盾沖突，不斷激發(fā)學(xué)生深入思考，展示了知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生理解“量角器的本質(zhì)”，理解“量角方法的本質(zhì)”。也就是說(shuō)，強(qiáng)老師試圖把學(xué)生的角色從“量角器的使用者”提升成為“量角器的制作者”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)量角器的再創(chuàng)造，在探索和實(shí)踐的過(guò)程中掌握知識(shí)的原理，在建構(gòu)工具的同時(shí)建構(gòu)方法。四、延伸討論（字幕）1、導(dǎo)入：楊：老師們，空間和圖形中的測(cè)量?jī)?nèi)容非常豐富，具體而言包含下列內(nèi)容：意義：長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積、表面積、體積、容積算法：一些圖形的周長(zhǎng)、 面積、表面積、體積、容積的計(jì)算方法 （字幕）強(qiáng)老師

13、的角的度量的教學(xué)中最突出的就是把握本質(zhì)和動(dòng)態(tài)建構(gòu)，那么這樣的理念對(duì)于如此豐富的測(cè)量教學(xué)的內(nèi)容有沒(méi)有什么指導(dǎo)意義呢？2、教師對(duì)于測(cè)量本身的數(shù)學(xué)理解非常重要。張：強(qiáng)老師的課使我們教師對(duì)于量角的本質(zhì)、量角器的本質(zhì)（的認(rèn)識(shí)）有了新的提高，我覺(jué)得教師對(duì)于測(cè)量本身的數(shù)學(xué)理解非常重要。楊：對(duì)呀，你要讓學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)， 那么教師不理解本質(zhì)怎么行呢？而且理解要深刻要深刻要達(dá)到哪些要求呢？我看主要有下面這些要求：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1. 理解測(cè)量的本質(zhì)是看測(cè)量對(duì)象中含有多少個(gè)基本單位2. 理解為什么有的測(cè)量工具是專門(mén)化固定化？有的測(cè)量工具卻是臨時(shí)性質(zhì)？3. 理解測(cè)量單位統(tǒng)一的必要性4. 理解測(cè)量單位和測(cè)量對(duì)象

14、的一致性這一條我解釋幾句：長(zhǎng)度是一維的，長(zhǎng)度單位也是一維的；面積是兩維的，面積單位也是兩維的；體積是三維的，體積單位也是三維的 這其中就有一致性呀5. 理解專門(mén)的測(cè)量工具是測(cè)量單位的集合。6. 理解為什么一些專門(mén)的測(cè)量工具上要加刻度？7. 深刻理解測(cè)量概念本身的內(nèi)在含義（以上字幕逐條出）深刻認(rèn)識(shí)測(cè)量概念本身的含義是一件非常重要的事情， 很多測(cè)量概念是非常抽象難懂的， 比如什么是面積？什么是體積？教師絕不應(yīng)該滿足于會(huì)機(jī)械地背出幾個(gè)定義， 如面積的定義老師就背啦 “物體表面或圍成的平面圖形的大小叫做他們的面積”，其實(shí)會(huì)背這樣的定義很簡(jiǎn)單，但是你對(duì)面積的真正意義完全是可能一知半解的。我曾經(jīng)讓一個(gè)學(xué)生

15、比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積， 當(dāng)學(xué)生比出結(jié)果后我問(wèn)他原因，那個(gè)學(xué)生說(shuō)卻說(shuō)“那個(gè)長(zhǎng)方形邊框比較長(zhǎng)”。你看這里邊學(xué)生關(guān)注的根本不是面積啊，他關(guān)注的是周長(zhǎng)。我認(rèn)為，教師對(duì)于測(cè)量概念必須要有非常本質(zhì)的而不是字面的理解， 還是以面積為例，面積的本質(zhì)是什么，面積的本質(zhì)是“面的大小”而不是精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案“邊的長(zhǎng)短”，把握概念的本質(zhì)有什么標(biāo)志呢？下面我舉兩個(gè)例子，這兩個(gè)例子應(yīng)該很能說(shuō)明問(wèn)題。有一次，吳正憲老師教學(xué)面積的意義，她先讓兩個(gè)學(xué)生比賽涂色，一個(gè)學(xué)生涂面積比較大的一個(gè)長(zhǎng)方形，還有一個(gè)學(xué)生涂一個(gè)面積較小的正方形，看誰(shuí)先涂完。我認(rèn)為學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中關(guān)注的才真正是面的大小。還有一位老師教學(xué)面積意義時(shí)，他一開(kāi)始

16、就布置學(xué)生比較兩個(gè)房間的大小，結(jié)果有的學(xué)生用尺去量，有的學(xué)生用報(bào)紙去鋪地，鋪完之后說(shuō)哪個(gè)房間用的紙多哪個(gè)房間的面積就大。我認(rèn)為第二個(gè)學(xué)生對(duì)于面積的含義恐怕也是真正理解的。3、把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課。張：我認(rèn)為強(qiáng)老師的這堂課不象很多老師一樣， 把測(cè)量課僅僅當(dāng)作技能訓(xùn)練課、手工操作課，在強(qiáng)老師的課堂里，學(xué)生的思維能力得到了很大的發(fā)展，解決問(wèn)題的策略得到了很大的提升，這一點(diǎn)非常值得我們學(xué)習(xí)。因此我認(rèn)為改進(jìn)測(cè)量教學(xué)第一個(gè)要做到的就是：把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課。楊：要把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課，我覺(jué)得應(yīng)該做到下面幾條：（）杜絕測(cè)量概念教學(xué)中的淺表化、文字化，要追求概念理解的深刻化、本質(zhì)化。（

17、）杜絕測(cè)量單位、 工具教學(xué)的機(jī)械化， 要追求教學(xué)過(guò)程中的生成性。（）杜絕測(cè)量公式教學(xué)過(guò)程中的短平快， 要追求在公式推導(dǎo)過(guò)程中學(xué)生的實(shí)質(zhì)發(fā)展。（字幕）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案其實(shí)前兩點(diǎn)我們?cè)谇懊娴挠懻撝幸呀?jīng)涉及很多， 關(guān)于第三個(gè)方面我在這里補(bǔ)充一個(gè)例子。教學(xué)平行四邊形的面積計(jì)算時(shí)， 我們一般先引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形變形為長(zhǎng)方形，然后就提出三個(gè)問(wèn)題 “平行四邊形的面積和長(zhǎng)方形面積有什么關(guān)系？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和平行四邊形的底有什么關(guān)系？長(zhǎng)方形的寬和平行四邊形的高有什么關(guān)系” ，最后在問(wèn)題討論的基礎(chǔ)上得出計(jì)算公式。但是也有人不是這樣上課的，他的教學(xué)分為三步：第一步跟我們一樣， 引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形割補(bǔ)成為長(zhǎng)方形，

18、 求出面積。第二步呢跟我們不一樣了， 他在方格紙上畫(huà)了大量的平行四邊形， 要求學(xué)生想象，要想出割補(bǔ)的過(guò)程求出面積。第三步問(wèn)學(xué)生：要求平行四邊形的面積需要知道哪些條件？怎樣求？為什么？我很欣賞這位老師的第二個(gè)教學(xué)段落， 讓學(xué)生想象割補(bǔ)過(guò)程求面積看似浪費(fèi)了時(shí)間，但是在這個(gè)過(guò)程中平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的內(nèi)在聯(lián)系得到了極大的重視，學(xué)生的空間想象能力也得到了很大的提高。我對(duì)第三個(gè)教學(xué)段落也非常欣賞， 他的問(wèn)題是 “要求平行四邊形的面積需要知道什么條件？怎樣求？為什么？” ，而我們給他們提的問(wèn)題是什么呢？ “面積和面積有什么關(guān)系？長(zhǎng)和底有什么關(guān)系？寬和高有什么關(guān)系”兩種提法相比較， 顯然這一位老師的提問(wèn)比

19、較宏觀， 題目比較大，這樣一來(lái)，學(xué)生就能比較系統(tǒng)地完整地進(jìn)行思考， 而我們體的問(wèn)題呢就把知識(shí)嚼得太碎了，就降低教學(xué)過(guò)程中的認(rèn)知水平。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4 、把學(xué)生提升為知識(shí)和工具的發(fā)明者。張：強(qiáng)老師設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)的大膽也值得我們學(xué)習(xí)， 一般的老師只滿足于教會(huì)學(xué)生量角， 根本不敢讓學(xué)生創(chuàng)造量角器， 正因?yàn)樵O(shè)計(jì)的大膽才導(dǎo)致了課堂的靈動(dòng)。其實(shí)，這實(shí)際上不僅僅是大膽與否的問(wèn)題，更是應(yīng)該不應(yīng)該的問(wèn)題，這涉及到我們?nèi)绾慰创龑W(xué)生的問(wèn)題， 教師越是小看學(xué)生， 培養(yǎng)的學(xué)生越是高分低能，越是把學(xué)生看做具有很大的潛能的創(chuàng)造者， 學(xué)生就越是能朝著這個(gè)方向發(fā)展。 當(dāng)然過(guò)分高估學(xué)生肯定不行， 但是別忘了學(xué)生的創(chuàng)造只是在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造， 在這個(gè)前提下我們?cè)O(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)不妨膽子更大些、步子更大些。因此我認(rèn)為改進(jìn)測(cè)量教學(xué)第二個(gè)要做到的就是：把學(xué)生提升為知識(shí)和工具的發(fā)明者。 我們要相信學(xué)生學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的能力，同時(shí)要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用。5 、促進(jìn)提升的前提是追溯前人認(rèn)知發(fā)展的軌跡。楊：要在動(dòng)態(tài)建構(gòu)中促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)的