大數(shù)定律及其應(yīng)用

1、 本 科 畢 業(yè) 論 文( 2013屆) 題 目: 大數(shù)定律及其應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)： 統(tǒng)計學(xué) 班級: 09統(tǒng)計 姓 名: 學(xué) 號: 指導(dǎo)老師： 完成日期： 2013年4月1日 目 錄§1、引言2§2、大數(shù)定律的發(fā)展歷程3§3、常見的大數(shù)定律及中心極限定理4 §3。1常見的大數(shù)定律4 §3.2常見的中心極限定理5§4、大數(shù)定律的應(yīng)用6 §4.1大數(shù)定律在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用6 §4.1。1 在積分方面的應(yīng)用6 §4。1。2 在極限中的應(yīng)用7 §4。2大數(shù)定律在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用9

2、§4.2.1 誤差方面的應(yīng)用9 §4.2.2 估計數(shù)學(xué)期望和方差10 §4.3大數(shù)定律在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用11 §4。3。1 大數(shù)定律在保險業(yè)中的應(yīng)用11 §4.3。2 大數(shù)定律在銀行經(jīng)營管理中的應(yīng)用12§5、結(jié)束語13§6、致謝13參考文獻(xiàn)14. 大數(shù)定律及其應(yīng)用 (溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 09統(tǒng)計） 摘要: 大數(shù)定律顧名思義就是指當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量很大的時候，然后某一變量就會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，這一呈現(xiàn)出規(guī)律性的變量就是我們經(jīng)常說的平均值，即當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量很大的時候，平均結(jié)果將穩(wěn)定于某一穩(wěn)定值.大數(shù)定律在概率論中的重要性不言而喻,而

3、且其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及經(jīng)濟(jì)生活領(lǐng)域也有著非常重要的作用。本文列舉了我們在大學(xué)階段經(jīng)常遇到的一些大數(shù)定律和中心極限定理，通過一些具體的例題，介紹了常見的大數(shù)定律和中心極限定理在一些重要領(lǐng)域的應(yīng)用,具體包括在數(shù)學(xué)分析中求極限和積分，預(yù)測誤差，近似計算，以及在保險業(yè)和銀行經(jīng)營管理方面的應(yīng)用，進(jìn)一步闡明了大數(shù)定律與中心極限定理在各分支學(xué)科中的重要作用和應(yīng)用價值。關(guān)鍵詞：大數(shù)定律；中心極限定理；經(jīng)濟(jì)生活；應(yīng)用§1、引言 大數(shù)定律對于很多人來說都很陌生，即使學(xué)過概率論的也說不出個所以然。記得剛學(xué)大數(shù)定律的時候，覺得這個定理好難理解，書本反復(fù)翻了幾次還是不懂。感覺這定理沒什么作用，理論性這么強(qiáng)，沒什么

4、應(yīng)用價值.直到后來學(xué)了中心極限定理，介紹了其大量應(yīng)用,例如在保險業(yè)中的應(yīng)用，可以說保險業(yè)離不開中心極限定理.這才知道自己錯了，原來大數(shù)定律也有著非常重要的作用,因?yàn)橹行臉O限定理正是基于大數(shù)定律的基礎(chǔ)上而發(fā)展出來的定理，沒有大數(shù)定律作為基礎(chǔ)是不會有中心極限定理的.大數(shù)定律與中心極限定理是概率論中具有標(biāo)志性的兩類定理，其作用恰如一顆紐帶，很好地承接了概率論與數(shù)理統(tǒng)計.大數(shù)定律所要闡明的是大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性，即當(dāng)樣本量很大的情況下，樣本的平均值可以近似看作總體平均值.因?yàn)樵趯?shí)際生活中，當(dāng)我們要考查某一變量，總體數(shù)據(jù)統(tǒng)計起來往往難度過大甚至不可能，這時我們就需要用到大數(shù)定律。我們先統(tǒng)計總體的

5、一個樣本量,這個樣本量要足夠大,一般根據(jù)總體而定,然后考查這個樣本數(shù)據(jù)的特征，最后樣本數(shù)據(jù)的結(jié)果可以近似看作是總體的結(jié)果.例如：我們要考查某一地區(qū)居民的月平均消費(fèi)水平，如果要去統(tǒng)計這一地區(qū)所有居民月消費(fèi)額工作量就會太大,有了大數(shù)定律，我們只要抽取足夠數(shù)量的居民，統(tǒng)計他們的月消費(fèi)額，最后這一樣本量的平均值就可以近似看作這一地區(qū)居民平均消費(fèi)額。這種思想恰恰是概率論中最為重要的思想，而這種思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有著相當(dāng)重要的作用。對于中心極限定理我們要更為熟悉，它比大數(shù)定律論述更為詳細(xì)具體。中心極限定理主要論述的是其他分布和正態(tài)分布之間的某種內(nèi)在關(guān)系,一般對于某一總體,不管其服從什么分布，泊松分布也好，二

6、項(xiàng)分布也好，只要考查的樣本數(shù)據(jù)量足夠大，那么樣本的均值就近似服從正態(tài)分布.§2、大數(shù)定律的發(fā)展歷程對于大數(shù)定律，不少人可能有所耳聞，但是對于大數(shù)定律的發(fā)展歷史，可能就很少有人清楚了。我們都知道，大數(shù)定律研究的是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一類定理，當(dāng)我們大量重復(fù)某一相同的實(shí)驗(yàn)的時候，其最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能會穩(wěn)定在某一數(shù)值附近。就像拋硬幣一樣,當(dāng)我們不斷地拋,拋個上千次，甚至上萬次，我們會發(fā)現(xiàn),正面或者反面向上的次數(shù)都會接近一半。除了拋硬幣，現(xiàn)實(shí)中還有許許多多這樣的例子，像擲骰子，最著名的實(shí)驗(yàn)就是泊松拋針實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)都像我們傳達(dá)了一個共同的信息,那就是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)最終的結(jié)果都會比較穩(wěn)定。那穩(wěn)定

7、性到底是什么？怎樣去用數(shù)學(xué)語言把它表達(dá)出來？這其中會不會有某種規(guī)律性？是必然的還是偶然的？這一系列問題其實(shí)就是大數(shù)定律要研究的問題。很早的時候，人們其實(shí)就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律性現(xiàn)象，也有不少的數(shù)學(xué)家對這一現(xiàn)象進(jìn)行了研究，這其中就包括伯努利（后來人們?yōu)榱思o(jì)念他，都認(rèn)為他是第一個研究這一問題的人，其實(shí)在他之前也早有數(shù)學(xué)家研究過）。伯努利在1713年提出了一個極限定理，當(dāng)時這個定理還沒有名稱,后來人們稱這個定理為伯努利大數(shù)定律。因此概率論歷史上第一個有關(guān)大數(shù)定律的極限定理是屬于伯努利的,它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律，屬于弱大數(shù)定律的范疇。我們知道，當(dāng)大量重復(fù)某一實(shí)驗(yàn)時，最后的頻率無限接近事件概率。而伯

8、努利成功地通過數(shù)學(xué)語言將現(xiàn)實(shí)生活中這種現(xiàn)象表達(dá)出來，賦予其確切的數(shù)學(xué)含義。他讓人們對于這一類問題有了新的認(rèn)識，有了更深刻的理解，為后來的人們研究大數(shù)定律問題指明了方向，起到了引領(lǐng)作用，其為大數(shù)定律的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).除了伯努利之外，還有許許多多的數(shù)學(xué)家為大數(shù)定律的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn),有的甚至花了畢生的心血，像德莫佛拉普拉斯，李雅普諾夫，林德伯格，費(fèi)勒，切比雪夫,辛欽等等。這些人對于大數(shù)定律乃至概率論的進(jìn)步所起的作用都是不可估量的。1733年，德莫佛拉普拉斯經(jīng)過推理證明，得出了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布的結(jié)論，后來他又在原來的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，證明了不止二項(xiàng)分布滿足這個條件,其他任何分布都是可以

9、的，為中心極限定理的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。在這之后大數(shù)定律的發(fā)展出現(xiàn)了停滯。直到20世紀(jì)，李雅普諾夫又在拉普拉斯定理的基礎(chǔ)上做了自己的創(chuàng)新，他得出了特征函數(shù)法，將大數(shù)定律的研究延伸到函數(shù)層面，這對中心極限定理的發(fā)展有著重要的意義.到1920年,數(shù)學(xué)家們開始探討中心極限定理在什么條件下普遍成立，這才有了后來發(fā)表的林德伯格條件和費(fèi)勒條件,這些成果對中心極限定理的發(fā)展都功不可沒。經(jīng)過幾百年的發(fā)展，大數(shù)定律體系已經(jīng)很完善了,也出現(xiàn)了更多更廣泛的大數(shù)定律,例如切比雪夫大數(shù)定律，辛欽大數(shù)定律，泊松大數(shù)定律，馬爾科夫大數(shù)定律等等.正是這些數(shù)學(xué)家們的不斷研究,大數(shù)定律才得以如此迅速發(fā)展,才得以完善。§

10、;3、常見的大數(shù)定律及中心極限定理§3.1常見的大數(shù)定律大數(shù)定律形式有很多種,我們僅介紹幾種最常用的大數(shù)定律。定理1(伯努利大數(shù)定律）在n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)某一事件總共出現(xiàn)的次數(shù)為,并且每次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率是p，其中0<p<1,那么對于，都有 說明：這個定理以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)公式說明了我們剛才談到的現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常出現(xiàn)的現(xiàn)象,即當(dāng)大量重復(fù)某一實(shí)驗(yàn)時，最后實(shí)驗(yàn)的頻率無限接近實(shí)驗(yàn)的概率.所以，在現(xiàn)實(shí)生活和工作中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大時,就可以靈活地運(yùn)用這個定理。定理2（切比雪夫大數(shù)定律） 假設(shè)是一列隨機(jī)變量，并且兩兩互不相關(guān)，它們的方差有界，即存在常數(shù),使得，那么對于任意的，都有 在

11、上述的定理中，因?yàn)橛玫角斜妊┓虿坏仁剑斜妊┓虿坏仁綄Ψ讲钣羞@方面要求，其實(shí)方差這個條件并不是必要的。例如獨(dú)立同分布時的辛欽大數(shù)定律。 定理3(辛欽大數(shù)定律） 假設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,并且數(shù)學(xué)期望，且a是有限的,則對于任意的，有 上式也可表示為或，并且稱依概率收斂于。 定理4(泊松大數(shù)定律）假設(shè)是一組隨機(jī)變量序列，且兩兩相互獨(dú)立，并且有 ，其中p， q滿足條件:，那么我們稱服從泊松大數(shù)定律。其實(shí)從某種程度上來講，泊松大數(shù)定律可以認(rèn)為是伯努利大數(shù)定律的延伸與普及，我們知道伯努利大數(shù)定律以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)公式說明了現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常出現(xiàn)的現(xiàn)象，即當(dāng)大量重復(fù)某一實(shí)驗(yàn)時，最后實(shí)驗(yàn)的頻率無限接近實(shí)驗(yàn)的概率。

12、但泊松大數(shù)定律說明的是,獨(dú)立進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)的頻率依舊具有其平穩(wěn)性，即使實(shí)驗(yàn)條件發(fā)生變化。這就是泊松大數(shù)定律比伯努利大數(shù)定律更為寬泛的地方. 定理5（馬爾科夫大數(shù)定律）對于隨機(jī)變量序列，若有則有。§3.2常見的中心極限定理 定理 6（列維林德伯格中心極限定理） 假設(shè)隨機(jī)變量是一系列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,其數(shù)學(xué)期望和方差，則對任意實(shí)數(shù),都有 我們又稱定理6為獨(dú)立同分布的中心極限定理,從這個定理可以看出正態(tài)分布在概率論中的特殊地位,不管呈何種分布，但只要，則有隨機(jī)變量或者我們可以說，當(dāng)時,對于一系列隨機(jī)變量，只要滿足獨(dú)立同分布，則 近似地服從正態(tài)分布。 定理 7 (拉普拉斯中心極限定理）假

13、設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,那么對于任意的有界區(qū)間，恒有表達(dá)式成立，這就說明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。一般地，如果,則 這個公式給出了當(dāng)較大時,關(guān)于二項(xiàng)分布的概率計算方法.定理 8 （林德伯格定理) 假設(shè)是一系列隨機(jī)變量序列，且相互獨(dú)立，而且還符合林德伯格的前提假設(shè)，則對任何存在的x，都有這個定理證明了以下結(jié)論：大量微小而且獨(dú)立的隨機(jī)因素引起并積累而成的變量,必將是一個正態(tài)隨機(jī)變量。由林德伯格條件可看到定理并不要求各個加項(xiàng)“同分布”,因而它比前面的列維林德伯格中心極限定理更全面，事實(shí)上列維林德伯格中心極限定理可以由該定理推出.說明:中心極限定理討論的問題是獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布的極限問題,通常在

14、一定條件下,這些分布弱收斂于退化分布，我們稱這就是大數(shù)定律。而中心極限定理要證明的問題是,隨機(jī)變量和的分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系，在其服從正態(tài)分布的基礎(chǔ)上再來探討需滿足的條件。中心極限定理從根本上讓我們認(rèn)識了正態(tài)分布產(chǎn)生的源泉,因而可以把中心極限定理看作是正態(tài)分布解決各種實(shí)際問題的理論基礎(chǔ)。§4、大數(shù)定律的應(yīng)用§4。1大數(shù)定律在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 §4.1.1 在積分方面的應(yīng)用我們知道有時候求積分，被積函數(shù)可能會比較復(fù)雜,原函數(shù)求不出來，然后用普通的近似方法也很難做到，這時我們就需要用到大數(shù)定律求解，以大數(shù)定律作為理論基礎(chǔ),通過近似求解可獲得積分的近似值。 例1 令則

15、,用隨機(jī)投點(diǎn)法求在區(qū)間上的積分的近似值。解 服從正方形上的均勻分布,則可知服從上的均勻分布，也服從上的均勻分布，且與獨(dú)立。又記事件,則的概率為，即定積分的值就是事件的概率.由伯努利大數(shù)定律,我們可以用重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率作為的估計值。下面用隨機(jī)投點(diǎn)法來得到出現(xiàn)的頻率：先用計算機(jī)產(chǎn)生上均勻分布的個隨機(jī)數(shù)：，這里不妨令。對對數(shù)據(jù)，記錄滿足不等式的次數(shù)，就是事件發(fā)生的頻數(shù),由此可得事件發(fā)生的頻率，則.又時,模擬值那么所求近似值§4。1.2 在極限中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中，極限的證明通常也是比較困難的.雖然求極限的方法比較多,這里我們同樣可以運(yùn)用概率的方法。但是對于較為復(fù)雜的極限，概率方法往往難

16、以求出結(jié)果,接下來我們就用大數(shù)定律來求解這一類問題。例2 假設(shè)，求下面極限解: 假設(shè)隨機(jī)變量在0，1上服從均勻分布，而且相互獨(dú)立，則有 ， 易見： 由獨(dú)立同分布可知，獨(dú)立同分布。又根據(jù)辛欽大數(shù)定律可知：從而， 例3 假設(shè)和是a,b上的連續(xù)函數(shù),并且滿足條件：存在常數(shù) c>0, 使,試證明： 證 假設(shè)是在a,b上服從均勻分布且獨(dú)立的隨機(jī)變量，令 那么由大數(shù)定律知： ， .現(xiàn)證明：依概率收斂于其中 , 。由于 可見 故在點(diǎn)連續(xù)：對任意的，存在,當(dāng)和時,。因此, 由此可見: §4.2大數(shù)定律在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用 §4。2。1 誤差方面的應(yīng)用 下面我們介紹一下怎么利用大數(shù)定律解

17、釋測量隨機(jī)誤差。理論基礎(chǔ)：根據(jù)大數(shù)定律我們知道，對一系列隨機(jī)誤差 ,有 這意味著當(dāng)時，測量結(jié)果的平均值和實(shí)際真值a將無限的接近，所以這樣的方法是有理論依據(jù)的，一般都行得通。例4 有一棟高樓需要我們測量其精確高度，現(xiàn)在利用某種儀器獨(dú)立測量了n次,所得測量數(shù)據(jù)為，假定測量儀器沒有系統(tǒng)誤差，那么當(dāng)測量次數(shù)足夠大即時,是否能近似把看作是這棟樓高度測量誤差的方差？解: 假設(shè)（i=1，2,，n）為n次測量所得的結(jié)果，且滿足。則第i次測量的誤差的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：設(shè)，i=l,2，,n,則也獨(dú)立同分布.在無系統(tǒng)誤差條件下,即有（i=1,2n)因而由切比雪夫大數(shù)定律可知：即 所以當(dāng)時,隨機(jī)變量依概率收斂于，

18、即當(dāng)時,我們 可以把近似看作是該模具測量誤差的方差。§4.2。2 估計數(shù)學(xué)期望和方差 在分布型未知的情況下估計數(shù)學(xué)期望及方差假設(shè)及都是隨機(jī)變量，并且有： 結(jié)合大數(shù)定律，我們可以用統(tǒng)計量樣本均值來近似估計期望,用樣本二階矩近似估計總體二階矩，即： 從而有由此得方差的估計： §4。3大數(shù)定律在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 §4.3。1 大數(shù)定律在保險業(yè)中的應(yīng)用大數(shù)定律不但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,生產(chǎn)生活方面有著重要應(yīng)用，其在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的作用也是不容忽視的。大數(shù)定律在某些經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的作用人們已經(jīng)熟知，并且極大地應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)的生活工作之中,例如其在保險業(yè)不斷蓬勃發(fā)展壯大的過程中起到至關(guān)重要的作用，可以視

19、為保險業(yè)存在的基石.大數(shù)定律在保險學(xué)上的應(yīng)用包括保費(fèi)的厘定，以及保險金的賠償?shù)鹊?。關(guān)于保險金的賠償其實(shí)是符合大數(shù)定律的，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中每個人的保費(fèi)是不同的，但是因?yàn)橥侗５幕鶖?shù)很大，所以根據(jù)大數(shù)定律，每個投保戶的平均賠償金額將會穩(wěn)定在某一數(shù)值附近.例5 某公司準(zhǔn)備為員工開辦某年齡段的五年人壽保險業(yè)務(wù)，有人參加，若是參加保險者交保險金元，若其在五年內(nèi)死亡，則保險公司將支付賠償金元，已知在五年內(nèi)處于該年齡段的健康人死亡的概率是,那么：保險公司將賠償金定為多少,才能使保險公司的期望盈利大于萬元；如果保險公司將賠償金定為元，要使保險公司盈利萬元，每位參保者至少應(yīng)交保險金為多少元？如果保險公司將賠償金定為元，

20、要使保險公司盈利的可能性大于，每位參保者至少應(yīng)交保險金為多少元？解 上述問題的解決方法如下：由于保險公司從每個人身上獲得的收益為，所以保險公司從個人身上獲得的期望收益應(yīng)滿足 從上述不等式可解出，即元時保險公司期望盈利可超過萬元?，F(xiàn)在要確定，而元是固定的，仍然用表示公司從每個參保者身上獲取的收益,那么的分布律為期望收益 (元）要使保險公司期望盈利萬元，則應(yīng)滿足 由此可推得元即賠償金元時,要使保險公司盈利萬元,每位參保者至少應(yīng)交元。仍用隨機(jī)變量表示中的死亡人數(shù)，那么服從,而要使公司盈利萬元 即 等價于死亡人數(shù) 如果想讓 即通過查泊松分布表可知 元即賠償金元時，要使保險公司盈利的可能性大于,每位參保

21、者至少交納元.說明: 1、理論依據(jù)：保險的賠償遵從大數(shù)定律，即如果投保人數(shù)充分大,則平均賠償率幾乎恒等于一個常數(shù).利用大數(shù)定律與中心極限定理計算相關(guān)事件的概率。 2、應(yīng)用與推廣 ：大數(shù)定律的一個重要應(yīng)用是在保險學(xué)方面.基本原理是一系列相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值幾乎恒等于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望,或者說一系列相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值依概率收斂于它的數(shù)學(xué)期望，可以廣泛應(yīng)用于保險精算、資源配置等方面. §4。3。2 大數(shù)定律在銀行經(jīng)營管理中的應(yīng)用 我們知道大數(shù)定律在許多領(lǐng)域有著重要的作用,不過目前為止,人們對其并沒有充分認(rèn)識,甚至在現(xiàn)實(shí)生活工作中，他們的所作所為已經(jīng)不知不覺地暗含了

22、大數(shù)定律，很多人自己沒有發(fā)現(xiàn)而已。這其中就包括被我們經(jīng)常忽略的大數(shù)定律在控制銀行經(jīng)營風(fēng)險中的作用，通常我們這里指的銀行是中小非國有銀行。大數(shù)定律在銀行中的應(yīng)用不怎么常見，沒有像保險業(yè)中那樣應(yīng)用廣泛。因?yàn)閼?yīng)用大數(shù)定律的銀行一般都是非國有中小銀行（這類銀行本身數(shù)量就不多），再加上大數(shù)定律在銀行中的應(yīng)用領(lǐng)域比較有限,所以這就導(dǎo)致了大數(shù)定律在銀行中的應(yīng)用比較少見,這方面的體系也不完善。這里在說明大數(shù)定律在銀行體系中的應(yīng)用之前，我們先來了解一下大數(shù)定律是如何在保險市場控制風(fēng)險的.我們知道保險市場風(fēng)險具有隨機(jī)性,但是因?yàn)橥侗Ｈ后w很大，所以運(yùn)用大數(shù)定律，我們照樣可以準(zhǔn)確地計算出風(fēng)險出現(xiàn)的概率，從而確定風(fēng)險損

23、失和經(jīng)營成本。但是銀行的信用風(fēng)險受各種不確定性條件的影響，具有很強(qiáng)的離散性,不服從一種規(guī)律的分布狀態(tài)。那么大數(shù)定律是怎樣控制銀行的經(jīng)營風(fēng)險的呢？銀行的經(jīng)營風(fēng)險更多情況下指的是貸款風(fēng)險，即銀行貸款出現(xiàn)壞賬,從而導(dǎo)致銀行虧損的情況。我們這里所討論的大數(shù)定律控制風(fēng)險指的就是這一情形。貸款是一個銀行發(fā)展的必須途徑,如果一個銀行貸款業(yè)務(wù)運(yùn)營的很好,那么可想而知該銀行肯定發(fā)展欣榮。但是如果一個銀行貸款業(yè)務(wù)出現(xiàn)問題，經(jīng)常出現(xiàn)壞賬,那這個銀行的發(fā)展肯定受到影響,嚴(yán)重時甚至可能導(dǎo)致銀行倒閉。既然這樣，那我們只要杜絕了壞賬不就行了嗎？只要貸款不出現(xiàn)壞賬那銀行就不會虧損了。想法固然很好，但實(shí)際中，由于存在信息不對稱

24、以及其他一些不可預(yù)測因素,銀行對每個借款人的信用不能清楚地掌握。就算某個人之前信用很好，但是我們不能排除他就不會因?yàn)槟撤N原因攜款跑路，所以銀行無法做到杜絕壞賬。雖然不能杜絕壞賬，但是銀行可以事先對這一情況進(jìn)行分析,利用大數(shù)定律預(yù)測壞賬出現(xiàn)的概率,然后在制定相關(guān)的策略和貸款政策的時候，將這個事先預(yù)測的概率考慮進(jìn)去，這樣可以對壞賬有一定的掌控，從而可以較好地控制銀行經(jīng)營風(fēng)險。然而要想利用大數(shù)定律來預(yù)測壞賬出現(xiàn)的概率，銀行貸款必須要滿足兩個條件：（1）每一筆貸款都必須是小額的;（2）借款的群體要足夠大.第一個條件是要保證每一筆貸款不會對總體貸款平均結(jié)果產(chǎn)生影響，因?yàn)閷W(xué)過概率論的知道,如果總體里面有一

25、項(xiàng)很大，那么這一項(xiàng)將影響總體平均結(jié)果的走向；其次，這個條件還能降低因借款人的道德風(fēng)險給銀行帶來的損失，因?yàn)槿绻霈F(xiàn)一筆大額壞賬，那么銀行將會嚴(yán)重虧損，對于規(guī)模較小的銀行可能會直接倒閉.另外一個條件則是大數(shù)定律最本質(zhì)的要求，因?yàn)橹挥性跇颖玖亢艽蟮那闆r下大數(shù)定律預(yù)測的結(jié)果方才準(zhǔn)確。這兩個條件缺一不可，非國有中小銀行只有同時達(dá)到這兩個條件方才能保證貸款業(yè)務(wù)的欣榮。接下來我們就舉個例子來具體說明大數(shù)定律在銀行中的應(yīng)用。例：某一非國有中小銀行經(jīng)營10萬元貸款業(yè)務(wù)，貸款的年利率為10%，并且該銀行根據(jù)過去的貸款信息結(jié)合大數(shù)定律估計出現(xiàn)壞賬的概率為1,現(xiàn)在該銀行期望該項(xiàng)業(yè)務(wù)年收益1000萬，問至少需要多少筆

26、貸款？解:假設(shè)總共有n筆貸款，用Y表示銀行的收益則 Y=n×（11)×105×10n×1×105 =9990n100n =9890n所以 Y107 即9890n107 得到 n1011。12所以，至少需要1012筆貸款才能保證年收益1000萬。其實(shí)像這樣的情況在溫州中也是比較常見的，溫州是全國第一個實(shí)行金融改革的城市，在改革的過程中，很多中小銀行和農(nóng)村信用合作社也做了相應(yīng)的變革.就拿在貸款這一方面來說，許多中小銀行和農(nóng)村信用合作社在經(jīng)營管理中很好地利用了大數(shù)定律,并結(jié)合自身的優(yōu)勢，靈活地經(jīng)營這項(xiàng)業(yè)務(wù),取得了不錯的成績。§5、結(jié)束語首先

27、我們提出了常見的大數(shù)定律及相關(guān)的中心極限定理,然后討論了它們的應(yīng)用，具體包括數(shù)學(xué)分析，生產(chǎn)生活,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，這可以為專業(yè)人員管理提供參考,對教學(xué)無疑也是非常有益的。通過大量樣本的分析和預(yù)測,結(jié)合大數(shù)定律預(yù)測實(shí)驗(yàn)的期望結(jié)果,這對于在現(xiàn)實(shí)工作中的預(yù)測也很有參考意義.在當(dāng)前的社會環(huán)境下，經(jīng)濟(jì)發(fā)展是重要問題。大數(shù)定律在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用將會越來越為人們關(guān)注。§6、致謝在寫畢業(yè)論文的過程中，黎老師一直在給于我很多幫助,從一開始的跟我分析怎么寫,跟我介紹參考文獻(xiàn)，到后來幫我審查文章，糾正錯誤等等，最后論文才得以成形，在這里我要對老師說一聲謝謝，老師您辛苦了。參考文獻(xiàn)1 路慶華。幾個大數(shù)定律的證明及應(yīng)用

28、.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2007年8月第19卷第4期： 2 5 2 張樹美,張榮基。關(guān)于大數(shù)定律定義的討論。廣西師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2002年6月第19卷增刊：3638。3 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M。北京：高等教育出版社,1983：56-854 復(fù)旦大學(xué).概率論（第一冊）M.北京：高等教育出版社，1979：82-115.5 黃清龍,阮宏順。概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:北京大學(xué)出版社,2005：93-1266 周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京：高等教育出版社，1984:51-767 楊亞非.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M。北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2003：38528 中山大學(xué)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計（上冊

29、）M.北京:人民教育出版社,1980：258259。9 浙江大學(xué)編。概率論與數(shù)理統(tǒng)計M。北京：化學(xué)工業(yè)出版社，1989：9612110 林正炎，陸傳榮，蘇中根編著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M。北京：高等教育出版社。487511 于進(jìn)偉，趙舜仁。大數(shù)定律與中心極限定理之關(guān)系。高等數(shù)學(xué)研究，2001年3月 第4卷第1期:17-1912 鐘鎮(zhèn)權(quán).關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理的若干注記。玉林師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)），2001年第22卷第3期:135137。13 王小勝.大數(shù)定律的幾個應(yīng)用。河北建筑科技學(xué)院學(xué)報,2005年3月第22卷第1期：5658.14 封希媛。大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際中的應(yīng)用。青海師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版)，2006年第2期:47-49。15 唐莉,李雁如.大數(shù)定律與中心極限定理的實(shí)際應(yīng)用。廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2005年第6期：12-12。16 王東紅.大數(shù)定律和中心