橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)整理簡介： 付敏（1973-） 女 江西高安人 江西省南昌市第十中學(xué)一級教師 教育碩士 （江西 南昌 330006）摘要：該文將加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)理論、建構(gòu)主義理論與高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際相整合，進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，意在探索新高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)下有效教學(xué)的新途徑。關(guān)鍵詞：體驗(yàn)探究 合作交流 學(xué)習(xí)方式 有效教學(xué)在人教版全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)中，82橢圓的簡單幾何性質(zhì)規(guī)定4課時(shí)完成，本文運(yùn)用加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)理論并結(jié)合幾何畫板的運(yùn)用給出第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)。1 教材分析11 教材地位與作用在高中數(shù)學(xué)教材中，圓錐曲線方程包括橢圓、雙曲線、拋物線方程。利用曲線方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，

2、并正確畫出圖形，是解析幾何的目的；由曲線的條件列出方程是解析幾何的手段。學(xué)生在這里，將第一次系統(tǒng)地按照橢圓方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)。掌握好這部份內(nèi)容將使后繼的雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)獲益。12 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)和探究橢圓的幾何性質(zhì)，并利用代數(shù)法證明橢圓的幾何性質(zhì) 難點(diǎn)：理解和掌握橢圓方程與橢圓曲線的互逆推導(dǎo)關(guān)系2 教學(xué)目標(biāo) 當(dāng)給出橢圓方程時(shí)，學(xué)生能通過口頭解答橢圓范圍、對稱性、形狀特征，演示出其所掌握的橢圓的幾何性質(zhì)。 學(xué)生采用橢圓方程與橢圓曲線間互逆推導(dǎo)的邏輯關(guān)系和數(shù)形結(jié)合解決問題。 學(xué)生通過選擇幾何畫板中顯示菜單中追蹤點(diǎn)的命令，來執(zhí)行畫橢圓曲線的任務(wù)。 學(xué)生愉快地選擇對知識進(jìn)

3、行歸納整理。3 任務(wù)分析 學(xué)習(xí)結(jié)果類型：目標(biāo)1屬于規(guī)則學(xué)習(xí)；目標(biāo)2屬于高級規(guī)則的學(xué)習(xí)，其中既包括對外工作的智慧技能的學(xué)習(xí)，又包括對內(nèi)調(diào)控的思考認(rèn)識策略學(xué)習(xí)；目標(biāo)3屬于動(dòng)作技能學(xué)習(xí)；目標(biāo)4屬于態(tài)度學(xué)習(xí)。 起點(diǎn)能力分析：學(xué)生已熟悉和掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，及判斷焦點(diǎn)所在位置和求焦距的基本方法和步驟。 支持性條件：學(xué)生有親歷體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和探究的興趣。4 教學(xué)過程情境聯(lián)想1 情境創(chuàng)設(shè)：根據(jù)課本P95頁例3的內(nèi)容，用幾何畫板現(xiàn)場演示如何借助“顯示”菜單中的“追蹤”命令獲取一個(gè)橢圓曲線。 情境聯(lián)想：觀察橢圓曲線的范圍，指出橢圓方程中x、y的取值范圍；觀察橢圓曲線的對性性，指出其關(guān)于什么對稱；觀察橢圓曲線與軸相

4、點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出它們的坐標(biāo)；觀察橢圓中的線段B1C1，并指出與其等長度的線段；分別對上述觀察出的結(jié)論予以證明。 課件設(shè)計(jì)：演示范圍：追蹤橢圓上的動(dòng)點(diǎn)在x軸、y軸上的投影。演示對稱：橢圓沿x軸y軸翻折和圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫。演示頂點(diǎn)：頂點(diǎn)采用醒目的顏色，并閃煉。演示線段：線段B1C1采用醒目的顏色，可在圖形中自由移動(dòng)，并指導(dǎo)學(xué)生上臺嘗試用移動(dòng)的方法直接發(fā)現(xiàn)圖中與其等長的線段。情境整理1學(xué)生按問題呈現(xiàn)的先后順序仔細(xì)觀察畫面上的變化，以小組為單位積極交流討論，并選派代表總結(jié)發(fā)言，教師則及時(shí)對小組交流活動(dòng)結(jié)果作出反饋和中肯的評價(jià)。 活動(dòng)流程：學(xué)生：獨(dú)立思考 交流討論 方案形成調(diào)適 問題解決教師：演示課件

5、 激勵(lì)指導(dǎo) 方案補(bǔ)充完善 評價(jià)反饋 學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)： （學(xué)生口述觀察發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，證明由教師引導(dǎo)，師生相互交流共同完成）1橢圓范圍：橢圓位于x=a和y=b圍成的矩形框內(nèi),在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的x和y的取值范圍是，2橢圓對稱性：橢圓關(guān)于x軸和y軸軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱。 3橢圓頂點(diǎn)：橢圓與x軸和y軸各有兩個(gè)交點(diǎn)，令x=0，得出y=b，令y=0 ，得 出x=a，故四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，a）和（b，0），與線段B1C1等長的線段有B1C2、B2C1、B2C2、OA1、OA2。證明：OB1 = OB2 = b，OC1 = OC2 = c 且BOC = 90,b2+ c2= a2 B1C1 = B1C2 =

6、 B2C1 = B2C2 = a 又OA1 = OA2 = a B1C1 = B1C2 = B2C1 = B2C2 = OA1 = OA2 =a教師言語指導(dǎo)：在同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中，我們規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)橢圓與軸的交點(diǎn)為其頂點(diǎn)，原點(diǎn)為它的對稱中心，簡稱橢圓的中心。線段A1A2和線段B1B2分別叫做它的長軸和短軸，長度分別記為？（停頓，等待學(xué)生回答）顯然，此時(shí)的a、b分別表示橢圓的長半軸長和短半軸長。情境聯(lián)想2情境創(chuàng)設(shè)：設(shè)計(jì)橢圓的曲線、圓的曲線、橢圓的曲線三者圖象之間的變化和形成過程，在操作中點(diǎn)擊動(dòng)畫按扭“改變a的值”，即可在保持b值不變的情況下變化a的值，從而讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)和形的對應(yīng)觀察。情境聯(lián)想：觀察圖象

7、中a、b數(shù)值，指出在b的值不變的情況下，a、b數(shù)值愈接近，a、c之間關(guān)系如何？橢圓形狀如何變化？并由此推導(dǎo)在一般情況下相應(yīng)的結(jié)論是什么？ 課件設(shè)計(jì)： 用鮮艷顏色顯示曲線，使圖象變化起到最佳的視角效果。情境整理2學(xué)生仍以小組為單位匯報(bào)體驗(yàn)探究和合作交流結(jié)果，老師在恰當(dāng)時(shí)候給出離心率的定義性概念，并再次引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)離心率與橢圓形關(guān)間的規(guī)律。 合作活動(dòng)流程：同情境整理1 學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：橢圓形狀變化：當(dāng)b值不變時(shí)，a、b值愈接近，橢圓的形狀愈圓，這是因?yàn)?，此時(shí)對應(yīng)a、c值相差愈大。在一般情況下，只要a、c的值愈接近，橢圓形狀愈圓。 老師言語指導(dǎo)：為方便反映a、c的數(shù)值的接近程度與橢圓形狀的關(guān)系，

8、我們規(guī)定為橢圓的離心率，很明顯，它與0和1的關(guān)系？（停頓，等待學(xué)生回答）它愈接近1，橢圓形狀愈？（停頓，等待學(xué)生回答）它愈接近0，橢圓形狀愈？（停頓，等待學(xué)生回答）上述答案是不是與1很細(xì)長，0很圓正好對應(yīng)呢？（學(xué)生若有所思，會心一笑）學(xué)習(xí)累積 教師呈現(xiàn)兩個(gè)情境中的數(shù)學(xué)問題，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再讓小組合作交流，并派代表回答，最后由其他小組代表給予評定或給予補(bǔ)充，在這個(gè)過程中教師只作出引導(dǎo)和總結(jié)性的評價(jià)。 變式練習(xí)1 要把一個(gè)邊長分別為52cm和30cm的矩形木板鋸成面積最大的橢圓形，請用簡便方法在木板上畫出這個(gè)橢圓的草圖，并回答它的長軸長和短軸長？（根據(jù)課本P102頁練習(xí)2改編）2如圖，我國發(fā)射

9、的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心（地球的中心）F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確至1km）。 情境聯(lián)想第小題的答案為現(xiàn)場演示。第小題設(shè)計(jì)成課件，以動(dòng)畫形式演示衛(wèi)星與地心的連線段最近地距離和最遠(yuǎn)地距離。 教師總結(jié)指導(dǎo)第題的解決利用了橢圓的對稱性，在矩形框內(nèi)畫橢圓可以簡化畫圖過程，保證圖形的準(zhǔn)確性。這亦即橢圓草圖的簡易畫法。第題利用橢圓的幾何性質(zhì)亦可反推橢圓方程，同學(xué)們要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合，并在代數(shù)運(yùn)算中要領(lǐng)悟a、b、c三個(gè)量

10、中知二求一的規(guī)律。 課堂練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1經(jīng)過點(diǎn)P（-3，0）、Q（0，-2）。2長軸長等于20，離心率等于0.6。3并將第2問答案中的橢圓的幾何性質(zhì)用表格的形式列出來。(本題的第3問是在課本P99頁例題2基礎(chǔ)上進(jìn)行了改編) 通過多媒體，利用“教學(xué)流程圖”形式簡約地對本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)層級方面的展示，以達(dá)到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識保持和遷移目的。橢圓的幾何性質(zhì)范圍 對稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo) 離心率解不等式（規(guī)則）如果兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于1，那么每個(gè)均不大于1 （辨別）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律 （規(guī)則） （規(guī)則）（x,-y）(-x,y) (-x,-y)都滿足橢圓方程

11、（辨別）X軸、y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 （規(guī)則）定義性概念實(shí)施評價(jià)抽查部份同學(xué)的課堂練習(xí)，并對演板同學(xué)的解法予以及時(shí)的細(xì)致點(diǎn)評。引出作業(yè)P103頁3、4、5、6本節(jié)課動(dòng)作技能學(xué)習(xí)內(nèi)容供有興趣同學(xué)學(xué)習(xí)和掌握5 評估反思 通過教學(xué)過程中對學(xué)生交流活動(dòng)的細(xì)致觀察、課堂練習(xí)和家作表現(xiàn)的評估，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)對這節(jié)課的內(nèi)容掌握較好，少數(shù)學(xué)生需要改進(jìn)的一點(diǎn)的就是作業(yè)中數(shù)學(xué)語言的規(guī)范性使用，不過，這可以在批改作業(yè)時(shí)，通過描述性批注給予學(xué)生反饋和指正。對于部份后進(jìn)生的學(xué)習(xí)困難診斷是：未能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思考認(rèn)識策略，將所學(xué)橢圓幾何性質(zhì)對外解決較難題。提出的補(bǔ)救措施是：嚴(yán)格監(jiān)督學(xué)生獨(dú)立訂證作業(yè)中的錯(cuò)誤，并讓學(xué)生口述

12、出所關(guān)注的數(shù)學(xué)對象和使用的方法，密切關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)層級所處位置，通過針對性練習(xí)使學(xué)生多次同化和順應(yīng)，最終出色掌握這部分的內(nèi)容。值得欣慰的是，上完本課，不少學(xué)生積極運(yùn)用在課堂上學(xué)習(xí)的幾何畫板知識在電腦上操作，遇到了阻礙還跑來向教師誠懇請教，表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)探究活動(dòng)的濃厚興趣，和希望今后自己能獨(dú)立運(yùn)用，獨(dú)立實(shí)現(xiàn)自我體驗(yàn)和探索的強(qiáng)烈愿望。這說明，當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生真正參與到富含觀察、體驗(yàn)、操作的數(shù)學(xué)活動(dòng)中來時(shí)，就能充分激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)愿望和學(xué)習(xí)潛能，而最終實(shí)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生個(gè)人意義上的數(shù)學(xué)建構(gòu)，達(dá)到有效教學(xué)的終級目標(biāo)。6 教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本課設(shè)計(jì)的教學(xué)理念為：盡力消除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的不利者，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自我意義建構(gòu)，追求數(shù)學(xué)課堂上的有效教學(xué)。其理論依據(jù)是蘊(yùn)含學(xué)習(xí)結(jié)果分類、智慧技能學(xué)習(xí)層次論、學(xué)習(xí)條件論、五成份陳述教學(xué)目標(biāo)技術(shù)、任務(wù)分析技術(shù)等在內(nèi)的加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)原理和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。其教學(xué)過程設(shè)計(jì)中通過教師熟練自如地運(yùn)用幾何畫板為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究型的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題積極討論，通過生生和師生互動(dòng)共同解決問題，并鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地掌握動(dòng)作技能內(nèi)容，從而培養(yǎng)學(xué)生自已動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，親歷和探究數(shù)學(xué)的變化過程，促進(jìn)學(xué)生形成自我需要的學(xué)習(xí)動(dòng)力，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，此設(shè)計(jì)意在唱響高中數(shù)學(xué)新