圓錐曲線經(jīng)典性質(zhì)總結(jié)及證明

1、1.2.3.4.5.6.7.Gandongle橢圓雙曲線的經(jīng)典結(jié)論點P處的切線PT平分PFF2在點P處的外角.（橢圓的光學(xué)性質(zhì)）PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.（中位線）以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.以焦點半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.（第二定義）若P0（Xo,y0）在橢圓若Po（X0,yo）在橢圓弦P1P2的直線方程是F1PF2半角公式）2橢圓xya|MF1|a2xaX0X2I1上，則過F0的橢圓的切線方程是駕ba2y_b22yb22yb2y0y2,2ab1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為

2、P1、P2,則切點1.（結(jié)合4）1（a>b>0）的左右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上任意一點則橢圓的焦點角形的面積為S1（a>b>0）的焦半徑公式:F1PF2b2tan.（余弦定理+面積公式+2ex0,|MF2|aex）（Fi（c,0）,F2（c,0）M（x°,y。）.（第二定義）8.AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于MN兩點，則MFLNF設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和=+4=1=(/+h2k')y2+2川匚州+/-a'b-=0a'b"XfF1NF=AfF>NF=0n6恒

3、-c)(xY-e)+,%j*=0/易得(知fx-JAiP和AzQ9.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A、4為橢圓長軸上的頂點,交于點M,AP和AiQ交于點N,則MFLNF.MN其實就在準線上，下面證明他在準線上首先證明準線，45P4公設(shè)質(zhì)K，£X刖)不妨設(shè)義聯(lián)=丸(工+訂)%一"交點工=空也=/為38+"一”)聯(lián)比F=#(x+C)與二十二二|aKn(*+a:iJ)x:+2a2k2cx+a2c2k2-azb2=Q令M-b-+k2,N=J。+JF二中2MN-2a'b:k+xj>=M5臼浦-2(ihekN-2a'k2(i%kNM+My-

4、2ubckNlabek+根據(jù)第8條，證畢22xV10.AB是橢圓f2r1的不平行于對ab稱軸的弦，MJ。0。）為AB的中點，則kOMkAB_2"，ab2xn即Kab。（點差法）aV。22xV,11.右Po（x。，y。）在橢圓一2-21內(nèi)，ab22等邛與”（點差法）a2b2a2b2則被Po所平分的中點弦的方程是22xV12.右Po（x。，y。）在橢圓22"1內(nèi)，ab則過Po的弦中點的軌跡方程是1.2.2yb2x°x-2-ab2（點差法）二、雙曲線點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.PT平分PFF2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線（同上）PT上的射影H點的軌跡是

5、以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.（同上）3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.（同上）4.以焦點半徑PF為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切:P在左支）（同上）5.2x右P0（x。，y。）在雙曲線a241（a>ab>。）b2上，則過P。的雙曲線的切線方程是篁智1.6.2x右P。（x。，y。）在雙曲線a2y-21（a>Qb>。）b2外，則過Po作雙曲線的兩條切7.線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是%xy°yb21.（同上）22雙曲線勺4a2b2（aAQb。）的左右焦點分別為F1,F2,點P為雙曲線上任意一點F1PF

6、2則雙曲線的焦點角形的面積為SF1PF2.2bcot-.（同上）28.9。掃。）的焦半徑公式：（F1（c,0）,F2（c,。）當(dāng)MJ。）在右支上時，|MF1|ex0a,|MF2|ex。a.當(dāng)M(x0,y0)在左支上時，|MFi|ex0a,|MF2|exoa(同上)9.設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點,連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于MN兩點，則MFLNF.(同上)證明10.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A、色為雙曲線實軸上的頂點,11.12.13.AP和A2Q交于點MA2P和A1Q交于點N,則MFLNF.(同上)22xyAB

7、是雙曲線1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為ABab卜2卜2的中點，則KomKab年，即Kab*。(同上)ay。ay。x2y2若P0(x0,y0)在雙曲線一彳1(a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的ab22方程早x0xy0yx0y2-.abab22若P0(x0,y0)在雙曲線三匕1(a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方ab2L3紳222.（同上）bab橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢圓22xy1.橢圓一2y1(a>b>o)的兩個頂點為A(a,0),A2(a,0),與y軸平行的直ab22xy線交

8、橢圓于P1、P2時AP1與AP2交點的軌跡萬程是二三21.ab£(心,?)6(出,外)交點(/.%)22.過橢圓當(dāng)a2V2r1（a>0,b>0）上任一點A（Xo,Vo）任意作兩條傾斜角互補的直bb2xB,C兩點，則直線BC有定向且kBC-2-0-（常數(shù)）aVo設(shè)我孫，yJC（x：Fy2）尸義=Inwb(A?+crk-)x2+2u2i(j/q-)x4-(-fccn):-a-b=0v.r_2/胡3)一此)_/左飛一2"七冊一/1°-*/F尸三"rib2y-u2k2y(f-2b2x0kM)+k=/：i紇證明同師=.攵/二I%*%.%b-+0*4a2

9、y0k-akvb1ak-N二力X上、0Nob'+u22XV3.若P為橢圓匕1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi,F2是焦點，abacPF1F2,PF2F1，貝Utancot.ac22證法1(代數(shù))PF.FF、2c2u2u-2csin/7sin«sin(rr+/)sin<7+sinflsina+sin/-sin(z+)_2a+2csina+sinft+sin(a+)a”內(nèi)一人、.尸+P、+4口+$山;?_£皿+0產(chǎn)3干）8致丁）一2別門（仔）-4一）7©（1厘+砧,+0加瘟+廣）.2疝MT）cos（上）+2祝j）ss（j）2&quo

10、t;>22irita證法幾何尸為內(nèi)切圓半徑，“為平周長，即界為焦點一.知形的乂余兩條邊（尸一耳）（p-HJ）(p-rri)(p-tT)(p-2c)+C224.設(shè)橢圓今與1(a>b>0)的兩個焦點為Fi、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上a2b2任意一點，在PF1F2中，記F1PF2,PF1F2,FiF2P，則有since.(上市已1E)sinsina5.2匕1b2(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi、F2,左準線為L,則當(dāng)0<e<721時，可在橢圓上求一點P,使得PFi是P到對應(yīng)準線距離d與PE的比例中項.6.2P為橢圓22a2L1b2(a>b&g

11、t;0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點,7.8.則2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線時，等號成橢圓2(xX0)已知橢圓(1)2a22B2b22x-2a1(yb2y0)2(Ax。By。2yb211與直線AxByC0有公共點的充要條件是C)2.1(a>b>0),O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OPOQ._2|OP|的最小值是2|OQ|a2b2a2b2.114a2b2-2-2;(2)|OP|+|OQ|的取大值為一22；(3)SOPQabab設(shè)行：”也也£+£二m/=二1I_("'+/產(chǎn))(1

12、+卜)b-k-+J("P十。bx-()p。產(chǎn)OQ-a2h-(+k2)、,AabT)(l+l)2=>(7尸+OO12-補充性質(zhì)，過。做尸P垂線.垂足為h。斤為定位證明9.過橢圓與-yy1(a>b>0)的右焦點abF作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦證明MNB勺垂直平分線交x軸于P,則1PF1|MN|I+ecostzh工(e為離心率，p=)PF=uosrz-ccostz1cosaf=MF+NF=I-e2cos2a2epiCOSIl+DCOS41-?COS2d"_1-e2cos2aMF-2中I-ecos2a(圖片有誤，ep=bA2/a)10.2X已知橢圓一2a2

13、yb21(a>b>0),A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分11.12.13.線與x軸相交于點2設(shè)P點是橢圓xia2,2abP(X0,0),則a2,2abXo2yb2記F1PF2,則(1)2設(shè)A、B是橢圓得PABaPBA1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點|PFi|PF212匕1b22b21cos2.(2)SPF1f2btan-.122(a>b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點,BPAe分別是橢圓的半焦距離心率，則有|PA|22ab|cos|22ccos.(2)22a2b2tantan1e.(3)SPAB2cotba2X已知橢圓

14、-a2y21(a>b>0)的右推線l與x軸相父于點E,過橢圓右焦點Fb2的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BCX軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.設(shè)/JEt=8hz由相似得_勉1+ccos(9力;一二"二epsin，久+-II-ecu必14 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.（之前有類似的）15 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直設(shè)尸（馬必）1=匚也2jjPFQF=(-c)xfJ-c)+*-=0ccAPF1OF16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一

15、焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（角分線定理+合比公式）（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.（角分線定理）18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.（角分線定理）雙曲線X2V21.雙曲線-y1（a>0,b>0）的兩個頂點為Ai（a,0）,A2（a,0）,與y軸ab22平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與AaB交點的軌跡方程是與七1.（同ab上）22xy2.過雙曲線%1（a>0,b>o）上任一點A（X0,y0）任意作

16、兩條傾斜角互ab補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且kBCE2電（常數(shù)）.aV。（同上）2 23 .若P為雙曲線與41（a>0,b>0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,abca，八F2是焦點，PF1F2,PF2F1,貝Utancot一（或ca22catancot）.（同上）ca22224.設(shè)雙曲線-y-y21（a>0,b>0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）ab為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記F1PF2,PF1F2,F1F2P,則有sn-e.（同上）（sinsin）a225 .若雙曲線-7-V21（a>0,b>0）的左、右焦

17、點分別為R、F2,左準線為L,ab則當(dāng)1vew721時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項xVA,F2,P三點共線且P和6 .P為雙曲線2r1(a>0,b>0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為雙曲線ab內(nèi)一定點，則|AF2|2a|PA|PF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2在y軸同側(cè)時，等號成立x(a>0,b>0)的右準線l與-軸相交于點E,過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BCxy27 .雙曲線-T'1(a>0,b>0)與直線AxByC0有公共點的充要條ab件是A2a2B2b2C2.22x

18、V8 .已知雙曲線不一1(b>a>0),O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，ab且OPOQ.的最小值是1|OQ|2且,22.ba(同上)122.;(2)|OP|+|OQ|的取小值為b2.2.24ab；(3)S22；2)SOPQba229 .過雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于ab|PF|eM,N兩點，弦M弼垂直平分線交-軸于P,則91!5(同上)|MN|2x2y210 .已知雙曲線1(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的ab2,22,2abab垂直平分線與-軸相父于點P(x0,0),則x0或x0.aa2211.設(shè)P

19、點是雙曲線與與1(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2a2b22b2一為其焦點記F1PF2,則(1)|PF1|PF2|.(2)SPF1F2b2cot-.(同上)2212.設(shè)A、B是雙曲線'41(a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的ab一點，PAB,PBA,BPA,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)(2)tantan|PA|2.2ab|cos222accos,21e.(3)SPABL.|2a2b2b2a22213.已知雙曲線。義萬ab軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.（同上）14 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑

20、的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.（同上）15 .過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（同上）（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點）.（同上）16 .雙曲線焦三角形中，其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.（同上）17 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.（同上）22XV18.已知橢圓-y七1上一點R(Xo,yo),以直線與橢圓交于M,N兩點，恒有ab2222P0MLPON則直線橫過(x

21、0a2b2,y0b2a2)ababy=+-+=1n(b2-a2k2)x2+2trkmxy=0,b2-lu'kmnrb'-a2b'k72tnb2工尸7T3工+%=不r£+MJL-m"Jr+=7Tb+<r*r'、方+曰嗔"b+4片PM，QM=>=0=>(馬-(心-乂)仇-齊)二0nm2(a2+A2)-2b2yti)+=0看作關(guān)于M勺二次方程當(dāng)PME抑你此上式顯然成立.所以方程必有一根叫二刻tb2-aV二4+-b+na1+/3狐產(chǎn)工叫=白囁）a+bh+（r2（ya+配人顯然過（a2-b2fr2-cr73，7>T.%

22、)b'+</'b+aXV19.已知橢圓F當(dāng)1,不再橢圓上的一點P,過P做傾斜角互補的兩直線,ab與橢圓交于A,B,C,D四點，則A,B,C,D四點共圓設(shè)“線力'程x=f+"jsin6r&f+=1crb-=(/cos2a+</zsin2a)+bk+at-ah-=0bs+7一1力-ie人父+n/-ah用小2=7；;士.,【可理M4=不j，.、cosa+asin/rcos"a+“sin-a證明m/n7=mym=4BCWU點共圓其他常用公式:1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：

23、ABhk2|x1x2，2+1V1y2|2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成及+坳+0=0（a,b不同日寸為0）的形式。3、知直線橫截距飛,常設(shè)其方程為工二叩一/（它不適用于斜率為0的直線）與直線L擊+3"C二口垂直的直線可表示為日力+G二0。4、兩平行線由+為+g=o間的距離為杯行。5、若直線.4煮+3/+G=°與直線#+"/+0=0平行則4為-4用二口（斜率）且&4Gh°（在尸軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程:1"+"4為+”°（。'+胃-狂30）,特別提醒：只有當(dāng),7-且）"+E4F>0時，方程/+/+以+珍+百二口才表示圓心為（2，于，半徑為的圓。二元二次方程由3+的，+口=+£工+陟十用二口表示圓的充要條件是川二且3=0且4/斤Q。7、圓的參數(shù)方程:兀三厘十廣C056尸三石4尸的!日（5為參數(shù)），其中圓心為（B/），半徑為r。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元:tnj13學(xué)方+尸=尸7=.十/勺7工號fcos-rsin9(0Wr旦4)8、A（孫乃）,£（演切為直徑端點的圓方程（“用（”0）+3-月）&"0切線長：過圓/3+口工+碘+棄=口（."）、&一歲=交）外一點所引圓的切線的長