第七講 符號運算

1、數(shù)學(xué)實驗第七講第七講Matlab 符號運算Matlab 符號運算介紹符號運算介紹q Matlab 符號運算是通過符號運算是通過符號數(shù)學(xué)工具箱符號數(shù)學(xué)工具箱（Symbolic Math Toolbox）來實現(xiàn)的。來實現(xiàn)的。Matlab 符號數(shù)學(xué)工具箱是建立符號數(shù)學(xué)工具箱是建立在功能強大的在功能強大的 Maple 軟件的基礎(chǔ)上的，當(dāng)軟件的基礎(chǔ)上的，當(dāng) Matlab 進行符進行符號運算時，它就請求號運算時，它就請求 Maple 軟件去計算并將結(jié)果返回給軟件去計算并將結(jié)果返回給 Matlab。 q Matlab 的符號數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有的符號運的符號數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有的符號運算功能。主

2、要包括：算功能。主要包括：符號表達式的運算符號表達式的運算，符號表達式的復(fù)符號表達式的復(fù)合合、化簡化簡，符號矩陣的運算符號矩陣的運算，符號微積分符號微積分、符號作圖符號作圖，符符號代數(shù)方程求解號代數(shù)方程求解，符號微分方程求解符號微分方程求解等。此外，該工具箱等。此外，該工具箱還支持還支持可變精度運算可變精度運算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。，即支持以指定的精度返回結(jié)果。 Matlab 符號運算特點符號運算特點u 計算以計算以推理方式推理方式進行，因此不受計算誤差累積所帶來的進行，因此不受計算誤差累積所帶來的困擾。困擾。 u 符號計算指令的調(diào)用比較簡單，與數(shù)學(xué)教科書上的公式符號計算指令的調(diào)用比較

3、簡單，與數(shù)學(xué)教科書上的公式相近。相近。u 符號計算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)符號計算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時）。值解（封閉解不存在時）。 u 符號計算所需的運行時間相對較長。符號計算所需的運行時間相對較長。Matlab 符號運算舉例符號運算舉例u 求一元二次方程求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的根 solve(a*x2+b*x+c=0)u 求的根求的根 f (x) = (cos x)2 的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù) x=sym(x); diff(cos(x)2)u 計算計算 f (x) = x2 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的定積分

4、上的定積分 syms a b x; int(x2,a,b)q 在進行符號運算時，必須先定義基本的在進行符號運算時，必須先定義基本的符號對象符號對象，可以是，可以是符號常量、符號變量、符號表達式等。符號對象是一種數(shù)據(jù)符號常量、符號變量、符號表達式等。符號對象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。符號對象與符號表達式符號對象與符號表達式q 含有符號對象的表達式稱為含有符號對象的表達式稱為符號表達式符號表達式，Matlab 在內(nèi)在內(nèi)部把符號表達式表示成字符串，以與數(shù)字變量或運算相區(qū)部把符號表達式表示成字符串，以與數(shù)字變量或運算相區(qū)別。別。q 符號矩陣符號矩陣/數(shù)組：元素為符號表達式的矩陣數(shù)組：元素為符號表達式的矩陣

5、/數(shù)組。數(shù)組。u sym 函數(shù)用來建立函數(shù)用來建立單個單個符號變量，一般調(diào)用格式為：符號變量，一般調(diào)用格式為：q 符號對象的建立：符號對象的建立：sym 和和 syms符號對象符號對象的建立的建立例：例： a=sym(a) 符號變量符號變量 = sym(A)參數(shù)參數(shù) A 可以是一個數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串可以是一個數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn) 是符號變量是符號變量b 是符號常量是符號常量 b=sym(1/3)C 是符號矩陣是符號矩陣 C=sym(1 ab; c d)q 符號對象的建立：符號對象的建立：sym 和和 syms符號對象符號對象的建立的建立u syms 命令用來建立命令用來建立

6、多個多個符號變量，一般調(diào)用格式為：符號變量，一般調(diào)用格式為：syms 符號變量符號變量1 符號變量符號變量2 . 符號變量符號變量n 例：例： syms a b c a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c);q 符號表達式的建立：符號表達式的建立：例：例：建立符號表達式通常有以下建立符號表達式通常有以下2種方法：種方法：(1) 用用 sym 函數(shù)直接建立符號表達式。函數(shù)直接建立符號表達式。(2) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。 y=sym(sin(x)+cos(x) x=sym(x); y=sin(x)+cos(x)符號符號表達式表

7、達式的建立的建立 syms x; y=sin(x)+cos(x)Matlab 符號運算采用的運算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱符號運算采用的運算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計算中的運算符和基本函數(shù)完全相同和使用上，都與數(shù)值計算中的運算符和基本函數(shù)完全相同符號對象符號對象的的基本基本運算運算q 基本運算符基本運算符u 普通運算：普通運算：+ - * / u 數(shù)組運算：數(shù)組運算：.* . ./ .u 矩陣轉(zhuǎn)置：矩陣轉(zhuǎn)置： .例：例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X*Y; Z2=X.

8、*Y;符號對象符號對象的的基本基本運算運算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imagrank、det、inv、eig、lu、qr、svddiag、triu、tril、expm三角函數(shù)與反三角函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等q 基本函數(shù)基本函數(shù)q 查找符號表達式中的符號變量查找符號表達式中的符號變量若表達式中有兩個符號變量與若表達式中有兩個符號變量與 x 的距離相等，的距離相等，則則ASCII 碼大者優(yōu)先。碼大者優(yōu)

9、先。查找符號變量查找符號變量findsym(expr)按字母順序列出符號表達式按字母順序列出符號表達式 expr 中的所有符號變量中的所有符號變量findsym(expr, N)按順序列出按順序列出 expr 中離中離 x 最近的最近的 N 個符號變量個符號變量常量常量 pi, i, j 不作為符號變量不作為符號變量例：例： f=sym(2*w-3*y+z2+5*a) findsym(f) findsym(f,3) findsym(f,1)findsym 舉例舉例符號表達式的替換符號表達式的替換subs(f,x,a) 用用 a 替換字符函數(shù)替換字符函數(shù) f 中的字符變量中的字符變量 x a 是

10、可以是是可以是 數(shù)數(shù)/數(shù)值變量數(shù)值變量/表達式表達式 或或 字符變量字符變量/表達式表達式若若 x 是一個由多個字符變量組成的是一個由多個字符變量組成的數(shù)組或矩陣數(shù)組或矩陣，則則 a 應(yīng)該具有與應(yīng)該具有與 x 相同的形狀的相同的形狀的數(shù)組或矩陣數(shù)組或矩陣。q 用給定的用給定的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)替換符號表達式中的指定的替換符號表達式中的指定的符號變量符號變量subs 舉例舉例 f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,

11、2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6u 例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果f=2*u符號符號矩陣矩陣 A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x)u 使用使用 sym 函數(shù)直接生成函數(shù)直接生成u 將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成符號矩陣將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成符號矩陣u 符號矩陣中元素的引用和修改符號矩陣中元素的引用和修改 B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3); C=sym(B) A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x); A(1,2) % 引用引用 A(2,2)=sym(cos

12、(x) % 重新賦值重新賦值六六類常見符號運算類常見符號運算q 因式分解、展開、合并、簡化及通分等因式分解、展開、合并、簡化及通分等q 計算極限計算極限q 計算導(dǎo)數(shù)計算導(dǎo)數(shù)q 計算積分計算積分q 符號求和符號求和q 代數(shù)方程和微分方程求解代數(shù)方程和微分方程求解因式分解因式分解u 因式分解因式分解factor(f) syms x; f=x6+1; factor(f)l factor 也可用于正整數(shù)的分解 s=factor(100) factor(sym(12345678901234567890)l 大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號常量大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號常量函數(shù)展開函數(shù)展開u 函數(shù)展開函數(shù)展開exp

13、and(f) syms x; f=(x+1)6; expand(f)l 多項式展開l 三角函數(shù)展開 syms x y; f=sin(x+y); expand(f)合并同類項合并同類項u 合并同類項合并同類項collect(f,v): 按指定變量按指定變量 v 進行進行合并合并collect(f): 按按默認默認變量變量進行進行合并合并 syms x y; f= x2*y + y*x - x2 + 2*x ; collect(f) collect(f,y)函數(shù)簡化函數(shù)簡化u 函數(shù)簡化函數(shù)簡化y=simple(f): 對對 f 嘗試多種不同的算法嘗試多種不同的算法進行進行簡化簡化，返回其中最簡短的

14、形式返回其中最簡短的形式y(tǒng),How=simple(f): y 為為 f 的的最簡短形式最簡短形式，How 中記錄的為簡化過程中使用的方法。中記錄的為簡化過程中使用的方法。fyHOW2*cos(x)2-sin(x)23*cos(x)2-1simplify(x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand函數(shù)簡化函數(shù)簡化u 函數(shù)簡化函數(shù)簡化y=simplify(f): 對對 f 進行簡化進行簡化 syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; simplify(f) sym

15、s c alpha beta; f=exp(c*log(sqrt(alpha+beta); simplify(f)函數(shù)簡化函數(shù)簡化舉例舉例 syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); y1=simplify(f) g1=simple(f) g2=simple(g1)多次使用多次使用 simple 可以達到最簡表達可以達到最簡表達33216128()fxxxx 例：簡化例：簡化分式通分分式通分u 通分通分N,D=numden(f): N 為通分后的分子，為通分后的分子，D 為通分后的分母為通分后的分母 syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f)

16、 n,d=numden(sym(112/1024)horner 多項式多項式u horner 多項式：嵌套形式的多項式多項式：嵌套形式的多項式 syms x; f=x4+2*x3+4*x2+x+1; g=horner(f)11 111( )( ()nnf xxxxxx x x 例：例：計算極限計算極限limit(f,x,a): 計算計算limit(f,a): 當(dāng)當(dāng)默認變量默認變量趨向于趨向于 a 時的極限時的極限limit(f): 計算計算 a=0 時的極限時的極限limit(f,x,a,right): 計算右極限計算右極限limit(f,x,a,left): 計算左極限計算左極限lim( )

17、xaf x例：計算例：計算 ，0ln()ln( )limhxhxLh 1limnnxMn syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf)計算計算導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號表達式求符號表達式 f 關(guān)于關(guān)于 v 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f)：求符號表達式求符號表達式 f 關(guān)于關(guān)于默認變量默認變量的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求求 f 關(guān)于關(guān)于 v 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)q 計算導(dǎo)數(shù)：計算導(dǎo)數(shù)： diff syms x; f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x)計算計算積分積分in

18、t(f,v,a,b): 計算定積分計算定積分int(f,a,b): 計算關(guān)于計算關(guān)于默認變量默認變量的定積分的定積分int(f,v): 計算不定積分計算不定積分int(f): 計算關(guān)于計算關(guān)于默認變量默認變量的不定積分的不定積分 syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf)( )baf v dv ( )f v dv 例：計算例：計算 和和2221(22)xIdxxx 20 xKedx 符號求和符號求和 syms n; f=1/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,1

19、00)symsum(f,v,a,b): 求和求和symsum(f,a,b): 關(guān)于關(guān)于默認變量默認變量求和求和( )bv af v 例：計算級數(shù)例：計算級數(shù) 及其前及其前100項的部分和項的部分和211nSn 例：計算函數(shù)級數(shù)例：計算函數(shù)級數(shù)21nxSn syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf)代數(shù)方程代數(shù)方程求解求解solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解，求方程關(guān)于指定自變量的解，f 可以是可以是用字符串表示的方程用字符串表示的方程、符號表達式符號表達式或或符號方程符號方程；l solve 也可解方程組也可解方程組(包含非線性包含非線性)；l 得不到

20、解析解時，給出數(shù)值解。得不到解析解時，給出數(shù)值解。q 代數(shù)方程求解：代數(shù)方程求解： solve微分方程微分方程求解求解q 微分方程求解：微分方程求解： dsolvey=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v)其中其中 y 為輸出的解，為輸出的解， eq1、eq2、. . . 為微分方程，為微分方程，cond1、cond2、.為初值條件，為初值條件， v 為自變量為自變量其它運算其它運算q 反函數(shù)反函數(shù)finverse(f,v)：求求 f 關(guān)于指定變量關(guān)于指定變量 v 的反函數(shù)的反函數(shù)finverse(f)：求求 f 關(guān)于默認變量的反函數(shù)關(guān)于默認變量的反函數(shù) syms x t; f=x2+2*t; g1=finve