一輪復習配套講義：第2篇第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值最新考綱1 .理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2 .會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性.診斷基礎知識由淺入深旁基固本知識梳理1,函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意 兩個自變量xi, x2當xi<x2時，都有f(xi)<,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū) 問D上是增函數(shù)當xi < x2時，都有f(xi) > f(xg),那么就說函數(shù)f(x) 在區(qū)間D上是減函數(shù)續(xù)表圖象1邑 明的 X70S| 句X描述自左向右看圖象是上升的自向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若

2、函數(shù)v= f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) y= f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D 叫做函數(shù)y= f(x)的單調(diào)區(qū)間.3 .函數(shù)的最值前提設函數(shù)v= f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意xC I,都有(3)對于任意xf(x)WM;CI,都有(2)存在 xo I,使得 f(xo) = M.f(x)予 M;(4)存在 xo e I, 使得 f(xo) = M.結(jié)論M為最大值M為最小值辨析感悟1 .函數(shù)單調(diào)性定義的理解對于函數(shù)f(x), xC D,若xi, X2CD且(Xi X2)f(xi) f(X2)>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(，)(

3、2)函數(shù)f(x) = 2x+ 1在(一8, +oo )上是增函數(shù).(，)1 ,(3)(教材改編)函數(shù)f(x) =-在其定義域上是減函數(shù).(X) x(4)已知f(x) = >/x, g(x)= 2x,則y=f(x) g(x)在定義域上是增函數(shù).(，)2 .函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值(5)函數(shù)y=f(x)在1, +8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1, +oo). (x)1 ，(6)(教材改編)函數(shù)y=-的單調(diào)遞減區(qū)間是(00, 0)U(0, +oo). (x) x(2013汕頭,K擬)函數(shù)y= lg|x|的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, +oo). (x)(8)函數(shù) f(x) = log2(3x+1)

4、的最小值為 0.(X)感悟提升1 . 一個區(qū)別”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)別：前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集，如(5).2 .兩個防范一是注意函數(shù)的定義域不連續(xù)的兩個單調(diào)性相同的區(qū)間，要分別說明單調(diào)區(qū)問，不可說成“在其定義域上”單調(diào)，如(3);二是若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集，如 (6).學生用書第13頁突破高頻考點以例求法一二反三考點一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)問k【例1】(1)判斷函數(shù)f(x) = x+k(k>0(0, +oo)上的單調(diào)性.x、(2013沙市中學月考)求函數(shù)y=log1(x2

5、 4x+ 3)的單調(diào)區(qū)間.3解(1)法一 任意取 %>乂2>0,則”1)f(x2)=3+看)Q+k )= %x2) + AU)= (x1-x2) +kfX2 X1 fX1X2 .七益-（X1 X2）1 一k當水m X1>X2>0 時，X1 X2>0,1XX<0,有 f(X1)f(X2)<0,即 f(X1)<f(X2),k此時，函數(shù)f(X)= X+ -«>0)在(0,#上為減函數(shù);X、-rik當 X1>X2>/時，X1 X2>0,1X1X2>0,有 f（X1）f（X2）>0,即 f（X1）>f（X

6、2）,k此時，函數(shù)f（X）=X+ «>0）在,，+ 00 ）上為增函數(shù);Xk綜上可知,函數(shù)f(X) = X+j(k>0)在(0,次上為減函數(shù)；在限,+8)上為增函數(shù). Xk .k法一 f (x) = 17，令 f (x)>0,則 1X2>0,k解彳<乂>祖或乂<也(舍).令f (x)<0,則1X2< 0,解得#<X<#. X> 0,0<X< 浜.f(x)在(0, #)上為減函數(shù)；在 巫 +8)上為增函數(shù)，也稱為f(x)在(0, #上為減函數(shù)；在浜，+8)上為增函數(shù).(2)令u=x2 4x+ 3,原函數(shù)

7、可以看作y=log1u與u=x2 4x+ 3的復合函數(shù).3令 u = x2 4x+ 3>0.則 x< 1 或 x>3.函數(shù)y= log1(x24x+3)的定義域為 3(8, 1)U(3, +OO).又u = x2 4x+ 3的圖象的對稱軸為x= 2,且開口向上，；u = x2 4x+ 3在(一0°, 1)上是減函數(shù)，在(3, +00)上是增函數(shù).而函數(shù)y= log1u在(0, +oo)上是減 3函數(shù)，.y= logl(x24x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3, +00),單調(diào)遞增區(qū)間為(一°°, 1). 3規(guī)律方法(1)對于給出具體解析式的函數(shù)，證明或

8、判斷其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：可以利用定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、定號、下結(jié)論)求解；可導函數(shù)則可以利用導數(shù)解之.復合函數(shù)V= fg(x)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減"，即丫= f(u)與u = g(x)若具有相同的單調(diào)性，則y=fg(x)為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則y= fg(x)必為減函數(shù).ax【訓練11試討論函數(shù)f(x) = X2Zl, xC (1,1)的單調(diào)性(其中aw0).解法一(定義法)任取一1<x1<x2<1,axia貝U f(xi) f(x2)=7 F；/xi 1 x2 1a x2xi x1x2+ 11 -211 <x1

9、Vx2V 1 ,-x1|<1, |x2|<1, x2x1 >0, x21<0, x2 1 < 0 , x1x2|< 1 , 即一 1 <x1x2< 1 , xx2 + 1 > 0 ,(x2x1 (x1x2+ 1 22- > 0x1 1 x2 1因此,當 a>0 時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時函數(shù)在(1,1)為減函數(shù);當 a<0 時，f(x1)一f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此時函數(shù)在(1,1)為增函數(shù).法二(導數(shù)法)a(x21 ) 2ax2 一胸+1)f

10、(x)=(x2-1 2= (x2-1f當 a>0 時，f' (x)<0；當 a<0 時，f' (x)>0.當a>0時,f(x)在(1,1)上為減函數(shù);當a<0時，f(x)在(一1,1)上為增函數(shù).考點二利用單調(diào)性求參數(shù)ax 1【例2】已知函數(shù)叱二p(1)若a= 2,試證f(x)在(一oo, 2)上單調(diào)遞減.(2)函數(shù)f(x)在(一8, 1)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.(1)證明任設x1< x2< 2,則 f(xi)f(X2)= 2xi1xi+ 1 2x2 1X2+ 1X1 X2一(X1+1j(X2+1jI (X1+ 1)(X2

11、+1)>0, X1X2<0, . f(X1)f(X2)>0, .f(X1)>f(X2),.f(X)在(一0°, 2)上單調(diào)遞減.aaX 1a +1、兒(2)解 法 f(X) = -X7T = a XT?，設 X1<X2<1,則 f(X1)f(X2)= a_ a+ 1 a+ 1 _(a+ 1(x1一X2) X2+1 X1 + 1 (X1 + 1 j(X2+ 1 )'又函數(shù)f(x)在(一8, 1)上是減函數(shù),所以 f(X1)-f(X2)>0.由于 X1 <x2V 1 ,X1-X2<0, X1 + 1<0, X2+1<

12、;0,a+ 1<0,即 a< 1.故a的取值范圍是(一00, 1).法二f' (X) =（X） = AJW，又因為f（X） = %1在（一8, 一1）上是減函數(shù)，所以 IX. I 1 IX I 1a +1.,. 一(x+ 1 20 0 在 xC( 一00, 1)上包成立，斛行 a0 一 1而a= 1時，f（x） = 1,在（一00, 1）上不具有單調(diào)性，故實數(shù)a的取值范圍是（一oo, 1）.規(guī)律方法 利用單調(diào)性求參數(shù)的一般方法：一是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后使所給區(qū)間是這個單調(diào)區(qū)問的子區(qū)間，建立關(guān)于參數(shù)的不等式組即可求得參數(shù)范圍； 二是直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、變形,

13、由f（X1）f（X2）的符號確定參數(shù)的范圍，另外也可分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式包成立問題.X 5【訓練2】（1）函數(shù)y=；在（1, +8）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.x a 2A. 3 B. ( 8, 3)C. (00, 3 D . 3, +00)（2014日照卞g擬）若f（x） = x2+2ax與g（x） = £在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）.X I 1A. (-1,0)U(0,1) B. (- 1,0)U(0,1C.(0,1) D. (0,1解析y=T =1 + 2f由函數(shù)在(1, 十 °°)上單調(diào)遞增，有a-3<0,a+2<-1,

14、解得a0 - 3.(2)f(x)在a, +8)上是減函數(shù)，對于g(x),只有當a>0時，它有兩個減區(qū)間為(一, 1)和(1, +oo), 故只需區(qū)間1,2是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是0<a01.答案(1)C (2)D學生用書第14頁考點三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值_. _ 心x + 2x + a【例 3】 已知 f(x) =, xC1, +oo).x1 .當a=2時，求函數(shù)f(x)的取小值;(2)若對任意xC 1, +oo), f(x)>0何成立，試求實數(shù)a的取值范圍.1審題路線(1)當a=11時，f(x)為具體函數(shù)一求出f(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求

15、最值.(2)當xC 1, +oo)時，f(x)>0包成立一轉(zhuǎn)化為x2+2x+a>0包成立.解(1)當a=1時，f(x) = x+ + 2,聯(lián)想到g(x) = x+ 1的單調(diào)性，猜想到求f(x)的最值可先證明f(x)的單 22xx11 x1 x2 2x1x2 1則次)-f(x2)=(x1-刈+4-2x2 尸2x2，1 <x1 <x2, - x1x2 > 1 , 2x1x2 1 >0.又 x1 x2<0,f(x1)< f(x2), f(x)在1, +8)上是增函數(shù)， f(x)在1, +8)上的最小值為f(1)=2.r rx2+ 2x+ a c 、(2

16、)在區(qū)間1, 十°0)上，f(x) =x>0包成立，則x+2x+ a,"？ a>(x+2x)，等價于a大于函數(shù)Mx)=(x2+2x)在1, +oo)上的最大值.心1x1,只需求函數(shù)Mx) = (x2 + 2x)在1 , +oo)上的最大值.Mx)= (x+ 1)2+ 1 在1, +oo)上遞減， 當x=1時，Mx)最大值為設1) = 3. a>-3,故實數(shù)a的取值范圍是(一3, +oo).規(guī)律方法 求函數(shù)最值的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；(3)基本不等式法：先對

17、解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值；(5)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.X1 , x1 > x2,o【訓練3】對任意兩個實數(shù)x1,x2,定義max(x1,x2)=若f(x) = x?2,g(x) = x,則max(f(x),叢2,為乂2,g(x)的最小值為.解析 f(x)g(x) = x22( x) = x2+x 2,當 x22 (x) = x2 + x 2>0 時，x> 1 或 x0-2;當一2<2 x, 2<x

18、<1,x< 1 時，x +x-2<0,即 f(x)<g(x),所以 max(f(x), g(x) = Jx2 2 x>或x< 2作出圖象如圖所示，由圖象可知函數(shù)的最小值在 A處取得，所以最小值為f(1)= 1.答案 1I課堂小結(jié)I1 .求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：首先應注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù) 等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：根據(jù)定義、利用圖象、單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)及利 用導數(shù)的性質(zhì).2 .復合函數(shù)的單調(diào)性：對于復合函數(shù) y= fg(x),若t=g(x)在區(qū)間(a, b)上是單調(diào)函數(shù)，且y=f(t)在區(qū) 問(g(a)

19、,g(b)或者(g(b),g(a)上是單調(diào)函數(shù)，若t = g(x)與y= f(t)的單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y=fg(x) 為增函數(shù)；若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相反，則y= fg(x)為減函數(shù).簡稱：同增異減.3 .函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)的單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的應用.教你解超提升能力培養(yǎng)解題能力易錯辨析1分段函數(shù)單調(diào)性的判定a , x>1,【典例】(2013金華模擬)f(x)=1f a)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是4-2 x+ 2, x< 1,().A. (1, +oo) B. 4,8)C. (4,8)D. (1,8)a

20、>1,錯解由題意知$ a 解得1<a<8.匕2>0，答案D錯因忽視函數(shù)在定義域兩段區(qū)間分界點上的函數(shù)值的大小.a>1,a - 40.正解f(x)在R上單調(diào)遞增，則有4 2 0，4 a !：+ 2<a,解得：4<a<8.答案B防范措施對于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值間的大小關(guān)系；二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進行直觀的判斷.研究 函數(shù)問題離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反映了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到函數(shù)的 圖象，學會從函數(shù)圖象上去分析問題、尋找解決問題的方法.

21、【自主體驗】(3a 1 X+4a, x< 1,(2013日照模擬)已知f(x)=3是(一00, +oo)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是Jogax, x> 1 ,().A. (0,1) B.», 3)eg 3)dE，”解析 當x= 1時，loga1 = 0,若f(x)為R上的減函數(shù)，則(3a-1)x+ 4a>0在x< 1時包成立.令 g(x)= (3a 1)x+ 4a,<3a-1<0,則必有<0<a<1,1g(1 月 0,<3a-1<0,即<0<a< 1,? 1<a<1.73L3a-1+4a

22、>0答案C課時題組訓練階排訓練練出高分對應學生用書P229、選擇題基礎鞏固題組（建議用時：40分鐘）1 .下列函數(shù)中，在區(qū)間（0, +00）上為增函數(shù)的是（A. y= ln（x+2） B. y= ,x+ 1).C._ 1xV 21 D. y=x+x解析 函數(shù)y= ln（x+ 2）在（一2, +00）上是增函數(shù)；函數(shù)y=由+1在1, +00）上是減函數(shù)；函數(shù)y11=2/在（°，+00）上是減函數(shù)；函數(shù) y = x+ x在（0,1）上是減函數(shù)，在（1, +8）上是增函數(shù).綜上可得在 （0, +8）上是增函數(shù)的是y= In（x+ 2）,故選A.答案A2,已知函數(shù)f（x） = 2ax2

23、 + 4（a 3）x+5在區(qū)間（一8, 3）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）.A.G 4） B.64 池 3）D.|o, 3a>°，,3解析 當a = 0時，f（x）=-12x+5在（一00, 3）上是減函數(shù)；當a*0時，由$ 4（a3）得0<aW.4a乜43綜上，a的取值范圍是0& a& 3.答案D /1、，一，一3 . （2013泉州月考）已知函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，則滿足/;<f（1）的實數(shù)x的取值范圍是（）.B.(0,1)xA. (-1,1)C. (1,0)U(0,1) D. ( 8, 1)U(1, +oo)解析 由f(x)為R上的減函數(shù)

24、且fX +f(1),即x<1xw 0,“0. 1<x<0 或 0<x<1.答案C4 . (2014廣州模擬)已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x= 1對稱，且在(1, +8)上單調(diào)遞增，設a = f 2 ；, b = f(2), c=f(3),則a, b, c的大小關(guān)系為().A . c< b< a B. b< a< cC. b< c< a D. a< b< c解析 二函數(shù)圖象關(guān)于x= 1對稱，；a=f 2j= fj5j,又丫= f(x)在(1, +卻上單調(diào)遞增,一 一 5 一 i, f(2)<f|-尸f,即 b&

25、lt;a<c.答案B5 .用 mina, b, c表示 a, b, c 三個數(shù)中的最小值.設 f(x)=min2x, x+ 2,10 x(x>0),則 f(x)的最大值為().A. 4 B. 5 C. 6 D. 7解析 由f(x) = min2x, x+2, 10x(x>0)畫出圖象，最大值在 A處取到，聯(lián)立1y-x+2' 得y=6. Ly=10-x,答案C二、填空題由圖可知其遞增區(qū)間為10, 316 .函數(shù)v= (x 3)|x|的遞增區(qū)間為 x2 + 3x, x>0,解析 y=一(x3)x|= j 2x 3x, x<0,答案|0, 21 i7 .設a&g

26、t;1,函數(shù)f(x)= logax在區(qū)間a,2a上的取大值與取小值之差為,則a=1解析 由a>1知函數(shù)f(x)在a,2a上為單調(diào)增函數(shù)，則loga(2a) logaa=,解得a=4.答案4x+ a, x< 1,8 .設函數(shù)f(x)=32xx>1的最小值為2,則實數(shù)a的取值范圍是解析由題意知，當x= 1時，f(x)min=2,故一1 + a2,.a>3.答案3, +oo)三、解答題一ax9.試討論函數(shù)f(x)=x31(aw0)在(1,1)上的單調(diào)性.解設1<x1<x2<1,x 1 +1 f(x)=aT1x- 1)!，.L_ L_f(x1) f(x2戶 a

27、 J + !- a J +Jx2 x1=a '.(x1 - 1 jx2 - 1 )由于一1<x1<x2<1,所以 x2x1>0, x1 1 < 0 , x2 1<0,故當 a>0 時，f(x1) f(x2)>0 ,即 f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當 a<0 時，f(x1)f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函數(shù)f(x)在(1,1)上遞增.10.已知函數(shù) f(x) = 1 1(a>0, x>0). a x(1)判斷函數(shù)f(x)在(0, +8)上的單調(diào)性；若f(x)在1

28、 2 1上的值域是2 L求a的值.解(1)任取 x1>x2>0,則 x1 x2>0, x1x2>0,f(x1)f(x2)=xj Id)1 1一x x1X1 X2X1X2>0,.f(Xi)>f(X2),因此，函數(shù)f(X)是(0, + 00 )上的單調(diào)遞增函數(shù).二葉僅)在g, 21上的值域是.1, 2 1又由(1)得f(X)在6，2 上是單調(diào)增函數(shù), .fJ1 ；= 1, f(2) = 2,1 1a2=2.人2解彳4 a=5.能力提升題組(建議用時：25分鐘)、選擇題1 .已知函數(shù)f(X) = X2 2aX+ a在區(qū)間(一00, 1)上有最小值，則函數(shù)g(X) = fXJ在區(qū)間(1, + °0)上一定().XA.有最小值 B.有最大值C,是減函數(shù)D.是增函數(shù)解析由題意知a<1,又函數(shù)g(X) = X+ a2a在而|, + °°)上為增函數(shù)，故選d.X答案D2 . (2014廈門外國語學校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(X) = |eX+-a|(a R, e是自然對數(shù)的底數(shù))，在區(qū)間0,1上單調(diào) e遞增，則a的取值范圍是().A. 0,1 B. -1,0C. -1,1 D. ( 8, e2Ue2, 2)一 一V 1. V 1e2X-1 一. . .、. 解析 取 a=1,則 f(X) = eX+