高等數(shù)學(xué)：第2章導(dǎo)數(shù)與積分2

1、求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容習(xí)題課習(xí)題課1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都

2、都存存在在且且相相等等.2 2、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是常數(shù)是常數(shù)),（3）vuvu

3、uv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)

4、函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy dxttddxyd)()(22 (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則4 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù).)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)

5、數(shù)高階導(dǎo)數(shù))5、微分的定義微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )6 6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 x

6、fAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11

7、)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論)(,xfyx dxxfdy)( 二、典型例題例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx

8、!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 3.,45202 tdxdyt ttyttx求求設(shè)設(shè)解解分析分析:的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt,0 不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dtdxt,0 不能用公式求導(dǎo)不能用公式求導(dǎo).tttttxytx 24)(5limlim200tttttt |2|45lim0. 0 . 00 tdxdy故故.,)0, 0()(22dxydyx

9、xyxfyyx求求所確定所確定由方程由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 例例4 4解解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(, )2()(xfxxxxf 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解先去掉絕對(duì)值先去掉絕對(duì)值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf00| )2(|lim)0(0 xxxxfx,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;43)(2xxxf ,02時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) xx;43)(2xxxf 0 ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)2(

10、f2)2(lim22 xxxx. 4 )2( f2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或20| )2(|lim)2(0 xxxxfx.,ln2出出切切點(diǎn)點(diǎn)與與切切線線方方程程求求相相切切與與曲曲線線為為何何值值時(shí)時(shí)，拋拋物物線線問(wèn)問(wèn)xyaxya 例例6 6解解 xaxxaxln122exea ,21解解得得：)21,( e切切點(diǎn)點(diǎn)為為：由題意由題意)(121exey 切切線線方方程程：.,1,1112)(2baxxbaxxxxfy處可導(dǎo)，確定處可導(dǎo)，確定在在已知函數(shù)已

11、知函數(shù)設(shè)設(shè) 例例7 7解解)1()(lim)(lim11fxfxfxx 由連續(xù)性有由連續(xù)性有1 ba1)1()(lim1)1()(lim11 xfxfxfxfxx由可導(dǎo)性有由可導(dǎo)性有1112lim11lim211 xxxbaxxx1 a2 b).0(,arcsin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 例例8 8解解211xy 1)0( yyxxxxy 22321)1(0)0( yyxyx )1(2)()1()()1()2(2)2(2)1()2()1(nnnnnnyxyynnyxnyx )()1()()1()2(2)2(2)1()2()1(nnnnnnyxyynnyxnyx 代入上式，得代入上式，得將將0 x)

12、0()0()1()0()()()2(nnnnyynny )0()0()(2)2(nnyny 1)0( y0)0( y0)0()2( ky2)12()!12()0( kyk, 2 , 1 k).(,0112)(xyytetxxyyy 求求所確定所確定由方程組由方程組設(shè)設(shè)例例9 9解解dxdyy dtdx2 dtteedyyy1 yeteexyyyy2)1(2)( 0 dydytedteyydxdydyyedyy)2( 3224)1(22yyeyeyeyeyyyy ).()(lim, 1)(nafnafnafn 求求設(shè)設(shè)例例1010解解 nafnafnafnafnn )()(lim)()(lim原

13、式原式 一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、0)0( f則在點(diǎn)則在點(diǎn)0 x可導(dǎo)的充分必要條件為可導(dǎo)的充分必要條件為（ ）存在。）存在。 （A A）220)1(ln(limhhfh ； （； （B B）hefhh)1(lim0 ； （C C）20) sin(tanlimhhhfh ； （； （D D）hhfhfh)()2(lim0 ； 2 2、函數(shù)、函數(shù))(|1|)(3xxxf 在點(diǎn)在點(diǎn)1 x處的可處的可導(dǎo)，則必有（導(dǎo)，則必有（ ） （A A）0)1( ； （B B）有有界界)(x ； （C C）0)(lim1 xx ； （； （D D）)(x 連續(xù)：連續(xù)： 練習(xí)練習(xí) 題題 3 3、若函數(shù)、若函

14、數(shù),)0(),()1(bfxafxf ，則，則)(xf在在 1 x 處處( )( ) （A A）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)； （B B）可導(dǎo)且）可導(dǎo)且af )1(； （C C）可導(dǎo)且）可導(dǎo)且bf )1(； （D D）可導(dǎo)且）可導(dǎo)且abf )1(. . 4 4、如果、如果)(xf= =（ ） ，那么） ，那么0)( xf. . (A)(A) xxarccos2arcsin ； (B)(B) xx22tansec ； (C)(C) )1(cossin22xx ； (D)(D) xarctanarcxcot. . 5 5、如果、如果 0),1(0,)(2xxbxexfax處處可導(dǎo)，那末（處處可導(dǎo)，那末（

15、） （A A）1 ba； （B B）1, 2 ba； （C C）0, 1 ba； （D D）1, 0 ba. . 6 6、已知函數(shù)、已知函數(shù))(xf具有任意階導(dǎo)數(shù)，且具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 2)()(xfxf , ,則當(dāng)則當(dāng)n為大于為大于 2 2 的正整數(shù)時(shí)，的正整數(shù)時(shí)， )(xf的的 n n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))()(xfn是（是（ ） （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. . 7 7、若若函函數(shù)數(shù))(xf為為可可微微函函數(shù)數(shù)，則則dy（ ） （A A）與與x 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)； （B B）為為x 的的線線性性函函數(shù)數(shù)； （C

16、 C）當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)為為x 的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小??； （D D）與與x 為為等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小. . 8 8、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，當(dāng)當(dāng)自自變變量量x由由0 x增增加加到到xx 0時(shí)時(shí)，記記y 為為)(xf的的增增量量，dy為為)(xf的的微微分分，xdyyx 0lim等等于于（ ） （A A）- -1 1； （B B）0 0； （C C）1 1； （D D） . . 三、證明三、證明textsin ，teytcos 滿足方程滿足方程 )(2)(222ydxdyxdxydyx . . 四、已知四、已知)(, 0)(afaf 存在存在，求求nnafnaf )()1(lim 五、設(shè)五、設(shè),ln xxy 求求)1()(nf. . 六、計(jì)算六、計(jì)算30