通信原理典型習(xí)題分析與詳解

1、樊昌信通原理第六版 80 學(xué)時(shí)課后典型習(xí)題分析及詳解楊輝編著西安郵電大學(xué)通信與信息2011-9目錄第一章緒論1第二章確知信號(hào)7第三章隨機(jī)過(guò)程14第四章信道29第五章模擬調(diào)制系統(tǒng)33第六章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)57第七章數(shù)字帶通傳輸系統(tǒng)78第九章模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸97第十章數(shù)字信號(hào)的最佳接收111第十一章 差錯(cuò)控制編碼120第十三章同步原理130第一章 緒論1分析：消息 x 中所包含的信息量 I 與消息出現(xiàn)的概率 P ( x) 有關(guān)，滿足1I = log= -log P(x)22P(x)（比特）解： e 的信息量1I = log= -log P(e)= - log 0.105 = 3.25e222P(

2、e)（比特）x 的信息量1I = log= -log P(x)= - log 0.002 = 8.97x222P(x)（比特）評(píng)注：（1）信息量的是比特，是正的，有些同學(xué)在做題時(shí)忽略了負(fù)號(hào)，得到一個(gè)負(fù)的信息量，注意別鬧這樣的笑話。（2）消息出現(xiàn)的概率越小，其所含的信息量就越大，消息出現(xiàn)的概率越大，其所含的信息量就越小。譬同學(xué)興沖沖地告訴你， “確切消息，今天學(xué)校食堂 12 點(diǎn)供應(yīng)午餐”你知道后有什么感覺(jué)？這樣的發(fā)生的概率實(shí)在太小了。你從這個(gè)消息中得到的信息量太多了，好些同學(xué)第四節(jié)課還沒(méi)下時(shí)可能就悄悄溜走了。如果該同學(xué)告訴你“確切消息，今天學(xué)校食堂 12 點(diǎn)開(kāi)飯”，你聽(tīng)了后又有什么感覺(jué)。這樣的消

3、息大概是百分之百，即以概率 1發(fā)生的。你會(huì)認(rèn)為這不是明擺著的事么，這樣的消息毫無(wú)價(jià)值，即對(duì)于你而言，不包含什么信息量。2分析：信源或信源符號(hào)集中各種符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1，其平均信息量的計(jì)算就象求一個(gè)班的平均身高一樣，用每一種身高乘以該身高出現(xiàn)的概率，就是對(duì)平均身高的貢獻(xiàn)，把它加起來(lái)就是平均身高。因此，信源的平均信息量就是信源中各個(gè)符號(hào)對(duì)平均信息量的貢獻(xiàn)之和。解：平均信息量5H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=1= - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 log1 - 3355log-log2 42 82 8162 16162 16488= 0.5 + 0.

4、75 + 0.453 + 0.524= 2.23 （比特/符號(hào)）評(píng)注：要注意信源中各種符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1，平均信息量（熵）是各符號(hào)對(duì)平均信息量的貢獻(xiàn)之和。3分析：符號(hào)集中有四個(gè)符號(hào)，把它看做一個(gè)信源，這些符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1，由此，可以計(jì)算出各符號(hào)出現(xiàn)的概率，進(jìn)而計(jì)算出平均信息量。1解：第四個(gè)符號(hào)出現(xiàn)的概率4 P(xi ) = 1i=1P ( x ) = 1- 1 - 1 - 1 = 144882平均信息量4H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=1= - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 log12 42 82 82 24882=

5、 0.5 + 0.75 + 0.5= 1.75 （比特/符號(hào)）評(píng)注：要注意信源中各種符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1，平均信息量（熵）是各符號(hào)對(duì)平均信息量的貢獻(xiàn)之和。4分析：該字有四種字母，即四種符號(hào)，就是一種四進(jìn)制信源，由各字母出現(xiàn)的概率可以計(jì)算出平均信息量。這些字母正好可以用二位二進(jìn)制表示，即 00、01、11、10，知道了每個(gè)二進(jìn)制脈沖的寬度，就可以算出一個(gè)四進(jìn)制碼元的寬度，其倒數(shù)即為傳碼率，即每秒鐘傳輸多少個(gè)碼元，解：（1）是波特，再知道了一個(gè)碼元攜帶的信息量，就可以算出信息速率。4 P(xi ) = 1i=11等概出現(xiàn)時(shí)，各符號(hào)出現(xiàn)的概率都相等，均為 ，平均信息量為4H ( x) = log

6、2 M= log2 4 = 2 （比特/符號(hào)）一個(gè)字母對(duì)應(yīng)二位二進(jìn)制脈沖，屬四進(jìn)制符號(hào)，其碼元寬度為T(mén) = 2 5 = 10 （ms） 故等概時(shí)的平均信息速率= 1T= 100RB（波特）傳信率= RB H ( x) = 200 （比特/秒）Rb(2)24H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=1= - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 log1 - 33log2 52 42 4102 10544= 0.464 +1+ 0.521= 1.985 （比特/符號(hào)） 非等概時(shí)的平均信息速率= RB H ( x) = 195 （比特/秒）Rb評(píng)注：（1）在電通信中，信源

7、中的各種符號(hào)最終都要變成電信號(hào)才能傳輸，若信源中有 M 種符號(hào)就對(duì)應(yīng) M 進(jìn)制，需要 M 種碼元。在這里要清楚，字母、符號(hào)、碼元是一一對(duì)應(yīng)的，即= 2N ，即 M有幾種字母就對(duì)應(yīng)幾種符號(hào)，也就對(duì)應(yīng)幾種碼元。一般有 M進(jìn)制一種符號(hào)或碼元需要用 N 位二進(jìn)制碼元表示。（2）最大平均信息速率即最大傳信率，在等概時(shí)出現(xiàn)，因此，求最大傳信率就意味著等概這個(gè)前提條件。5分析：“點(diǎn)”和“劃”代表兩種符號(hào)，因此，國(guó)際莫爾斯電碼是由兩種符號(hào)組成的，這兩種符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1。由此可以計(jì)算出它們各自的信息量及平均信息量。解：（1）設(shè)“點(diǎn)”出現(xiàn)的概率為 P點(diǎn) ，“劃”出現(xiàn)的概率為 P劃 ，則有P點(diǎn) + P劃 =

8、 1P=3P點(diǎn)劃可得= 3= 14PP點(diǎn)劃4因此，I =- log P = - log 3 = 0.415點(diǎn)2 點(diǎn)2 4點(diǎn)的信息量（比特）I =- log P = - log 1 = 22 劃2 4劃劃的信息量（比特）（2）點(diǎn)和劃的平均信息量2H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=1= - 3 I- 1 I點(diǎn)劃443= 0.81 （比特/符號(hào)）6分析：信源中各符號(hào)出現(xiàn)的概率之和為 1，由此可以計(jì)算出各符號(hào)的平均信息量，再乘以每秒鐘的符號(hào)數(shù)，即為平均信息速率。解：每個(gè)符號(hào)的平均信息量128H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=11111= -16

9、log-112 log322 32= 2.5 + 3.904= 6.404 （比特/符號(hào)） 信源的平均信息速率2242 224H ( x) = 6.404103R = RbB（比特/秒）7分析：當(dāng) M 進(jìn)制信源中各符號(hào)出現(xiàn)概率相同的條件下各符號(hào)所攜帶的平均信息量最大，為log2 M比特/符號(hào)。因此，知道了傳碼率 RB ，即每秒鐘傳輸碼元或符號(hào)的數(shù)量，就可以= RB log2 M算出傳信率 Rb比特/秒。解：二進(jìn)制系統(tǒng)傳信率Rb = RB log2 M = 2400 log2 2 = 2400 （比特/秒） 當(dāng)傳碼率不變時(shí)，16 進(jìn)制的傳碼率為Rb = RB log2 M = 2400 log2

10、 16 = 9600 （比特/秒）評(píng)注：對(duì)于二進(jìn)制系統(tǒng)，等概時(shí)，1 個(gè)碼元攜帶 1 比特的信息量，因此，傳碼率和傳信率在數(shù)值上相等。8分析：傳信率乘以傳輸時(shí)間，就得到了所傳輸?shù)男畔⒘?；而?dāng)信源中各符號(hào)等概出現(xiàn)時(shí)， 傳輸信息量的最大值。解：（1）平均信息量5H ( x) = - P(xi ) log2 P(xi )i=1= - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 log1 - 3355log-log2 42 82 8162 16162 16488= 0.5 + 0.75 + 0.453 + 0.524= 2.23 （比特/符號(hào)） 傳信率H ( x) = 2.23103R = RbB（比特

11、/秒）41 小時(shí)傳輸?shù)男畔⒘縄 = R t = 2.23103 3600 = 8.028106b（比特）（2）等概時(shí)，最大平均信息量H ( x) = log2 5 = 2.32 （比特/符號(hào)）1 小時(shí)傳輸?shù)淖畲笮畔⒘縄 = R t = 2.32 103 3600 = 8.352 106b（比特）評(píng)注：最大平均信息量和最大信息量這些概念中，隱含了信源中各符號(hào)等概或在已給定部分概率下，其它符號(hào)等概出現(xiàn)的前提條件。9分析：碼元寬度的倒數(shù)即傳碼率，知道了每信率。解：（1）二進(jìn)制信號(hào)的傳碼率元中含的平均信息量，就可以計(jì)算出傳= 1T= 200RB（波特）等概時(shí)，平均信息量為H ( x) = log2 2

12、 = 1（比特/符號(hào)） 傳信率Rb = RB log2 M = 200 （比特/秒）（2）四進(jìn)制時(shí)，由于碼元寬度不變，故四進(jìn)制的傳碼率不變= 1T= 200 （波特）RB等概時(shí)，平均信息量為H ( x) = log2 4 = 2 （比特/符號(hào)）傳信率Rb = RB log2 M = 400 （比特/秒）評(píng)注：碼元寬度決定了傳碼率。10分析：通信中，若不告訴各符號(hào)出現(xiàn)的概率，都是默認(rèn)等概條件成立。因此，只需計(jì)算出所給時(shí)間內(nèi)所傳輸?shù)目偞a元數(shù)，就可以計(jì)算出誤碼率。解：四進(jìn)制傳碼率RbR = 1200 （波特）Blog M2誤碼率5216P = 10-4e1200 30 60評(píng)注：等概時(shí)，由于二進(jìn)制一

13、個(gè)碼元含有 1 比特的信息量，故誤碼率和誤信率相等。多進(jìn)制時(shí)，由于一個(gè)碼元含多個(gè)比特，一個(gè)碼元出錯(cuò)了，有可能只錯(cuò) 1 比特，還有可能錯(cuò) 2 比特等等。因此，誤信率和誤碼率不再相等。6第二章 確知信號(hào)1分析：周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成直流分量、基波和各次諧波之和，這就是周期信號(hào)的分解及擬合原理。由傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以很容易求出其頻譜。這里，為簡(jiǎn)化計(jì)算，要用到如下規(guī)律。g (t )A0t 2t-t 2c- j 2p tf t注意()g (t )eG w =t sa 2p = Adtf2-面積門(mén)寬的一半注意這就需要把題中所給周期函數(shù)加 1。證明： s (t ) 是周期為 2 的函數(shù)， T = 2

14、 。令 s1 (t ) = s (t ) +1g (t )20-1 21 2t(t ) = Cm=-= Cm=-= Cm=-e j 2p mt /Te j 2p mf0te jp mtf = 1 T = 1 2s1mmm0= 1(t ) e- j 2p mf0t dt = 1g (t ) e- jpmt dt = 1T 21g (t ) e- jp mt dtCsm1T22-T 2-1-= sa p m sin p m2=2 p m 2jp mt當(dāng)m = 0 時(shí)， C0 = 1 ， e= 1m = 2n, n = 1, 2,L時(shí)， Cm = 072 (-1)n(2n +1)p= cos(2n

15、+1)p tm = 2n +1, n = 0, 1, 2,L時(shí)， C =， e jp mtm(-1)n2(t ) = s (t ) +1 = Cm=-cos(2n +1)p te jp mt= 1+故 sp(2n +1)1mn=-ns (2n 1n=-n當(dāng)n = 0, -1;1, -2; 2, -3;3, -4;L時(shí)， s (2n 1n=-故ns (2n 1n=0評(píng)注：做周期信號(hào)的題時(shí)，一定要先觀察周期函數(shù)有什么特點(diǎn)，盡量把它變化成能利用我們所熟知的規(guī)律和技巧來(lái)求解，掌握這些規(guī)律和技巧將使我們的學(xué)習(xí)變得輕松，把繁瑣的解題過(guò)程變成一種樂(lè)趣。5分析：所謂自相關(guān)函數(shù)就是自己與自己的相似程度，只不過(guò)是

16、相隔時(shí)間t 后的相似程度，那肯定t 越大，相似程度越小。當(dāng)t = 0 時(shí)，如果所給的信號(hào)是電壓或電流信號(hào)，那自相關(guān)函數(shù)就是對(duì)瞬時(shí)功率的，出來(lái)就是平均功率。解： s (t ) = A coswt 是周期性功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為10R (t ) =T 2s (t )s (t +t ) dtT0-T0 2其中， T0 = 2p w ，為該周期函數(shù)的周期。自相關(guān)函數(shù)A2 T0A22T0R (t ) =T0 2()coswt cosw t +t dt-T 20T0 2()cosw 2t +t + coswt dt=-T 20A22T0T2coswt dt= 0 +0-T0 2A2=coswt28平均功

17、率A22P = R (0) =評(píng)論：本題集中體現(xiàn)了（1）一個(gè)三角函數(shù)在其完整的周期內(nèi)，結(jié)果肯定為 0，即T 2()cosw 2t +t dt = 00-T0 2對(duì)于cosw (2t +t ) 來(lái)說(shuō)，在(-T02) 內(nèi)有兩個(gè)完整的周期，故2,T0肯定為 0。（2）一個(gè)信號(hào)，譬如直流分量 A ，其平均功率顯然為 A2 ，但乘以coswt ，成為 A coswt 后，平均功率減半，成了 A2 2 。如果把 A 換成其它的低頻信號(hào)，該結(jié)論依然成立。這是一個(gè)規(guī)律，在第五章將得到廣泛的應(yīng)用。6分析：能量信號(hào)的能量譜密度和自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換對(duì)，因此，在求自相關(guān)函數(shù)是時(shí)，常常從頻譜密度的角度入手，其模的

18、平方即為能量譜密度。本題用到了下述規(guī)律。R ( f )j 2p t f注意r (t ) = R ( f )edf-2B = AB sap B t )(= AB sa2 2p t2 H H面積HH 注意4門(mén)寬的四分之一因此，知道了能量譜密度是抽樣函數(shù)的平方，知道了它是由三角函數(shù)變換來(lái)的，由表達(dá)式就可以知道三角函數(shù)的門(mén)寬及幅度了。解： s (t ) 的能量譜密度12G ( f ) =S ( f ) 2()2()= sin pfp f = sapp f f=1 2 sa2224 2因此，自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)高度為1，門(mén)寬為2 的時(shí)域三角形。= 1 - t , t 1( )()R t=Gf edfj 2p

19、 f t0,others-9評(píng)注：通信原理注重的是對(duì)系統(tǒng)、概念及基本理論的理解和掌握，但許多同學(xué)卻被信號(hào)、數(shù)學(xué)絆倒了。其實(shí)，通信原理中所用到的都是信號(hào)中極具規(guī)律性的東西，大家都學(xué)過(guò)信號(hào)，要經(jīng)常翻書(shū)，多總結(jié)，把它們的規(guī)律找到，你就可以把主要精力放到通信原理本身，而不是絞纏到一大推數(shù)學(xué)上。7分析：自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度互為傅里葉變換。 R (0) 就是信號(hào)的平均功率。本題用到如下規(guī)律。2a a2 + w2e- a t解：（1）功率譜密度k 2kk2k()( )dt = - 2 ee-k tPf =R t e- j 2p f t- j 2p f tdt =ssk + wk + 4p f22222 2

20、-平均功率(0) = kP = Rs2（2）11P ( f )( )k = 2R t0.90.9k = 2ss0.80.80.70.70.60.60.50.50.40.40.30.30.20.20.10.100-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-2.5-2 -1.5-1 -0.500.511.522.5評(píng)注：上述波形是用畫(huà)出來(lái)的。這道題波形好些同學(xué)畫(huà)，其實(shí)不難，想一下，如果放到高作為一道畫(huà)圖題，只讓你畫(huà)圖形，我相信百分百的同學(xué)能拿到全分。為什么上了 23 年大學(xué)，卻了。只能說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題，自己沒(méi)有對(duì)自己真正負(fù)起責(zé)任，沒(méi)有把作業(yè)當(dāng)成一種掌握知識(shí)，鍛煉思維能力的，只是為了應(yīng)付差

21、事。如果大學(xué)四年都是這樣應(yīng)付過(guò)來(lái)的，那為什么要上大學(xué)呢？每個(gè)人都是一座未開(kāi)發(fā)的寶藏，不過(guò)開(kāi)發(fā)主要靠自己。8分析：知道了信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為周期函數(shù)，則直接對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換就得到了該信號(hào)的功率譜密度。這里需要用到下述規(guī)律。10rT (t )A0-Tt2T2r (t )-T0t2T2( ) n np nf trt =C ep nt / T=C en=-f = 1 Tj 2j 20T0n=- j 2p nf0 t注意1TT 2(t )eC =rdtnT-T 2- j 2p nf0 t注意- j 2p nf0 t注意1T1TT 2r (t )er (t )e=dt =dt-T 2-1ATT=

22、sa2 2p nf04T2面積門(mén)寬的四分之一注意A2) = A sa2 (p n 2)(= sap nf T2022pd (w ) = d ( f )2 2pd (w m nw0 ) = 2pd (w m 2p nf0 ) = d ( fm nf0 )e j 2p nf0tRT (w ) = Cn 2pd (w - nw0 )n=-= n=-= n=-A sa2 (p n2) 2pd (w - nw )02注意A sa2 (p n2) d ( f - nf ) = R ( f )0T2注意而三角形的的傅里葉變換的規(guī)律前面已經(jīng)提過(guò)了。解：（1）11r (t )tn=-r (t ) =j 2p n

23、t /Tj 2p nf t=C ef = 1 T = 1 2C e0nn0n=-1TT 2( )- j 2p nf tC =r t etd0n-T 21T1T()()T 2- j 2p nf t- j 2p nf t=1- tt =1- tteded00-T 2-1 T =1 sa2p nf24 0T1(2)=sap nf T202= 1 sa2 (p n 2)2R (w ) = Cn 2pd (w - nw0 )n=-1(p n 2) 2pd (w - nw0 )=sa22n=-= p sa2 (p n 2)d (w - p n)n=-n 1R f= sa()(p n 2)d f2-22n=

24、-（2）功率譜密度圖是一個(gè)抽樣函數(shù)的平方和沖擊序列相乘的結(jié)果。120.50.450.40.350.30.250.20.150.10.050-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5評(píng)注：注意求功率譜密度的兩種方法：知道了自相關(guān)函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換就是功率譜密度；如果知道的是信號(hào)本身，就要先把信號(hào)本身的頻譜計(jì)算出來(lái)，再利用頻譜和功率譜密度之間的關(guān)系計(jì)算。畫(huà)圖時(shí)，用非常方便，這門(mén)語(yǔ)言很好學(xué)，是美國(guó)大學(xué)理工科學(xué)生必須掌握的四門(mén)語(yǔ)言之一，比c 語(yǔ)言簡(jiǎn)單多了，稱(chēng)為“草稿紙“式的語(yǔ)言，目前，無(wú)孔不入，在眾多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，通信領(lǐng)域也不例外。這道題的結(jié)果很有意義，它說(shuō)明在 f

25、0 = 1 T = 1 2 處存在離散譜，該頻率和數(shù)字基帶信號(hào)（該信號(hào)是碼元寬度，即周期為 2，占空比為 0.5 的矩形波）傳碼率相同，因此在接收端，可把該離散譜用中心頻率為 f0窄帶濾波器提取出來(lái)作為同步信息，這將在第六章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)學(xué)習(xí)。13第三章 隨機(jī)過(guò)程2分析：隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是針對(duì)某一時(shí)刻的，在該時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程的取值，即其各個(gè)樣本函數(shù)的取值是一個(gè)隨量，因此，求隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性就變成求其在某一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的隨量的統(tǒng)計(jì)特性了。其次，在隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性中中，我們的目標(biāo)是隨量，確知信號(hào)或確知量的均值即為其本身，方差為 0，因此，做隨機(jī)過(guò)程的題關(guān)鍵是要分清哪些是隨機(jī)的哪些是確知的，剩下的

26、任務(wù)就是從隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式出發(fā)剝“洋蔥”，知道把所有的一目了然，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程x (t ) = 2 cos(2p t + q ) ，怎隨機(jī)量和確知量全“剝”出來(lái)，量，因此，在任意給定的時(shí)刻，x (t ) 均為隨樣理解它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。q 是隨量。所以，從時(shí)間上看， x (t ) 是由無(wú)數(shù)隨號(hào)x (t ) ，當(dāng)時(shí)間t 取某一特定值量構(gòu)成的，肯定是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。因此，對(duì)于符表隨量，否則，代表隨機(jī)過(guò)程。此題中，當(dāng)t 給定時(shí)， cos 2p t 和sin 2p t 都是確知的，q 、cosq 和sin q 都是隨機(jī)的。解：均值Ex (t ) = E 2 cos(2p t + q )= 2E cos 2p

27、 t cosq - sin 2p t sinq = 2 cos 2p t E cosq - 2 sin 2p t E sinq = 2 cos 2p t P (0)cos 0 + P p cos p - 2 sin 2p t P (0)cos 0 + P p cos p 2 2 2 2 = 2 cos 2p t 1 - 2sin 2p t 12= cos 2p t - sin 2p t因此2Ex (1) = cos 2p - sin 2p = 1自相關(guān)函數(shù)Rx (t1, t2 ) = E 2 cos(2p t1 + q ) 2 cos(2p t2 + q )14= E 2 cos(2p t1

28、+ q ) 2 cos(2p t2 + q )= 2E cos 2p (t1 + t2 ) + 2q + cos 2p (t1 - t2 )= 2E cos 2p (t1 + t2 )cos 2q - sin 2p (t1 + t2 )sin 2q + cos 2p (t1 - t2 )= 2 cos 2p (t1 + t2 ) E cos 2q - 2 sin 2p (t1 + t2 ) E sin 2q + 2 cos 2p (t1 - t2 )Rx (0,1) = 2 cos 2p E cos 2q - 2 sin 2p E sin 2q + 2 cos 2p p ( )= 2 P 0

29、cos 0 + Pcosp + 22= 2評(píng)注：這道題以“剝”洋蔥的方式展示了隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算方法，如果，不告訴你具體時(shí)刻，就按“剝”洋蔥的方法求解，思路很清晰。但如果告訴你具體時(shí)刻，你可以將這些時(shí)刻帶進(jìn)去，確知量和隨機(jī)量一目了然，直接就可以做了。如這道題(1) = E 2 cos(2p + q ) = 2E cosq = 2 P (0)cos 0 + P p cos p = 1E 2 2 xpp (t , t )()( )= E 2 cosq 2 cos 2p t + q =cos q = 4 P 0 cos 0 + Pcos= 2222R4E 2 2 x1 24分析：“剝洋蔥”，注意

30、統(tǒng)計(jì)條件。解：（1）Rz (t ) = E z (t ) z (t +t )= E X (t )Y (t ) X (t +t )Y (t +t )= E X (t ) X (t +t )Y (t )Y (t +t )= E X (t ) X (t +t ) E Y (t )Y (t +t )= RX (t ) RY (t )（2）RZ (t ) = E Z (t ) Z (t +t )= E X (t ) + Y (t ) X (t +t )Y (t +t )= E X (t ) X (t +t ) + X (t )Y (t +t ) + Y (t ) X (t +t ) + Y (t )Y

31、(t +t )= RX (t ) + E X (t ) E Y (t +t ) + E Y (t ) E X (t +t ) + Ry (t )= RX (t ) + 2aX aY + RY (t )5分析：“剝洋蔥”，按第 2 題的方法分清哪些是確知的，哪些是隨機(jī)的。當(dāng)取某一時(shí)刻t 時(shí)，15z (t ) 是一隨量，當(dāng)取無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻時(shí)， z (t ) 是由無(wú)窮多個(gè)隨量構(gòu)成的，是隨機(jī)過(guò)程。在任意時(shí)刻m (t ) 、q 、cosq 、sin q 、cos 2q 都是隨量，coswct 、sin wct 、cos 2wct條件，m (t ) 和q 、cosq 、sin q 、cos 2q 之間都是統(tǒng)

32、計(jì)都是確知的。注意統(tǒng)計(jì)的，解題時(shí)要充分利用這些條件。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的證明，無(wú)非是證明該隨機(jī)過(guò)程滿足兩個(gè)條件：均值為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t 無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔t 有關(guān)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅里葉變換，自相關(guān)函數(shù)在t = 0 的取值就是平均功率。這道題m (t ) 的自相關(guān)函數(shù)是以表達(dá)式的方式給出的，把圖畫(huà)出來(lái)，你就知道它不過(guò)是個(gè)簡(jiǎn)單的三角形，而三角形的傅里葉變換規(guī)律在第二章第 8 題已經(jīng)見(jiàn)過(guò)了，要會(huì)用。量q 由于在(0, 2p ) 上服從均勻分布，其一維概率密度函數(shù)為1解：（1）隨f (q ) =,0 q 2p2pE z (t ) = E m (t )cos(wct

33、+ q )= E m (t )coswct cosq - m (t )sin wct sinq = coswct E m (t )cosq - sin wct E m (t )sinq = coswct E m (t ) E cosq - sin wct E m (t ) E sinq 均值12p12p2p2p= cosw t E m (t ) cosq dq - sin w t E m (t ) 0 0sinq dqcc= 0自相關(guān)函數(shù)Rz (t ) = E z (t ) z (t +t )= E m (t )cos(wct + q ) m (t +t )cos wc (t +t ) + q

34、 = 1 E m (t ) m (t +t ) cos(2w t + w t + 2q ) + cosw t ccc2= 1 R (t ) E cos(2w t + w t + 2q ) + 1 R (t )cosw tmccmc22= 1 R12pcos(2w t + w t + 2q ) dq + 1 R (t )cosw t2p(t )0mccmc22= 1 R(t )cosw tmc2該隨機(jī)過(guò)程均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t 無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔t 有關(guān)。滿足平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的條件，故為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。16（2） Rz (t ) 的波形（3）功率譜密度( f ) =1(t )e- j 2p f

35、 t dt = sa2 (p f )PRmm-1P ( f ) =1(t )e- j 2p f t dtRzz-1= 1 P( f )* 1 d ( f) + d ( f)+ f- f2 mcc21()()pf + f + sa pf - f=sa224 cc12功率 S = Rz (0) =評(píng)注：（1）該題畫(huà)自相關(guān)函數(shù) Rz (t ) 的波形時(shí)，好些同學(xué)不知道怎么畫(huà)。通信中，最直觀的表達(dá)方式是框圖或圖形，因此，你碰到一個(gè)復(fù)雜的表達(dá)式時(shí)，不要被表象迷糊，要采用“化整為零”的方法按區(qū)間，根據(jù)加減把各部分的圖形畫(huà)出來(lái)，再根據(jù)表達(dá)式對(duì)應(yīng)相加減或相乘即可，往往圖形出來(lái)了，其傅里葉變換或反變換的結(jié)果也就

36、一目了然了。本題中 Rm (t ) 是個(gè)三角形，其功率譜密度肯定是抽樣函數(shù)的平方，即 sa2 ( x) ，其系數(shù)是三角形的面積，其參數(shù)是三角形門(mén)寬的四分之一。coswt 怎么畫(huà)，由于三角形門(mén)寬為 2，在這個(gè)門(mén)寬中，最好包含整數(shù)倍個(gè)coswt 周期，本題用畫(huà)時(shí)，三角形門(mén)寬里包含 20 個(gè)coswt 周期，17當(dāng)然，你也可以設(shè)到小些，這樣好畫(huà)圖，對(duì)應(yīng)相乘即可。（2）求自相關(guān)函數(shù)時(shí)，不要一上來(lái)就套公式，有時(shí)就給“套”進(jìn)去了，要用我們熟知的規(guī)律，這道題就用到了頻移公式，而頻移公式的基礎(chǔ)是歐拉定理。學(xué)到第 5 章大家就知道，該公式是通信的基石，即調(diào)制解調(diào)原理，大家在信號(hào)中就已經(jīng)把通信原理的精華學(xué)到了。結(jié)

37、果為 0，可以直接看出來(lái)。因?yàn)樗鼈冊(cè)?0, 2p ) 有 1 個(gè)（3）這道題對(duì)cosq 和sin q 的結(jié)果肯定為 0。所以，對(duì)于cos (2wct + wct + 2q ) 的，因?yàn)?wct + wct完整的周期，其與q 無(wú)關(guān)，cos(2wct + wct + 2q ) 在(0, 2p ) 有 2 個(gè)完整的周期，其些應(yīng)該作為常識(shí)掌握，將給運(yùn)算帶來(lái)意想不到的收獲。結(jié)果也肯定為 0，這6分析：對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，就得到了功率譜密度，該題要用到如下規(guī)律。2a a2 + w 2e- a t解：（1）功率譜密度P ( f ) =(t )e- j 2p f t dt-Rnnke- k t e-

38、j 2p f t dt= - 2k 2= k 2k=2k 2 + w 2k 2 + w2k2N = Rn (0) =功率（2）當(dāng)k = 2 時(shí)，自相關(guān)函數(shù) Rn (t ) 和功率譜密度 Pn ( f ) 圖形如下。18評(píng)注：是一門(mén)用途廣泛的簡(jiǎn)單語(yǔ)言，在通信、電子、信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景，希望大家能把它作為一種重要的工具來(lái)應(yīng)用。8分析：高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)其均值等于輸入噪聲均值乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)在w = 0 處的取值。功率譜密度等于輸入功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方?？梢钥吹剑到y(tǒng)傳輸函數(shù)是理想帶通濾波器，因此，輸出噪聲的功率譜密度的形狀與理想帶通濾波器是一樣的，就可以考慮是一個(gè)低通

39、白噪聲平移到 fc 處的結(jié)果，而低通白噪聲的功率譜是一個(gè)矩形，其傅里葉反變換反變換的規(guī)律和第二章第 1 題變換的規(guī)律是一樣的。即頻域門(mén)函數(shù)的傅里葉反G ( f )A0-BH/2BH/2fj 2p t f注意g (t ) = G ( f )edf-B = ABH sa (p B H t )= ABH sa 2p t H 注意2門(mén)寬的一半面積變換是抽樣函數(shù)即sa ( x) 函數(shù)，其系數(shù)是門(mén)函數(shù)的面積，其參數(shù)是門(mén)寬的一半。注意到所給傳輸函數(shù)是頻域門(mén)函數(shù)分別搬移到 fc 的結(jié)果，利用頻移特性m (t ) ec M (w m wc ) 和 jw t19歐拉公式e jwct = cosw t j sin

40、w t ，即可完成該題的求解。cc解：（1）令G ( f ) = 1, B 2f0,其它G ( f )1- B 2f0B 2( )()=Bsa (p Bt )j 2p ftg t =G f edf- n0 ,f - B + B2= 2ffP ( f ) = P ( f ) H ( f )2cc2oi0 ,其它n()() + G ( f)Pf =G f + f- f0occ2= n02(t ) =()()()-j 2p f tBsa p Bte+ e = n Bsa p Bt cosw t- jw tw tjRPf edfccoo0c(2)n()N = Pf 2B = 2B = n B0oo02

41、(3)設(shè)高斯白噪聲ni (t ) ，輸出噪聲為no (t ) ，則高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)為窄帶高斯白噪聲。其一維概率密度服從高斯分布。E n0 (t ) = E ni (t ) H (0) = 0故輸出噪聲方差等于其平均功率s = n B20其一維概率密度為x21f ( x) = exp(-)2p n0 B2n0 B評(píng)注：分析問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，大學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)之一就是提高大家的分析解決問(wèn)題的能力，不要怕浪費(fèi)時(shí)間，你越怕浪費(fèi)，它溜得就越快。你花兩分鐘的時(shí)間分析問(wèn)題，找到行之有效的解決辦法，剩下的在很短時(shí)間內(nèi)就完成了。別人花 20 分鐘做的事，你花 10 分鐘就搞20定了。平時(shí)注意規(guī)律的積累，用

42、到時(shí)才能能想起，否則，無(wú)從談起。9分析：高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)其均值等于輸入噪聲均值乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)在w = 0 處的取值。功率譜密度等于輸入功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方。題中給出的是 RC 電1jwC路。電容的阻抗是。解：（1） RC 低通濾波器的傳輸函數(shù)H (w ) = 1 jwcC =1R +1 jwC1+ jwRC輸出噪聲的功率譜密度為2n11+ (wRC )2( )( )( )P w =P wH w=0oi2輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)為(t ) =( )- j 2p f ttRPf edoon02 RCe- j 2p f t dt- 4RC=(1 RC )2 + w2t- 1n=0

43、e4RCRC（2）根據(jù)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，輸出噪聲是高斯噪聲，其一維概率密度函數(shù)服從高斯分布。E n0 (t ) = E ni (t ) H (0) = 0n0(0) - R () =s 2 = R004RC一維概率密度函數(shù)2RC exp(- 2RC x2 )f ( x) =p n02n01jwC，可以看到，隨著w 的增加，阻抗逐漸減小，因此，信號(hào)中評(píng)注：（1）電容的阻抗為的高頻分量就更易于通過(guò)，當(dāng)w = 0 ，阻抗無(wú)窮大，直流分量就通不過(guò)。這就是電容的作用， 通交流隔直流。在這類(lèi)電路中，電容C 也起著旁路電容的作用，即把不需要的高頻分量濾掉。因此， RC 電路是低通濾波器，即濾除高頻

44、分量，使信號(hào)中的低頻分量通過(guò)，即濾除高21頻分量，濾出低頻分量。2a a2 + w22a a2 + w 2這樣的功率譜密度，就要想到利用e- a t （2）碰到類(lèi)似，把所給功率譜2a密度變成的標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以直接得到結(jié)論。a2 + w210分析：與第 9 題是一類(lèi)題，高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)其均值等于輸入噪聲均值乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)在w = 0 處的取值。功率譜密度等于輸入功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方。題中給出的是 LR 電路。電感的阻抗是 jwL 。解：（1） LR 低通濾波器的傳輸函數(shù)RR + jwLH (w ) =輸出噪聲的功率譜密度為R2R2 + (wL)2nPo (w ) = Pi (w ) H (w )2= 0 2輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)為(t ) =( )- j 2p f ttRPf edoon0 R 2 R Le- j 2p f t dt-=( R L)2 + w24L- R tn R= 0 e4LL（2）根據(jù)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的性質(zhì) E n0 (t ) = E ni (t ) H (0) = 0 ，故(0) - R () = n0 Rs 2 = R004L評(píng)注：（1）電感的阻抗為 jwL ，可以看到，隨著w 的減小，阻抗逐漸減小，因此，信號(hào)中的低頻分量就更易于通過(guò)，當(dāng)w 增加時(shí)，阻抗逐漸