向量組的秩-例題選講

1、1 = 0 0 , 2l 設(shè)有設(shè)有n維向量組成的向量組維向量組成的向量組: 1, 2, m(1)包含包含0向量向量線性相關(guān)線性相關(guān)(2)包含成比例的向量包含成比例的向量線性相關(guān)線性相關(guān).(3)線性相關(guān)線性相關(guān)存在一個(gè)向量可由其余的存在一個(gè)向量可由其余的 向量線性表示向量線性表示.(4)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)任何向量都不能由其余的任何向量都不能由其余的 向量線性表示向量線性表示.(m 2)增加增加( (減少減少) )個(gè)數(shù)不改變相個(gè)數(shù)不改變相( (無(wú)無(wú)) )關(guān)性關(guān)性. .(5)(6)增加增加( (減少減少) )維數(shù)不改變無(wú)維數(shù)不改變無(wú)( (相相) )關(guān)性關(guān)性. .3(7) 向量組向量組 1, 2, m線

2、性相關(guān)性線性相關(guān)性x1 1+x2 2+xm m=0有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0有非零解有非零解其中其中A=( 1 2 m), X=(x1,x2,xm)T(8)設(shè)有設(shè)有n個(gè)個(gè)n維向量維向量 1, 2, nu 1, 2, n線性相關(guān)線性相關(guān)| 1 2 n|=0u 1, 2, n線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)| 1 2 n| 0(9) Rn中中 n+1個(gè)向量一定線性相關(guān)個(gè)向量一定線性相關(guān)(10)矩陣判別法矩陣判別法.45設(shè)設(shè)S S是是n維向量構(gòu)成的向量組維向量構(gòu)成的向量組, ,在在S S中中選取選取r個(gè)向量個(gè)向量 , ,如果滿(mǎn)足如果滿(mǎn)足r ,21,r 12(1) (1) 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)

3、, 12r(2)(2)任取任取 S S,總有總有 線性相關(guān)線性相關(guān). .r ,21則稱(chēng)向量組則稱(chēng)向量組 為向量組為向量組S S的一個(gè)的一個(gè)( (簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)).).r 記為記為r 或或= r6 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T 1 , 2 1 , 2, 1 , 3 2 , 3. . 1, 2 , 3 =2. 3 = 1+ 27 n 1, 2, m 1, 2, m , 1, 2, m 1, 2, m, 存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù)k1,k2,km,l 11220mmkkkll 08如果如果 l =0k1, k2,km 1, 2, , m l 0

4、11220mmkkk 1212mmkkklll 1, 2, , m9假若假若 有兩種表示法有兩種表示法, ,設(shè)設(shè) 1122mmkkk 1122mmlll()()() 1112220mmmklklkl 1, 2, m (1,2,)iiklim 1, 2, m 10n(I)(II)(I)(II).(I)(II)(I)(II).,;12(I) r,12(II) s12()s 11121212221212()ssrrrrskkkkkkkkk n;,(I)21r .,(II)21s rrssssrrrrkkkkkkkkk 22112222112212211111(, , ;, , )1 21 2ijk

5、ir js , ,rsK, , Bns =Anr r sK(II)(I)(I)12,rrm 121(I),r 12(II),(I)131101000rrmii (II)(I) i ( i = 1,2,r) (II)1 1, 2 , mr+1(I)(II) j (I)(I) j=1,r, j 1, 2 , r j=r+1,m, 1, 2 , r , j j ( j=r+1,m) 1, 2 , r 線性表示線性表示(I)(II)14(I) (II)1(I)(II)(I)(II)n : :12,;(I)r 12,(II)s (I)(I)(II) r s .151212( ,) ( ,)rs (I)(

6、II) 111212112211 rrssrsrskkkkkkr s,12 r111212122212rrsssrkkkkkkkkk12( ,)r r() r BK() r Ksr( (I) )(II)16若若(I)、(II)都線性無(wú)關(guān)都線性無(wú)關(guān), ,且且(I)與與(II)等價(jià)等價(jià), ,則則 r = s .向量組的向量組的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等若若(I)可由可由(II)線性表示線性表示, ,則則(I)(II) .(I)(II)r s(I)等價(jià)的無(wú)關(guān)向量組必然等秩等價(jià)的無(wú)關(guān)向量組必然等秩17(I)r(II)s( (I ) ),( (II ) )(I), (I

7、I)( (I ) ), ( (II ) )r s( (I ) )(I) (I)(II)(II)( (II ) ) ( (I ) )( (II ) )4.3r s等價(jià)的向量組等秩等價(jià)的向量組等. 1, 2, 3 1, 2, 3 1 1, 2 2, , 3 1, 2, 311231()2 21231(),2 31231()2 r( 1 2 3)=3r( 1 2 3 ) =3 1, 2, 3 191231231 0 1() 1 1 00 1 1 =(1 0 11 1 0200 1 112312311 0 1)() 1 1 00 1 1 ( 123123)()3.rr ( 1

8、, 2, 3 20m ,21r(Anm)=Ar(A)=r,r, m ,21 r. .m ,21r(A)= rAr Dr 012,riii Dr r 是是r 維維線性無(wú)關(guān)向量的接長(zhǎng)線性無(wú)關(guān)向量的接長(zhǎng), ,仍線性無(wú)關(guān)仍線性無(wú)關(guān). .riiij ,21, jA21 j 不不在在 i1 , i2 , ,ir 中中, , j 在在 i1 , i2 , ,ir 中中; ; 線性相關(guān)線性相關(guān). .riiij ,21r+1r+1列對(duì)應(yīng)的子矩陣記為列對(duì)應(yīng)的子矩陣記為A1 ,r(A1) r(A)= r r +1riiij ,21 線性相關(guān)線性相關(guān), ,12,riii 是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. .12(,

9、)( )m rrr Ar(A)= A= A由由 , ,又有又有 A 的行秩的行秩. . ( )()Tr Ar A( ) r A22AB=0B = 0l若若B的行向量組線性無(wú)關(guān)的行向量組線性無(wú)關(guān), ,則則A 0.B 0 則則A的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān). .l若若A 0 則則B的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān). .B=(B1,B2,Bm), AB=0ABi=0.A的列向量組線性無(wú)關(guān)的列向量組線性無(wú)關(guān)AX=0Bi=0, i=1,mB=0其余情況可以類(lèi)似得到其余情況可以類(lèi)似得到23將將),(21m ),(21m A=B行行秩秩等等; ;極大無(wú)關(guān)組的位置對(duì)應(yīng)相同極大無(wú)關(guān)組的位置對(duì)應(yīng)相同;

10、 ;表示系數(shù)表示系數(shù)對(duì)應(yīng)相同對(duì)應(yīng)相同當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,1mijjjj ik 1mijjjj ik n維列向量組維列向量組S:12,m 則則向量組向量組 與與12,m 12,m A24A123412 1 014 1 413 0 2 AA12 1 012 1 014 1 402 2 413 0 201 1 2A2512 1 012 1 0022 4011 2011 2000 012342r 32142132412, 1 0 3 41 03401 1 20 11200 0 00 000B261 1 10 01 10 0=，=2 1 11 10 00 03 =2 21 11 10 04 =0 00 01

11、 11 1， 求向量組的求向量組的(1)(1)秩秩;(;(2)2)極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組; ;(3)(3)表示系數(shù)表示系數(shù). .設(shè)設(shè)1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1),(4321 A=432, 是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. . 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 10 0 1D=1010由由而而|A|=0知秩知秩=3, ,27設(shè)設(shè)),(4321 A=1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1=1 1 2

12、 01 1 2 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行A1 0 1 01 0 1 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行),(4321 =B=421, (2) 是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組, ,431, 432, ( ( 和和 也是也是) ). .31240 (3)(1) 秩秩 = 3; ;),(4321 28一、一、A=BC二、二、 S(1)(1)(2) (2) S, , (3) (3) S 極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組(4) (4) S的各的各極大無(wú)關(guān)組含向量個(gè)數(shù)相等極大

13、無(wú)關(guān)組含向量個(gè)數(shù)相等 -秩秩三、三、重要結(jié)論重要結(jié)論Th4.2Th4.3(I)(II)(I)r s(I)(II)(I), ,(II)r = s推推2推推3(I)(II)秩秩(I)秩秩(II)組組(I)與與(II)等價(jià)等價(jià)秩秩(I) = 秩秩(II)四、四、Th4.42930e1,e2,2e2e1 e2, 2e2eii31 1, 2 1, 2 1+ 1, 2+ 2(1,0), (2,0)(0,1),(0,3)(1,1), (2,3) 1, 2, 3 3+ 1 1 2, 3 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1 2, 332 1, 2, m 1, 2, m ,123101011 ,312, 123所以

14、所以 線性相關(guān)線性相關(guān). 反例反例33 , , , , , , , , , , , , 34設(shè)向量組設(shè)向量組 與與 1, 2, m, 1, 2, m的秩相等的秩相等,證明兩向量組等價(jià)證明兩向量組等價(jià). ( (I):): ( (II):): 1, 2, m, 1, 2, m ,R( (I)= )= R( (II)=)=r 1, 2, r( (I) )( (I) )( (II) ), 1, 2, r ( (II) ), , 1, 2, r 也能由也能由( (I) )所以所以( (I) )與與( (II) )等價(jià)等價(jià).( (I) )能由能由( (II) ) ( (I) )35 1, 2, m 1, 2, s 1, 2, m 1, 2, s,. 設(shè)設(shè)( (I):): ( (II):): 1, 2, s 1, 2, m ,R( (I)=)=R( (II)=)=r( (I) )能由能由( (II) )( (I ) ) ( (II ) )( (I ):): 1, 2, r為為