高等數(shù)學課件：v-9-重積分的計算及相關問題講座

1、 講講 座座 重積分的計算及相關問題重積分的計算及相關問題基本內(nèi)容基本內(nèi)容重積分重積分三重積分三重積分二重積分二重積分應應 用用幾何幾何：面積、體積、曲面面積：面積、體積、曲面面積物理物理：質(zhì)量、重心、引力、：質(zhì)量、重心、引力、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量性質(zhì)性質(zhì)計算計算直角坐標法直角坐標法極坐標法極坐標法換元法換元法性質(zhì)性質(zhì)計算計算直角坐標法直角坐標法球面坐標法球面坐標法柱面坐標法柱面坐標法重積分計算的關鍵重積分計算的關鍵:1. 選擇坐標系選擇坐標系2. 確定積分次序和積分限確定積分次序和積分限講座的內(nèi)容：講座的內(nèi)容：一、積分坐標系的選擇及積分順序的確定一、積分坐標系的選擇及積分順序的確定二、積分定義及

2、性質(zhì)的應用二、積分定義及性質(zhì)的應用三、換元法的使用三、換元法的使用四、對稱性的利用四、對稱性的利用一、積分坐標系的選擇及積分順序一、積分坐標系的選擇及積分順序例例1.),(:1201dxyxfdyy 交交換換積積分分順順序序方法方法: 由積分限先定出積分區(qū)域由積分限先定出積分區(qū)域D，然后再，然后再 交換積分順序交換積分順序.解解 Ddxdyyxf),(dxyxfdydxyxfdyyy 21011201),(),(dyyxfdxx 1021),(.:22202dydxIxey 計計算算積積分分例例解解1：交換積分順序交換積分順序得得dxdyIyey 0202 202dyyey)1(421e 解解

3、2： 2,)(2xdyxFey記記 20,)(dxxFI則則分步積分得分步積分得 20202)(dxxxxFIex)1(421e 例例3 3.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf證明證明 證證思路：從改變積分次序入手思路：從改變積分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx例例4 4. 1:222 zyxdvez，計計算算 解解1面面法法即即截截法法，故故采采用用先先二二后后一一為為圓圓域域

4、的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為)(1)(222zyxzDz )(2|對對稱稱性性上上 dvdveezz 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 解解2用用球球面面坐坐標標積積分分區(qū)區(qū)域域為為球球體體，故故采采)(2對對稱稱性性上上 dvdveezz 2010cos220sin2drdderr.2 )(sin420cos102換換序序 ddrerr注記注記: 本題的兩種不同坐標系的解法難度相差本題的兩種不同坐標系的解法難度相差 不大不大, 但對于一般的題目當積分曲域和被積函數(shù)但對于一般的題目當積分曲域和被積函數(shù)要求用不同的坐標系時其計算法是有差別的要求用不同

5、的坐標系時其計算法是有差別的, 請請多加注意多加注意.:,1|,)(證證明明確確定定由由區(qū)區(qū)域域為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設設 xyDuf例例5dxxxfdxxxfdxdyfIxDyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析:要證明的等式右端是定要證明的等式右端是定積分積分,且被積函函中有且被積函函中有 項項,故需將故需將 看成一整體看成一整體.)(xfyx22 xy )(22,22) 1 , 1(D12D11證明證明: 采用極坐標采用極坐標. 1,121111 rDDDDD分分界界線線為為在在第第一一象象限限的的部部分分為為設設將式中將式中r的換成的換成x,即得證即得證. Ddxdy

6、fIyx1)(422由對稱性知由對稱性知 DDdxdyfdxdyfyxyx1211)()(42222 41arccos211040)()( 4rdrrfdrdrrrfd 2110)()arccos4()(1drrrfdrrrfr例例6).(,)()(,0,)(222222tFdvftFazufyxztyx 求求記記圍圍成成的的空空間間區(qū)區(qū)域域是是由由連連續(xù)續(xù)設設解解 采用柱坐標采用柱坐標 atatdzrdrfddzrdrdtFrz0022002020)()( trdrfarta0223)(23)(2)(2332taatfttF 例例7.32)(222所所圍圍的的體體積積計計算算由由曲曲面面za

7、zyx 分析分析: 體積可用定積分、二重積分和三重積體積可用定積分、二重積分和三重積分計算，具體選擇要根據(jù)分計算，具體選擇要根據(jù)區(qū)域區(qū)域而定而定. 解解: 選擇選擇三重積分三重積分, 并采用并采用球面球面坐標坐標. dvVdrddar sin32cos02020 203cossin231daa33 例例8 8.)(11)()()(12 banxanbadyyfndyyfdxybyx證證明明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa二、積分定義及性質(zhì)的應用例例1)1

8、(5:332)()()()()()(:222(Pdxxdxxdxxgxfbababagf上上冊冊施施瓦瓦茲茲不不等等式式柯柯西西證證明明 證證)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dyydxxbabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyyxDgf 同理同理)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dxxdyybabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyxyDgf dxdyxyIDgfygxf)()(222)()(22 則則dxdyxgyfDygxf)()()()( 2 dyygyfdxxgxfbaba )()()()(2)()(2

9、2dxxgxfba )()()()()(222(dxxdxxdxxgxfbababagf 故故注注: 本題采用的方法具有代表性本題采用的方法具有代表性, 希望同學們能靈活應用希望同學們能靈活應用.例例 2:,)(證證明明單單調(diào)調(diào)減減少少且且恒恒大大于于零零在在上上連連續(xù)續(xù)設設函函數(shù)數(shù)xf 1010210102)()()()(dxxfdxxdxxxfdxxxff簡證簡證 1021010102)()()()(dxxxdxxfdxxxfdxxff只要證明只要證明 1021010102)()()()(dyyydxxfdyyyfdxxff即即證證0)()()()(1010 dxdyyfxfyyfxfI即

10、即證證dxdyxfyfxxfyfI)()()()(1010 同同理理dxdyyfxfxyyfxfI)()()()(21010 于于是是0)()()(0)( yfxfxyfxf可可保保證證的的單單調(diào)調(diào)性性及及由由則本題得證則本題得證.設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設設Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.例例 3分析：分析： 由于由于 1)(xdyyf不能直接積出，故不能直接積出，故考慮考慮改變積分次序改變積分次序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(,)()(010 xdyyfdxxf解解1),)()

11、(的的輪輪換換對對稱稱性性對對被被積積函函數(shù)數(shù)yxyfxf則則 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 2)()(2110Axdyyfxfdx 故故dxyFxfdyyfxfdxxx 101110|)()()()(解解2則則令令,)()(0 xdttfxFdxxFxfdxFxf 1010)()()1()(2212221010)1()1()()()()1(|AFFxdFxFxFF 例例4:, 122試證明不等式試證明不等式為為設設 yxD.sin522216561)(3 dxdyDyx證

12、明證明drrdxdyIryxD 1033sin2sin)(22drrrr)(2103!39 16561!3)(21093drrrr由由于于 521042drr.sin522216561)(3 dxdyDyx所所以以例例 5.),(,:,),(222021lim上上連連續(xù)續(xù)在在求求DyxfDdxdyyxftyxDtt 證證由積分中值定理有由積分中值定理有)(),(),(DAfdxdyyxfD tf2),( ),(),(lim21lim00 fdxdyyxftDtt則則)0 , 0(f .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdu

13、dvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是是一一對對一一的的，則則有有變變換換上上雅雅可可比比式式在在；上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在且且滿滿足足，平平面面上上的的變變?yōu)闉槠狡矫婷嫔仙系牡拈]閉區(qū)區(qū)域域?qū)⑦B連續(xù)續(xù)，變變換換上上平平面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域在在設設定定理理補充補充: 二重積分的換元法二重積分的換元法三、換元法的使用三、換元法的使用使用換元法需注意的兩個方面使用換元法需注意的兩個方面:. 2;. 1),(),(的的計計算算雅雅可可比比行行列列式式的的確確定定新新區(qū)區(qū)域域vuyxJD .1

14、. 2;. 1),(),(),(),(JJJDTDyxvuvuyx來來得得到到時時可可通通過過求求當當不不便便求求確確定定的的邊邊界界曲曲線線通通過過變變換換由由 方法方法:例例 1.2,),0(2,22圖形的面積圖形的面積所圍所圍求由求由xyxyaxyxyaa 分析分析: 區(qū)域的邊界較復雜區(qū)域的邊界較復雜, 考慮換元考慮換元. 解解;,vuxyxy 令令; 21 ,2:22 vuDaa則則;212),(),(1vJvyxvuJ 得得且由且由知知則由則由 DdxdxA2ln|22121212122adudvdudvJAaavD 例例 2. 1:,)(22 yxDdxdyyxIyxD其其中中計計

15、算算解解1; 1,:,:),(),(23212123)21212222()( vuyxJDvyuxDvuyx令令.)1()(23 DDdudvvudxdyyxI則則解解2;,20 ,0:,sin,cos),(),(232121rJrDryrxryx 令令.)sincos1()(23 DDrdrdrrdxdyyxI則則例例 3)0.()(2)(:,| ,|:|,)(022 aduuaufdxdyyxfIyxDtfaDaa證證明明其其中中為為連連續(xù)續(xù)偶偶函函數(shù)數(shù)設設解解1;,| ,|:|,21),(),(222222 vuyxauvavuuvvuJDyxvyxuyx令令 DDdudvufdxdyy

16、xfI)()(21則則)()(0021 auaauauauadvufdudvufdu aduuauf0)(2例例 3)0.()(2)(:,| ,|:|,)(022 aduuaufdxdyyxfIyxDtfaDaa證證明明其其中中為為連連續(xù)續(xù)偶偶函函數(shù)數(shù)設設解解2則則令令, yxu 2222)()(aaaaDdyyxfdxdxdyyxfI aduuauf0)(2利用定積分的換元利用定積分的換元 2222)(axaxaaduufdxI廣義極坐標廣義極坐標:廣義球坐標廣義球坐標:)(;,sin,cos),(),(適適用用于于橢橢圓圓abrJbryarxryx )(;sin|,cos,sinsin,c

17、ossin2),(),(適適用用于于橢橢球球 rabcJcrzbryarxrzyx四、對稱性的利用四、對稱性的利用(一一)、二重積分的對稱性、二重積分的對稱性使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：、積分區(qū)域積分區(qū)域關于坐標軸的關于坐標軸的對稱性對稱性；、被積函數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于二個積分在積分區(qū)域上的關于二個積分 變量的變量的奇偶性奇偶性. 一般地，當一般地，當積分區(qū)域積分區(qū)域 D 關于關于 y 軸軸對稱對稱，且，且被積被積函數(shù)函數(shù) f(x,y)是關于是關于 x 的的奇函數(shù)奇函數(shù)，則，則二重積分為零二重積分為零，若若被積函數(shù)被積函數(shù) f(x,y)是關于是關于 y 的的偶函數(shù)偶函數(shù)，則

18、，則二重積分二重積分為為 D 在在 y 軸軸上方的半個閉區(qū)域的上方的半個閉區(qū)域的二二重積分的重積分的兩倍兩倍.例例 1等等于于則則在在第第一一象象限限的的部部分分是是的的三三角角形形區(qū)區(qū)域域為為頂頂點點和和平平面面上上以以是是設設 DdxdyyxxyDxyDD)sincos(,)1, 1(),1 , 1(),1 , 1(1. 0)(,)sincos(4)(,2)(,sincos2)(111DdxdyyxxyCxydxdyBydxdyxADDD 答答: 應選應選(A)D1D4D3D2)1 , 1()1, 1( )1 , 1( 使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：、積分區(qū)域積分區(qū)域關于坐標面的關于坐標面的對稱性對稱性；、被積函數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸 (三個變量三個變量)的的奇偶性奇偶性. 一般地，當一般地，當積分區(qū)域積分區(qū)域 關于關于xoy平面平面對稱對稱，且，且被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxf是關于是關于z的的奇函數(shù)奇函數(shù)，則，則三重積分三重積分為零為零，若，若被積函數(shù)被積