帶電粒子在勻強(qiáng)電場中綜合問題的解析

1、.蒈薅肀芄莄薄膃蒀螞薃袂芃薈薂羅蒈蒄薂肇芁莀蟻腿肄蠆蝕衿艿薅蠆肁肂薁蚈膃莈蕆蚇袃膀莃蚆羅莆蟻蚆肈腿薇蚅膀莄蒃螄袀膇荿螃羂莂芅螂膄膅蚄螁襖蒁薀螀羆芃蒆螀聿葿莂蝿膁節(jié)蝕袈袁肅薆袇羃芀蒂袆肅肅莈裊裊羋莄裊羇膁蚃襖聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁蒞莁羈羄膈蝕羀肆莃薆罿膈膆蒂罿羈莂蒈薅肀芄莄薄膃蒀螞薃袂芃薈薂羅蒈蒄薂肇芁莀蟻腿肄蠆蝕衿艿薅蠆肁肂薁蚈膃莈蕆蚇袃膀莃蚆羅莆蟻蚆肈腿薇蚅膀莄蒃螄袀膇荿螃羂莂芅螂膄膅蚄螁襖蒁薀螀羆芃蒆螀聿葿莂蝿膁節(jié)蝕袈袁肅薆袇羃芀蒂袆肅肅莈裊裊羋莄裊羇膁蚃襖聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁蒞莁羈羄膈蝕羀肆莃薆罿膈膆蒂罿羈莂蒈薅肀芄莄薄膃蒀螞薃袂芃薈薂羅蒈蒄薂肇芁莀蟻腿肄蠆蝕衿艿薅蠆肁肂薁蚈膃莈蕆蚇袃膀莃蚆羅

2、莆蟻蚆肈腿薇蚅膀莄蒃螄袀膇荿螃羂莂芅螂膄膅蚄螁襖蒁薀螀羆芃蒆螀聿葿莂蝿膁節(jié)蝕袈袁肅薆袇羃芀蒂袆肅肅莈裊裊羋莄裊羇膁蚃襖聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁蒞莁羈羄膈蝕羀肆莃薆罿膈膆蒂罿羈莂蒈薅肀芄莄薄膃蒀螞薃袂芃薈薂羅蒈蒄薂肇芁莀蟻腿肄蠆蝕衿艿薅蠆肁肂薁蚈膃 帶電粒子在勻強(qiáng)電場中綜合問題的解析浙江省湖州中學(xué)施永華（313000）帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動，是一個綜合電場力、電勢能的力學(xué)問題，研究的方法與質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)相同，它同樣遵循運(yùn)動的合成與分解、力的獨(dú)立作用原理、牛頓運(yùn)動定律、動能定理、動量定理、動量守恒定律及能的轉(zhuǎn)化與守恒等力學(xué)規(guī)律。研究時(shí)，主要可以從帶電粒子的受力產(chǎn)生加速度及能量轉(zhuǎn)化兩條線索展開。帶電粒子在

3、勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動狀態(tài)有勻速直線運(yùn)動、勻變速直線運(yùn)動及勻變速曲線運(yùn)動等多種運(yùn)動形式。處理帶電粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動問題的一般步驟：（）分析帶電粒子的受力情況。（）分析帶電粒子的初始狀態(tài)及條件，確定帶電粒子作直線運(yùn)動還是曲線運(yùn)動。（）建立正確的物理模型，進(jìn)而確定解題方法，是動量守恒，還是能量守恒等。（）利用物理規(guī)律或其它解題手段（如圖線等）找出物理量間的關(guān)系，建立方程組。帶電粒子在交變電場中（矩形方波）的運(yùn)動問題，涉及到力學(xué)和電場知識的綜合應(yīng)用。雖很多題目所涉及的物理情景基本上相同，給人的直觀感覺也往往相差不多，但由于命題者可以擬定不同的題設(shè)條件，假設(shè)不同的初始狀態(tài)，又可從不同的角度提出問題，在高考

4、中曾經(jīng)反復(fù)出現(xiàn)過這類試題。由于帶電粒子在交變電場中運(yùn)動時(shí)，所受的電場力，產(chǎn)生的加速度以及有關(guān)速度、能量都可能出現(xiàn)周期性的變化，所以在解答這類問題時(shí)，應(yīng)重視以下幾點(diǎn)：（）善于借助圖像來描述粒子在電場中的運(yùn)動情況，從而直觀展示其物理過程。（）認(rèn)真分析題目給出的初始條件和要求。（）必須全面分析物理過程，確定相關(guān)物理量的變化情況，尤其應(yīng)注意解題過程中的臨界情況的出現(xiàn)，謹(jǐn)防漏解或錯解。（）應(yīng)熟悉帶電粒子在交變電場中作不同運(yùn)動的條件。帶電粒子在勻強(qiáng)電場中綜合問題的具體處理方法：（）類比與等效；（）獨(dú)立作用原理；（）全過程法。（）圖像法一、類比與等效電場力和重力都是恒力，在電場力作用下的運(yùn)動可與重力作用下的

5、運(yùn)動類比。例如，垂直射入平行板電場中的帶電粒子的運(yùn)動可類比于平拋，帶電單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動可等效于重力場強(qiáng)度g值的變化等。例一、一條長為l的細(xì)線上端固定在點(diǎn)，下端系一個質(zhì)量為m的小球，將它置于一個很大的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為，方向水平向右，已知小球在點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為，如圖所示，求：（）當(dāng)懸線與豎直線的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球速度恰好為零？（）當(dāng)細(xì)線與豎直線的夾角為時(shí)，至少要給小球一個多大的沖量，才能使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動？解析：本題是一個帶電粒子在勻強(qiáng)電場和重力場中的綜合問題，在處理這個問題時(shí)，由于電場力和重力都是恒定的，所以可

6、以將這個勻強(qiáng)電場和重力場看成一個場（合場）。對小球在點(diǎn)時(shí)受力分析如右圖所示，由于小球是在勻強(qiáng)電場和重力場的復(fù)合場中運(yùn)動，其等效重力加速度（復(fù)合場場強(qiáng)）g/，小球的運(yùn)動類比為一單擺，點(diǎn)為振動的平衡位置，豎直位置為最大位移處，由對稱性即可得出結(jié)論：當(dāng)懸線與豎直線的夾角。繩系小球在勻強(qiáng)電場和重力場的復(fù)合場中做圓周運(yùn)動的條件與在重力場中類似，只不過運(yùn)動時(shí)其等效“最低”點(diǎn)是，其等效“最高”點(diǎn)是與等效“最低”點(diǎn)以點(diǎn)為對稱的點(diǎn)，其等效重力加速度（復(fù)合場場強(qiáng)）為g/，所以小球要求能夠在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在等效“最高”點(diǎn)的最小速度由動能定理得：解得：給小球施加的沖量至少應(yīng)為本題在求解過程中利用了類比與等效的方

7、法，并與單擺、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的“最高”點(diǎn)和 “最低”點(diǎn)類比，簡化了解題過程，思路清晰，解法靈活。二、獨(dú)立作用原理當(dāng)一個帶電體同時(shí)受到幾個恒力的作用做曲線運(yùn)動時(shí)，從力的獨(dú)立作用原理出發(fā)，根據(jù)在不同方向上的受力和運(yùn)動的特點(diǎn)，應(yīng)用物理定理或定律的分量形式解題。例二、如圖所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場中，有一帶電體P自點(diǎn)豎直向上射出，它的初動能為，當(dāng)它上升到最高點(diǎn)時(shí)，它的動能為，則物體折回通過與在同一水平線上的點(diǎn)時(shí)，其動能為多大？解析：這個題目可以根據(jù)力的獨(dú)立作用原理和運(yùn)動的獨(dú)立性來處理。此帶電體P在電場力和重力的共同作用下，根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性帶電體P在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動，在水平方向上做初速為零的勻

8、加速直線運(yùn)動。設(shè)帶電體P在點(diǎn)的動能為，到達(dá)點(diǎn)的動能為，到達(dá)點(diǎn)的動能為。由于在豎直面內(nèi)做豎直上拋運(yùn)動，所以到的時(shí)間與到的時(shí)間相等即。由于水平方向上做初速為零的勻加速直線運(yùn)動，所以在相鄰的相等時(shí)間內(nèi)水平方向的位移之比為3 即另外，豎直方向只有重力做功，所以帶電體P在點(diǎn)時(shí)的豎直方向的速度大小與在時(shí)相等，從點(diǎn)到點(diǎn)重力沒有做功，帶電體P在最高點(diǎn)點(diǎn)的動能為，此時(shí)速度方向水平，即從點(diǎn)到點(diǎn)電場力做功，水平方向電場力恒定，由此可知電場力做功與位移成正比，所以可以得到從點(diǎn)到點(diǎn)電場力做功為，故從點(diǎn)到點(diǎn)電場力總共做功為，這樣便可以計(jì)算出到達(dá)點(diǎn)時(shí)，帶電體的總動能為。帶電微粒同時(shí)受重力和電場力（恒力）作用時(shí)，是把重力與電

9、場力合成一個恒力總起來考慮還是分別考慮重力和電場力的作用，需要具體問題具體分析，靈活運(yùn)用。三、全過程法帶電粒子在恒定的電場力、重力及其它力的共同作用下運(yùn)動最終達(dá)到平衡或靜止?fàn)顟B(tài)，由于恒定的電場力和重力做功與路徑無關(guān)，所以可以將整個過程一起來考慮，并作為研究對象，只考慮初狀態(tài)和末狀態(tài)，就可以不必考慮其中間的相互作用過程。例三、一根對稱的“”型玻璃管置于豎直平面內(nèi)，管所在的空間有豎直方向的勻強(qiáng)電場，質(zhì)量為m、帶正電量為q的小物體在管內(nèi)從點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，且與管壁的動摩擦因數(shù)為，管長為l，小球在端與管作用沒有能量損失，管與水平面夾角為，如圖所示。求從開始，小物體運(yùn)動的總路程是多少？（設(shè)q>mg

10、 <）解析：這是一個能的轉(zhuǎn)化和守恒的綜合題。首先要認(rèn)真分析小物體的運(yùn)動狀況，建立物理圖景。開始時(shí)，物體從點(diǎn)由靜止開始沿管壁運(yùn)動，它受到四個力的作用，垂直于管壁方向受力平衡，沿管壁方向受到的合力沿管壁向上。故小物體沿管壁作勻加速運(yùn)動。直至以一定的速度與處的管壁相碰撞，由于小球在端與管壁作用沒有能量損失，所以碰撞后以原速率沿管壁向下作勻減速運(yùn)動直至速度為零。然后小物體又沿管壁向上作初速為零的勻加速運(yùn)動，直至以一定的速度與處的管壁相碰撞，碰撞后以原速率沿管壁向下作勻減速運(yùn)動直至速度為零。小物體將多次重復(fù)以上過程。由于摩擦力總是做負(fù)功，物體機(jī)械能不斷損失，所以物體通過同一位置時(shí)的速率將不斷減小，

11、直到最后停止運(yùn)動。物體停止時(shí)，必須滿足兩個條件：速度為零和物體所受合力為零，所以物體只能停在點(diǎn)才能滿足以上條件（由于q>mg <）。因?yàn)殡妶隽椭亓ψ龉χ桓瘘c(diǎn)位置和終點(diǎn)位置有關(guān)，而跟路徑無關(guān)。所以電場力做正功：重力做負(fù)功：摩擦力恒定為：整個過程中摩擦力始終做負(fù)功，設(shè)小物體運(yùn)動的總路程為則整個過程中摩擦力做的總功為根據(jù)動能定理得：即整理得：最終得：許多的學(xué)生可能會考慮采用一次次沿管壁向上、向下的運(yùn)動，依次列出方程，采用不完全歸納法，最后試圖用求級數(shù)的方法解得結(jié)果，但終因沒有充分體會題意，而得不出結(jié)果。解決本題的關(guān)鍵：（）不被表面現(xiàn)象迷惑，不糾纏非本質(zhì)因素：往復(fù)多少次，每次到達(dá)斜面上

12、什么位置。（）挖掘隱含條件：滑塊最終停在什么位置。（）選擇最佳解題途徑。全過程利用動能定理或能的轉(zhuǎn)化與守恒定律。四、圖像法把數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像應(yīng)用于物理題目的解答過程，首先必須要解決的問題是深刻領(lǐng)會圖像的物理意義，這是用圖像來解答物理題目的基礎(chǔ)，把物理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像來處理是在理解了圖像的物理含義的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在物理解題過程中，有的題目關(guān)鍵是臨界點(diǎn)的正確尋找，尋找臨界點(diǎn)方法是多種多樣的，有時(shí)利用圖像既方便又快捷，因?yàn)閳D像比較直觀，一目了然。函數(shù)圖像的曲線與坐標(biāo)軸間所圍的面積常常有它的物理含義，如t圖像的曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積表示位移。有時(shí)靈活變換圖像中兩個變量中的一個，可以加深對知識的理解。

13、因圖像中變量發(fā)生轉(zhuǎn)換，所以圖像的曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積、斜率等的物理意義都發(fā)生了變化。例四、如圖（a）所示，平行板電容器兩金屬板和相距為d，緊靠它們的右端安放著垂直于金屬板的靶?，F(xiàn)在、板上加上如圖（b）所示的方波形的電壓AB，電壓的正向值為0，反向值為，且每隔換向一次，現(xiàn)有質(zhì)量為m的帶正電且電量為q的連續(xù)粒子束從左邊緣的中點(diǎn)以平行金屬板的方向/射入。設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在間的飛行時(shí)間均為，不計(jì)帶電粒子的重力，則：（） 在距靶的中心點(diǎn)/多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)有粒子擊中？（） 要使粒子能全部打在靶上，電壓的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？寫出0、m、d、q、的關(guān)系式即可。（） 由已知條件知，必有帶電粒子擊中

14、/點(diǎn)，電場力對每個擊中/點(diǎn)的帶電粒子做的總功是多少？ 解析：這是一個帶電粒子在方波形交變電場中運(yùn)動的綜合問題。粒子束進(jìn)入、兩極板后，在周期性電場力作用下作兩個方向上的分運(yùn)動，即平行極板方向的勻速直線運(yùn)動和垂直于極板方向的勻變速運(yùn)動；現(xiàn)對垂直于極板方向的各種運(yùn)動情況作一分析：因?yàn)閹щ娏Ｗ铀艿降碾妶隽Γ且粋€常數(shù)，所以將t圖像轉(zhuǎn)化為t圖像，形狀應(yīng)該是相同的（如右圖所示）。對于t這個圖像曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積的物理意義是帶電粒子所受電場力的沖量。假如帶電粒子在時(shí)進(jìn)入方波形交變電場，由于圖示陰影部分的面積相等，從到這段時(shí)間內(nèi)電場力的總沖量為零，所以時(shí)刻速度為零。帶電粒子在電場中運(yùn)動的總時(shí)間為，在剩

15、下的時(shí)間內(nèi)電場力的沖量與到電場力的沖量相等，方向相同。所以帶電粒子在到的時(shí)間內(nèi)作勻加速運(yùn)動，在到的時(shí)間內(nèi)作勻減速運(yùn)動（時(shí)刻速度為零），在到的時(shí)間內(nèi)又作勻加速運(yùn)動，故在整個時(shí)間內(nèi)帶電粒子的運(yùn)動方向一直向下運(yùn)動。若進(jìn)入交變電場的時(shí)刻在以前，那么從進(jìn)入到的時(shí)間內(nèi)電場力的沖量大于從到的時(shí)間內(nèi)電場力的沖量，這樣時(shí)刻速度不為零，方向向下，所以粒子在垂直于極板方向上也一直向下運(yùn)動。由以上分析可知在時(shí)刻進(jìn)入、間的粒子在垂直于極板方向上一直向下運(yùn)動。由以上分析可知，粒子在上擊中點(diǎn)在下方最大位移處可能在t時(shí)刻進(jìn)入的粒子取得，粒子先以作勻加速運(yùn)動，后以作勻減速運(yùn)動，再以作勻加速運(yùn)動。根據(jù)分析畫出粒子在的t圖像（如上

16、圖所示）。從此時(shí)刻進(jìn)入電場時(shí)，擊中點(diǎn)在下方的距離為： ?？梢姡?dāng)，即帶電粒子在時(shí)刻入射時(shí)，有距點(diǎn)下方最大距離擊中點(diǎn)，最大距離為。同理分析可得，在時(shí)刻進(jìn)入的粒子有距點(diǎn)向上的最大位移，即。綜上所述，在距靶的中心點(diǎn)上方以內(nèi)、下方以內(nèi)有粒子擊中。 要使粒子能全部打到靶上，必須使最大偏移，即，解得：。在解決本題第三小題時(shí)有的同學(xué)可能會將大小和方向都不變的電場中帶電粒子運(yùn)動的情況應(yīng)用于此。如果電場的大小和方向都不變，帶電粒子在電場方向上又沒有位移，電場力做功為零。而本題中，電場的大小和方向都隨時(shí)間而變，上述結(jié)論不適用。由式可求得時(shí)進(jìn)入電場，即粒子打在點(diǎn)。帶電粒子從時(shí)刻進(jìn)入電場，先以作勻加速運(yùn)動，再以作勻減

17、速運(yùn)動，速度為零，反向以作勻加速運(yùn)動，接著以作勻減速運(yùn)動，速度為零，由于總時(shí)間為，所以再反向以作勻加速運(yùn)動，最終打在點(diǎn)。由以上分析可知粒子打在點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為：。綜上所述，電場力對每個擊中點(diǎn)的帶電粒子做的總功為。本題在求解過程中利用了t圖像以及將t圖像轉(zhuǎn)換為t圖像，圖像法比較直觀，一目了然，這樣對求解本題既方便又快捷。利用圖像解題時(shí)特別注意：圖像的曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積等的物理含義。解決帶電粒子在電場中的運(yùn)動問題，基本上是運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、靜力學(xué)知識的綜合題。處理問題的要點(diǎn)是要區(qū)分不同的物理過程，弄清在不同物理過程中物體的受力情況及運(yùn)動性質(zhì)，并選用相應(yīng)的物理規(guī)律。 蒄薃襖羀芇葿袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薁蝕袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀羈羀薇蚆羇肅莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇芁螃羄腿蒆蠆羃節(jié)艿薅羂羈蒅蒁肁肄羋蝿肀膆蒃蚅聿羋芆薁肈肈蒁薇肈膀莄袆?wù)毓?jié)薀螂肆蒞莂蚈肅肄薈薄蟻膇莁蒀螁艿薆蝿螀罿荿蚅蝿膁薅蟻螈芃蕆薇螇莆芀裊螆肅蒆螁螅膈羋蚇螅芀蒄薃襖羀芇葿袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薁蝕