數(shù)學(xué)建模競賽講座清華大學(xué)姜啟源PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)建模競賽講座清華大學(xué)姜啟源數(shù)學(xué)建模競賽講座清華大學(xué)姜啟源 通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量，采用流量計和油位計來測量進(jìn)進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表罐容表（即罐（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時計算，以得到罐內(nèi)油位內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。高度和儲油量的變化情況。 許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等

2、原因，使罐許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從（以下稱為變位），從而而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新新標(biāo)定標(biāo)定。圖。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。題題 目目第1頁

3、/共28頁油油 浮子出 油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖圖1 儲油罐正面示意圖儲油罐正面示意圖油位探針油位探針 地平線圖圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油 浮子出 油管油位探測裝置注油口檢查口水平線第2頁/共28頁 請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。容表標(biāo)定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小的小橢圓型儲油罐橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位（兩端平頭的橢圓柱體），分

4、別對罐體無變位和傾斜角為和傾斜角為 =4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件如附件1所示。請所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。的罐容表標(biāo)定值。（2）對于圖）對于圖1所示的所示的實(shí)際儲油罐實(shí)際儲油罐，試，試建立罐體變位后標(biāo)定罐建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ）之間的一般

5、關(guān)系。請）之間的一般關(guān)系。請利用罐利用罐體變位后在進(jìn)體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件（附件2），根據(jù)），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油，并給出罐體變位后油位高度間隔為位高度間隔為10cm的的罐容表標(biāo)定值罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件。進(jìn)一步利用附件2中的中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈儗?shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性模型的正確性與方法的可靠性。第3頁/共28頁圖圖3 儲油罐截面示意圖儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探

6、測裝置3m(b) 小橢圓油罐截面示意圖 油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0 . 4m1.2m1.2m1.78m(a) 小橢圓油罐正面示意圖圖圖4 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖第4頁/共28頁流水號C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時間說明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐體無變位進(jìn)油，罐內(nèi)油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。流

7、水號C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時間說明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐體縱向傾斜變位進(jìn)油，縱向傾斜角4.10,罐內(nèi)油量初值215L；(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值，個別的有小數(shù)零頭；(3)D列是原罐內(nèi)油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。附件附件1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第5頁/共28頁流水號C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集

8、時間備注說明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 開始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列進(jìn)油量,通常進(jìn)油是一次性連續(xù)完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油機(jī)不同時段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列顯示油高是進(jìn)/出油vi后對應(yīng)的罐內(nèi)油位顯示高度hi；205070.0570.05

9、2606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列顯示油量容積是進(jìn)/出油vi后,罐內(nèi)油位5020顯示高度為hi時的罐容表顯示儲油量i。 50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性補(bǔ)充進(jìn)油附件附件2 檢測數(shù)據(jù)檢測數(shù)據(jù)第6頁/共28頁來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個實(shí)際課題來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個實(shí)際課題. （2）根據(jù)實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，正確識別罐體是如何變位）根據(jù)實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，正確識別罐體是如何變位的，具體變

10、了多少？同時要給出罐容表的修正標(biāo)定方的，具體變了多少？同時要給出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于法和結(jié)果，屬于“反問題反問題”。題目背景題目背景問題分析問題分析問題由兩部分組成：問題由兩部分組成：（1）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對罐容表的影響，在已）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度和油量的對應(yīng)知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度和油量的對應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于容表，屬于“正問題正問題”。第7頁/共28頁020040060080010001200050010001500200025

11、00300035004000hvalpha=0alpha=4.1問題（問題（1）的通常做法）的通常做法 根據(jù)附件根據(jù)附件1 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出罐體不變位（的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出罐體不變位（=0）和）和罐體變位（罐體變位（=4.10）時油位高度）時油位高度h和儲油量和儲油量V的曲線的曲線.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表表明，在同樣明，在同樣的油位高度的油位高度h下，下，罐體罐體變位時儲油變位時儲油量量V減少減少.第8頁/共28頁zx0z=HabS(H)12222bzaxz=H下的面積下的面積 bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度油位高度h時時坐標(biāo)坐標(biāo)y處處z=H LybhLybhH0,20,ta

12、n)(1LybhhyS0,20),(油位高度油位高度h時坐標(biāo)時坐標(biāo)y處的截面面積處的截面面積 罐體變位罐體變位時油位高度時油位高度h和儲油量和儲油量(體積體積)V的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型化重積分為定積分化重積分為定積分zyxhyH0L1L油位計油位計L2V(h,)z=H第9頁/共28頁tan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/ )2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy),(, 0)0(10LdyhySV,),()2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0

13、,20),(高度高度h與儲油量與儲油量V的模的模型型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位計第10頁/共28頁02040608010012000.511.522.533.544.5hvalpha=0alpha=4.1高度高度h與儲油量與儲油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部部分分)按照模型討論變位對

14、罐容表的影響按照模型討論變位對罐容表的影響與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表示的影響一致示的影響一致.變位后儲油量變位后儲油量平均約小平均約小200L.第11頁/共28頁00.20.40.60.811.21.4012345hv模 型實(shí) 驗(yàn)0.40.50.60.70.80.911.10.511.522.533.54hv模 型實(shí) 驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較 =4.10 =0模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位高度高度h下，下，儲油量儲油量v的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小.可以有各種解釋可以有各種解釋.是否要修正、怎樣修

15、正模型？是否要修正、怎樣修正模型？第12頁/共28頁問題（問題（2）的通常做法）的通常做法1. 罐體變位罐體變位,時油位高度時油位高度h和儲油量和儲油量V的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型hD1D2D3整體整體考慮考慮hVxy0z 寫出左右球面、圓柱面及油位高度寫出左右球面、圓柱面及油位高度h的油平面方程的油平面方程. 將罐體分為將罐體分為3個區(qū)域：個區(qū)域：D1,D2,D3 在在3個區(qū)域中分別寫出體積的重積分，個區(qū)域中分別寫出體積的重積分，并化為（對并化為（對z的）定積分的）定積分.第13頁/共28頁rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1 (cos將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱

16、體按照問題（將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱體按照問題（1）考慮）考慮z=H下的面積下的面積 rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rhhz=H截面面積截面面積S (y,h,) 圓柱體體積圓柱體體積V1 (h,) 0 xzyD1D2D3h第14頁/共28頁將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨(dú)考慮將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨(dú)考慮 精確計算球缺部分體積精確計算球缺部分體積V2 將傾斜角將傾斜角的油平面的油平面近近似為水平面（似為水平面（=0）計）計算球缺部分體積算球缺部分體積V2.直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合成圓柱，一起計算成

17、圓柱，一起計算.用各種方法得到罐體體積用各種方法得到罐體體積V (h,) ,一般是積分表達(dá)一般是積分表達(dá)式式, 給定給定, 可以數(shù)值計算可以數(shù)值計算油位高度油位高度h時的儲油量時的儲油量V.第15頁/共28頁問題（問題（2）的通常做法）的通常做法2. 根據(jù)儲油量的數(shù)學(xué)模型根據(jù)儲油量的數(shù)學(xué)模型V (h,)和實(shí)測數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)（附件（附件2）辨識罐體變位參數(shù)）辨識罐體變位參數(shù),流水號C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時間備注說明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 開始采集（i =0=0）2020149.09

18、149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！應(yīng)該用數(shù)據(jù)應(yīng)該用數(shù)據(jù)ui , hi與模型與模型V (h,) 辨識參數(shù)辨識參數(shù),確定確定,應(yīng)應(yīng)使使儲油量的改變儲油量的改變Vi 與與出油量出油量ui 相吻合！相吻合！),(),(),(1iiihVhVV第16頁/共28頁辨識準(zhǔn)則辨識準(zhǔn)則niiiuVQ12),(),(),(),(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,),(),(確定確定,使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照, 的可能范圍劃分區(qū)間，逐步搜索的可能

19、范圍劃分區(qū)間，逐步搜索. 直接利用直接利用MATLAB的非線性曲線擬合程序的非線性曲線擬合程序 lsqcurvefit辨識方法辨識方法辨識結(jié)果辨識結(jié)果ui , hi取進(jìn)油前的取進(jìn)油前的300組數(shù)組數(shù)據(jù)據(jù))(3 . 4),1 . 0(1 . 2000第17頁/共28頁h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.276176

20、8.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表的修正罐容表(部部分分)00.511.522.5301234567x 104油 位 高 度 值 h儲油量值顯 示 的 儲 油 量 曲 線實(shí) 際 的 儲 油 量 曲 線罐體變位后罐體變位后顯示顯示儲油量儲油量與與實(shí)際儲實(shí)際儲油量油量的比較的比較第18頁/共28頁模型及結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图敖Y(jié)果檢驗(yàn) 取進(jìn)油后的取進(jìn)油后的300組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識結(jié)果組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識結(jié)果, , 的靈敏性檢驗(yàn)的靈敏性檢驗(yàn)020406的靈敏度的靈敏度00 . 201 . 202 . 2的靈敏度的靈敏度縱向傾斜角縱向傾斜角比比橫向偏轉(zhuǎn)角橫向偏轉(zhuǎn)角 對罐容量的影響顯著得多！

21、對罐容量的影響顯著得多！ 第19頁/共28頁一種建立模型一種建立模型V (h,) 的新方法的新方法xy0zhhYZX0繞繞x軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動繞繞z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動cossin0sincos0001,11TzyxTZYX1000cossin0sincos,22TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1= T1T2 ?第20頁/共28頁hYZX0VVcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zhLdh-r油浮子坐標(biāo)油浮子坐標(biāo) (0, h-r, L/2-d)過油浮子的油平

22、面方程過油浮子的油平面方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY 坐標(biāo)坐標(biāo)變換變換第21頁/共28頁xy0zhrsRV222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsdLrhzyxD油位高度油位高度h的的儲油區(qū)域?yàn)閮τ蛥^(qū)域?yàn)镈DzyxDzyxhzyxI),( , 0),( , 1),(EdxdydzhzyxIhV),(),(RszRsryrrxrE,:油位高度油位高度h時的儲油量時的儲油量V定義示性函數(shù)定義示性函數(shù)第22頁/共28頁利用利用MATLAB的三重積分程序計算儲油量的三重積分程序計算儲油量

23、triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被積函數(shù)被積函數(shù) function 在長方體中的三重積在長方體中的三重積分分:用于用于function 是示性函數(shù)是示性函數(shù) I(x,y,z)的情況的情況: 計算時間

24、較長；計算精度受積分域大小的影響計算時間較長；計算精度受積分域大小的影響. 在上述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下罐體縱向傾斜角在上述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下罐體縱向傾斜角為負(fù)為負(fù)(正負(fù)無關(guān)正負(fù)無關(guān)).第23頁/共28頁 1）罐體變位后儲油量的計算（重積分）：）罐體變位后儲油量的計算（重積分）： 兩端有油和一端有油區(qū)域的劃分；兩端有油和一端有油區(qū)域的劃分； 積分限的確定；積分限的確定； 積分順序的選擇。積分順序的選擇。對學(xué)生論文缺陷的評述對學(xué)生論文缺陷的評述2）用所謂）用所謂“等效高度等效高度”：得出不變位時高度與體積：得出不變位時高度與體積的關(guān)系的關(guān)系V(h)；變位后根據(jù)；變位后根據(jù)(主主)截面面積不變得到等效截面面積不變得到等效高度與原高度的關(guān)系高度與原高度的關(guān)系h =f(h)；將它代入原式；將它代入原式V(h) 得得到變位后高度與體積