第六章 點的合成運動 - 副本

1、第六章 點的合成運動 本章重點：本章重點：1 1、動點、動系的選擇、動點、動系的選擇; ;運動分析；運動分析；2 2、點的速度合成定理、點的速度合成定理3 3、牽連運動為平動時點的加速度合成定理、牽連運動為平動時點的加速度合成定理第一節(jié) 相對運動、絕對運動和牽連運動第二節(jié) 點的速度合成定理第三節(jié) 牽連運動為平動時點的加速度合成定理第四節(jié) 牽連運動為轉動時點的加速度合成定理 第一節(jié)第一節(jié) 相對運動、絕對運動和牽連運動相對運動、絕對運動和牽連運動一、引例一、引例 1、在不同的參考體中研究同一個物體的運動，看到的運動情況不同。2、同一個物體相對于不同的參考體的運動量之間，存在著確定的關系。動畫演示動

2、畫演示動畫演示二、運動的合成與分解二、運動的合成與分解1. M：旋輪線=車：平動+M車：圓；2. M：螺旋線=圓盤：轉動+M盤：直線；3. M：平面曲線 = 車：平動 + M車：直線可用合成運動的方法解決的問題，大致分為三類。將一種運動看作為兩種運動的合成，這就是合成運動合成運動的方法。 （1）把復雜的運動分解成兩種簡單的運動，求得簡單運動的運動量后，再加以合成。（2）討論機構運動中有關聯(lián)點的運動構件運動量之間的關系。 （3）研究無直接聯(lián)系的兩運動物體運動量之間的關系。 動畫演示動畫演示動畫演示三、規(guī)定三、規(guī)定動點動點：所考察的點。靜坐標系靜坐標系Oxyz：固連于地球上的坐標系。 動坐標系動坐

3、標系Oxyz ：建立在相對于靜系運動的物體上的坐標系。 靜系一般可不畫出來，動系也可不畫，但一定要指明在哪個物體上建立動系。 動點、動系的選擇原則是： （1）動點相對于動系有相對運動。（2）動點的相對軌跡應簡單、直觀。 絕對運動：絕對運動：動點相對于靜系的運動。在靜系中看到的動點的軌跡為絕對軌跡絕對軌跡。 相對運動相對運動：動點相對于動系的運動。在動系中看到的動點的軌 跡為相對軌跡相對軌跡。 牽連運動：牽連運動：動系相對于靜系的運動。牽連運動牽連運動可以是平動、定軸轉動或復雜運動。四、絕對運動和相對運動四、絕對運動和相對運動/取動、靜兩個坐標系， avaa 動點相對于靜系Oxyz的運動，用絕對

4、矢徑r、絕對速度絕對速度、絕對加速度絕對加速度來表示。 rvarv aaa動點相對于動系zyxO的運動，用相對矢徑 、相對速度相對速度rrvra相對加速度相對加速度 來表示。、 kjiakjivkjirzyxzyxzyx rr 五五、牽連點、牽連運動牽連點、牽連運動牽連點：牽連點：某一瞬時動系上和動點相重合的一點。2e1e1e11e2e2e2牽連速度牽連速度ve：牽連點的速度。牽連加速度牽連加速度ae：牽連點的加速度。第二節(jié)第二節(jié) 點的速度合成定理點的速度合成定理e1r2a/MMMMMM11以t除等式的兩邊，tttMMMMMM10t10t0tlimlimlimreavvv由此可得點的速度合成定

5、理：2MM1MM作矢量、絕對位移、相對位移、MM分別表示動點的和牽連點的位移。并令t0，取極限，得解題方法：解題方法：1、幾何法* 解速度三角形 ；2、解析法 取軸投影。解題步驟：解題步驟：1、取動點、動系；2、運動分析；3、作速度合成圖；4、列出矢量式；5、求解未知數(shù)。12y例例6-1 機器安裝在彈性基礎上，按規(guī)律 ty0cos振動，式中 0、均為常量。機器中的飛輪D半徑為r，以勻角速度 轉動。當 時 ，輪緣上1、2兩點在圖示位置。求這兩點在該瞬時相對于地面的速度。)2(0t解解 1. 取1、2兩點為動點，機器為動系。2. 動點的絕對軌跡為平面曲線，相對軌跡為圓，牽連運動為平動。rv1r方向

6、向上； rv2r動系上各點的速度相同,ty00sin)2(0t0y 02e1e vv牽連速度方向向左。，vr1ve1沿鉛直方向ve2vr2動畫演示12yvr1ve1ve2vr23. 作出動點1、2的速度平行四邊形， 1r1e1avvv01e1r1arvvvv a2 = v e2 + v r222o22r22e2arvvvrvv02r2earctanarctanva1va24.ODABuvavevr解解 1、取A為動點，桿OD為動系。2、A點的絕對軌跡為鉛垂直線；點的絕對軌跡為鉛垂直線； A點的相對軌跡為沿點的相對軌跡為沿OD的直線；的直線； 動系動系OD的牽連運動為繞軸的牽連運動為繞軸O的定軸

7、轉動。的定軸轉動。3、作動點的速度平行四邊、作動點的速度平行四邊形形reavvv4、 2245cosae vvluluOAve2222lbubvD2vD，方向如圖所示。va= 例6-2 圖示的擺桿機構中的滑桿AB以勻速u向上運動，鉸鏈O與動畫演示40o滑槽間的距離為l，開始時 ，試求 時擺桿OD上D點的速度的大小。AB 例例6-3 三角形物塊以勻 v=1 cm/s 沿水平方向向右運動，活塞桿長l，沿鉛直方向運動。開始時，活塞桿A端在最低點。試求活塞B端的速度。解解 1、取A為動點，三角塊為動系。2、A點的絕對軌跡為鉛垂直線； A點的相對軌跡為沿三角塊斜邊的直線； 動系的牽連運動為直線平動。3、

8、作動點的速度平行四邊形reavvv4、 vevrva30taneavvBvvvv577. 030tanea動畫演示例例6-4 已知定滑輪半徑為R，以等角速度繞軸O順時針方向轉動，重物M鉛垂下落，試求圖示瞬時M相對于滑輪的相對速度。 rea3解解 1、取M為動點，滑輪為動系。2、動點的絕對軌跡為鉛垂直線，相對軌跡為平面曲線，牽連運動為繞軸O的定軸轉動。 3、作動點的速度平行四邊形reavvv由余弦定理 cos2ae2a2ervvvvvROMvRv2ea605 . 03cos22RRR求得： Rv3r由正弦定理 sinsinervv9012332sinsinrevv由計算結果可知，圖示瞬時v r沿

9、水平線方向。動畫演示第三節(jié)第三節(jié) 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理/ear/設動點相對于動系沿相對軌跡C運動，動系 zyxO相對于靜系Oxyz作平動， 由速 度合成定理 reavvv兩端對時間求一階導數(shù)，得 reavvveeaavvOOtztytxzyxddddddrkjikjiv reaaaa 由于三種加速度都可能有切向和法向兩個分量，故用加速度合成定理解題時，常采用取軸投影的方法求未知量。投影時需注意：合矢量的投影等于各分矢量投影的代數(shù)和。/ear/rakji zyx vaAB 例例6-5 已知凸輪半徑為R，以速度v，加速度a沿水平軌道運動，求圖示瞬時桿

10、AB加速度。 解解：取A為動點，凸輪為動系reavvvvavevrve= v ，vr= ve/sin nrraaaaea ae= a ， arn =vr2/R 將矢量式向y軸投影-aasin= -aecos-arn aa= aAB =acot+v2/Rsin2 vaABaeartarnaay動畫演示作速度圖 60ABvAaA例例6-6小車以速度vA =0.2 m/s、加速度aA =0.2 m/s2向右移動，桿AB長0.7m，在A處與小車鉸接，并在鉛垂平面內擺動，該瞬時角速度，角加速度 rad/s12rad/s 2。試求此時點B的速度、加速度的大小。 解解 取B為動點，小車A為動系。 作速度圖。

11、 reavvvvrve動畫演示vam/s879. 0cos302re2r2eavvvvvm/s7 . 017 . 0rABvve= vA =0.2 m/sAB作加速度圖， nyxrreaaaaaaaaeaayaaxarnart取投影軸x、y如圖 2rra2rream/s 1.3130cos30sinm/s 1.0630sin30cosnynxaaaaaaa22r2rm/s7 . 0m/s4 . 1ABaABan2222a2aam/s69. 131. 106. 1yxaaaae= aA =0.2 m/s2，xyO1O2CD30例例6-7 圖示的機構，已知O1A=O2B=r，且O1AO2B，桿O1

12、A以角速度、角加速度 繞O1軸轉動，通過滑塊C帶動桿CD運動。求圖示位置桿CD速度、 加速度。 解解 取C為動點，桿AB為動系。vAvrveva動畫演示reavvvsin30 eavvrvvrvCD21 ae作速度圖。reeaaaaan作加速度圖。向 y 軸投影， sin30 cos30 aeneaaararaene 2)3(22123 22arrraO1O2CD30araetaenaayOrM第四節(jié)第四節(jié) 牽連運動為轉動時點的加速度合成定理牽連運動為轉動時點的加速度合成定理一、引例、引例一圓盤以勻角速度小球在圓盤上半徑為 r 于圓盤運動，試求小球的加速度。繞軸O作定軸轉動，的圓槽內以勻速vr

13、 相對取小球為動點，圓盤為動系。動點的相對軌跡為圓，牽連運動為定軸轉動。任一瞬時，牽連速度 v e與相對速度v r 共線，小球的絕對速度的大小為一常數(shù)： rreavrvvvvrvevaaa動畫演示度的大小為 ：rre2rr22r2aa22)(avarvvrrvrrva項是動系作轉動時，牽連運動和相對運動互相影響所產(chǎn)生r2 v項，稱為科氏加速度。OrMaraeaC小球的絕對運動是勻速圓周運動，絕對rreavrvvv軌跡是半徑為 r 的圓。因此，小球絕對加速二、動系作定軸轉動時點的加速度合成定理二、動系作定軸轉動時點的加速度合成定理 1.動系轉動時動系單位矢量對時間的導數(shù)動系轉動時動系單位矢量對時

14、間的導數(shù)zyxOee設動坐標系以角速度繞定軸z轉動，角速度矢為 ，/e/OkOrAr從固定點O作到點和到端點A的矢徑和，由圖可見OArrkOAOAvvrrk 因為 OOAArvrvee)(eeeOAOAOArrrrvvkkkeij、的導數(shù)與上式相似，合寫為kkjjiieeeddddddttt該式稱為泊桑公式泊桑公式。 /e/2、動系作定軸轉動時點的加速度合成定理、動系作定軸轉動時點的加速度合成定理設動點相對于動系 zyxO運動，相對軌跡為曲線C，動系 zyxO以角速度 e繞定軸轉動，角速度矢為 ee，角加速度矢為 。ee/r/加速度可分別表為rveeeeeevra由速度合成定理 reavvv對

15、時間求一階導數(shù)，得 reavvv取定軸和靜系的z軸重合，牽連點的速度、reavvvrrveeereeeereee)(vvrvvrtztytxzyxddddddrkjikjiv tztytxddddddrkjiarerer)(vakjia zyx絕對加速度 rerea2vaaareC2va，令Creaaaaaee/r/3、科氏加速度 reC2vaeCrrCeCerCa的大小為 sin2reCva 方向垂直于 和 組成的平面，由右手法則確定。當vr和erve垂直時，用代數(shù)量表示e, vr在e所在的平面上，將vr按照e的轉向轉90，即為aC的方向。zyxzyxvvvrrreeeC2kjia 將求 矢

16、積的運算式寫成行列式的形式，即 Ca0Ca情況：(1) 時。此時動系作平動。0e(2) 時。即某瞬時的相對速度為零。0rv(3) 時，此時 。 erv0sinreC2va 例例6-8 曲桿OAB繞軸O轉動，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OC滑動， 如圖所示。已知曲桿的角速度 ，且OA和AB100mmrad/s 0.5OA，垂直。求 60時小環(huán)M的速度和加速度。動畫演示解解 (1) 取小環(huán)M為動點， 曲桿OAB為動系。(2)求速度reavvvmm/s100cos60eOAOMvmm/s2 .17360tan10060tanea vvmm/s20030sinervvOCMBevavrv(3)求加速度

17、Creaaaaa2rC22emm/s2002mm/s50vaOMa取 軸垂直于 ，將加速度矢量式向 軸投影，得 ra2CeaCeamm/s35060cos60cos60cosaaaaaaOCMBeaaaraca 例例6-9 求例2中D點的加速度。 Creeaaaaaan ，將加速度合成定理向垂直于 0aaraCe0aa 解解 取A為動點，桿OD為動系，2245cosaervvvluOAve2的 軸投影，得OABDneaearaCa45作加速度圖2rC22 22222ululuva22CCe2luOAaOAaa 負號說明桿OA的角加速度的方向與圖設方向相反，即為順時針。2222242lbubalbubanDD22222245144)()(lbulbuaaanDDDD點的加速度Ce0aa OA