電子自旋華南師范大學物理與電信工程學院

1、第九章第九章 電子自旋電子自旋（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 實驗實驗 ( (二）光譜線精細結(jié)構(gòu)二）光譜線精細結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設（三）電子自旋假設 （四）回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率1 1 電子的自旋電子的自旋（1 1）實驗描述）實驗描述Z處于處于 S S 態(tài)的態(tài)的氫原子氫原子（2 2）結(jié)論）結(jié)論I I。氫原子有磁矩。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)IIII。氫原子磁矩只有兩種取向。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的即空間量子化的S S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分

2、立線。發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 實驗實驗（3 3）討論）討論中中的的勢勢能能為為：向向外外場場則則原原子子在在，外外磁磁場場為為設設原原子子磁磁矩矩為為BZBM coszMBBMU 原子原子 Z Z 向受力向受力 coszBMzUFzz 分析分析若原子磁矩可任意取向，若原子磁矩可任意取向， 則則 coscos 可在可在 （-1-1，+1+1）之間連續(xù)變化，）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應 coscos = -1 = -1 和

3、和 +1 +1 ，處于，處于 S S 態(tài)的氫原子態(tài)的氫原子 =0=0，沒有軌道，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890鈉原子光譜中的鈉原子光譜中的一條亮黃線一條亮黃線 5893 5893，用高分辨率的光譜儀觀用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其測，可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條實是由靠的很近的兩條譜線組成。譜線組成。其他原子光譜中其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細的一些線組成的現(xiàn)象，細的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線

4、的精細結(jié)構(gòu)。稱之為光譜線的精細結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋自旋才能得到解釋（二）光譜線精細結(jié)構(gòu)（二）光譜線精細結(jié)構(gòu)UhlenbeckUhlenbeck 和和 GoudsmitGoudsmit 1925 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設電子自旋假設（1 1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：的投影只能取兩個數(shù)值：2 zSS（2 2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為：）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為：SceMS 自旋磁矩，在空

5、間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：)(2CGSMceMBzS Bohr Bohr 磁子磁子（三）電子自旋假設（三）電子自旋假設（1 1）電子回轉(zhuǎn)磁比率）電子回轉(zhuǎn)磁比率LceML 2 我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：ceSMzzS （2 2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：ce 2 可見可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍回轉(zhuǎn)磁比率的二倍（四）回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率2 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù)自旋角動

6、量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學來解釋。 自旋角動量也是一個力學量，但是它和其他力學量有著根本的差別通常的力學量都可以表通常的力學量都可以表示為坐標和動量的函數(shù)示為坐標和動量的函數(shù)),(prFF 而自旋角動量則與電子的坐標和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)而自旋角動量則與電子的坐標和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。與其他力學量一樣，自旋角動量與其他力學量一樣，自旋角動量 也是用一個算符描寫，記為也是用一個算符描寫，記為S自旋角動量自旋角動量 軌道角動量軌道角動量 異同點異同點與坐標、動量無關(guān)與坐標、動

7、量無關(guān)pr 不適用不適用同是角動量同是角動量滿足同樣的角動量對易關(guān)系滿足同樣的角動量對易關(guān)系（一）自旋算符（一）自旋算符yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL, 自自旋旋角角動動量量軌軌道道角角動動量量由于由于自旋角動量自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取在空間任意方向上的投影只能取 /2 /2 兩個值兩個值所以所以zyxSSS的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方為，其平方為 /2/22 22S算符的本征值是算符的本征值是2432222zyxSSSS仿照仿照22) 1( llL2124322) 1(sssS自旋量子數(shù)自旋

8、量子數(shù) s s 只有一個數(shù)值只有一個數(shù)值（2 2）PauliPauli 算符算符1. Pauli 算符的引進算符的引進 2 S令令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式 2iSiSS 對對易易關(guān)關(guān)系系：因為因為S Sx x, S, Sy y, S, Sz z的本征值都是的本征值都是 /2/2， 所以所以x x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 。1222zyx yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：2. 2. 反對易關(guān)系反對易關(guān)系基于基于的對易關(guān)系，可以證明的對易關(guān)系，可以證明 各分

9、量之間滿足反對易關(guān)系各分量之間滿足反對易關(guān)系: : 000zxxzyzzyxyyx 證：證：我們從對易關(guān)系我們從對易關(guān)系:xyzzyi2出發(fā)出發(fā)左乘左乘y yxyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 xyyzyzi 2 右乘右乘y yyxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加0 xyyx 同理可證同理可證:x, y 分量的反對易分量的反對易關(guān)系亦成立關(guān)系亦成立. 證畢證畢 xyyx 或或由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于可以得到關(guān)于 PauliPauli 算符算符的如下非常有用性質(zhì)：的如下非常有用性質(zhì)： yzxxzxyzzyzxyyxiii y

10、2=13. Pauli3. Pauli算符的矩陣形式算符的矩陣形式根據(jù)定義根據(jù)定義 1001100122zzzS 求求 Pauli 算符的算符的 其他兩個分量其他兩個分量令令 dcbax 利用反對易利用反對易關(guān)系關(guān)系zxxz 10011001dcbadcba得得： dcbadcba 00daX 簡化為：簡化為： 00cbx 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：令：c = expi c = expi (為實），則為實），則 00 iixee 000000*cbbccbxx 得：得：b = c*(或或c = b*) 00*ccx x2 = I求求y 的矩陣形式的矩陣形式出出發(fā)發(fā)

11、由由xzyxzyii 001001 iiyeei得得： 00)()( iiee這里有一個相位不定性，習慣上取這里有一個相位不定性，習慣上取= 0= 0， 于是得到于是得到 PauliPauli 算符的矩陣形式為：算符的矩陣形式為： 1001000110zyxii 從自旋算符與從自旋算符與 PauliPauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示： 1001200201102zyxSiiSS寫成矩陣形式寫成矩陣形式因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用 (x, y, z) (x, y, z)

12、 三個坐三個坐標變量外，還需要一個自旋變量標變量外，還需要一個自旋變量 (S(SZ Z），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2 /2 兩個值，兩個值， 所以上式可寫為兩個分量：所以上式可寫為兩個分量： ),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr 寫成列矩陣寫成列矩陣 ),(),(21trtr 規(guī)定列矩陣規(guī)定列矩陣 第一行對應于第一行對應于S Sz z = = /2/2， 第二行對應于第二行對應于S Sz z = - = - /2/2。若已知電子處于若已知電子處于S Sz z = = /2/2

13、或或S Sz z = - = - /2/2的的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為： ),(00),(212121trtr （二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（1 1）歸一化）歸一化電 子 波 函電 子 波 函數(shù)表示成數(shù)表示成 ),(),(21trtr 矩陣形矩陣形式后，式后，波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標積分，即波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標積分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（2 2）幾率密度）幾率密度 ),(tr 2221| ),(),(21trtr 表示表示 t t 時刻在時刻在 r r 點附近

14、點附近 單位體積內(nèi)找到電子的幾率單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示表示 t t 時刻時刻 r r 點處點處 單位體積內(nèi)找到自旋單位體積內(nèi)找到自旋 S Sz z= = /2/2的電子的幾率的電子的幾率表示表示 t t 時刻時刻 r r 點處單位點處單位 體積內(nèi)找到體積內(nèi)找到 自旋自旋 S Sz z = = /2 /2 的電子的幾率的電子的幾率 dtr),(1 在全空間找在全空間找到到Sz = /2的的電子的幾率電子的幾率 dtr),(2 在全空間找到在全空間找到 Sz = /2 的電子的幾率的電子的幾率（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度波函數(shù)波函數(shù) 21 這是因為

15、，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對這是因為，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。軌道運動有影響。但是，當這種相互作用很小時，可以將其忽略，則但是，當這種相互作用很小時，可以將其忽略，則1 1 , ,2 2 對對 (x, y, z) (x, y, z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時可以寫成如下形式：可以寫成如下形式：波波函函數(shù)數(shù)。的的本本征征函函數(shù)數(shù)，稱稱為為自自旋旋是是其其中中zzzzSSStrtSr)()(),(),( 求：自旋波函數(shù)求：自旋波函數(shù)(S(Sz z) )S SZ Z 的本

16、征方程的本征方程)(2)(zzzSSS 令令的的自自旋旋波波函函數(shù)數(shù)，即即和和分分別別為為本本征征值值和和22)()(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS 一般情況下，一般情況下，1 1 2 2，二者對，二者對(x, y, z)(x, y, z)的依賴是不一樣的。的依賴是不一樣的。（五）自旋波函數(shù)（五）自旋波函數(shù))()()()(21212121zzzzzzSSSS21212/12/11001)()(ccccSSzzz1|1)(| )(0)(|212/12/112/1cSScSzzz01)(12/11zScsimilarly10)(2/1zSiForForyx1211121平均值的計算FFFF例: 平均值。的可能值，相應概率和中，求在態(tài)z112110)(;01)(2/12/1zzSS22/12|kkcpzz粒子在電磁場中的運動: Pauli方程qAqpmH221經(jīng)典力學：HtiqAqpmH212量子力學：無自旋粒子電子:HtiBmeLSdrdVrcmeAepmH212121222量子力學：不考慮自旋軌道耦合BHHHHss0),(),(),(tstrtsrzz可分離變量:sHtiHti0sssEEEEHEH000磁共振tStSSHyxzsincos1001102titieeH)()(tataHdtdi)(2)(2)(