統(tǒng)計(jì)力學(xué)習(xí)題

1、統(tǒng)計(jì)力學(xué)習(xí)題精選（國(guó)際單位制。參考積分表：; ,。參考常數(shù)為：, , 維恩定律的常數(shù)b=3(mmK)。）選選擇題 1在常溫下，由能量均分定理，一般固體的定容熱容量為 （ ）A, B, C, D, 不確定答案：C2下面不屬于經(jīng)典極限條件表述的是 （ ）A, 1 B, 分子間的平均距離遠(yuǎn)大于分子的熱平均波長(zhǎng)C, D, 能級(jí)間距遠(yuǎn)小于kT答案：D3下面敘述不正確的是 （ ）A，光子氣體和自由電子氣體熱容量的研究表明，對(duì)其微觀粒子的正確描述均是波粒二象性。B，在考察自由電子氣體對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)時(shí)，能量均分定理仍然適用。C，固體熱容量的愛因斯坦模型相較于經(jīng)典理論，其合理的部分在于引入了原子振動(dòng)的能量是量子

2、化的概念。 D，麥克斯韋速度分布律只對(duì)平衡狀態(tài)下的理想氣體成立。得分答案：B4. 下列那種情況下，實(shí)際氣體一般將越來越偏離理想氣體，其狀態(tài)方程也越來越偏離理想氣體的狀態(tài)方程 （ ）A, 氣體越來越稀薄 B，溫度愈來愈低C, 分子的質(zhì)量m愈大 D， 越來越小于1答案：B5. 由平衡熱輻射理論，目前發(fā)現(xiàn)的溫度為3K的宇宙背景輻射中光子的數(shù)密度接近為 （ ） A, B, C, D, 答案：C6. 按波長(zhǎng)分布太陽輻射能的極大值在處，假設(shè)太陽是黑體，太陽表面的溫度為 （ ）A, 3000K B, 6000KC, 9000K D, 以上都不對(duì)。答案：B7由熱力學(xué)第一定律可以判斷理想氣體一微小過程中dQ、d

3、E、dA（其中dA表示系統(tǒng)對(duì)外做功）的正負(fù),下面判斷中錯(cuò)誤的是 （ ）(A) 等容升壓、等溫膨脹 、等壓膨脹中dQ0；(B) 等容升壓、等壓膨脹中dE0；(C) 等壓膨脹時(shí)dQ、dE、dA同為正；(D) 絕熱膨脹時(shí)dE0.答案：D8. 描述系統(tǒng)狀態(tài)的宏觀量一般可以分為廣延量和強(qiáng)度量，并且存在一一對(duì)應(yīng)的共軛關(guān)系，下面給出的宏觀量組合中，相互共軛正確的是： （ ）A，內(nèi)能與溫度，粒子數(shù)與化學(xué)勢(shì)B，比容與壓強(qiáng)，長(zhǎng)度與張力C，熵與溫度，磁場(chǎng)強(qiáng)度與總磁矩D，體積與壓強(qiáng)，數(shù)密度與化學(xué)勢(shì)答案：C9下面關(guān)于熱力學(xué)第二定律的表述正確的是A孤立系統(tǒng)熵永遠(yuǎn)是增加的B不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體C不可能從單一熱源

4、取熱使之完全變?yōu)橛杏玫墓絕熱系統(tǒng)熵永不減少答案：D10當(dāng)系統(tǒng)溫度趨向于絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米子不能完全“沉積”在基態(tài)是由于 ( )A，泡利不相容原理 B，全同性原理C，粒子間沒有相互作用D，費(fèi)米氣體是簡(jiǎn)并氣體答案：A11熱力學(xué)極限指： ( )A， N有限，V有限， B， ，V有限，有限C， ， D， ，有限答案：D12孤立系統(tǒng)指 （ ）A，與外界無物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)B，與外界有能量交換但無物質(zhì)交換的系統(tǒng)C，能量守衡的系統(tǒng)D， 恒溫系統(tǒng)答案：A13摩爾數(shù)相同的兩種理想氣體，一種是氦氣，一種是氫氣，都從相同的初態(tài)開始經(jīng)等壓膨脹為原來體積的2倍，則兩種氣體 （ ）A， 對(duì)外做功相同，吸收的熱量不同.B

5、， 對(duì)外做功不同，吸收的熱量相同.C， 對(duì)外做功和吸收的熱量都不同.D， 對(duì)外做功和吸收的熱量都相同.答案：A14鹽水溶液稱為 （ ） A， 單元雙相系B，二元單相系C，二元雙相系D，一元單相系答案：B15在量子統(tǒng)計(jì)描述中，微觀粒子的量子態(tài)由一套量子數(shù)確定 （ ）A，量子數(shù)數(shù)目與宏觀系統(tǒng)的粒子個(gè)數(shù)相同B，量子數(shù)數(shù)目與相空間維數(shù)相同C，量子數(shù)數(shù)目正比于系統(tǒng)能量D，量子數(shù)數(shù)目取決于微觀粒子的空間自由度與內(nèi)秉自由度之和答案：D16孤立系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)包含的微觀狀態(tài)數(shù)（ ）A，最大B，最小C，視不同物質(zhì)系統(tǒng)而定D，與系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)的過程有關(guān)答案：A17一級(jí)相變和二級(jí)相變發(fā)生時(shí)（ ）A，都有相變潛熱B

6、，都沒有相變潛熱C，一級(jí)相變有潛熱，二級(jí)相變無潛熱D，一級(jí)相變無潛熱，二級(jí)相變有潛熱答案：CpVO圖1 18如圖1所示的是理想氣體的兩個(gè)不同溫度的等溫過程，則 （ ） A ，過程的溫度高，過程的吸熱多.B ，過程的溫度高，過程的吸熱多.C ，過程的溫度高，過程的吸熱多.D ，過程的溫度高，過程的吸熱多.答案：C19 統(tǒng)計(jì)物理解決問題時(shí)需要知道 （ ）A，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)B，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)C，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)和系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)D，宏觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)的可能微觀狀態(tài)的數(shù)目答案：D填空題 1 準(zhǔn)靜態(tài)過程的體積功為W = ， 電極化功W = ，磁化功為W = 。答案：；（P為總電矩）；（m為總磁矩）2對(duì)單元閉系dH

7、= ，dF= .答案：dH= Tds+Vdp ，dF=-SdT-PdV ，3焓作為S，P的函數(shù)，是特性函數(shù)，已知H、S、P，則= ，F(xiàn)= ，G= 。答案： 4已知E為電場(chǎng)強(qiáng)度，是總電矩，試寫出麥?zhǔn)详P(guān)系式:（）P= .答案： 5 如右下圖，當(dāng)一系統(tǒng)沿acb從a態(tài)到達(dá)b態(tài)時(shí)，吸熱80J，對(duì)外作功30J。則若系統(tǒng)沿adb從a態(tài)到b態(tài)，它對(duì)外作功為10J時(shí)，吸熱為 J。答案：60J6吉布斯函數(shù)G作為T、P的函數(shù)， 是特性函數(shù)。已知G、T、P，則 = ， F= ， H= 。答案： 7不可逆過程熱力學(xué)第二定律的積分表達(dá)式是 ，微分表達(dá)式是 ，答案： ， 8已知H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，m是總磁矩，試寫出麥?zhǔn)详P(guān)系式（）

8、T ，答案： 9溫度的物理意義是 。答案：10設(shè)液相為相，氣相為相，則液滴形成的力學(xué)平衡條件是 。答案：11鹽的水溶液?jiǎn)蜗啻嬖跁r(shí)， ；f 。答案：12在雙原子分子能量中，如果有五個(gè)平方項(xiàng)，則分子數(shù)為N的雙原子分子理想氣體的內(nèi)能U= ;定壓熱容量CP= 答案：13負(fù)溫度狀態(tài)是 。 答案：14費(fèi)米氣體中的化學(xué)勢(shì)是 。答案：15設(shè)液相為相，氣相為相，則液滴形成的力學(xué)平衡條件是 。答案：16熱力學(xué)平衡態(tài)下的強(qiáng)度量是系統(tǒng)微觀量在 分布下的 平均。 答案：最概然 統(tǒng)計(jì) 17根據(jù)朗道的連續(xù)相變理論，孤立系統(tǒng)總是從 趨向 演化，直到達(dá)到最 的平衡態(tài)。答案：有序 無序 無序18熱力學(xué)第零定律：兩物體同時(shí)與第三個(gè)

9、物體熱平衡時(shí)，這兩個(gè)物體彼此之間也熱平衡。 熱力學(xué)第一定律：在一個(gè)熱力學(xué)過程中，系統(tǒng)吸收的熱量等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加和系統(tǒng)對(duì)外所做的功。 熱力學(xué)第二定律：不可能從單一熱源取熱使之完全轉(zhuǎn)化為功而不引起其他的變化（不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他的變化）。 熱力學(xué)第三定律：不可能用有限的手續(xù)使系統(tǒng)的溫度達(dá)到絕對(duì)零度。19卡諾循環(huán)包括以下四個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程 。答案：（1）等溫過程（2）絕熱膨脹（3）等溫壓縮（4）絕熱壓縮20 卡諾熱機(jī)的效率為 。答案：簡(jiǎn)答題和論述題1 試述玻爾茲曼氣體是非簡(jiǎn)并氣體而玻色氣體和費(fèi)米氣體是簡(jiǎn)并氣體。參考答案：答案要點(diǎn)1 寫出按單粒子能級(jí)求和的配分函數(shù)2 討論非簡(jiǎn)并

10、和簡(jiǎn)并條件3 分析非簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并的物理意義。2試分別從模型和統(tǒng)計(jì)表達(dá)式的角度，比較理想氣體和光子氣體的異同。參考答案：理想氣體物理模型：粒子的能量描述： 態(tài)密度：服從量子相格統(tǒng)計(jì)的極限 粒子在態(tài)上的分布：服從玻爾茲曼分布光子氣體普朗克模型：粒子的能量描述：玻色粒子，能量服從德布羅意假設(shè): 量子態(tài)密度：服從駐波條件 粒子在量子態(tài)上的分布：服從玻色分布（光子數(shù)不守恒，）3簡(jiǎn)述平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的最概然分布理論求熱力學(xué)量的基本思路。參考答案： 1，求能級(jí)和量子態(tài)分布2，求配分函數(shù)3，帶入基本熱力學(xué)函數(shù)統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：內(nèi)能，熵和物態(tài)方程4，由熱力學(xué)關(guān)系，確定其他所有平衡態(tài)性質(zhì)。4什么是溫度？建立一種溫標(biāo)需要包

11、含哪三要素？參考答案：溫度的熱力學(xué)定義：處于同一熱平衡的各個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，必定有某一宏觀特征彼此相同，用于描述此宏觀特征的物理量-溫度建立溫標(biāo)三要素：選擇測(cè)溫物質(zhì)的測(cè)溫屬性來標(biāo)志溫度，選定固定點(diǎn)，對(duì)測(cè)溫屬性隨溫度變化關(guān)系作出規(guī)定。5 什么是熵增原理？參考答案：熵增原理：系統(tǒng)經(jīng)可逆絕熱過程后熵不變，經(jīng)不可逆絕熱過程后熵增加，在絕熱條件下熵減少的過程是不可能實(shí)現(xiàn)的。6什么是近獨(dú)立子系？近獨(dú)立子系有哪三種分布？他們個(gè)適用于什么樣的系統(tǒng)？寫出相應(yīng)的分布律參考答案：如果將一個(gè)系統(tǒng)分成許多部分（子系），當(dāng)子系間相互作用的能量與子系本身的能量相比是可以忽略不計(jì)時(shí)，這樣的子系叫近獨(dú)立子系。對(duì)費(fèi)米系統(tǒng)有費(fèi)米-狄拉

12、克分布對(duì)玻色系統(tǒng)有玻色-愛因斯坦分布對(duì)粒子可以分辨的系統(tǒng)有玻爾茲曼分布7什么是能量均分定理？ 參考答案：能量均分定理是說，當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，它的能量表達(dá)式中每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值等于KT/2。8試述系綜及宏觀熱力學(xué)量可用相應(yīng)微觀量的系綜平均計(jì)算。 參考答案：計(jì)算題1試證明在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，非相對(duì)論性三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為： 2 證明相變是一摩爾物質(zhì)的變化為（L為相變潛熱）。如果其中一相為氣體，且可視為理想氣體，那么上式可以簡(jiǎn)化為。參考答案：義相變是在等溫等壓下化學(xué)勢(shì)保持不變的過程，所以根據(jù)克拉珀龍方程： 有若一相為氣體（第二相），則若氣體可視為理想氣體，則所以3（1）利用歐拉齊次

13、函數(shù)定理證明 式中G為系統(tǒng)吉布斯函數(shù)，是第 i個(gè)組員的化學(xué)勢(shì)， 是第 i個(gè)組員的摩爾數(shù)。 （2）由此證明參考答案：（1）根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理，若為的n次齊次式，則G為系統(tǒng)各組分摩爾數(shù) 的一次齊次式，所以式中 為第i個(gè)組分的化學(xué)勢(shì)。（2）4試證明，單位時(shí)間碰到單位面積器壁上的，理想氣體中速率介于到之間的分子數(shù)為： 5（1）簡(jiǎn)述焦耳-湯母孫多孔塞實(shí)驗(yàn)的主要內(nèi)容。 （2）寫出焦耳-湯母孫系數(shù) 的定義式。 （3）證明參考答案：（1）焦耳-湯姆孫多孔塞實(shí)驗(yàn)是在一裝有多孔塞的管道中，讓氣體由一端經(jīng)過多孔塞流入另一端，觀察氣體溫度隨壓強(qiáng)的變化。 （2） （3）由TdS方程和焓的微分表達(dá)式有 對(duì)等焓過程知 利

14、用三輪換關(guān)系，既有 6一塊晶體包含個(gè)原子，原子的自旋磁矩為，被置于均勻磁場(chǎng)中，這些原子可取三個(gè)取向：平行、垂直和反平行磁場(chǎng)。求（a）晶體的配分函數(shù)（b）晶體的磁矩（c）高溫弱場(chǎng)和低溫強(qiáng)場(chǎng)的磁矩參考答案：（a）將原子在外場(chǎng)中能量看作是內(nèi)能一部分，晶體配分函數(shù)為：（b）從熱力學(xué)方程晶體磁矩：（c）高溫弱場(chǎng)時(shí)即晶體磁矩M按（3）式子求極限：當(dāng)?shù)蜏貜?qiáng)場(chǎng)時(shí)，此時(shí)7對(duì)某固體進(jìn)行測(cè)量得， ， 其中A，B為常數(shù)，求該固體的物態(tài)方程。參考答案： 設(shè)：VV(P、T)法一：由保持P不變，分離變量積分得 V= （） 保持T不變，上式對(duì)P求偏導(dǎo)，得 代入（）式得 V=AT2-BPT+C。 法二：由保持T不變，分離變量積

15、分得 V= （） 保持P不變，上式對(duì)T求偏導(dǎo)得 代入（）式得 V=-BTP+ AT2+C8銅棒的一端與127的無窮大熱源接觸，另一端與27的無窮大熱源接觸。當(dāng)棒在穩(wěn)定導(dǎo)熱時(shí)，傳導(dǎo)的熱量為5016J，試求：棒和熱源的總熵變。 參考答案： 9平衡熱輻射是由光子組成的理想玻色氣體，試計(jì)算其ln(其中為巨配分函數(shù))，并進(jìn)而計(jì)算內(nèi)能和壓強(qiáng)。101mol理想氣體分別通過下述三個(gè)可逆過程 (1) 先通過等壓過程再通過等溫過程； (2) 先通過等容過程再通過等溫過程； (3) 先通過等溫過程再通過絕熱過程。 從相同的初態(tài)到相同的未態(tài)，求體系的熵的變化。標(biāo)準(zhǔn)答案：PV(1): (2) (3) =11一均勻桿的兩

16、端分別與溫度為和的大熱源接觸并達(dá)到穩(wěn)定態(tài)，今取去與桿接觸的熱源，經(jīng)過一段時(shí)間后桿趨于平衡態(tài)，設(shè)桿的質(zhì)量為m,定壓比熱容為常數(shù)，求這一過程熵的變化是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案： 取一小段dx，則因m=(S是桿的截面積)，dm=，dx小段桿的熵變?yōu)?整根桿的熵變?yōu)?=12 假設(shè)一容器內(nèi)盛有理想氣體,容器內(nèi)有一活門把它分成兩部分，每部分的體積分別為和；內(nèi)含理想氣體的物質(zhì)的量分別為和，兩邊溫度相等。若，則活門開啟后，將出現(xiàn)理想氣體的擴(kuò)散。求理想氣體擴(kuò)散前后熵的變化。標(biāo)準(zhǔn)答案：活門開啟，氣體擴(kuò)散并最后達(dá)到平衡態(tài)后的總熵是 。擴(kuò)散過程前后的熵的變化是 利用不等式 可得 以上說明擴(kuò)散過程是個(gè)絕熱的不可逆過程，滿足熵增加

17、原理。13試求理想氣體的體脹系數(shù)，壓強(qiáng)系數(shù)盧和等溫壓縮系數(shù)T .標(biāo)準(zhǔn)答案：已知理想氣體的物態(tài)方程由此易得： 14證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T，p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)T，根據(jù)下述積分求得： 如果，試求物態(tài)方程 標(biāo)準(zhǔn)答案：以T，p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V=V（T，P），其全微分為 全式除以V，有根據(jù)體脹系數(shù)a和等溫壓縮系統(tǒng)定義，可將上式改為：上式是以T，P為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分有： 若，可表為從（）積分到（），再積分到（T，P），相應(yīng)地體積由最終變到V，有 即(常量)，或15 在0和l pn下，測(cè)得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為，

18、=4.8510-5K-1和T =7.810-7pn-1和T可近似看作常量今使銅塊加熱至10問： (a) 壓強(qiáng)要增加多少pn才能使銅塊的體積維持不變?(b) 若壓強(qiáng)增加100pn，銅塊的體積改變多少?標(biāo)準(zhǔn)答案： (a)： 如系統(tǒng)的體積不變，dp與dT的關(guān)系為。將上式積分可得：將所給數(shù)據(jù)代入可得：(b)：由將所給數(shù)據(jù)代入可得：16求證：(i) ； (ii) 標(biāo)準(zhǔn)答案：焓的全微分為令=0，得內(nèi)能的全微分為令=0，得17已知,求證 標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，有如果=O，即有=0式（2）也可以用雅可比行列式證明： = = =18試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積

19、的增減標(biāo)準(zhǔn)答案：熱力學(xué)偏導(dǎo)數(shù) 描述等壓過程中熵隨體積的變化率，用描述等壓下溫度隨體積的變化率。為求出這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)復(fù)合函數(shù) （1）求偏導(dǎo)數(shù)，有 （2）因?yàn)镃P0，T0，所以的正負(fù)取決于 的正負(fù)式（2）也可以用雅可比行列式證明： = = =19求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：自由能是以為自變量的特性函數(shù)，求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，有 （1）但自由能的全微分可得=， =- （2）代入（1），即有-=-T20兩相共存時(shí)，兩相系統(tǒng)的定壓熱容量Cp=T，體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)均趨于無窮，試加以說明標(biāo)準(zhǔn)答案： 我們知道，兩相平衡共存時(shí)，兩相的溫度，壓強(qiáng)和化學(xué)式必須相等。如果在平衡壓強(qiáng)下，令兩相系統(tǒng)準(zhǔn)靜態(tài)地從外界吸取熱量，物質(zhì)

20、將從比熵較低的相準(zhǔn)靜態(tài)地轉(zhuǎn)移到比熵較高的相，過程中溫度保持為平衡溫度不變。兩相系統(tǒng)吸取熱量而溫度不變表明他的熱容量 CP趨于無窮。在上述過程中兩相系統(tǒng)的體積也將變化而溫度不變，說明兩相系統(tǒng)的體脹系數(shù) 也趨于無窮。如果在平衡溫度下，以略高于平衡壓強(qiáng)的壓強(qiáng)準(zhǔn)靜態(tài)地施加于,物質(zhì)將準(zhǔn)靜態(tài)地從比容較高的相轉(zhuǎn)移到比容較低的相，使兩相系統(tǒng)的體積改變。無窮小的壓強(qiáng)導(dǎo)致有限的體積變化說明，兩相系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)也趨于無窮。21試證明在相變中物質(zhì)摩爾內(nèi)能的變化為。 如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡(jiǎn) 標(biāo)準(zhǔn)答案： 發(fā)生相變物質(zhì)由一相轉(zhuǎn)變到另一相時(shí)，其摩爾內(nèi)能 摩爾焓 和摩爾體積 的改變滿足

21、平衡相變是在確定的溫度和壓強(qiáng)下發(fā)生的，相變中摩爾焓的變化等于物質(zhì)在相變過程中吸收的熱量，即相變潛熱L：克拉伯龍方程給出即將（2）和（4）代入（1），即有如果一相是氣體，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，其摩爾體積遠(yuǎn)小于氣相的摩爾體積，則克拉伯龍方程簡(jiǎn)化為式（5）簡(jiǎn)化為22試從式出發(fā)，以p、S為自變量，證明從而證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：（）證明了系統(tǒng)的熵，溫度，壓強(qiáng)和體積對(duì)其平均值有偏離的概率為 由于簡(jiǎn)單系統(tǒng)只有兩個(gè)獨(dú)立變量，上式四個(gè)偏離變量中只有兩個(gè)可以獨(dú)立改變。如果選和為自變量，利用 可以將式（1）表示為 上式指出系統(tǒng)熵對(duì)其平均值具有偏差，壓強(qiáng)具有偏差的概率可以分解為依賴于和的兩個(gè)獨(dú)立的高斯分布的乘積，

22、將上式與高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)形式比較，知24利用式求得的、和證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：式（）給出 以為自變量，可將S展開為 以乘式乘式（2），求平均并利用（1），有 以乘式（2），同理得 以為自變量，可將P展開為 以乘式（5），求平均并利用（1），有以乘式（2），同理得25試證明，對(duì)于磁介質(zhì)，有并據(jù)此證明 ， ， 標(biāo)準(zhǔn)答案：式（）給出簡(jiǎn)單系統(tǒng)溫度和體積具有張落T，V的概率為 根據(jù)式（）磁介質(zhì)與簡(jiǎn)單系統(tǒng)熱力學(xué)量有如下的對(duì)應(yīng)關(guān) 因此，磁介溫度有張落T，介質(zhì)磁距有漲落的概率為 將上式與附錄（B.29）比較，知 26證明：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為。（習(xí)題6.1）標(biāo)準(zhǔn)答案： （1）進(jìn)行變量

23、代換：，代入（1）式對(duì)積分 證畢。27試證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度L內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為。（習(xí)題6.2）標(biāo)準(zhǔn)答案：一維自由粒子 ， （1）除外，是二度簡(jiǎn)并的：進(jìn)行變量代換，考慮到0的能級(jí)簡(jiǎn)并度：證明原式成立，證畢。（，由（1）式，有0）28試證明,對(duì)于二維自由粒子,在面積內(nèi),在到的能量范圍內(nèi),量子態(tài)數(shù)為。（習(xí)題6.3）標(biāo)準(zhǔn)答案：二維自由粒子，用極坐標(biāo)，面元為：把P變?yōu)椋簩?duì)積分：證明了原式成立。證畢。29在極端相對(duì)論情況下，。試求在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。（習(xí)題6.4）標(biāo)準(zhǔn)答案：解：自由粒子處在體積V中，又處在P-P+dP球殼中的量子態(tài)數(shù)： （1）用變量代換

24、，代入上式：。答：粒子處在能量范圍內(nèi)的三維粒子的量子態(tài)數(shù)為：30試根據(jù)公式證明，對(duì)于非相對(duì)論粒子，有上述結(jié)論對(duì)于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。（習(xí)題7.1）標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：，則由，考慮，則 成立。證畢。31試根據(jù)公式證明，對(duì)于相對(duì)論粒子有上述結(jié)論對(duì)于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。（習(xí)題7.2）標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)極端相對(duì)論粒子由，考慮，則成立。證畢。32氣體以恒定的速度沿z軸方向作整體運(yùn)動(dòng)，試證明，在平衡態(tài)下分子動(dòng)量的最概然分布為： （習(xí)題7.8）證明：我們推導(dǎo)的分子動(dòng)量的最概然分布是在系統(tǒng)的靜止坐標(biāo)系中進(jìn)行的。所以我們?cè)谙到y(tǒng)上固著一坐標(biāo)系，則分子的最概然分布為 （1）現(xiàn)在我們?cè)陟o

25、止坐標(biāo)系上觀察，氣體以恒定速度沿軸作整體運(yùn)動(dòng)。令則 (2)兩坐標(biāo)系下動(dòng)量的微分相等，,將（2）式中各量代入（1）式，得分子在靜止坐標(biāo)系中的最概然分布為：原式成立。證畢。33氣體以恒定速度v0沿著z軸方向作整體運(yùn)動(dòng)，求分子的平均平動(dòng)能量。（習(xí)題7.9）解：由7.8題知，當(dāng)氣體以恒定速度以沿z軸方向作整體運(yùn)動(dòng)時(shí)分子動(dòng)量的最概然分布滿足總分子數(shù)為的守恒條件代回最概然分布，麥?zhǔn)蟿?dòng)量概率分布一個(gè)分子的平動(dòng)能量為：一個(gè)分子的平均能量為： (4)以上積分有三種類型（1）（2）（3） （5）所以一個(gè)分子的平動(dòng)能量為34表明活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作二維氣體，試寫出在二維氣體中分子的速度分布

26、和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。（習(xí)題7.10）解：考慮處于長(zhǎng)度為的二維容器中自由電子氣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。將周期性邊界用于二維自由電子氣，該粒子在兩個(gè)方向動(dòng)量的可能值為，0， ，0， 在宏觀尺度下，粒子的動(dòng)量值和能量值是準(zhǔn)連續(xù)的，這時(shí)往往考慮在面積內(nèi)，動(dòng)量在到，到的動(dòng)量范圍內(nèi)的自由粒子量子態(tài)數(shù)。在到的范圍內(nèi)可能的數(shù)目為在到的范圍內(nèi)可能的數(shù)目為在面積內(nèi)，在到，到的動(dòng)量范圍粒子量子態(tài)數(shù)為此即二維自由電子氣的簡(jiǎn)并度，由玻耳茲曼分布，處在面積內(nèi)，在的動(dòng)量范圍內(nèi)分子數(shù)為參數(shù)由總分子數(shù)決定，利用，得，代回（1），得質(zhì)心動(dòng)量在范圍內(nèi)的分子數(shù)為如果用速度作變量，作代換，可得在范圍內(nèi)的分子數(shù)為此即二

27、維自由電子氣的麥?zhǔn)纤俣确植?。?duì)應(yīng)的麥?zhǔn)纤俣确植己瘮?shù)滿足條件在速度空間的平面極坐標(biāo)中，麥?zhǔn)纤俣确植悸蓛蛇呁瓿伤俣瓤臻g所有方向的積分，此即在單位面積內(nèi)，速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)，稱為麥?zhǔn)纤俾史植悸?（3）函數(shù)稱為速率分布函數(shù)，滿足條件麥?zhǔn)纤俣雀怕史植迹?，麥?zhǔn)纤俣雀怕拭芏确植迹?，麥?zhǔn)纤俾矢怕史植迹蝴準(zhǔn)纤俾矢怕拭芏确植迹?；最可幾速率：使速率分布函?shù)取極大值的速率。對(duì)關(guān)于求導(dǎo)，令取，得最可幾速率平均速率：利用積分，則方均根率：利用積分，則方均根率滿足，于是，或。35試根據(jù)麥?zhǔn)纤俣确植悸勺C明，速度和平動(dòng)能量的漲落為：答案：（習(xí)題712）（1）用麥?zhǔn)纤俾矢怕史植悸桑?（1） （2） （3） （4）將（3）與（4

28、）代入（2）得：(2)方法一將（1）式中的變量v變成；則 （5） （6）將（5）、（6）代入（1）得： （7） （8）化簡(jiǎn)（7）式為：，令：，則： （9） （10）將（9）、（10）、代入（8），得：。證明了第二次成立，證畢。方法二由，利用，則 所以總結(jié)求能量平均值的方法有（1）利用能量概率分布（2）利用速率概率分布（3）利用動(dòng)量概率分布36計(jì)算溫度為T時(shí)，在體積V內(nèi)光子氣體的平均總光子數(shù)，并據(jù)此估算 1，溫度為1000K的平衡輻射總光子的數(shù)密度； 2，溫度為3K的宇宙背景輻射中的光子的數(shù)密度。答案：（習(xí)題8-7）光子屬于極端相對(duì)論粒子，由習(xí)題6-4的結(jié)果，光子在體積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)的量子

29、態(tài)數(shù)為，光子在體積內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為溫度為時(shí)平均光子數(shù)為總光子數(shù)為，引入變量，上式化成，或在下，有在下，有37試根據(jù)普朗克公式求平衡輻射內(nèi)密度按波長(zhǎng)的分布：并據(jù)此證明，使輻射內(nèi)能密度取極大值的波長(zhǎng)滿足方程：這個(gè)方程的數(shù)值解為x=4.9651。因此， 隨溫度增加向短波方向移動(dòng)。答案：（習(xí)題8-8）利用，有，代入，有引入變量，使取極大的波長(zhǎng)由下式確定令解最后的超越方程，兩條曲線相交點(diǎn)在，得使輻射場(chǎng)的內(nèi)能密度取極大值的為定值，這時(shí)與溫度成反比，稱為維恩位移定律。38按波長(zhǎng)分布太陽輻射能的極大值在 處，假設(shè)太陽是黑體，求太陽的表面溫度。答案：（習(xí)題8-9）由上題所得，假設(shè)太陽是黑體，太陽

30、表面溫度近似為39試根據(jù)熱力學(xué)公式及光子氣體的熱容量，求光子氣體的熵。（習(xí)題8-10）)給出光子氣體的內(nèi)能為熱容量根據(jù)熱力學(xué)均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式選擇等容路徑由到，即有其中已取。40（習(xí)題8-13）解：對(duì)，代入為強(qiáng)簡(jiǎn)并氣體。對(duì)，代入為非簡(jiǎn)并氣體。41銀的導(dǎo)電電子數(shù)密度為，試求0K時(shí)電子氣體的費(fèi)米能級(jí)，費(fèi)米速率和兼并壓。（習(xí)題8-14）解：將所給參數(shù)代入=42試求在極端相對(duì)論條件下，自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量，內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。(習(xí)題8-19)解：能量動(dòng)量關(guān)系態(tài)密度時(shí)自由電子氣體的總數(shù)費(fèi)米能量時(shí)自由電子氣體的內(nèi)能自由電子氣體的壓強(qiáng)43假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為n，試求0K時(shí)二維電子氣

31、體的費(fèi)米能量，內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。答案：(習(xí)題8-20)解：根據(jù)習(xí)題6-3的結(jié)果，在面積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)二維自由電子的量子態(tài)數(shù)為（其中2為自旋因子）考慮到下自由電子的分布費(fèi)米能量由下式確定：從中解出下二維自由電子的內(nèi)能利用二維自由電子內(nèi)能與壓強(qiáng)的關(guān)系，下二維自由電子的壓強(qiáng)為44試根據(jù)熱力學(xué)公式，求低溫下金屬中自由電子氣體的熵。答案：（習(xí)題8-22）解：由()給出低溫下自由電子氣體的定容熱容量根據(jù)熱力學(xué)均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式，選擇等容路徑由到，即有其中已取。45 證明在正則分布中熵可表為其中是系統(tǒng)處在 態(tài)的概率（例題）解證: 多粒子配分函數(shù)由(1)知代至(2)得;于是46 試用正則分布求單原子分子

32、理想氣體的物態(tài)方程，內(nèi)能和熵（例題2）解證：符號(hào)符號(hào)利用式（）類似求47體積內(nèi)盛有兩種組元的單原子混合理想氣體，其摩爾數(shù)為和，溫度為。試由正則分布導(dǎo)出混合理想氣體的物態(tài)方程，內(nèi)能和熵（例題3）解證：48 利用范氏氣體的配分函數(shù)，求內(nèi)能和熵解證：一般認(rèn)為較小49 被吸附在液體表面的分子形成一種二維氣體，考慮分子間的相互作用，試用正則分布證明，二維氣體的物態(tài)方程為其中為液體的面積，為兩分子的互作用勢(shì)解證：二維氣體其中定義變量代換據(jù)式（）50 仿照三維固體的地拜理論，計(jì)算長(zhǎng)度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量解證：一維線形原子鏈共有個(gè)振動(dòng)，存在最大頻率令高溫近似低溫近似其中51 仿照三維固體

33、的德拜理論，計(jì)算長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線形原子鏈（一維晶體）在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量。解證：二維：面積S內(nèi)，波矢范圍內(nèi)輻射場(chǎng)振動(dòng)自由度為 橫波按頻率分布為 縱波按頻率分布為 令低溫近似 高溫近似 計(jì)算略52 利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下的配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，從而求內(nèi)能和熵。解證：式（）德拜頻譜 對(duì)于振動(dòng) 計(jì)算略高溫近似， ， （計(jì)算略）53在容器中儲(chǔ)存有種惰性單原子氣體組成的混合系統(tǒng)，系統(tǒng)的溫度為。氣體1有個(gè)分子，氣體2有個(gè)分子，氣體有個(gè)分子（a）通過計(jì)算系統(tǒng)的配分函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)方程（b）系統(tǒng)的總壓強(qiáng)與第種氣體的分壓（即第種氣體在相同溫度下占有整個(gè)體積時(shí)的壓強(qiáng)）的關(guān)系如何？參考答案：假定所有這K種惰性單原子氣體組成的系統(tǒng)是理想氣體系統(tǒng)且服從M-B分布，多種不同的氣體之間是近獨(dú)立的，非定域的(a) 故第i種氣體分子的配分函數(shù)總的配分函數(shù)：所以我們有系統(tǒng)總的配分函數(shù)：由式（1）求 系統(tǒng)狀態(tài)方程(b)第種i氣體壓強(qiáng)：與 相比可知54假定系統(tǒng)由個(gè)相同的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)對(duì)組成（線性聚合體中有這種情況），每一結(jié)點(diǎn)對(duì)包括A結(jié)點(diǎn)和B結(jié)點(diǎn)，A，B結(jié)點(diǎn)分別最多只能被一個(gè)分子占有，A結(jié)點(diǎn)上吸附一個(gè)分子時(shí)，其能量為，B結(jié)點(diǎn)上吸附一個(gè)分子時(shí)，