金屬電子論ppt課件

1、第六章 金屬電子論按照能帶論, 在嚴(yán)厲周期性勢場中, 電子可以堅持在一個本征態(tài)中, 具有一定的平均速度, 并不隨時間改動, 相當(dāng)于無窮的自在程實踐自在程之所以是有限的, 是由于原子振動或其它緣由致使晶體勢場偏離周期場的結(jié)果按照經(jīng)典電子論, 金屬中的自在電子對熱容量有奉獻, 大小和晶格熱容量相比較。但實驗上察看不到金屬有這樣一部分熱容量6-3 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程dk 內(nèi)的電子密度為32 ( ), (2 )dkdnf E k T總的電流密度32( ) ( )(2 )dkjqf k v k 平衡態(tài)的費米分布對于 k, -k 是對稱的, 電流是零。外場下的非平衡分布函數(shù)滿足玻爾茲曼方程( , ,

2、)( , , )krkfdkvf k r tf k r tbatdt 思索定態(tài)的導(dǎo)電問題時簡化為( )kqEf kba6-4 弛豫時間近似和電導(dǎo)率公式玻爾茲曼方程普通情況下不能得到簡單的解析方式的解。一個廣泛援用的近似方法是假定碰撞項可寫成0( )ffbak f0 ：平衡時的費米函數(shù) : 弛豫時間, 是 k 的函數(shù)這個假定的普通根據(jù)是思索到碰撞促使系統(tǒng)趨向平衡態(tài)這一根本特點假設(shè)形狀原來是不平衡的00fff (f)0 表示對平衡的偏離, 當(dāng)只需碰撞作用時, (f)0 應(yīng)很快消逝上面關(guān)于碰撞項的假定實踐上是說, 碰撞促使對平衡的偏離指數(shù)地消逝, 由于只需碰撞作用時0ffft 積分得到/00tfff

3、fe 弛豫時間 大致度量了恢復(fù)平衡所用的時間引入弛豫時間來描畫碰撞項后, 玻爾茲曼方程變?yōu)?( )kffqEf k 這個方程的解, 即為電場 E 存在時定態(tài)的分布函數(shù) f, 顯然將是 E (Ex , Ey , Ez) 的函數(shù), 可以把 f 按 E 的冪級數(shù)展開012fffff1, f2, 分別表示包含 E 的一次冪, 二次冪, 項, 0 級項實踐上就是平衡情況下的費米分布函數(shù) f0 . 得到1201kkffqqEfEf 等式兩邊 E 的同次冪的項相等給出1201, kkffqqEfEf從一次冪方程得10kqfEf由于 f0 只是 E(k) 的函數(shù), 上式又可以寫成01( )kfqfEE kE0

4、( )fq E v kE 其中用到了能帶論中根本關(guān)系式1( )( )kE kv k 在普通電導(dǎo)問題中, 電流與電場成正比, 服從歐姆定律,這相當(dāng)于弱場的情況, 此時分布函數(shù)只需求思索到 E 的一次冪01fff電流密度可以直接由分布函數(shù)得到32( )/(2 )jqf v k dk 33012( )/(2 )2( )/(2 )qf v k dkqf v k dk 第一項相當(dāng)于平衡分布的電流, 它等于0, 將 f1 代入得2302( )( )/(2 )fjqv kv kEdkE 這樣得到了歐姆定律的普通公式。將上式用分量表示0jE其中2302( )( )/(2 )fqvk vkdkE 是電導(dǎo)率二階張

5、量的分量上式中出現(xiàn)的 f0/E 闡明, 積分的奉獻來自 E=EF 附近。換句話說, 電導(dǎo)率主要決議于費米面 E=EF 附近的情況討論各向同性情形, 并假設(shè)導(dǎo)帶電子根本上可以用單一有效質(zhì)量 m* 描畫22*( )2kE km有*1( )kvE kkm同時, 各向同性的情況意味著, (k) 與 k 的方向無關(guān)223*2( )/(2 )fqk kkdkmE 積分中除去 k , k 以外, 其他的因子都是球?qū)ΨQ的, 只需 , 積分內(nèi)函數(shù)是奇函數(shù), 積分后 =0同樣, 由于對稱 11=22=33 , 張量相當(dāng)于一個標(biāo)量 001122331122332222230123*1()32 ( )/(2 )3fq

6、kkkkdkmE 2230*2( )/(2 )3fqkkdkmE2302*( )3fqkkdEmE3200*2()3kqkm其中 k0 表示 E=EF0 時的 k 值2200*2FkEm22230*28( )/(2 )3fqkkdkmEk0 也就是 k 空間球形等能面 E=EF0 的半徑, 由于等能面內(nèi)包含的形狀數(shù)330032422(2 )36kkVV應(yīng)等于電子數(shù) N, 因此得3023kNV等于金屬中電子密度 n電導(dǎo)率公式最后寫成20*()FnqEm和最簡單的經(jīng)典電子論的結(jié)果類似, 其中弛豫時間替代了經(jīng)典電子論中的自在碰撞時間, m* 替代了 m6-5 各向同性彈性散射和弛豫時間思索一個可以詳

7、細(xì)導(dǎo)出弛豫時間的特例, 即完全各向同性而且電子散射碰撞躍遷是彈性的情況首先它的能帶情況是各向同性的, E(k) 只是 k 的函數(shù), k 空間的等能面是一些圍繞原點的同心球面其次, 散射是彈性的, k 只躍遷到一樣能量的 k 態(tài), 可以表示如下：( )( ), ( , )0E kE kk k 如果則另外, 散射是由晶體引起的, 各向同性的要求 (k, k)不應(yīng)依賴于 k, k各自在晶體中的方向, 最多只能依賴于它們之間的夾角概括地說, 躍遷只能發(fā)生在同一球形等能面上兩點 k, k之間, 而且?guī)茁实拇笮≈慌c兩個矢徑的夾角有關(guān)。從這里也可以看出( , )( , )k kk k 實踐上這個關(guān)系對一切彈

8、性散射的躍遷都成立, 與各向同性沒有直接關(guān)系。從量子力學(xué)看, 這是由于兩個態(tài)間的躍遷矩陣元的平方值是對稱的, 另一方面它表達了統(tǒng)計物理中的細(xì)致平衡原理詳細(xì)思索玻爾茲曼方程( )kqEf kba其中的碰撞項3( , )( )( )/(2 )bak kf kf kdk 依然采取按 E 展開的方法, 令01fff得到一級方程3011( )( , )( )( )/(2 )kqEfkk kf kf kdk 由于 f0 只是 E(k) 的函數(shù), 左端可以寫成001( )kffqqdEEE kE kEkdkE 選 x 坐標(biāo)沿 E 的方向, 方程可以寫成30111( , )( )( )/(2 )xfqEdEk

9、k kf kf kdkkdkE 方程左端的方式闡明, 碰撞項的積分結(jié)果, 必需具有kx 乘上一個只依賴于 k 的函數(shù)的特殊方式。將直接驗證,假設(shè) f1 取這樣方式的試用解 f1(k)=kx(E) , 就恰好能滿足這一要求把試用解代入碰撞項得到3113( , )( )( )/(2 )( , )() ( )/(2 )xxk kf kf kdkk kE kE k dk 假設(shè) EE , (k, k)=0, 因此可以在積分中, 以 (E) 替代 (E) 而不影響結(jié)果。又由于 (E) 與 k 無關(guān)可以提到積分之外, 得到3( )( , )/(2 )xEk kkk dk 由于 k k 時, (k, k)=0

10、, 對 k 的積分有奉獻的實踐上完全來自與 k 同一等能球面上的各點采用以 k 為極軸的極坐標(biāo), 令 表示夾角, 把 (k-k) 分解為垂直和平行 k 的分量kkkkkk假設(shè)環(huán)繞極軸積分, 由于 (k, k) 不變, 因它只依賴于, 垂直分量顯然將抵消平行分量的數(shù)值為 (k - kcos), 方向與 k 相反, 因此可寫成(1 cos )kkk 碰撞項可以最后寫成31133( , )( )( )/(2 )( )( , )(1 cos )/(2 )( )( , )(1 cos )/(2 )xxk kf kf kdkEkk kdkkEk kdk 這個結(jié)果闡明所選試用解 f1(k)=kx(E) 滿足

11、前面所指出要求。由于對 k 積分以后, 就只是 k 的函數(shù)另一方面, 上式實踐上直接給了弛豫時間。留意到10( )xkEfff上述結(jié)果闡明碰撞項可以寫成3011( , )( )( )/(2 )( )ffk kf kf kdkk 其中31( , )(1 cos )/(2 )( )k kdkk 這不僅論證了弛豫時間方法的根本假定, 還得到了(k) 的詳細(xì)方式。一級方程成為01( )1( )( )xxfkEfqEdEkk dkEkk 得到01( )xkfqk EdEfkdkE 在 (k) 的表達式中忽略掉 (1-cos) 因子, 積分將表示在 k 形狀的電子被散射的總的幾率, 因此, 它表示弛豫時間

12、就是電子的自在碰撞時間(1-cos) 因子反映了各種不同的散射對電阻的奉獻不同, 小角度散射影響小, 大角度散射影響大31( , )(1 cos )/(2 )( )k kdkk 補充闡明6-6 晶格散射和電導(dǎo)電子的碰撞(或散射)是一切輸運過程的一個根本環(huán)節(jié)電子的散射機制是在經(jīng)典實際中未能處理的問題, 能帶論提供理處理這個問題的前提在馳豫時間的方法中, 以馳豫時間 概括了電子碰撞對統(tǒng)計分布的影響。假設(shè)可以了解散射的機制并計算出散射的幾率, 就可以計算 和電導(dǎo)率實踐上原子并不靜止地停留在格點上, 由于不斷地?zé)嵴駝? 原子經(jīng)常偏離格點, 原子偏離格點的影響, 可以看做是對周期場的微擾, 從而引起電子

13、的躍遷, 這種散射機制常稱為晶格散射在理想的完全規(guī)那么陳列的原子的周期勢場中, 電子將處于確定的 k 形狀, 不會發(fā)生躍遷, 因此也就沒有電阻可言令 V(r) 表示一個原子的勢場, 那么處于格點 Rn 上的原子的場為()nV rR 當(dāng)它位移為 n 時, 假設(shè)勢場本身并未改動, 只是隨原子位移了 n , 那么勢場寫為nnV rR 在 Rn 格點上的原子, 位移為 n 時將引起微擾兩者相減得到原子位移所引起的勢場變化() ()nnnnnnVV rRV rRV rR 其中把 V 在 (rRn) 點附近按 n 做級數(shù)展開, 并保管到一級項原子的熱振動采取格波的方式cos()nnAeq Rt 式中 e

14、表示振動方向上的單位矢量, A 為振幅。在各向同性介質(zhì)中, 波或為橫波, 或為縱波, 即()()eqe q橫波縱波詳細(xì)思索簡單格子的情況, 這種情況下只需聲學(xué)波。并以彈性波近似替代聲學(xué)波。原子位移如下方式表示另外, 彈性波具有恒定的速度cqc 是常數(shù), 對橫波和縱波各有不同的值:()()tlcccc橫波縱波由一個格波引起的整個晶格中的勢場變化()nnnnnHVV rR H 可以看作是一個微擾 cos()()nnnAq Rt eV rR 1 ()21 ()2nni tiq Rnni tiq RnnAeeeV rRAeeeV rR 2222( , ) |()|( )( )2 |()|( )( )2

15、nniq Rnniq Rnnk kAkeeV rRkE kE kAkeeV rRkE kE k 式中 函數(shù)闡明, 電子能量在躍遷中是不守恒的, 或者說電子被格波的散射不是完全彈性的根據(jù)量子力學(xué)微擾實際的結(jié)果, 這樣一個隨時間變化的微擾將引起本征態(tài)之間的躍遷, 從 k 到 k 的躍遷幾率可寫成因此說晶格的散射總是伴隨聲子的吸收和發(fā)射( )( )( )( )E kE kE kE k(吸收聲子)(發(fā)射聲子)電子能量的增減顯然來自晶格振動, 而 正是格波振動能量的量子聲子但是聲子的能量是極小的, 最高聲子能量只需 1/100eV 數(shù)量級, 僅僅是費米面上電子能量的千分之幾, 因此散射接近完全彈性詳細(xì)思

16、索決議吸收和發(fā)射幾率的矩陣元( )*|()|21( )( )()2nniq Rnniq Ri kk rnkknAkeeV rRkAeerr eV rRdrN 其中, 把歸一化的波函數(shù)寫成1( )( )ik rkkreu rN N 是原胞數(shù), 這樣歸一化使 |uk(r)|2 平均值為 1/v0, v0 為原胞體積在積分中引入新變量nrR 積分中周期函數(shù)中的 r 可以直接為 替代, 只需指數(shù)函數(shù)添加了一個常數(shù)因子 e-i(k-k) Rn, 矩陣元寫成( )12ni kk q RkknAe IeN 其中 I kk表示原來加式中各項共同的積分( )*( )( )( )i kkkkkkIeVd 積分 I

17、 kk普通地代表 V 的大小散射矩陣元中的連加式( )ni kk q Rne 假設(shè)123123nkkqn bn bn bG倒格矢那么有( )11ni kk q RneN kkq N 過程nkkqGU 過程否那么為零總結(jié)以上關(guān)于躍遷幾率的結(jié)果, 思索各向同性的情況, 把散射近似看做彈性的, 每一個躍遷 kk 可以經(jīng)過吸收也可經(jīng)過發(fā)射聲子實現(xiàn)由于對應(yīng)于一個 q 實踐存在一個縱波, 兩個橫波, 因此對于一定的 kk , 無論吸收或發(fā)射聲子都可以由這三個獨立振動引起, 以 Aj 和 ej (j=1,2,3) 分別標(biāo)志它們的振幅和振動方向, 相應(yīng)的躍遷幾率為 222|()jkkjjAeIEE其中 表示吸

18、收和發(fā)射的情況振幅的平方平均值可以由平均熱振動能寫出222222|BBjjjk Tk TANMNMc kk將吸收和發(fā)射三種振動聲子的幾率求和得 kk 總幾率22221( , )()|Bkkjjjk Tck keIEEckkNM c 用 J2 表示其中的加式221( , )|kkjjjcJEeIckkJ 表示等能面上的散射, 僅決議于,數(shù)量級為幾個電子伏12221( , )(1 cos )2 sin4Bk TdEkJEddkNM c 該馳豫時間的公式包含了兩個重要的結(jié)論:(1) 上式闡明了 1/ 和絕對溫度成正比 (TD), 這就處理了在經(jīng)典實際中長期得不到解釋的金屬電阻與溫度成正比的現(xiàn)實得到弛

19、豫時間從推導(dǎo)可以看到, 普通金屬的電阻是由于原子的熱振動對電子的散射引起的, 散射幾率與原子位移的平方成正比, 而后者在足夠高的溫度與 T 成正比(2) 其次, 在我們討論的各向同性情形中, 能態(tài)密度可以寫為1223241( )2(2 )kkkdEN EEdk從 1/ 的公式可看到, 它和能態(tài)密度成正比根據(jù)能帶實際, 過渡金屬的一個重要特征在于 d 能帶有很高的能態(tài)密度, 上面的結(jié)論普通地闡明了過渡金屬具有高電阻率的現(xiàn)實不難估計 值約為 10-1310-14 秒, 與從實踐金屬估計的值是一致的根據(jù)德拜比熱實際可知, 在低溫極限, 三維晶體中有奉獻的晶格振動方式數(shù)正比于 T。同時, 由于這些振動是長波, 它們對 1/ 的奉獻隨 T 減小思索上述兩方面的影響, 金屬電阻率在低溫極限將隨 T5 變化。有相當(dāng)數(shù)量的金屬在低溫下的電阻率 溫度關(guān)系中呈現(xiàn)出 T5 規(guī)律前面討論了晶格振動的散射, 實踐資料中存在的雜質(zhì)與缺陷, 也將破壞周期性勢場, 引起電子的散射111LI在金屬中雜質(zhì)與缺陷散射的影響普通來說不依賴于溫度 T, 而與雜質(zhì)和缺陷的密