信號分析與檢測4

1、2022-5-15隨機信號分析與檢測1第四章 確知信號的檢測性性能能逐逐步步下下降降（1 1）經(jīng)典信號檢測）經(jīng)典信號檢測 信源為符號，非真實東西信源為符號，非真實東西 特點：特點：給出信號檢測基本模型給出信號檢測基本模型連續(xù)觀測，每項獨立連續(xù)觀測，每項獨立 信源信源 非信號而為符號，如非信號而為符號，如1 1不能發(fā)送。不能發(fā)送。 概率轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移 轉(zhuǎn)移概率依賴噪聲模型。轉(zhuǎn)移概率依賴噪聲模型。 形成似然比形成似然比 涉及門限計算方法涉及門限計算方法 準則。準則。（2 2）確知信號檢測）確知信號檢測 真實信號真實信號 要解決問題：要解決問題： 使信噪比最大使信噪比最大 波形復雜波形復雜 匹配濾波器

2、匹配濾波器 信號離散化和非相關信號離散化和非相關 采樣次數(shù)與相關性矛盾采樣次數(shù)與相關性矛盾 數(shù)學方法（卡享南）。數(shù)學方法（卡享南）。（3 3）隨機信號參量檢測）隨機信號參量檢測 任何一個信號隨機。任何一個信號隨機。 辦法：辦法：把隨機參量用概率密度平滑。把隨機參量用概率密度平滑。 （4 4）非參量）非參量 2022-5-15隨機信號分析與檢測24.1 4.1 引言引言確知信號的檢測確知信號的檢測 噪聲中信號波形檢測噪聲中信號波形檢測基本任務基本任務 根據(jù)系統(tǒng)的要求，設計與環(huán)境相匹配、滿足某種根據(jù)系統(tǒng)的要求，設計與環(huán)境相匹配、滿足某種 “ “最佳最佳”準則的接收機（檢測系統(tǒng)），以完成從噪準則的接

3、收機（檢測系統(tǒng)），以完成從噪 聲污染的接收信號中盡量多地提取有用的信號。聲污染的接收信號中盡量多地提取有用的信號。用假設檢驗來描述接收信號用假設檢驗來描述接收信號)(tz0H)()()(0tntstzTt 0：1H)()()(1tntstzTt 0：或者：或者：0H)()(tntzTt 0： 1H)()()(tntstzTt 0： 注意：注意：信號信號 可以是確知信號，也可以是具有未知參量或隨機可以是確知信號，也可以是具有未知參量或隨機 參量的信號。參量的信號。)(tsj2022-5-15隨機信號分析與檢測3一一. .信噪比的定義信噪比的定義 tntstYoo tntstX線性線性濾波器濾波器

4、 20NGn， 或為電流，或為電壓或為電流，或為電壓 4.2 4.2 匹配濾波器匹配濾波器deSHtstjo )()(21)( 202)(HNGnodtetsStj )()(若若 時輸出為峰值，則時輸出為峰值，則0tt deSHtstjo0 )()(21)(0dHNtnEo2022)(4)( 輸出噪聲的平均功率輸出噪聲的平均功率 tso00tt2022-5-15隨機信號分析與檢測4 4.2 4.2 信噪比的定義信噪比的定義濾波器輸出端的峰值信噪（功率）比定義為濾波器輸出端的峰值信噪（功率）比定義為)()(202tnEtsdoo輸出噪聲平均功率輸出信號峰值功率dHNdeSHtj )(4 )( )

5、(21202 0定義：定義：使輸出峰值信噪（功率）比使輸出峰值信噪（功率）比 的線性濾波器稱為的線性濾波器稱為匹配濾匹配濾 波器波器；或是具有滿足上述條件的；或是具有滿足上述條件的 的濾波器稱為的濾波器稱為匹配濾波器匹配濾波器。maxdd H特點：特點：它是按照最大信噪比準則求得的最佳線性濾波器，能保證最佳它是按照最大信噪比準則求得的最佳線性濾波器，能保證最佳 地從噪聲背景中提取信號。地從噪聲背景中提取信號。一一. .信噪比的定義信噪比的定義2022-5-15隨機信號分析與檢測5二二. .匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應1 1傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)目的：目的：尋求使尋求使

6、 的的maxdd thH（1 1）復函數(shù)施瓦茨不等式：）復函數(shù)施瓦茨不等式：設設 和和 都是實變量都是實變量 的復函數(shù)，則有的復函數(shù)，則有 xP xQx2*22)()()()(dxxQxPdxxQdxxP式中式中 為為 的復共軛。當且僅當?shù)膹凸曹?。當且僅當 時上式取等號，時上式取等號，這里這里 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。)(*xP)(xP)()(xcPxQc 4.2 4.2 匹配濾波器匹配濾波器（2 2）匹配濾波器的傳輸函數(shù)）匹配濾波器的傳輸函數(shù)22*2)()()(SSP22)()(HQ則有則有 ，dHNdeSHdtj )(4 )( )(21202 0令令 ，0)()(*tjeSP)()(HQ2

7、022-5-15隨機信號分析與檢測6（2 2）匹配濾波器的傳輸函數(shù)）匹配濾波器的傳輸函數(shù)1 1傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)max022)(21dNdS根據(jù)巴塞瓦爾定理，有根據(jù)巴塞瓦爾定理，有EdttsdS)()(2122E為輸入信號的能量為輸入信號的能量噪信0max2NEd當且僅當當且僅當 時，時，0)()(*tjecSHmaxdd 即匹配濾波器的傳輸函數(shù)為即匹配濾波器的傳輸函數(shù)為0)()(*tjecSH 4.2 4.2 匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應dHNdHdSdHNdeSHdtj )(4)( )(41 )(4 )( )(2120222202 022*2)()()(SSP

8、22)()(HQ)()(xcPxQ令令 ，0)()(*tjeSP)()(HQ2022-5-15隨機信號分析與檢測72 2沖激響應沖激響應 SS*對于實函數(shù)信號，有對于實函數(shù)信號，有00)()()(*tjtjecSecSH)()(21)(0)(0ttcsdecSthttj看看P146P146頁頁圖圖4.3 4.3 匹配濾波器的沖激響應。匹配濾波器的沖激響應。)(ts)( ts )(ts)(0tts020t0tt 4.2 4.2 匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應匹配濾波器的傳輸函數(shù)和沖激響應2022-5-15隨機信號分析8三三. .匹配濾波器的性質(zhì)匹配濾波器的性質(zhì)1 1匹配濾波器可以給出最大峰值信噪

9、比匹配濾波器可以給出最大峰值信噪比 ，它只取決于輸，它只取決于輸 入信號能量和白噪聲功率譜密度，而與輸入信號的形狀和噪聲入信號能量和白噪聲功率譜密度，而與輸入信號的形狀和噪聲 分布律無關；分布律無關；max02dNE2 2幅頻特性和相頻特性：幅頻特性和相頻特性：輸出信號幅頻特性：輸出信號幅頻特性：)()(ScH輸出信號幅頻特性與輸入信號的振幅譜一致，輸出信號幅頻特性與輸入信號的振幅譜一致，僅差常數(shù)倍僅差常數(shù)倍 線性線性；c)(H0)(NFn)(S 4.2 4.2 匹配濾波器匹配濾波器輸出信號相頻特性與輸入信號的相位譜反相，且有附加相移量輸出信號相頻特性與輸入信號的相位譜反相，且有附加相移量 ,

10、 ,（有附加相位可使原相位可調(diào)整為一條直線）。（有附加相位可使原相位可調(diào)整為一條直線）。0 t輸出信號相頻特性：輸出信號相頻特性：)()(0ts輸入信號相角為輸入信號相角為輸出信號相移為輸出信號相移為輸出信號相角為輸出信號相角為當當 ，有，有 ，相角均為零，同向相加；，相角均為零，同向相加；若若 ，則各相角不同，合成的信號峰值較小。，則各相角不同，合成的信號峰值較小。 st 0ts 0tttts0tt 0t0tt 0tt )(0tso0tt )(0tso2022-5-15隨機信號分析93 3物理可實現(xiàn)性物理可實現(xiàn)性物理可實現(xiàn)的匹配濾波器的沖激響應為物理可實現(xiàn)的匹配濾波器的沖激響應為 t, 0

11、t 00 000tttttcsth4 4輸出信號和噪聲輸出信號和噪聲)ds(t)s(tcs(t)h(t)(t)so0 cEdaasctso20)()()( 000ttcRdsttscts 4.2 4.2 匹配濾波器的性質(zhì)匹配濾波器的性質(zhì) 輸出噪聲的平均功率（均方值）為：輸出噪聲的平均功率（均方值）為：deScNdHGtntjn2*202200)(2)()(21)(EcNdScN202202)(212求最大峰值信噪比求最大峰值信噪比 的另一種方法的另一種方法maxd02022020max22)()()(NEEcNcEtntsdo)(ts)( ts )(ts)(0tts020t0tt2022-5-

12、15隨機信號分析10 aHH)()(tasts 當時延信號為當時延信號為 ，下標為下標為 ，表示延時信號。，表示延時信號。對應最佳匹配濾波器傳輸函數(shù)為對應最佳匹配濾波器傳輸函數(shù)為因此匹配濾波器因此匹配濾波器對于時延信號具有適應性對于時延信號具有適應性。5 5對時延、頻移信號的適應性對時延、頻移信號的適應性jeaSS)()()(*0000)()()()(ttjtjjtjeaHeecaSecSH00tt 4.2 4.2 匹配濾波器的性質(zhì)匹配濾波器的性質(zhì) 對應頻移信號的最佳匹配濾波器傳輸函數(shù)對應頻移信號的最佳匹配濾波器傳輸函數(shù) 0*tfevcSH與原信號的匹配濾波器傳輸函數(shù)不同，因此匹配濾波器與原信

13、號的匹配濾波器傳輸函數(shù)不同，因此匹配濾波器對于頻移對于頻移信號沒有適應性信號沒有適應性。2022-5-15隨機信號分析11 用匹配濾波器對信號進行處理的結(jié)果用匹配濾波器對信號進行處理的結(jié)果 6 6實測波形實測波形 4.2 4.2 匹配濾波器的性質(zhì)匹配濾波器的性質(zhì)2022-5-15隨機信號分析125 5實測波形實測波形 4.2 4.2 匹配濾波器的性質(zhì)匹配濾波器的性質(zhì) 雷達回波檢測雷達回波檢測 2022-5-15隨機信號分析13四四. .匹配濾波器與相關接收匹配濾波器與相關接收定義：定義：利用信號和噪聲的相關時間長短不同，用相關器來實現(xiàn)接收利用信號和噪聲的相關時間長短不同，用相關器來實現(xiàn)接收 信

14、號的方法稱為信號的方法稱為相關接收法相關接收法。1 1自相關接收自相關接收 ts tn要求要求 、 具有各態(tài)歷經(jīng)性具有各態(tài)歷經(jīng)性 4.2 4.2 匹配濾波器匹配濾波器dttxtxdttXtXY)()()()()()()()()(tXtXRYX)()()()(tntstntsTTTXdttxtxTR)()(21lim)(由于由于)()(XRcY故有故有令令 ，求得，求得1c)()()()(nssnnsRRRR都是噪聲都是噪聲2022-5-15隨機信號分析14 0RRnssn假定信號和噪聲不相關（一般均如此），則假定信號和噪聲不相關（一般均如此），則 nSRR總功率（電壓、電流）總功率（電壓、電流

15、） 噪聲總功率噪聲總功率 sRY因此只要改變遲延線的時延因此只要改變遲延線的時延 ，使，使 ，就有，就有 ，即，即 0nR01 1自相關接收自相關接收 4.2 4.2 匹配濾波器與相關接收匹配濾波器與相關接收)()()()()()(nssnnsXRRRRRY2 2互相關接收互相關接收dttstXY)()()(dttstndttstss)()()()()()(nsssRR ssRY 0Rns假定信號和噪聲不相關（一般均如此），則假定信號和噪聲不相關（一般均如此），則2022-5-15隨機信號分析15回波回波sts ts1ts1 1Y2ts22Y2 2互相關接收互相關接收dttstsRsss)()

16、()(sssEdttsR)()0(2dttstnRns)()()(snsENRtn2)()(0220ssENtnR02022)()0( 4.2 4.2 匹配濾波器與相關接收匹配濾波器與相關接收2022-5-15隨機信號分析16（1 1）自相關接收不需知道信號形式（發(fā)射時的）；）自相關接收不需知道信號形式（發(fā)射時的）；3 3兩種相關接收的比較兩種相關接收的比較（2 2）互相關接收具有較好的信噪比。）互相關接收具有較好的信噪比。4 4互相關接收法與匹配濾波器的比較互相關接收法與匹配濾波器的比較匹配濾波器的沖激響應為：匹配濾波器的沖激響應為：)()(0ttcsthdtcstXtYt)()()(00經(jīng)

17、匹配：經(jīng)匹配： 4.2 4.2 匹配濾波器與相關接收匹配濾波器與相關接收 在在 時，白噪情況下，匹配濾波器等效于互相關接收。時，白噪情況下，匹配濾波器等效于互相關接收。 0tt 互相關器輸出為：互相關器輸出為：0000000)()()()( ttdcsXdtcstXtt設信號為：設信號為： ，輸入混合信號：，輸入混合信號： tntstX00 ),(ttts0000)()( )()()(ttdttstXttdttstXY2022-5-15隨機信號分析174 4互相關接收法與匹配濾波器的比較互相關接收法與匹配濾波器的比較 匹配濾波器屬頻域分析方法，需要知道原信號的頻譜，若頻譜較匹配濾波器屬頻域分析

18、方法，需要知道原信號的頻譜，若頻譜較 復雜則難以實現(xiàn)；互相關接收屬時域分析方法，無需知道原信號復雜則難以實現(xiàn)；互相關接收屬時域分析方法，無需知道原信號 的頻譜，易實現(xiàn)；的頻譜，易實現(xiàn)； 匹配濾波器可用模擬方法實現(xiàn)，能輸出匹配濾波器可用模擬方法實現(xiàn)，能輸出 的全景（可用峰值的全景（可用峰值 檢波器抓最大值）；互相關接收只能一次輸出對應一個值（選其檢波器抓最大值）；互相關接收只能一次輸出對應一個值（選其 中最大）的互相關函數(shù)，若要連續(xù)輸出中最大）的互相關函數(shù)，若要連續(xù)輸出 ，電路結(jié)構(gòu)龐大，多路，電路結(jié)構(gòu)龐大，多路 延遲，且需要比較。延遲，且需要比較。 SXR 4.2 4.2 匹配濾波器與相關接收匹

19、配濾波器與相關接收5 5三種接收方法的比較三種接收方法的比較 匹配濾波、相關接收、積累接收匹配濾波、相關接收、積累接收 三種接收方法都是利用信號與噪聲在時域特性或頻域特性上的某三種接收方法都是利用信號與噪聲在時域特性或頻域特性上的某 種差別來改善信噪比的，相互之間具有一定的等效關系，但不可種差別來改善信噪比的，相互之間具有一定的等效關系，但不可 直接疊加運用。直接疊加運用。 利用上述三種方法接收周期性脈沖串信號時，都能改善輸出信噪利用上述三種方法接收周期性脈沖串信號時，都能改善輸出信噪 比，但均需以增長檢測時間為代價。比，但均需以增長檢測時間為代價。窄 帶濾波器 正弦信號加寬帶噪聲平方律檢波器

20、21獨立取樣n次加法器n1v)()()(222tAtAtRsc)( cos)()(0 tttRtY(歸一化)2022-5-15隨機信號分析與檢測18五五. .最佳接收方法最佳接收方法（依不同準則分成三類）（依不同準則分成三類）概率、矩函數(shù)、誤差（最小二乘概率、矩函數(shù)、誤差（最小二乘不要先驗知識）不要先驗知識）3.1 3.1 信號檢測概述信號檢測概述1 1信號接收常用準則：信號接收常用準則：貝葉斯準則：貝葉斯準則：在假設在假設 的先驗概率的先驗概率 已知，各種判決代價因子已知，各種判決代價因子 賦定的情況下，使平均代價賦定的情況下，使平均代價 最小的準則。最小的準則。jH)(jHPijCC根據(jù)不

21、同使用環(huán)境、條件、應用而不同，與噪聲環(huán)境也有關。根據(jù)不同使用環(huán)境、條件、應用而不同，與噪聲環(huán)境也有關。貝葉斯準則的派生準則：貝葉斯準則的派生準則： 最小均方誤差準則：最小均方誤差準則：使使 卡爾曼濾波卡爾曼濾波min2iiixxE 最小錯誤概率準則：最小錯誤概率準則： 通信中要求錯誤最小通信中要求錯誤最小minieP 最大信噪比準則：最大信噪比準則： 雷達中寧可虛警，通信中也可用雷達中寧可虛警，通信中也可用maxNS 最大后驗概率：最大后驗概率： 理想接收機理想接收機maxxP Neyman-person Neyman-person準則：準則： ， 在虛警概率固定的情況下在虛警概率固定的情況下

22、 使檢測概率達到最大，例如使檢測概率達到最大，例如 （500500米內(nèi)），米內(nèi)）， 。1 . 0FP1dPaPFmaxdP2022-5-15隨機信號分析與檢測192 2常用方法：常用方法： 基本上為最佳接收基本上為最佳接收（1 1）相關（自、互）接收法）相關（自、互）接收法3.1 3.1 最佳接收方法最佳接收方法最佳接收的特點：最佳接收的特點： 最佳接收都是按矩函數(shù)設計，而非按概率設計；最佳接收都是按矩函數(shù)設計，而非按概率設計； 最佳接收在一定條件下為最佳，但特性低于理想接收機；最佳接收在一定條件下為最佳，但特性低于理想接收機； 若按后驗概率設計出來，則為在某一信號上的理想接收機。若按后驗概率

23、設計出來，則為在某一信號上的理想接收機。 （3 3）線性濾波器）線性濾波器 維納濾波器維納濾波器 利用利用最小均方誤差準則最小均方誤差準則令系統(tǒng)誤差令系統(tǒng)誤差 ，利用最小均方誤差準則，即按，利用最小均方誤差準則，即按 最小，最小，求得線性濾波器最佳傳輸函數(shù)為求得線性濾波器最佳傳輸函數(shù)為 tYtYt0 t2 nssGGGH輸入噪聲的功率譜密度輸入噪聲的功率譜密度 大大, ,則傳輸函數(shù)小則傳輸函數(shù)小 反比反比 nG輸入信號的功率譜密度輸入信號的功率譜密度 大大, ,則傳輸函數(shù)大則傳輸函數(shù)大 正比正比 sG實質(zhì)：實質(zhì)：最大限度保留信號而衰減噪聲。最大限度保留信號而衰減噪聲。（2 2）積累接收法）積累

24、接收法2022-5-15隨機信號分析與檢測20 匹配濾波器匹配濾波器 利用利用最大信噪比準則最大信噪比準則2 2常用方法：常用方法：3.1 3.1 最佳接收方法最佳接收方法（3 3）線性濾波器）線性濾波器NS特點：特點：a a） 最大；最大；b b）靈敏度高；）靈敏度高；c c）頻率響應特性為信號頻譜的）頻率響應特性為信號頻譜的 復軛；復軛；d d）在一定意義上等同于相關接收（前面提到過）。）在一定意義上等同于相關接收（前面提到過）。 3.3.假設檢驗與統(tǒng)計判決假設檢驗與統(tǒng)計判決先假設一定范圍，再統(tǒng)計樣本是否在此范圍內(nèi)。信號檢測剛好解先假設一定范圍，再統(tǒng)計樣本是否在此范圍內(nèi)。信號檢測剛好解決信

25、號有無和判決問題。決信號有無和判決問題。例：例：統(tǒng)計接收設備方框圖統(tǒng)計接收設備方框圖 tntX tntstX接收接收窄帶窄帶 tntY tntstY檢測、判決檢測、判決虛 警有信號無信號漏 報有相移、失真有相移、失真白噪過窄帶白噪過窄帶2022-5-15隨機信號分析與檢測2111000 PP1cP11101 PP1dP3.1 3.1 假設檢驗與統(tǒng)計判決假設檢驗與統(tǒng)計判決01000000| HHPPPC接受正確檢測01 10|)(HHPPPf接受警虛10 01|)(HHPPPM接受報漏11 11| HHPPPd接受確正發(fā)現(xiàn)概率發(fā)現(xiàn)概率11漏報漏報第二類錯誤第二類錯誤虛警虛警第一類錯誤第一類錯誤1

26、0正確不發(fā)現(xiàn)概率正確不發(fā)現(xiàn)概率判決概率判決概率輸出輸出輸入輸入3.3.假設檢驗與統(tǒng)計判決假設檢驗與統(tǒng)計判決零假設零假設 = = 假設無信號（僅有噪聲）或信號為假設無信號（僅有噪聲）或信號為備擇假設備擇假設 = = 假設有信號（噪聲中混有信號）或信號為假設有信號（噪聲中混有信號）或信號為)(0ts)(1ts2022-5-15隨機信號分析220H1H0H)(1Hp z1H)(0Hp z成立成立成立成立信信源源觀測空間觀測空間0R0R0R1R復習復習二元假設檢驗基本模型二元假設檢驗基本模型 )()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：2022-5-15隨機信號分析23連續(xù)信號

27、連續(xù)信號抽樣抽樣級數(shù)（離散值）級數(shù)（離散值）如何使其不相關？如何使其不相關？ 2022-5-15隨機信號分析24一一. .信號的正交級數(shù)表示信號的正交級數(shù)表示1 1正交函數(shù)集正交函數(shù)集4.3 4.3 卡享南卡享南- -洛維展開洛維展開2 2確知信號確知信號 正交級數(shù)表示正交級數(shù)表示 )(tsNkkkNtfsts1)(lim)(展開式的系數(shù)：展開式的系數(shù)：Tkkdttftss0 )()(Tt 0NkkkNtfsts1)()(坐標函數(shù)，坐標函數(shù)， 為正交函數(shù)集為正交函數(shù)集 )(tfkjijidttftfijTji , 1 , 0 )()(0 不相關不相關目的目的 把隨機過程變成互不相關的級數(shù)。把隨

28、機過程變成互不相關的級數(shù)。作用作用 解決離散化和不相關問題。解決離散化和不相關問題。 關鍵關鍵ktftfztzji)()()(2022-5-15隨機信號分析253 3隨機信號隨機信號 正交級數(shù)表示正交級數(shù)表示 )(tz)()()(tntstzTt 00)()(lim21NkkkNtfztzE其中：正交函數(shù)集其中：正交函數(shù)集 , , 滿足滿足 )(tfk , 2 , 1kkjTjkdttftf0 )()(展開式的系數(shù)：展開式的系數(shù)： Tkkdttftzz0 NkkkNtfztz1)(lim)(4.3 4.3 信號的正交級數(shù)表示信號的正交級數(shù)表示 均方收斂于均方收斂于Nkkktfz1)()(tz

29、不相關不相關2022-5-15隨機信號分析26根據(jù)隨機變量不相關的判斷條件根據(jù)隨機變量不相關的判斷條件kjjjjkkszszE )( )(jk 當當 時，時，0 )( )(jjkkszszE3 3隨機信號隨機信號 正交級數(shù)表示正交級數(shù)表示)(tz4.3 4.3 信號的正交級數(shù)表示信號的正交級數(shù)表示TkkdttftzEzE0 )()()(kTksdttfts0 )()( , 2 , 1kTkdttftntsE0)()()( 的均值的均值kz問題問題2 2：如何選擇能使：如何選擇能使 互不相關的正交函數(shù)集互不相關的正交函數(shù)集 呢？呢？)(tfkkz 展開式系數(shù)展開式系數(shù) 的均值的均值kz 即抽樣值

30、，故無失真即抽樣值，故無失真 展開式系數(shù)展開式系數(shù) 的協(xié)方差的協(xié)方差kz 即展開式的各系數(shù)互不相關即展開式的各系數(shù)互不相關問題問題1 1： 能否反映原信號的特征呢？能否反映原信號的特征呢？kz2022-5-15隨機信號分析273 3隨機信號隨機信號 正交級數(shù)表示正交級數(shù)表示)(tz4.3 4.3 信號的正交級數(shù)表示信號的正交級數(shù)表示 )( )(jjkkszszETTjnkT TjkdtduufutRtfdtduuntnEuftf000 0 )()( )( )( )()()(TjTjTkTkduufusduufuzdttftsdttftzE0000 )()( )()( )()( )()()()(

31、)(tntstz噪聲噪聲 的自相關函數(shù)的自相關函數(shù) )(tn)( )()(0tfduufutRjjTjnTt 0則必須滿足則必須滿足kjjjjkkszszE )( )(若要令若要令 齊次積分方程齊次積分方程積分方程的核函數(shù)積分方程的核函數(shù) 特征值特征值 特征函數(shù)（或本征函數(shù)）特征函數(shù)（或本征函數(shù)）即所求的正交函數(shù)即所求的正交函數(shù)kjTjkdttftf0 )()(如何選擇滿足如何選擇滿足 的正交函數(shù)集的正交函數(shù)集 呢？呢？)(tfkkjjjjkkszszE )( )()(tn噪聲噪聲 的自相關函數(shù)的自相關函數(shù)關鍵關鍵 2022-5-15隨機信號分析283 3隨機信號隨機信號 正交級數(shù)表示正交級數(shù)

32、表示)(tz4.3 4.3 信號的正交級數(shù)表示信號的正交級數(shù)表示總結(jié)：總結(jié)：求求 求坐標函數(shù)求坐標函數(shù)形成正交級數(shù)形成正交級數(shù))(utRn解決三個問題：解決三個問題： 推薦了一個正交集。推薦了一個正交集。 信號如何用正交集表示。信號如何用正交集表示。 正交集函數(shù)具體求解方法：求積分方程。正交集函數(shù)具體求解方法：求積分方程。 問題：問題：正交集是否唯一？正交集是否唯一？ 用用 對對 進行展開，進行展開， 互不相關，這就是互不相關，這就是卡享南卡享南- -洛洛維展開式維展開式。)(tfjkz)(tz2022-5-15隨機信號分析29二二. .白噪聲的正交展開白噪聲的正交展開齊次積分方程式為齊次積分

33、方程式為白噪聲情況下的功率譜密度為白噪聲情況下的功率譜密度為2)(0NGnTjjjduufutNtf00)()(2)(結(jié)論：結(jié)論：只要滿足只要滿足 ，任一函數(shù)，任一函數(shù) 均滿足上式。均滿足上式。20Nj)(tf)(2)(0utNutRn其自相關函數(shù)為其自相關函數(shù)為4.3 4.3 卡享南卡享南- -洛維展開洛維展開 非常重要非常重要TTjnkjjkkdtduufutRtfszszE00 )()( )( )( )(因此，因此，任一組正交函數(shù)都可作為白噪聲情況下的展開函數(shù)任一組正交函數(shù)都可作為白噪聲情況下的展開函數(shù)。 kjTjkTTjkNdttftfNdtduufutNtf2 )()(2 )()(2

34、 )(0000002022-5-15隨機信號分析30一一. .簡單二元檢測簡單二元檢測1 1要解決的問題：要解決的問題：根據(jù)在時間根據(jù)在時間 內(nèi)的觀測信號波形內(nèi)的觀測信號波形 ，作出，作出 是假設是假設 成立還是假設成立還是假設 成立的統(tǒng)計判決。成立的統(tǒng)計判決。 ), 0(T)(tz1H0H)()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：4.4 4.4 高斯白噪聲中信號的檢測高斯白噪聲中信號的檢測2 2 的正交級數(shù)表示的正交級數(shù)表示 卡享南洛維展開式卡享南洛維展開式 )(tz目的：目的：使使 展開式各系數(shù)展開式各系數(shù) 不相關。不相關。)(tzkzNkkkNtfztz1)(l

35、im)(NkkkNtfztz1)()(Tt 0NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :01NkndttftnzHkTkk , 2 , 1 )()( :00Tkkdttftss0 )()( 歸一化正交函數(shù)集歸一化正交函數(shù)集 Tkkdttftzz0 )()( Tkkdttftnn0 )()( kz 是高斯隨機變量是高斯隨機變量2022-5-15隨機信號分析313 3似然函數(shù)和判決規(guī)則似然函數(shù)和判決規(guī)則在假設在假設 下下0H4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測0 )()()()(000TkkkdttftnEHnEHzE2 )(2)()( )()( )()()()v

36、ar(000000020NdudtutNuftfduufundttftnEHnEHzTTkkTkTkkk 1H在假設在假設 下下kkkksHnsEHzE)()(012)()var(0121NHnEHzkk0212101exp1)(NszNHpkkNkNz0212100exp1)(NzNHpkNkNz聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)為：為：NkkNkkkNzNkNNszNkNNsNszNHpHpkkk120101211)(12110112expexp)(exp)()()()(020020zzz似然函數(shù)似然函數(shù)為：為：2022-5-15隨機信號分析32NkkNkkkNsNszN1201012)(l

37、nz令令 N3 3似然函數(shù)和判決規(guī)則似然函數(shù)和判決規(guī)則4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測Tkkdttftss0 )()( Tkkdttftzz0 )()( )(lim)(tstsNNNkkkNtfsts1)()(Tt 0lim)(ln)(lnlim1211200NkkNNkkkNNNNssztzz )()( )()( lim11T01T0200 NkNkkkNkkNNsdttftssdttftzTNkkkNNTNkkkNNdttfstsdttfstz011012 )(lim)( )(lim)(0000202102 )( )( )( )( )(000NEdttstzdttsdttstzsT

38、NTNTN)(tsN)(ts001000ln )( )(2)(lnHHNEdttstzNtzsT000010 2ln2 )( )( )(sTENHHdttstztzl2022-5-15隨機信號分析334 4最佳檢測系統(tǒng)（又稱最佳接收機）的結(jié)構(gòu)最佳檢測系統(tǒng)（又稱最佳接收機）的結(jié)構(gòu)(1) (1) 相關檢測系統(tǒng)（相關接收機）的結(jié)構(gòu)框圖相關檢測系統(tǒng)（相關接收機）的結(jié)構(gòu)框圖Tdt0)(判判決決電電路路1H0H0 0 0 )(ts)(tz)(tzl門門限限成成立立成成立立)(tz)(ts因為檢驗統(tǒng)計量因為檢驗統(tǒng)計量 是由接收信號是由接收信號 和確知信號和確知信號 經(jīng)相關經(jīng)相關運算得到的，所以稱之為相關檢測

39、系統(tǒng)。運算得到的，所以稱之為相關檢測系統(tǒng)。 Tdttstztzl0 )( )()(4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測匹配濾波器TttTsth0 )()(判判決決電電路路1H0H0 0 0 )(tzTt 門門限限成成立立成成立立時刻(2) (2) 匹配濾波檢測系統(tǒng)（接收機）的結(jié)構(gòu)框圖匹配濾波檢測系統(tǒng)（接收機）的結(jié)構(gòu)框圖由于在白噪聲情況下，在由于在白噪聲情況下，在 時刻相關器輸出和匹配濾波器輸出時刻相關器輸出和匹配濾波器輸出是相等的。判決規(guī)則表示式也可以用匹配濾波器來實現(xiàn)。是相等的。判決規(guī)則表示式也可以用匹配濾波器來實現(xiàn)。 Tt 2022-5-15隨機信號分析345 5接收機性能接收機性能4

40、.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測)()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 ，是高斯隨機過程。，是高斯隨機過程。Tdttstztzl0 )( )()( 描述了描述了 與與 檢測門限檢測門限 和信噪比和信噪比 的關系的關系FPDPd)(00sTTTTEdttnEtsdttsdttstntsEHdttstzEHlE0020101 )()( )( )()()( )( )()(sEHlE)(10 )()( )( )()(0000TTdttstnEHdttstzEHlE0)(0HlETTduusundttstnEHlEHlEHl002000 )( )(

41、 )( )()()()var(sNTT NTTEdtduustsutdtduuntnEusts20020000)()()( )()()()( sNEHlHl2100)var()var(exp)()(020)(2111sssENElENHlpexp)()(0202110ssENlENHlp20200200ln211001 exp)( )()(sENssdldlHlpHHPPENlENF2ln exp)( exp)(0*ln22121)ln(22121022102022020202dderfcdvdvNsEsENsENsENvv2ln )()(0*11110dderfcdlHlpHHPPD0000

42、1 2ln2 )(sENHHtzl2022-5-15隨機信號分析35在一般的高斯問題二元假設檢驗下，信噪比在一般的高斯問題二元假設檢驗下，信噪比)|var()|()|(02012HlHlEHlEd)var()()(02012HlHlEHlEd02NEs5 5接收機性能接收機性能4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測02NEds 功率信噪比功率信噪比 信噪比信噪比sEHlE)(10)(0HlEsNEHlHl2100)var()var(222md),()( :21mNtzH), 0()( :20NtzHmd 22012)(mmd),()( :211mNtzH),()( :200mNtzH01mm

43、d同例同例3.3.33.3.32022-5-15隨機信號分析360 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 增加00 . 1d0 . 2d5 . 0d0dDPFP)(0)0(002NEsd 0 2 4 6 810-20.30.80.980.999910-310-10.50.90.9990.70.99110FP210FP310FP410FP510FP610FP810FP1010FP1210FP1410FPDPd02NEsd 5 5接收機性能接收機性能4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測接收機工作特性（接收機工作特性（ROCROC）曲線）曲線根據(jù)根據(jù) 與與 檢測門

44、限檢測門限 和信噪比和信噪比 的關系的關系FPDPd)(00檢測概率檢測概率 與參數(shù)與參數(shù) 的關系的關系DPd2022-5-15隨機信號分析376 6最佳接收機的另一種推導方法最佳接收機的另一種推導方法 充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測目的：目的：尋找一個充分統(tǒng)計量尋找一個充分統(tǒng)計量 ，使觀察空間的維數(shù)壓縮至有限維，使觀察空間的維數(shù)壓縮至有限維， 并能獲得被觀測量的全部信息。并能獲得被觀測量的全部信息。 )(zlTtdttstzdttftzzTETs0 , )()( )()(010111011010111 )( )( : )()()( :ndttstnzHnEd

45、ttstntszHTEsTEss)()(11tstfsE令令高斯白噪聲的正交級數(shù)展開式中的第一項系數(shù)高斯白噪聲的正交級數(shù)展開式中的第一項系數(shù)1 )()( )()()( 0001kndttftnzHndttftntszHkTkkkTkk：由于由于 與與 正交，且正交，且) 1( ),(ktfk)(1)(1tsEtfsjijidttftfTji , 1 , 0 )()(0 與假設無關與假設無關因此，因此， 是充分統(tǒng)計量，且是充分統(tǒng)計量，且1zTEdttstzzs011 )()( 是高斯隨機變量，是高斯隨機變量， 且與假設有關且與假設有關1z2022-5-15隨機信號分析38利用充分統(tǒng)計量利用充分統(tǒng)

46、計量 構(gòu)成似然比檢驗，其判決規(guī)則為構(gòu)成似然比檢驗，其判決規(guī)則為1z0011)(HHz4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測6 6最佳接收機的另一種推導方法最佳接收機的另一種推導方法 充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法ssEnEEHzE)()(1110)()(101nEHzE2)()()var(0212111NnEEnEEHzss2)()0()var(0212101NnEnEHz由于由于 是高斯隨機變量是高斯隨機變量1z001001211)(21101111 2expexp)(exp)()()()(02100210HHNENzEHzpHzpzssNzNNEzNs000011 2ln2ssEENHHz20

47、22-5-15隨機信號分析39兩種方法的比較：兩種方法的比較： 卡享南洛維展開法卡享南洛維展開法Tdttstztzl0 )( )()(Tt 0檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為檢驗門限為檢驗門限為000ln22sNE 充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法11)(zzlTsdttstzE0 )( )(1Tt 0檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為2ln2000ssEEN檢驗門限為檢驗門限為4.4 4.4 簡單二元檢測簡單二元檢測6 6最佳接收機的另一種推導方法最佳接收機的另一種推導方法 充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法結(jié)論：結(jié)論：由于正交級數(shù)展開法和由充分統(tǒng)計量導出的判決規(guī)則表示式是由于正交級數(shù)展開法和由充分統(tǒng)計量導出的判決規(guī)則表示式是

48、 相同的，因而也具有相同的結(jié)構(gòu)和相同的性能。相同的，因而也具有相同的結(jié)構(gòu)和相同的性能。2022-5-15隨機信號分析40二二. .一般二元檢測一般二元檢測 4.4 4.4 高斯白噪聲中信號的檢測高斯白噪聲中信號的檢測TttntstzHTttntstzH0 )()()( : 0 )()()( :0011TdttsE0211 )(TdttsE0200 )()(1)(111tsEtSn)(1)(000tsEtSn1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法NkkkNtfztz1)(lim)(NkkkNtfztz1)()(Tt 0Tkkdttftzz0 )()( TdttstsEE00101 )( )(11 波

49、形的相關系數(shù)波形的相關系數(shù) 歸一化信號歸一化信號 （1 1）正交級數(shù)展開）正交級數(shù)展開)()(01tsts1反相（互補）信號反相（互補）信號 ，)(1ts)(0ts0 )( )(100101TdttstsEE與與 正交，正交，2022-5-15隨機信號分析41NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :1011NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :0000Tkkdttftss011 )()( 歸一化正交函數(shù)集歸一化正交函數(shù)集 Tkkdttftss000 )()( 高斯隨機變量高斯隨機變量Tkkdttftnn0 )()( 4.4 4.

50、4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法（1 1）正交級數(shù)展開）正交級數(shù)展開2)()()var(02200NnEszEHzkkkkkksHzE00)(kksHzE11)(2)()()var(02211NnEszEHzkkkk（2 2）似然函數(shù)和判決規(guī)則）似然函數(shù)和判決規(guī)則在假設在假設 下下0H1H在假設在假設 下下2022-5-15隨機信號分析424.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法NkkNNkkNNkkkkNsNsNsszNtz120012101010lim1lim1)(lim2)(ln0001000010 )( )(2 )( )(

51、2NENEdttstzNdttstzNTT00100010001 )(21ln2 )( )( )( )()(EENHHdttstzdttstztzlTT（2 2）似然函數(shù)和判決規(guī)則）似然函數(shù)和判決規(guī)則NkkkkkkNNkNszNNszNkNNsssszNtzkkkk120210101)(211)(1211)(21explimexpexplim)(02000210似然函數(shù)似然函數(shù)為：為：對數(shù)似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)為：為：檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 Tkkdttftss0 )()( Tkkdttftzz0 )()( )(lim)(tstsNNNkkkNtfsts1)()(Tt 0NkkkNtfs1 )(l

52、im)(tsN)(tsTdttsE0211 )(TdttsE0200 )(2022-5-15隨機信號分析434.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法相關檢測系統(tǒng)相關檢測系統(tǒng)Tdt0)()(1ts)(0ts)(tz判決電路1H0H0 0 0 門門限限成成立立成成立立Tdt0)(匹配濾波器TttTsth0 )()()(tzTt 時刻判決電路1H0H0 0 0 門門限限成成立立成成立立匹配濾波器TttTsth0 )()(Tt 時刻匹配濾波檢測系統(tǒng)匹配濾波檢測系統(tǒng)（3 3）最佳檢測系統(tǒng)（又稱最佳接收機）的結(jié)構(gòu)）最佳檢測系統(tǒng)（又稱最佳接收機）的結(jié)構(gòu)2022-5-15隨機

53、信號分析444.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法（4 4）接收機性能）接收機性能 TTdttstzdttstztzl0001 )( )( )( )()( 高斯隨機變量高斯隨機變量 )|var()|()|(02012HlHlEHlEd100011 )( )( )( )()(HdttstzdttstzEHlETT011001011 )( )()( )( )()(EEEdttstntsdttstntsETT 描述了描述了 、 、 、 的關系的關系FPDPd)(00TdttstsEE00101 )( )(10010)(EEEHlE)2(2)var()var(010

54、1001EEEENHlHl)2(201010EEEEN2022-5-15隨機信號分析450200)( )var(HHlElEHl2001000010 )( )()( )( )()( EEEdttstntsdttstntsETT20001 )( )( )( )( TTdttntsdttntsET TT TT TdtduuntnustsdtduuntnustsdtduuntnustsE0 0010 0000 011 )( )( )( )(2 )( )( )( )( )( )( )( )( T TT TT TdtduuntnEustsdtduuntnEustsdtduuntnEusts0 0010

55、0000 011 )( )()( )(2 )( )()( )( )( )()( )()2(201010EEEEN4.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法（4 4）接收機性能）接收機性能 描述了描述了 、 、 、 的關系的關系FPDPd)(00)(2)(0utNutRnTdttsE0211 )(TdttsE0200 )(TdttstsEE00101 )( )(12022-5-15隨機信號分析462ln)(001dderfcPHHPF2ln)(011dderfcPHHPD4.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法（4 4）接收機性能

56、）接收機性能 描述了描述了 、 、 、 的關系的關系FPDPd)(001E0E在信號能量在信號能量 和和 保持不變的情況下，波形相關系數(shù)保持不變的情況下，波形相關系數(shù) 將影響將影響檢測系統(tǒng)的性能。檢測系統(tǒng)的性能。)2(2010102EEEENd2022-5-15隨機信號分析474.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測1 1正交級數(shù)展開法正交級數(shù)展開法2 2充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法前提：前提：任一組正交函數(shù)都可作為白噪聲情況下的展開函數(shù)任一組正交函數(shù)都可作為白噪聲情況下的展開函數(shù)。TdttstsEE00101 )( )(11)(1ts)(0ts 與與 不一定正交不一定正交)(1ts)(0ts與與

57、 的波形相關系數(shù)為的波形相關系數(shù)為2022-5-15隨機信號分析48（1 1）尋找正交函數(shù)集）尋找正交函數(shù)集4.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測2 2充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法)()(1111tstfE令令)(1ts 與與 有關有關)(0ts 要求與要求與 有關，且與有關，且與 正交正交?)(2tf)(1tf根據(jù)根據(jù)格拉姆施密特（格拉姆施密特（Gram-SchmidtGram-Schmidt）正交化）正交化方法方法 )(0ts)(1)(111tsEtfTt 0)(1tf)(2tg用用 和和 生成在生成在 內(nèi)與內(nèi)與 正交的信號正交的信號)( )()( )()()()(1010100210tst

58、stfdttftststgEETTEEEEEEdttstststststsTdttgtgtf0101021102201100 )()( 2)()()( )(02222)()()(TdttstsEE00101 )( )(1)( )(10 )1 (11002tstsEEE2),(ktfk)(1tf)(2tf其余的其余的 ，可選與，可選與 、 正交的任意函數(shù)集正交的任意函數(shù)集 , 2 , 1 )()(0kdttftzzTkk2022-5-15隨機信號分析49110111011 )()()( )()(1nEdttstntsdttftzzTET4.4 4.4 一般二元檢測一般二元檢測2 2充分統(tǒng)計量法充分統(tǒng)計量法2200100 )1 (1022)1 ( )( )()()( )()(10102nEdttststntsdttftzzTEEEET在假設在假設 下下0H1H在假設在假設 下下100101011 )()()( )()(1nEdttstntsdttftzzTETTdttstsEE00101 )( )(120101 )1