初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)

1、一、對變式教學(xué)的理解一、對變式教學(xué)的理解 數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個方面變更所提供的側(cè)面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式學(xué)形式. 1.1 1.1 數(shù)學(xué)變式教學(xué)的本質(zhì)含義數(shù)學(xué)變式教學(xué)的本質(zhì)含義一、對變式教學(xué)的理解一、對變式教學(xué)的理解1.2 1.2 初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義 初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對提高學(xué)生初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對提高學(xué)生的思維能力、

2、應(yīng)變能力是大有益處的思維能力、應(yīng)變能力是大有益處 變式教學(xué)在教學(xué)過程中不僅是對基礎(chǔ)知識、基本變式教學(xué)在教學(xué)過程中不僅是對基礎(chǔ)知識、基本技能和思維的訓(xùn)練，而且也是有效實(shí)現(xiàn)新課程三維教技能和思維的訓(xùn)練，而且也是有效實(shí)現(xiàn)新課程三維教學(xué)目標(biāo)的重要途徑學(xué)目標(biāo)的重要途徑 一、對變式教學(xué)的理解一、對變式教學(xué)的理解【案例案例1】 在在“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱” 的中考專題復(fù)習(xí)課中，的中考專題復(fù)習(xí)課中，筆者設(shè)計(jì)了如下的筆者設(shè)計(jì)了如下的題目題目 題目題目 點(diǎn)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；關(guān)于；關(guān)于y軸軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是；

3、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .變式變式1 直線直線y=2x-1關(guān)于關(guān)于x軸對稱的直線的解析式是軸對稱的直線的解析式是 ；關(guān)；關(guān)于于y軸對稱的直線的解析式是軸對稱的直線的解析式是 ；關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的解；關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的解析式是析式是 .變式變式2 將直線將直線y=2x-1改為改為雙曲線雙曲線y=1/x，其它不變，其它不變 .變式變式3 將直線將直線y=2x-1改為改為拋物線拋物線y=3x2+2x-1，其它不變，其它不變 .變式變式4 上述函數(shù)圖象上述函數(shù)圖象 關(guān)于關(guān)于 x軸對稱的有軸對稱的有 ；231(1)3 ;(2);(3)2;(4);(5)2.yxyxyxyyxx 一、對變式教學(xué)的理解

4、一、對變式教學(xué)的理解【案例案例2】浙教版七（上）浙教版七（上）7.8 平行線平行線 ：課內(nèi)練習(xí)第課內(nèi)練習(xí)第3 3題題：如圖，在：如圖，在ABC中，中，P是是AC邊上的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別畫分別畫AB，BC的平行線的平行線.PCBAABCPQR二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3 2.3 參與性原則參與性原則2.1 2.1 針對性原則針對性原則2.2 2.2 可行性原則可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1 針對性原則針對性原則 【案例案例3】原題原題 如圖如圖1 1，在銳角三角形紙片，在銳角三角形紙片ABC中，將紙中，將紙片折疊，使點(diǎn)片折

5、疊，使點(diǎn)A落在對邊落在對邊BC上的點(diǎn)上的點(diǎn)D處，折痕交處，折痕交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)F，折痕，折痕EF/BC，連接，連接AD、DE、DF. .（1 1）求證：線段）求證：線段EFEF是是ABC的中位線的中位線. .（2 2）線段）線段AD、BC有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論. .（3 3）若）若AB=AC，試判斷四邊形，試判斷四邊形AEDFAEDF的形狀，并加以證明的形狀，并加以證明. . C F E D B A二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則 變式變式1 試一試，你能用一張銳角三角形紙片折出他的四條重要線段：試一試，你能用一張銳角三角形紙片折出他

6、的四條重要線段：角平分線、中線、高、中垂線嗎？能利用折紙確定三角形的角平分線、中線、高、中垂線嗎？能利用折紙確定三角形的“四心四心”嗎？嗎？ 變式變式2 如圖如圖2，在鈍角三角形紙片，在鈍角三角形紙片ABC中，將紙片折疊，使點(diǎn)中，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在邊落在邊BC的延的延長線上的長線上的D處，折痕交處，折痕交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E,交交AC于于點(diǎn)點(diǎn)F,折痕折痕EF/BC,連接連接CE、DE、DF,且且BC=2CD. (1)圖中有幾個等腰三角形？試寫出圖中有幾個等腰三角形？試寫出.（不能添加字母和輔助線，不要求證明）（不能添加字母和輔助線，不要求證明） (2) 若若AC=BC，試判斷四邊形，試判斷四邊形

7、EFDC的的形狀，并證明你的結(jié)論形狀，并證明你的結(jié)論. F E D C B A2.1 針對性原則針對性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則 A B D M N C 變式變式3 如圖如圖3 3，將邊長為將邊長為a的等邊三角形折疊的等邊三角形折疊，使點(diǎn)使點(diǎn)A落在邊落在邊BC的點(diǎn)的點(diǎn)D上上，且且BD:DC=m:n. .設(shè)折痕為設(shè)折痕為MN, ,求求AM:AN的值的值. .2.1 針對性原則針對性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2 可行性原則可行性原則 【案例案例4】 原題原題 有一塊三角形余料有一塊三角形余料ABC，它的邊，它的邊BC=120mm，高，高AD=

8、80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其上，其余兩個頂點(diǎn)分別在余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上。問加工成的正方形零件的邊長為多少上。問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？?N?E?B?C?Q?M?D?P?A二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則?A?P?D?M?Q?C?B?E?N 變式變式1 將原題中將原題中“正方形正方形PQMN”改為改為“矩形矩形PQMN”問矩問矩形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大？最大面積是形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大？最大面積是多少？余料的利用率是多少？多少？余料的利用率是多少

9、？2.2 可行性原則可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則 變式變式2 一塊直角三角形木板的一條直角邊一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為長為1.5m，面積為，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲乙，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1）所示，乙設(shè)計(jì)方案如）所示，乙設(shè)計(jì)方案如圖（圖（2）所示。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由（加）所示。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可

10、保留分?jǐn)?shù)）?A?D?F?C?B?E2.2 可行性原則可行性原則?D?P?E?F?H?G?B?C?A圖（圖（1）圖（圖（2）二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2 可行性原則可行性原則 變式變式3 已知已知ABC是直角三角形，是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如圖所示，把邊長分別為，如圖所示，把邊長分別為x1, ,x2, ,x3, ,xn的的n個正方形依次個正方形依次放入放入ABC中，則第中，則第1個正方形的邊長個正方形的邊長x1= ；第；第n個正方形的邊個正方形的邊長長xn= (用含用含n的式子表示，的式子表示，n1)?A?B?C?x?3?x?2?x?1二、變式教學(xué)

11、要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2 可行性原則可行性原則 變式變式4 在在RtABC中，中，ACB90，AC4，BC3. （1）如圖（）如圖（1），四邊形），四邊形DEFG為為RtABC的內(nèi)接正方形，的內(nèi)接正方形， 求正方形的邊長求正方形的邊長 （2）如圖（）如圖（2），三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它），三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它 們組成的矩形內(nèi)接于們組成的矩形內(nèi)接于RtABC，求正方形的邊長，求正方形的邊長 （3）如圖（）如圖（3），三角形內(nèi)有并排的），三角形內(nèi)有并排的n個相等的正方形，它們個相等的正方形，它們 組成的矩形內(nèi)接于組成的矩形內(nèi)接于RtABC，求正方形的邊

12、長，求正方形的邊長?G?F?E?D?B?C?A?K?H?G?F?E?D?A?C?B?A?C?B圖（圖（1）圖（圖（2）圖（圖（3）二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3 參與性原則參與性原則圖 變式變式5 5 在已知在已知RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8（1）如圖，若半徑為）如圖，若半徑為r1的的 O1是是RtABC的內(nèi)切圓，求的內(nèi)切圓，求r1二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3 參與性原則參與性原則圖（2）如圖，若半徑為）如圖，若半徑為r2的兩個等圓的兩個等圓 O1、 O2外切，且外切，且 O1與與AC、AB相切，相切， O2與與BC、AB相切，

13、求相切，求r2.（3）如圖，當(dāng)）如圖，當(dāng)n大于大于2的正整數(shù)時，若半徑的正整數(shù)時，若半徑rn的的n個等圓個等圓 O1、 O2、 On依次外切，且依次外切，且 O1與與AC、BC相切，相切， On與與BC、AB相切，相切， O1、 O2、 O3、 O n1均與均與AB邊相切，邊相切，求求r n.圖二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3 參與性原則參與性原則 變式變式6 6 有一塊直角三角形的白鐵皮，其一條直角邊和斜邊長有一塊直角三角形的白鐵皮，其一條直角邊和斜邊長分別為分別為60cm和和100cm. 若從這塊白鐵皮上剪出一塊盡可能大的圓若從這塊白鐵皮上剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這

14、塊圓鐵皮的面積有多大？從余下的白鐵皮中再剪出一塊鐵皮，這塊圓鐵皮的面積有多大？從余下的白鐵皮中再剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的半徑是多少？盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的半徑是多少？?O?2?O?1?B?C?A二、變式教學(xué)要遵循的原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3 參與性原則參與性原則?O?3?A?C?B?O?1?O?2 變式變式7 7 在變式在變式3的基礎(chǔ)上再剪出一塊圓鐵皮的基礎(chǔ)上再剪出一塊圓鐵皮 O3， O3與與 O2外切，與外切，與BAC的兩邊相切，求的兩邊相切，求 O3的半徑；若照此要求作下去，的半徑；若照此要求作下去，求求 On的半徑的半徑rn的大小的大小.三、變式教學(xué)中七種變

15、式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1 3.1 概念變式概念變式【案例案例5】 “平方根平方根”概念的教學(xué)概念的教學(xué)【案例案例6】“矩形矩形”的概念教學(xué)的概念教學(xué)三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1 3.1 概念變式概念變式【案例案例5】“平方根平方根”概念的教學(xué)概念的教學(xué)正方形正方形面積面積416494/250.81邊長邊長x2416494/250.81x三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1 3.1 概念變式概念變式【案例案例6】“矩形矩形”的概念教學(xué)的概念教學(xué)?B?C?D?A?B?C?D?A?D?C?B?A三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中

16、七種變式舉例3.2 3.2 過程變式過程變式【案例案例7】“等腰三角形的判定等腰三角形的判定”的教學(xué)的教學(xué)（1）模式化的定理教學(xué)）模式化的定理教學(xué) 復(fù)習(xí)性質(zhì)定理、給出判定命題復(fù)習(xí)性質(zhì)定理、給出判定命題 師生進(jìn)行思路分析師生進(jìn)行思路分析 通過論證得出定理通過論證得出定理 應(yīng)用定理做練習(xí)應(yīng)用定理做練習(xí)等腰三角形的兩等腰三角形的兩個底角相等個底角相等有兩個角相等的三有兩個角相等的三角形是等腰三角形角形是等腰三角形寫成已知求證的形式：寫成已知求證的形式：已知：在已知：在ABCABC中，中，B=C.B=C.求證：求證：AB=ACAB=ACACB（2）用情境問題引發(fā)興趣）用情境問題引發(fā)興趣 如何復(fù)原一個被

17、墨跡浸漬的等腰三角形？如何復(fù)原一個被墨跡浸漬的等腰三角形？ 學(xué)生的三種學(xué)生的三種“補(bǔ)出補(bǔ)出”方法：方法：只剩一個底角和一條底邊只剩一個底角和一條底邊量出量出C C度數(shù)，畫出度數(shù)，畫出B BC C， B B與與C C的邊相交得到頂點(diǎn)的邊相交得到頂點(diǎn)A A作作BCBC邊上的中垂邊上的中垂線，與線，與C C的一邊的一邊相交得到頂點(diǎn)相交得到頂點(diǎn)A A“對折對折”（3）多種證法激活創(chuàng)造力）多種證法激活創(chuàng)造力 三種常規(guī)的辦法：三種常規(guī)的辦法： 兩種創(chuàng)造性的證法：兩種創(chuàng)造性的證法：作作A A的平分線，的平分線，利用利用“角角邊角角邊”過過A A作作BCBC邊的垂線，邊的垂線，利用利用“角角邊角角邊”作作BC

18、BC邊上的中線，邊上的中線，“邊邊角邊邊角”不能證明不能證明假定假定ABAC,ABAC,由由“大邊對大角大邊對大角”得得出矛盾出矛盾ABCABCACBACB，應(yīng)用應(yīng)用“角邊角角邊角”ACB（4）用變式練習(xí)分步解決問題）用變式練習(xí)分步解決問題 不斷變換題目的條件：不斷變換題目的條件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分B B，COCO平分平分C C。能得。能得出什么結(jié)論？出什么結(jié)論？過過O O作直線作直線EFBCEFBC。圖中有幾個等腰三角圖中有幾個等腰三角形？為什么？線段形？為什么？線段EFEF與線段與線段BEBE、FCFC之間之間有何關(guān)系？有何關(guān)系？( (學(xué)生編題學(xué)

19、生編題) )若若B B與與C C不相等不相等。 圖中有沒有等腰三角圖中有沒有等腰三角形？為什么？線段形？為什么？線段EFEF與線段與線段BEBE、FCFC之間還有之間還有沒有關(guān)系？沒有關(guān)系？( (學(xué)生討論學(xué)生討論) )三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3 3.3 圖形變式圖形變式【案例案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等三角形高的概念圖形與非概念圖形等【案例案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識【案例案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3 3.3 圖形變式圖

20、形變式【案例案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等三角形高的概念圖形與非概念圖形等三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3 3.3 圖形變式圖形變式【案例案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識163) 1(33222xxyxyxy三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3 3.3 圖形變式圖形變式【案例案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展勾股定理也可以表述為：勾股定理也可以表述為：如果以直角三角形的三條邊如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，為邊，向形外分別作正方形，那么以兩直角邊向形外分別作正方形，

21、那么以兩直角邊a,b為邊長的兩個正方形的面為邊長的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊積之和，等于以斜邊c為邊長的正方形的面積即為邊長的正方形的面積即S1+S2=S3探索探索1：如果以直角三角形的三條邊如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向形外分別作正三為邊，向形外分別作正三角形，那么是否存在角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？探索探索2：如果以直角三角形的三條邊如果以直角三角形的三條邊a,b,c為直徑，向形外分別作三為直徑，向形外分別作三個半圓，那么是否存在個半圓，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？幾何原本幾何原本中的結(jié)論：中的結(jié)論：在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任在一個直角三角

22、形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角上所畫的與其相似的圖形的面積之和何圖形的面積，等于在兩條直角上所畫的與其相似的圖形的面積之和三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3 3.3 圖形變式圖形變式【案例案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展中考舉例從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展中考舉例例例1（2009 宜賓）已知：如圖，以宜賓）已知：如圖，以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形若斜邊直角三角形若斜邊AB3,則圖中陰影部分的面積為則圖中陰影部分的面積為 例例2 （2009 湖州）如圖，已知在湖州）如圖，已知在RtABC中，中，A

23、CB=Rt，AB=4，分別以分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則，則S1+S2的值等的值等于于 CABS1S2三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4 3.4 結(jié)構(gòu)變式結(jié)構(gòu)變式【案例案例11】圓中的有關(guān)結(jié)論圓中的有關(guān)結(jié)論【案例案例12】二次三項(xiàng)式二次三項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4 3.4 結(jié)構(gòu)變式結(jié)構(gòu)變式【案例案例12】圓中的有關(guān)結(jié)論圓中的有關(guān)結(jié)論三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4 3.4 結(jié)構(gòu)變式結(jié)構(gòu)變式【案例案例12】二次三

24、項(xiàng)式二次三項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 原題：原題：x2+4x+ 中添上什么數(shù)就可以使這個式子用公式法分解中添上什么數(shù)就可以使這個式子用公式法分解 變式變式1：如果添上的數(shù)不是：如果添上的數(shù)不是4而是而是3，即，即x2+4x+3，還能不能分解？，還能不能分解？ 變式變式2：把：把x2+4x+3改為改為x2-5x-6，又如何分解呢？，又如何分解呢？變式變式3：分解因式：分解因式：x2+(a+b)x+ab 三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.5 3.5 題目變式題目變式 題目變式包括條件的探究（增加、減少或變題目變式包括條件的探究（增加、減少或變更條件）、結(jié)

25、論的探究（結(jié)論是否唯一）、數(shù)與更條件）、結(jié)論的探究（結(jié)論是否唯一）、數(shù)與形的探究、引申探究（命題是否可以推廣）等形的探究、引申探究（命題是否可以推廣）等 一般地說，幾何問題的演變策略演變策略通常有以下六種：u?條件的弱化或強(qiáng)化；u?結(jié)論的延伸與拓展；u圖形的變式與延伸；u條件與結(jié)論的互換；u?基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用；u?多種演變方法的綜合三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.5 3.5 題目變式題目變式怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略 圖圖1 1 【案例案例13】已知：如圖已知：如圖1 1，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，中，AC=CE,AC

26、=CE,點(diǎn)點(diǎn)D D在邊在邊BCBC的延長線上，且的延長線上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. . 求證：求證：CABCABECD.ECD.鏈接中考鏈接中考1. 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別是都是正方形，邊長分別是a、b、cA、B、N、E、F五點(diǎn)在同一條直線上，則五點(diǎn)在同一條直線上，則c= . (用含有用含有a、b的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示)aDCBAMcNEFbGH2如圖，已知如圖，已知ABC中，中，ABC=90, AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且上，且l1，l2之間

27、的距離為之間的距離為2 , l2，l3之之間的距離為間的距離為3 ,則則AC的長是的長是 ( ) A B C D71725224l1l2l3ACB怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（一）條件的弱化或強(qiáng)化（一）條件的弱化或強(qiáng)化 當(dāng)一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少當(dāng)一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少其中一兩個條件，或?qū)⑵渲械囊粌蓚€條件其中一兩個條件，或?qū)⑵渲械囊粌蓚€條件“一般化一般化”，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新命題以求并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新命題以求拓展應(yīng)用拓展應(yīng)用 1. 條件的弱化條件的弱化1.1 弱化條件弱化條件“AC=CEAC=CE（線

28、段相等）（線段相等）”，則結(jié)論由三角，則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似形全等弱化為三角形相似 變式變式1 如圖如圖2 2，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D在邊在邊BCBC的延的延長線上，且長線上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. .求證：求證：CABCABECD.ECD.圖圖2 2 試題試題1 如圖如圖3，正方形正方形ABCD的邊長為的邊長為4cm，點(diǎn)點(diǎn)P是是BC邊上不與點(diǎn)邊上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，連接重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作PQAP交交DC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，設(shè)設(shè)BP的長的長為為xcm, CQ的長的長為為y cm（1）求

29、點(diǎn)求點(diǎn)P在在BC上運(yùn)動的過程中上運(yùn)動的過程中y的最大值；的最大值；（2）當(dāng)當(dāng)y =1/4 cm時時，求求x的值的值?圖圖3鏈接中考鏈接中考 試題試題2 如圖如圖4, ,邊長為邊長為1的正方形的正方形O OABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)A在在x軸的正半軸上，點(diǎn)軸的正半軸上，點(diǎn)C在在y軸的正半軸上動點(diǎn)軸的正半軸上動點(diǎn)D在線在線段段BC上移動（不與點(diǎn)上移動（不與點(diǎn)B，C重合），連接重合），連接OD，過點(diǎn)，過點(diǎn)D作作DEOD,交邊交邊AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，連接，連接OE. .記記CD的長為的長為t. .圖圖4（1 1）當(dāng)）當(dāng)t=1/3時時, ,求直線求直線DEDE的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)表達(dá)式

30、（3 3）當(dāng)）當(dāng)OD2 2+ +DE2 2的算術(shù)平方根取最小值時的算術(shù)平方根取最小值時，求點(diǎn)，求點(diǎn)E E的坐標(biāo)的坐標(biāo)（2 2）如果記梯形）如果記梯形COEB的面積為的面積為S，那么，那么S是否存在最大值？若存在是否存在最大值？若存在, ,試求出這個試求出這個最大值及此時最大值及此時t的值的值; ;若不存在若不存在, ,試說明理由試說明理由x鏈接中考鏈接中考試題試題3 已知已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線的同側(cè)，分是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作的垂線，垂足為別過這兩點(diǎn)作的垂線，垂足為B、C，E是是BC上一動點(diǎn)，連結(jié)上一動點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，且，且AED=90（1

31、1）如圖，如果）如圖，如果AB=6, BC=16, ,且且BE:CE=1:3，求求AD的長的長（2 2）如圖，若點(diǎn)）如圖，若點(diǎn)E E恰為這段圓弧的圓心，則線段恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明. .再探究：當(dāng)再探究：當(dāng)A、D分別在直線兩側(cè)且分別在直線兩側(cè)且ABCD，而其余條件不變時，線段，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明.鏈接中考鏈接中考lABCDE（1）ClABDE（2）變式變式2 如圖如圖5

32、 5，在，在ABC和和CDE中，點(diǎn)中，點(diǎn)D在邊在邊BC的延長線上，的延長線上，AC=CE，且，且ACE=B=D, ,則則ABCCDE. .1.2 弱化條件弱化條件“直角直角”，則，則“全等全等”結(jié)論仍然結(jié)論仍然成立成立 圖圖5 5 試題試題3 3 如圖如圖6 6，ABC為等邊三角形，點(diǎn)為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分分別在邊別在邊BC，CA，AB上，且上，且DEF也為等邊三角形也為等邊三角形（1 1）除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有）除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；哪些線段相等，并證明你的結(jié)論； 圖圖6 6 （2 2）你所證明相等的線段，可以通過怎

33、樣的變換相互得）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程到？寫出變換過程鏈接中考鏈接中考2.3 同時弱化條件同時弱化條件“線段相等線段相等”和和“直角直角”, ,則結(jié)論由則結(jié)論由全等弱化為相似全等弱化為相似變式變式3 3 如圖如圖7 7，在，在ABC和和 CDE中，點(diǎn)中，點(diǎn)D在邊在邊BC的的延長線上，延長線上，ACE= = B= = D，則，則ABC CDE 圖圖7 7 試題試題4 如圖如圖8 8，在等邊，在等邊ABC 中，中，P為為BC邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，D為為AC邊上一點(diǎn)，且邊上一點(diǎn)，且APD= =60，BP= =1，CD= =2/3, ,則則ABC的邊長為（的邊長為（

34、 ） A3 B4 C5 D6 圖圖8 8鏈接中考鏈接中考試題試題5 5 如圖如圖9 9，在，在RtCAB中，中，CAB=90，AB=AC=2, ,點(diǎn)點(diǎn)D在在BC上運(yùn)動（不能到達(dá)點(diǎn)上運(yùn)動（不能到達(dá)點(diǎn)B,C）, ,過點(diǎn)過點(diǎn)D作作ADE=45, ,DE交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E (1)(1)求證：求證：ABDDCE; ; (2) (2)設(shè)設(shè)BD=x, ,AE=y, ,求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 圖圖9 9鏈接中考鏈接中考 試題試題6 在等腰在等腰ABCABC 中，中，AB=ACAB=AC=8, BAC=1208, BAC=120, ,P為為BCBC的中點(diǎn)小惠拿著含的中點(diǎn)小惠拿著含30角的透明三

35、角板，使角的透明三角板，使30角角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P P （1 1）如圖）如圖10（1 1），當(dāng)三角板的兩邊分別交），當(dāng)三角板的兩邊分別交AB,ACAB,AC于點(diǎn)于點(diǎn)E,FE,F時，時，求證：求證：PBE PBE FCPFCP ；（2 2）操作：將三角板繞點(diǎn)）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖10（2 2）情形時，三角板的）情形時，三角板的兩邊分別交兩邊分別交BABA的延長線、邊的延長線、邊ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E,FE,F 探究探究1 1：PBEPBE與與CFPCFP還相似嗎？還相似嗎？ 探究探究2 2：連接：連接EF, , PBEPBE與與EFPEFP是否能相似？試說明理由？是否能相似

36、？試說明理由？ 設(shè)設(shè)EF=EF=m, , EPFEPF的面積為的面積為S,S,試用含試用含m 的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示S S 圖圖1010試題試題7 如圖如圖11，已知在等腰梯形，已知在等腰梯形ABCD中，中，ABCD，ABCD, AB=10，BC=3（1）如圖）如圖11( (1) )，如果，如果M為為AB上一點(diǎn)，且滿足上一點(diǎn)，且滿足DMC= A, , 求求AM的長的長；（2）如圖）如圖11( (2) )，如果點(diǎn)，如果點(diǎn)M在在AB邊上移動（點(diǎn)邊上移動（點(diǎn)M與與A，B不重合），且滿足不重合），且滿足DMN=A，MN交交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)N，設(shè)，設(shè)AM=x，CN=y，求，求y關(guān)于關(guān)于x的

37、函數(shù)解析式的函數(shù)解析式 圖圖1111鏈接中考鏈接中考怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略2. 條件的強(qiáng)化條件的強(qiáng)化 針對基本問題及變式問題中的線段、角等幾何元針對基本問題及變式問題中的線段、角等幾何元素，通過給定其已知數(shù)據(jù)（長度、角度等），或設(shè)計(jì)素，通過給定其已知數(shù)據(jù)（長度、角度等），或設(shè)計(jì)成實(shí)際應(yīng)用問題等手段，強(qiáng)化問題的條件，考查學(xué)生成實(shí)際應(yīng)用問題等手段，強(qiáng)化問題的條件，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力綜合應(yīng)用知識解決問題的能力（一）條件的弱化或強(qiáng)化（一）條件的弱化或強(qiáng)化變式變式4 如圖如圖12，在筆直的公路的同側(cè)有，在筆直的公路的同側(cè)有A，B兩個村兩個村莊，已知莊，已知A，B

38、兩村分別到公路的距離兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km（1 1）現(xiàn)要在公路上建一個汽車站）現(xiàn)要在公路上建一個汽車站P，使該車站到，使該車站到A，B兩兩村的距離相等，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)村的距離相等，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)P（不寫作法（不寫作法，保留作圖痕跡）；，保留作圖痕跡）；（2 2）若連接）若連接AP，BP，測得，測得APB=900 0, ,求求A村到車站村到車站P的的距離距離圖圖1212 試題試題8 如圖如圖13，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=10. .直直角尺的直角頂點(diǎn)角尺的直角頂點(diǎn)P在在AD上滑動時（點(diǎn)上滑動時（點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)A不重合），一不重合）

39、，一直角邊經(jīng)過點(diǎn)直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與，另一直角邊與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E. .我們知道，結(jié)我們知道，結(jié)論論“RtEPARtPCD”成立成立（1 1）當(dāng)）當(dāng)CPD=300時，求時，求AE的長；的長；（2 2）是否存在這樣的點(diǎn)）是否存在這樣的點(diǎn)P，使，使DPC的周長等于的周長等于AEP周周長的長的2 2倍？若存在，求出倍？若存在，求出DP的長；若不存在，試說明理由的長；若不存在，試說明理由鏈接中考鏈接中考怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（二）結(jié)論的延伸與拓展（二）結(jié)論的延伸與拓展 考慮到習(xí)題中的結(jié)論是兩個三角形全等，根據(jù)全考慮到習(xí)題中的結(jié)論是兩個三角形全等，根據(jù)全等性質(zhì)，可對問

40、題的結(jié)論做進(jìn)一步的延伸與拓展等性質(zhì)，可對問題的結(jié)論做進(jìn)一步的延伸與拓展 變式變式5 在在ABC中，中，ACB=900，AC=BC，直線，直線MN經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)C，ADMN ，垂足為，垂足為D，BEMN ，垂足為，垂足為E（1 1）當(dāng)直線）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖14( (1) )的位置時，求證：的位置時，求證： ACD CBE; ; DE=AD+BE. .（2 2）當(dāng)直線）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖14( (2) )的位置時，試問：的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個等量關(guān)系，具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個等量關(guān)系，并加以證明并加以證明 圖圖14

41、14 怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（三）圖形的變式延伸（三）圖形的變式延伸 結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習(xí)題中的化，如將習(xí)題中的ABCABC和和CDECDE相向移動交叉重疊，相向移動交叉重疊，如圖如圖1515所示所示圖圖15圖圖15試題試題9 9 問題背景問題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：命題： 如圖如圖16(1)16(1)，在正，在正ABCABC中，中，M M，N N分別是分別是ACAC，ABAB上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BMBM與與CNCN相交

42、相交于點(diǎn)于點(diǎn)O O，若，若BON=60BON=600 0 ，則，則BM=CNBM=CN；如圖；如圖16(2)16(2)，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M，N N分分別是別是CDCD，ADAD上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BMBM與與CNCN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，若，若BON=90BON=900 0 ，則，則BM=CNBM=CN；然后運(yùn)用；然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題：類比的思想提出了如下命題：如圖如圖16(3)16(3)，在正五邊形，在正五邊形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分分別是別是CDCD，DEDE上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BMBM與與CNCN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，若，若BON

43、=108BON=1080 0，則，則BM=CNBM=CN 任務(wù)要求任務(wù)要求 （1 1）請你從）請你從、三個命題中選擇一個進(jìn)行證明；三個命題中選擇一個進(jìn)行證明； （2 2）請你繼續(xù)完成下面的探索：）請你繼續(xù)完成下面的探索：試在圖試在圖16(3)16(3)中畫出一條與中畫出一條與CNCN相等相等的線段的線段DHDH，使點(diǎn)，使點(diǎn)H H在正五邊形的邊上，且與在正五邊形的邊上，且與CNCN相交所成的一個角是相交所成的一個角是1081080 0，這，這樣的線段有幾條？樣的線段有幾條？如圖如圖16(4)16(4)，在正五邊形，在正五邊形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分別是分別是DEDE，DADA

44、上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BMBM與與CNCN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，若，若BON=108BON=1080 0 ，請問結(jié)論，請問結(jié)論BM=CNBM=CN是否還成立？是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說明理由若成立，試給予證明；若不成立，試說明理由怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（四）條件與結(jié)論的互換（四）條件與結(jié)論的互換 建立并研究討論幾何命題的逆命題，這是幾何命題建立并研究討論幾何命題的逆命題，這是幾何命題教學(xué)中最為常見的一種演變方法教學(xué)中最為常見的一種演變方法 如對勾股定理及其逆定理的研究，平行線的性質(zhì)定理如對勾股定理及其逆定理的研究，平行線的性質(zhì)定理與判定定理的研究，平行

45、四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的與判定定理的研究，平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的研究，特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）性質(zhì)定研究，特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）性質(zhì)定理與判定定理的研究等，都是這種演變策略的經(jīng)典應(yīng)用理與判定定理的研究等，都是這種演變策略的經(jīng)典應(yīng)用 試題試題1010 如圖如圖17(1)17(1)、圖、圖17(2)17(2)、圖、圖17(3)17(3)中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E，D D 分別是正分別是正ABC ABC 、正四邊形、正四邊形ABCMABCM、正五邊形、正五邊形ABCMNABCMN中中以以C C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CDBE=

46、CD，DBDB交交AEAE于點(diǎn)于點(diǎn)P P ( (1 1) )求圖求圖17(1)17(1)中中, APD, APD的度數(shù)；的度數(shù)； （2 2) )圖圖17(2)17(2)中，中，APDAPD的度數(shù)為的度數(shù)為 ，圖，圖17(3)17(3)中，中，APDAPD的度數(shù)為的度數(shù)為 ； ( (3 3) )根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n n邊形的邊形的情況若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，試說明理由情況若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，試說明理由圖圖1717怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（五）基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用（五）基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用

47、 幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，學(xué)生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時，還應(yīng)具學(xué)生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時，還應(yīng)具備必需的添加輔助線構(gòu)造基本圖形的技能備必需的添加輔助線構(gòu)造基本圖形的技能. 試題試題11 如圖如圖1818，在梯形，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC， ABC=90ABC=900 0，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=AB=a，在線段，在線段BCBC上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P P，連接，連接DPDP，作，作

48、射線射線PEDPPEDP，PEPE與直線與直線ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E.E.（1 1）若設(shè)）若設(shè)CP=CP=x ，BE=BE=y ，試寫出，試寫出y關(guān)于自變量關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式式. .（2 2）若在線段）若在線段BCBC上能找到不同的兩點(diǎn)上能找到不同的兩點(diǎn)P P1 1，P P2 2，使按上述作，使按上述作法得到的點(diǎn)法得到的點(diǎn)E E都與點(diǎn)都與點(diǎn)A A重合，試求出此時重合，試求出此時a的聚會范圍的聚會范圍. .圖圖1818鏈接中考鏈接中考試題試題12 如圖如圖2121，MON=90MON=900 0，在，在MONMON的內(nèi)部有一正方形的內(nèi)部有一正方形AOCDAOCD，點(diǎn)，點(diǎn)A A，C

49、 C分別在射線分別在射線OMOM，ONON上，點(diǎn)上，點(diǎn)B B1 1是是ONON上的任意一點(diǎn)，上的任意一點(diǎn)，在在MONMON的內(nèi)部作正方形的內(nèi)部作正方形ABAB1 1C C1 1D D1 1（1 1）連接）連接D D1 1D D，求證：，求證：ADDADD1 1=90=900 0 ; ;（2 2）連接）連接CCCC1 1，猜一猜，猜一猜，C C1 1CNCN的度數(shù)是多少？并證明你的的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論結(jié)論（3 3）在）在ONON上再任取一點(diǎn)上再任取一點(diǎn)B B2 2，以，以ABAB2 2為邊，在為邊，在MONMON的內(nèi)部作的內(nèi)部作出正方形出正方形ABAB2 2C C2 2D D2 2，觀察

50、圖形，并結(jié)合，觀察圖形，并結(jié)合(1)(1)、(2)(2)的結(jié)論，請你的結(jié)論，請你再作出一個合理的判斷再作出一個合理的判斷圖圖2121怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（六）多種演變方法的綜合（六）多種演變方法的綜合 習(xí)題的演變要適時、適度，要遵循科學(xué)性原則和習(xí)題的演變要適時、適度，要遵循科學(xué)性原則和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不可脫離學(xué)生知識和能力水平的實(shí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不可脫離學(xué)生知識和能力水平的實(shí)際，因此，在對例習(xí)題教學(xué)功能的挖掘方面教師們常際，因此，在對例習(xí)題教學(xué)功能的挖掘方面教師們常常需要綜合使用多種變式方法，實(shí)施習(xí)題演變策略常需要綜合使用多種變式方法，實(shí)施習(xí)題演變策略. .圖圖1三

51、、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例案例14】如圖如圖1 1，A, ,C , ,B三點(diǎn)在一條直線上，三點(diǎn)在一條直線上，DAC和和EBC均為等邊三角形，均為等邊三角形，AE，BD分別與分別與CD，CE交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，N，有如下結(jié)論有如下結(jié)論ACE DCB；CM=CN；AC=DN. .其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）（A A）3 3 （B B）2 2 （C C）1 1 （D D）0 0圖圖2三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例例例2 2結(jié)論的探究結(jié)論的探究（1）圖）圖1 1中全等的三角形有幾對？中全等的三角形有幾對？（2）如圖）如圖2 2，連

52、接，連接MN，猜想，猜想CMN的形狀的形狀.（3）猜想）猜想MN和直線和直線AB的位置關(guān)系的位置關(guān)系.（4）猜想）猜想EFB的度數(shù)的度數(shù).（5）圖）圖2中相似的三角形有哪些？中相似的三角形有哪些？（6）若已知）若已知DAC和和EBC的邊長的邊長分別為分別為a和和b，試求，試求MN的長的長.三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例例例2條件的探究條件的探究圖圖3 探究探究1：如圖如圖3 3，當(dāng)，當(dāng)A，C，B三點(diǎn)不共線時，以上探三點(diǎn)不共線時，以上探討的一系列結(jié)論哪些仍然成立？哪些不成立？討的一系列結(jié)論哪些仍然成立？哪些不成立？ 探究探究2 2：在上題中，若將圖中的在上題中，若將圖中的“

53、等邊三角形等邊三角形”改成改成“正方形正方形”、“正五邊形正五邊形”（如圖（如圖4 4、圖、圖5 5所示），以上探討所示），以上探討的結(jié)論還成立嗎？的結(jié)論還成立嗎？圖圖4圖圖5三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例例例2 2的幾個變式的幾個變式 變式變式1 1：如圖如圖6 6或圖或圖7 7，已知：，已知：ABDABD，ACEACE都是等邊都是等邊三角形，求證：三角形，求證：CD=BE CD=BE . . 圖圖6圖圖7三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 變式變式2 2：如圖如圖8 8，點(diǎn)，點(diǎn)A A為線段為線段CBCB延長線上一點(diǎn)，分別延長線上一點(diǎn)，分別以以BCBC

54、，ACAC為邊在直線為邊在直線BCBC異側(cè)作等邊異側(cè)作等邊BCDBCD和等邊和等邊ACEACE，求證：求證：ADAD= =BE BE . . 圖圖8三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 變式變式3 3：如圖如圖9 9，點(diǎn)，點(diǎn)A A為線段為線段BCBC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，ABDABD和和ACEACE都是等腰三角形，且都是等腰三角形，且ABAB，ADAD與與ACAC，AEAE分別是等腰分別是等腰三角形的腰，且三角形的腰，且ABDABDACEACE，求證：，求證：CD=BECD=BE . . 圖圖9三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.6 方法變式方法變式 所謂所謂“方

55、法變式方法變式”就是把同一個問題的不就是把同一個問題的不同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法聯(lián)結(jié)起來（聯(lián)結(jié)起來（“一題多解一題多解”）.三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 【案例案例15】如圖如圖1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延長，延長ABAB到點(diǎn)到點(diǎn)D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CD=CD=2 2CE .CE .圖圖10三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例案例15】 如圖

56、如圖1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延長，延長ABAB到點(diǎn)到點(diǎn)D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CD=CD=2 2CE .CE .圖圖11 思路思路1 1：（延長法）：（延長法）如圖如圖1111，延長延長CECE至點(diǎn)至點(diǎn)D D,使使EDED=CECE，連，連接接ADAD，BDBD，則，則CDCD=2=2CECE，然，然后利用后利用CBDCBDCBDCBD，得出，得出CDCD=CD CD 即可即可. . 三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 【案例案例15】 如圖如圖1010，已知在，已知在ABCA

57、BC中，中，AB=ACAB=AC，延長，延長ABAB到點(diǎn)到點(diǎn)D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CD=CD=2 2CE .CE . 思路思路2 2：（截取法）：（截取法）如圖如圖1212，取，取CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn)E E，連接，連接BEBE，利用，利用CBECBECBECBE，得出，得出CECE=CECE，而而12CECD，得證，得證. .圖圖12三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 【案例案例15】 如圖如圖1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延長，延長ABAB到點(diǎn)到點(diǎn)D D，使，使BD=ABBD=A

58、B，E E是是ABAB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CD=CD=2 2CE .CE .圖圖13 思路思路3 3：( (利用三角形中利用三角形中位線的性質(zhì)位線的性質(zhì)) )如圖如圖1313，構(gòu)造，構(gòu)造DFG，使，使E，C分別是分別是DF，DG的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接CF，則，則FG=2CE，CG=CD，只要證，只要證FG=CG即可即可.三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 【案例案例15】 如圖如圖1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延長，延長ABAB到點(diǎn)到點(diǎn)D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：CD=CD=2

59、 2CE .CE .圖圖10 思路思路4：（相似法）：（相似法）如圖如圖10，利用利用AECACD，相似比為，相似比為 12，得，得12ECCD，得證，得證. 三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.73.7 思維變式思維變式 思維變式往往指的是以上幾種變式的綜合，尤思維變式往往指的是以上幾種變式的綜合，尤其是題目變式（其是題目變式（“多題一解多題一解”）與方法變式（）與方法變式（“一一題多解題多解”）. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，利用此類變式問題在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，利用此類變式問題可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，使學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，使學(xué)生舉一反三、融會貫

60、通，從而更好地挖掘?qū)W生的潛生舉一反三、融會貫通，從而更好地挖掘?qū)W生的潛能，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能，提高學(xué)生的綜合素質(zhì).【案例案例16】 如圖如圖1414，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P為為BCBC上的一動上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)，過點(diǎn)P P作作PDABPDAB，PEACPEAC垂足分別為垂足分別為D D，E.CFE.CF為為ABAB邊上邊上的高線的高線. .求證：求證：PD+PE=CF.PD+PE=CF.?圖圖 14三、變式教學(xué)中七種變式舉例三、變式教學(xué)中七種變式舉例 證法證法1 1（截長法）（截長法）過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作 PHFCPHFC于點(diǎn)于點(diǎn)H H 容易證明四邊形容易證明四