D函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第一頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)問題1.如果函數(shù)能展成冪級(jí)數(shù)，系數(shù)是什么？以及展開式是否唯一？2.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)？由上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道冪級(jí)數(shù)有非常好的性質(zhì)，所以我們想把函數(shù)寫成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，即第1頁/共28頁第二頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。證明證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共28頁第三頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。因?yàn)樘├障禂?shù)是唯一的因?yàn)樘├障禂?shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共28頁第四頁，編輯于星期六：七點(diǎn)

2、 分。為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它是否收斂 ？若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 待解決的問題：2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?第4頁/共28頁第五頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。可見在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo), ,泰勒級(jí)數(shù)是否收斂于 f (x) ?不一定。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)于f (x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于 f (x) 的條件，我們有定理：第5頁/共28頁第六頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的

3、充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明證明（必要性）（必要性）令)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有泰勒公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共28頁第七頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。各階導(dǎo)數(shù), )(0 x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxRnn證明證明:（充分性）（充分性）令)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1定理 2 ：設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有泰勒公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f (x) 的泰勒公式:即f (x)的泰

4、勒級(jí)數(shù)收斂于 f (x) 。第7頁/共28頁第八頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共28頁第九頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

5、束 第9頁/共28頁第十頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足! ) 1( nn0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共28頁第十一頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。類似可推出:),(x),(x(P205 例4) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共28頁第十二頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中a為任意常數(shù) . 解解: 易求出 于是得 級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) a, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共28頁第十三頁，編輯于星期六：七點(diǎn)

6、 分。2(1)2!a ax(1)(1)!na aanxn推導(dǎo)推導(dǎo)則推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為第13頁/共28頁第十四頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。2(1)2!a ax(1)(1)!na aanxn稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 a 有關(guān) .(2) 當(dāng) a 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 a 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得 第14頁/共28頁第十五頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共28

7、頁第十六頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)榘?x 換成)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共28頁第十七頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共28頁第十八頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展成解解: 的冪級(jí)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/

8、共28頁第十九頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共28頁第二十頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。在 x=1 處展開成冪級(jí)數(shù). 解解: 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共28頁第二十一頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式1x2!21x式的函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共28頁第二十二頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。x11當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x機(jī)

9、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共28頁第二十三頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。1. 函數(shù)處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共28頁第二十四頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。)()1 (xFx第24頁/共28頁第二十五頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)解解:211xx1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共28頁第二十六頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).解解:)(3232x因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共28頁第二十七頁，編輯于星期六：七點(diǎn) 分。)(00 xxxf200)(!2)(