平面解析幾何專題突破

1、（一）直線與圓知識(shí)要點(diǎn)1.直線的傾斜角與斜率k=tga（aM900），直線的傾斜角定存在，范圍是0,K但斜率不一定存在。斜率的求法：依據(jù)直線方程依據(jù)傾斜角依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)2 .直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，合理的寫出直線的方程；能夠根據(jù)方程，說出幾何意義。3 .兩條直線的位置關(guān)系，能夠說出平行和垂直的條件。會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系。（斜率相等還有可能重合）4 .兩條直線的交角：區(qū)別到角和夾角兩個(gè)不同概念。5 .點(diǎn)到直線的距離公式。6 .會(huì)用一元不等式表示區(qū)域。能夠解決簡單的線性規(guī)劃問題。7 .曲線與方程的概念，會(huì)由幾何條件列出曲線方程。8 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（xa）2+（yb）2=r2圓的一般方

2、程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圓的條件。x=a+r圓的參數(shù)方程：卜=的夕掌握圓的幾何性質(zhì)，會(huì)判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。會(huì)求圓的相交弦、切線問題。（二）圓錐曲線1 .橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程：第一定義、第二定義標(biāo)港方程（注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上）,桶扇的荷單幾何性質(zhì);4八通的幾何意義，準(zhǔn)線方程，焦半徑）桶員的參數(shù)方程H=4Sy=b例包當(dāng)點(diǎn)R在桶圓上時(shí)，可用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把I可題轉(zhuǎn)化大三角談1句題口2 .雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程：厚一定義r第二定義I注意與橢圜相類比）精宦方程（注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上I雙曲戲的簡單幾何性質(zhì)原以六它的幾何意義，港線方程，焦半便，海近我）3 .拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程：定義，

3、以及定義在解題中的靈活應(yīng)用（艷物撥上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到港緯的距離）精隹方程（注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，開口方向，p的幾何意義】四種瑤式獨(dú)物妓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)，港方程，與焦點(diǎn)有關(guān)的結(jié)愴）4.直線與圓錐曲線：一位置關(guān)系,經(jīng)京跨化為方程短的解的情況口，蘢長.運(yùn)用韋達(dá)定理解決面積注意合理分析汪思點(diǎn)：(1)注意防止由于零截距”和先斜率”造成丟解(2)要學(xué)會(huì)變形使用兩點(diǎn)間距離公式目二氏一馬爐+8廠當(dāng)產(chǎn)當(dāng)已知直線？的斜率現(xiàn)時(shí)，公式變形為d-Ji十寸,卜3-j.l當(dāng)已知直線的傾斜角色時(shí)，還可以得到(3)靈活使用定比分點(diǎn)公式，可以簡化運(yùn)算。(4)會(huì)在任何條件下求出直線方程。(5)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思

4、想研究平面圖形的性質(zhì)或；或八Lfl屈目解析幾何中的一些常用結(jié)論：1 .直線的傾斜角疝勺范圍是0,nt)2 .直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率k隨著傾斜角疝勺增大而增大。當(dāng)a是鈍角時(shí)，k與a同增減。3 .截距不是距離，截距相等時(shí)不要忘了過原點(diǎn)的特殊情形。4.兩直線：L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0L11L2Ca1A2+B1B2=05.兩直線的到角公式：L#iJL2的角為atan。1+瓦島夾角為atan。=+用后|注意夾角和到角的區(qū)別6.點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行直線間距離的求法。7.有關(guān)對稱的一些結(jié)論點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y=x的對

5、稱點(diǎn)分別是(a,b),(a,b),(a,b),(b,a)如何求點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)直線Ax+By+C=0關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點(diǎn)(a,又是什么？如何處理與光的入射與反射問題？b)對稱的直線方程8.曲線f(x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)和線對稱的曲線方程為：(1)點(diǎn)(a.b)(2)x軸(3)y軸(4)原點(diǎn)1 5)直線y=x2 6)直線y=x3 7)直線x=a9 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。點(diǎn)P(x0y0)，圓的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2G點(diǎn)P(x0,y0)在

6、圓外；如果(x0a)2+(y0b)2O相離d=C相切dr+RC兩圓相離d=r+RO兩圓相外切|R-r|dr+RQ兩圓相交d=|Rr|=兩圓相內(nèi)切d0,n0)。定量一一由題設(shè)中的條件找到式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小。(4)在解與焦點(diǎn)三角形(橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形)有關(guān)的命題時(shí)，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義。(5)要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長、中點(diǎn)弦、定比分點(diǎn)弦、弦對定點(diǎn)張直角等方面的應(yīng)用。(6)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是各種知識(shí)的綜合運(yùn)用，具有較大的靈活性，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將曲線“

7、化成方程“，將形“化成數(shù)”，使我們通過對方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì).求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等，解題時(shí)，注意求軌跡的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍。(7)參數(shù)方程，請大家熟練掌握公式，后用化歸的思想轉(zhuǎn)化到普通方程即可求解。第二部分解析幾何中的范圍問題(研究性學(xué)習(xí)之二)在直線與圓錐曲線相交問題中，關(guān)于直線的斜率或縱截距的取值范圍，關(guān)于圓錐曲線的離心率、長軸長(或?qū)嵼S長)、軸長(或虛軸長)等有關(guān)參量的取值范圍，是解析幾何高考命題以及備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)問題。對此，一般情況下的解題思路,首先尋覓出(或直接利用)相關(guān)的不等式，進(jìn)而通過這一不等

8、式的演變解出有關(guān)變量的取值范圍。在這里，我們對尋覓所給問題中相關(guān)不等式的主要途徑和策略作以研討。一、題設(shè)條件中的不等式關(guān)系”之運(yùn)用事物都是一分為二的。對于題設(shè)條件中明朗或隱蔽的不等關(guān)系，既可作為推導(dǎo)或求解的條件而增加難度，也可作為探索或?qū)ひ挿秶那腥朦c(diǎn)而提供方便。在解決范圍問題時(shí)，不失時(shí)機(jī)的利用明顯的不等關(guān)系或發(fā)掘隱匿的不等式，往往成為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).，點(diǎn)M (m, 0)到直線AP的距離為例1、已知雙曲線中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線右支上1.k e(1)若直線AP的斜率為k,且(2)當(dāng)機(jī)=J5+1時(shí)，4APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,求此雙曲線方程分析：對于(1),已知直線AP的

9、斜率k的取值范圍，要求m的取值范圍，首先需要導(dǎo)出k與m的關(guān)系式；對于(2),則要利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)心到三邊距離相等；三角形內(nèi)心與任一頂點(diǎn)的連線為相應(yīng)的角的平分線；三角形面積等于半周長與內(nèi)切圓半徑之積等.至于運(yùn)用哪一性質(zhì)，還要視題設(shè)條件的具體情況來定奪解：(1)由已知設(shè)直線AP的方程為y=k(x1),即kxyk=0點(diǎn)M到直線AP的距離為1向一胃1 I d= 1 pss -1 =,但凈向3空介-1|2+1解得3或3T1一咨U1+孚3所求m的取值范圍為二二-=(8w0)(2)根據(jù)已知條件設(shè)雙曲線方程為當(dāng)他=忘+1時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(及+1，。)-A(1,0)，點(diǎn)M到直線AP的距離為1,.A

10、PQ的內(nèi)切圓半徑r=1,PAM=45,(不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限)直線PQ的方程為x=2+a/2,直線AP的方程為y=x1因此解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2：血+尼）飛，,2J+l將點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程二w所求雙曲線方程為點(diǎn)評(píng)：這里的（1）,是題設(shè)條件中明顯的不等關(guān)系的運(yùn)用；這里的（2）,審時(shí)度勢的求解出點(diǎn)P坐標(biāo)，恰如四兩撥千斤”同學(xué)們請注意：一不要對三角形內(nèi)心敬而生畏，二不可總想利用某一性質(zhì)。沉著冷靜地分析、認(rèn)知問題，便會(huì)逐漸撥開云霧，尋出解題方向例2、設(shè)橢圓窗1的兩個(gè)焦點(diǎn)是網(wǎng)LW仁,且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線即與直線巡垂直.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；1=2-（2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線，直線正晃與L相

11、交于點(diǎn)Q,若干瑪I,求直線尸石的方程.分析：對于（1）,要求m的取值范圍，首先需要導(dǎo)出相關(guān)的不等式，由題設(shè)知，橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)方程，因而這里應(yīng)有限心。，且:川=，那0便是特設(shè)條件中隱蔽的不等關(guān)系.對于（2）,欲求直線產(chǎn)外的方程，注意到這里題設(shè)條件與點(diǎn)P的密切關(guān)系，故考慮從求點(diǎn)P坐標(biāo)突破.解：（1）由題設(shè)知解+】二=用且二歷is=二折設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為（。）,則有”片.二一1%一匕勺+二化簡得工；+y；三那小1十下二1聯(lián)立，解得ml即所求m的取值范圍為(2)右準(zhǔn)線L的方程為a一2(i)將代入得則.二設(shè)點(diǎn)二溶+J/2,-1僧-V/K3-1又由題設(shè)知由得冽+J渥T=2J，無解.X9(ii)將相代入得1第

12、十.由題設(shè)得-1=2-由此解得m=2#_i_v2而二F，*q二土丁Q從而有-于是得到直線空的方程為y-土(代-漢式-點(diǎn)評(píng)：對于(1),解題的關(guān)鍵是發(fā)掘并利用題設(shè)條件中隱蔽的不等式腐對于(2),以求解點(diǎn)P坐標(biāo)RI,J5(晶M為方向，對已知條件產(chǎn)鳥I進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化”，乃是解決此類已知線段長度之比問題的避繁就簡的基本策略.二、圓錐曲線的有關(guān)范圍”之運(yùn)用我們在學(xué)習(xí)中已經(jīng)看到，橢圓、雙曲線和拋物線的范圍”，是它們的第一幾何性質(zhì)。事實(shí)上，我們研究范圍”，一在于認(rèn)知：認(rèn)知圓錐曲線特性；二在于應(yīng)用：應(yīng)用”它們來解決有關(guān)問題。B兩點(diǎn)例、以巧、巧為焦點(diǎn)的橢圓d及與x軸交于A,(1)過風(fēng)作垂直于長軸的弦MN,求/AM

13、B的取值范圍；e的取值范圍(2)橢圓上是否存在點(diǎn)P,使/APB=120?若存在，求出橢圓離心率a解：(1)基于橢圓的對稱性，不妨設(shè)定方為右焦點(diǎn)，m在第一象限，設(shè)A(a,0),B(a,0),則/AMB為直線AM到BM的角，又心一工J 利用公式得1+心用血七此時(shí)注意到橢圓離心率的范圍：0e1O-烏-2 坦君由得t321溷S2才0,y0根據(jù)公式得整理得.門-2乖必y=.代入得.一】此時(shí)注意到點(diǎn)P在橢圓上，故得2 由得一OM二3講O口之弋/5占.住f2aO曰A由得-；p存在且此時(shí)橢圓離心率的取值范圍為TJ于是可知，當(dāng)厘之;反時(shí)，點(diǎn)當(dāng)&003好-加、10人。)6km/二-51331V+13ffp3占工2

14、=5且野+1J-3km而二環(huán)i為二飛+雁二喀3P+1，點(diǎn)P坐標(biāo)為W+1獷十1）（比WO）又根據(jù)題意知M、N關(guān)于直線AP對稱，故有咯4：+13Aa+3km飛1+111t于是將代入得+10優(yōu)=0）4-2Ar3-ROgO）=-1?；?0又這里M(1,0)由赤=2MB得G月)=翼4-L已).必+=0(或工1+2x2=3)進(jìn)而由得i+2=_32r,Jz二一21y?.由得內(nèi)二一2(必+為如Q一心&代入得才+毋(S*+卷*)O。-M)(5小+4/)二-蒐獷5(33+4-5-4=-3)3O詞(9-/)=54-1)注意到由得It0=、L故由得Q父學(xué)因而得1a0(1d0(1aXic235=1a3(另一方面，再注意

15、到b$=破4s，,4d(3(1ab0,雙方聯(lián)合推出2a的范圍.這里的不等關(guān)系的充分挖掘與應(yīng)用，乃是解題成功的關(guān)鍵四、點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件”之運(yùn)用所給問題中的某些點(diǎn)，注定要在相關(guān)圓錐曲線的內(nèi)部。比如圓錐曲線的弦的內(nèi)分點(diǎn)，又如圓錐曲線任意兩弦的交點(diǎn)等。因此，點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件，便成為尋求某量的取值范圍的基本依據(jù)之一。其中，常用的充要條件為：11門二,一一丁.：1，1、點(diǎn)此q）在橢圓j=10占0）內(nèi)部O烏+烏2、 L,.“一”222點(diǎn)比0伏”為）在雙曲線j5=10o,0）內(nèi)部0&-魯,L3、 二-/一4、 jy二.例、已知橢圓的焦點(diǎn)為可（-4風(fēng)（4）,過點(diǎn)與且垂直于x軸的直線與橢圓的一

16、個(gè)交點(diǎn)為B,|招引+屬引=io14/氏111121,又橢圓上不同兩點(diǎn)A、C滿足條件：J1131121成等差數(shù)列.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)弦AC的垂直平分線方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解：（1）由題設(shè)得2a=10,c=4a=5,b=3,c=4十-i橢圓方程為二：（2）（設(shè)而不解）設(shè)綱 j）為4城CF J弦AC的中點(diǎn)姆瓦加則由題意得一向-=2（a甸=。.電工J+g%）。斗占=8故有點(diǎn)-,-1:A、C在橢圓*2守二力5上支/+分=225兩式相減得1，-此=9向一1一七25必寺打kg-）由及所設(shè)得上;九，弦AC的垂直平分線方程為尸一汽贊GT）4369/0169用=yn.=%=m由題意得91

17、6士2注意到當(dāng)x=4時(shí)橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部9故得5991616押一用5今)Rff例、已知雙曲線支b的左、右焦點(diǎn)分別為以、外,若在其左支上存在點(diǎn)P且點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與1尸耳“尸死1成等比數(shù)列，求離心率e的取值范圍.分析：尋求e的范圍的一般途徑為(1)認(rèn)知或發(fā)掘出本題的不等關(guān)系；(2)將(1)中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式；(3)將(2)中的不等式演變?yōu)殛P(guān)于e的不等式，進(jìn)而通過解這一不等式導(dǎo)出所求范圍其中，有關(guān)雙曲線上點(diǎn)P處的兩條焦點(diǎn)半徑尸穌尸用的問題，定義中明朗的等量關(guān)系：1咫|-回川=2”是認(rèn)知或求值的理論基礎(chǔ)；而定義中隱蔽的不等關(guān)系：I丹J+忸耳J之”則是尋求參量

18、范圍的重要依據(jù)。解：(1)確立不等關(guān)系注意到這里產(chǎn)局+1丑聞立出用(2)不等關(guān)系演變之一設(shè)左支上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d,則由題意得一二(變形目的：利用第二定義，尋找兩焦半徑與e的聯(lián)系)又點(diǎn)P在雙曲線左支上忸4HF用=編(點(diǎn)P在左支這一條件的應(yīng)用)111=，由解得叫二2a-+2c，將代入得w-1色一1(3)不等關(guān)系演變之二:于是可知，所求離心率e的范圍為第三部分直線與圓錐曲線問題的解題策略(研究性學(xué)習(xí)眾所周知，直線與圓錐曲線的問題，是解析幾何解答題的主要題型，是歷年來高考備考的重點(diǎn)和高考命題的熱點(diǎn)。多年備考的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，欲更快地提高解決這類問題的實(shí)踐能力，需要切實(shí)解決好以下兩個(gè)問題：(1

19、)條件或目標(biāo)的等價(jià)轉(zhuǎn)化;(2)對于交點(diǎn)坐標(biāo)的適當(dāng)處理。本文試從上述兩個(gè)問題的研究切入，對直線與圓錐曲線問題的解題策略作初步探索，希望對高考備考有所幫助。一、條件或目標(biāo)的認(rèn)知與轉(zhuǎn)化解題的過程是一系列轉(zhuǎn)化的過程。從某種意義上說，解題，就是要將所解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。然而，轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)是認(rèn)知一一認(rèn)知已知、目標(biāo)的本質(zhì)和聯(lián)系。有了足夠的認(rèn)知基礎(chǔ)，我們便可以著力實(shí)踐化生為熟或化繁為簡的轉(zhuǎn)化。1、化生為熟化生為熟是解題的基本策略。在直線與圓錐曲線相交問題中，弦長問題及弦中點(diǎn)問題是兩類基本問題。因此，由直線與圓錐曲線相交引出的線段間的關(guān)系問題，要注意適時(shí)向弦長或弦中點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化。一但轉(zhuǎn)化成功，解題便得以駕輕就

20、熟，勝券在握。(1)向弦中點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化/之后；-w=例1.已知雙曲線=1=1(a0,b0)的離心率3，過點(diǎn)a(0,-b)和b(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為(1)求雙曲線方程；m的取(2)若直線V上“*朋(km#O)與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D,且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求值范圍。略解：y=1(1)所求雙曲線方程為3(過程略)y-化工+m0比二-l)xa 4 6k靛41)一口*j2由工一少7消去y得:k+也由題意知，當(dāng)學(xué)一亍時(shí)，皂-1及-貨+10o泡-優(yōu)？+1口設(shè)C弧，DG%).CD中點(diǎn)P區(qū)，yj則C、D均在以A為圓為的同一圓上=HF_LS.3kmm3Km1饕3s=-57=-5上加=

21、又一一：“一一一APIS。缺-畫-1=J-Q3M=4廨+3k醴上口4ffi3+10ffl2于是由得4由代入得*一4用；口,解得m4(-g0U&+8)于是綜合、得所求m的范圍為4(2)例2.(1)向弦長問題轉(zhuǎn)化設(shè)F是橢圓1g.27的左焦點(diǎn)，M是C1上任一點(diǎn)，P是線段FM上的點(diǎn)，且滿足(2)過F作直線l與C1交于A、D兩點(diǎn)，與C2交點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，四點(diǎn)依A、B、C、D順序排列，求使lC)l = 2AZ：成立的求點(diǎn)P的軌跡C2的方程；直線l的方程。分析：為避免由代換引發(fā)的復(fù)雜運(yùn)算，尋覓替代CD卜 2AS的等價(jià)條件：設(shè)弦 AD、BC的中點(diǎn)分別為01、02,則，故*5于是，所給問題便轉(zhuǎn)化為弦長與弦中點(diǎn)問題

22、。略解:Od橢圓C1的中心 -點(diǎn)P分FM所成的比入=2三.匕=1(1)點(diǎn)P的軌跡C2的方程為43(過程略)設(shè)直線i的方程為力)，(馬，力代入橢圓C1的方程得(4Jta4-3)#+(8P-3)x+4Jta-州1=Q43-SV星+%=故有:-9k3-Sia故弦AD中點(diǎn)01坐標(biāo)為13(A3-Fl)代入橢圓C2的方程得(聯(lián)O+跳工+4-12=0又有一一“”一、二故弦BC中點(diǎn)02坐標(biāo)為k-+3,4k3+3P10|=，由、得|QD|=2Moi0=口皿一躍|)注意到6于是將、代入并化簡得：1:7，1:-由此解得2。因此，所求直線l的方程為后七2A行=12.化繁為簡解析幾何是用代數(shù)計(jì)算的方法解決幾何問題，因此

23、，解答解析幾何問題，人們都有這樣的共同感受：解題方向或途徑明朗，但目標(biāo)難以靠近或達(dá)到。解題時(shí)，理論上合理的思路設(shè)計(jì)能否在實(shí)踐中得以實(shí)現(xiàn)？既能想到，又能做到的關(guān)鍵，往往在于能否化繁為簡?；睘楹喌牟呗?，除去化生為熟”之外，重要的當(dāng)數(shù)錯(cuò)重投影”或避重就輕”。(1)借助投影對于線段的定比分點(diǎn)以及其它復(fù)雜的線段間關(guān)系的問題，當(dāng)題設(shè)條件的直接轉(zhuǎn)化頗為繁雜時(shí)，不妨運(yùn)用當(dāng)初推導(dǎo)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的基本方法；將線段上有關(guān)各點(diǎn)向x軸(或y軸或其它水平直線)作以投影，進(jìn)而利用平行線分線段成比例定理推理或轉(zhuǎn)化，這一手法往往能夠有效地化解難點(diǎn)，將人們引入熟悉的解題情境。例3.如圖，自點(diǎn)M(1,-1)引直線l交拋物線”鏟

24、于P1、P2兩點(diǎn)，在線段P1、P2上取一點(diǎn)Q,使岷國、陽,必與1的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè)】一一I：又設(shè)直線l的方程為y代入y=得產(chǎn)一日+&包=口由題意得：；一1-0上2+2北蒞十電=此I且占勺=上川21_又由題意得函二兩十兩作P1、Q、P2在直線y=-1上的投影P1FQ，、P2(如圖)CL(Ct71),f又令直線1的傾斜角為2則由雙皆與，彼得阿MP：2_i3m一=蜀，阿卜三-31rli8血8fd同理,IOcos a，將上述三式代入得MQ =z- 1- 1-1!cos a2缶十后）-2，將代入得x- 1 _ 2 2_Jc-2，將代入得于是由、消去參數(shù)k 得 *3+2 y7Q

25、2x-y+1 = 0再注意到式，由得1-血 UU1 或 +應(yīng)因此，由、得所求點(diǎn)Q的軌跡方程為-y41=0(1-x1或1Cjc0由題意Xt+-1藥x-=-4由韋達(dá)定理得4.AB=Jl+k2-x3|=J5*J23十門芯+町b+1再設(shè)AB中點(diǎn)為凡4/口），則有22,為=2/tB=-L即有尸（-,-1）.“=-pd=_Uri注意到四邊形ABCD為矩形，故有ML，且24yH-1_1x+i2由此得小4由（4）得上=-2大一切一5+L卜代入（5）得化簡得（尸W）包/=也+170再注意到中2，由（5）得J54.尸-1因此由、得所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（5丫1卜+-=-彳（釬4）（產(chǎn)工-1）點(diǎn)評(píng)：本例是立足于一條

26、直線與曲線相交”的問題。這里所說的立足于一條直線與曲線相交”的問題，是指這樣兩種題型：（1）問題由一直線與曲線相交引出；（2）問題中雖然出現(xiàn)多條直線與同一曲線相交，但這些直線的引出存在著明顯的順序（或依賴關(guān)系），整個(gè)問題構(gòu)建在某一條直線與曲線相交的基礎(chǔ)之上，對此，我們的求解仍倚仗于對交點(diǎn)坐標(biāo)既設(shè)又解”的策略。這里的解”，是解直線方程與曲線方程所聯(lián)立的方程組，是半心半意”地求解，解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理，因此，此類問題的解題三部曲為（1）全心全意地設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）半心半意”地求解上述方程組，解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理；（3）對題設(shè)條件主體進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，使之靠攏并應(yīng)用（2）的結(jié)果導(dǎo)出既定目標(biāo)。2、真心

27、實(shí)意，求解到底當(dāng)目標(biāo)的轉(zhuǎn)化結(jié)果不是交點(diǎn)橫標(biāo)（或縱標(biāo)）的對稱式，而是交點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)體時(shí)，則需要真心實(shí)意地將求解交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行到底。例2.正方形ABCD的中心為M（3,0）,一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線E,一條斜率為彳的直線l,若A、B兩點(diǎn)在拋物線E上，而C、D兩點(diǎn)在直線l上，求拋物線E和直線l的方程。解：由題意設(shè)拋物線E的方程為，=工蘆標(biāo)、口），又設(shè)正方形ABCD的（一條）對角線的斜率為k,k-1則由tan 45二3_1+”3y=2(73v=ta-3)直線AM、BM的方程分別為2再設(shè)-k=1則由世虧得4=-%又點(diǎn)A、B在拋物線E上，故有4-3)2-物,1工1N4勺=1#于是由、解得求解

28、（交點(diǎn)坐標(biāo)）便盡量回避。1、設(shè)而不解這里所謂的設(shè)而不解”，是指設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)之后，借助已知方程，運(yùn)用交點(diǎn)坐標(biāo)去表示已知條件或主要目標(biāo)。其中，用所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)去構(gòu)造有關(guān)直線的斜率最為多見。例1.設(shè)橢圓4X”+73=1白的上半部有不同三點(diǎn)A、B、C,它們到同一焦點(diǎn)的距離依次成等差數(shù)列，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與橢圓的半焦距相等，求線段AC的中垂線在y軸上的截距。分析：考察線段AC的中垂線方程，易知其斜率由點(diǎn)A、C同名坐標(biāo)的差式表出，弦中點(diǎn)由點(diǎn)A、C同名坐標(biāo)的和式表出。由此想到對交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不解”，并借助焦點(diǎn)半徑公式求解。解：設(shè)題1內(nèi)，母4,力）但/），弦AC中點(diǎn)M（x0,y0）。而1=4,b=2,國=，_=由已

29、知橢圓方程得-|幺居I=ALI)設(shè)橢圓方程為心。又設(shè)陷卜，則由題意得|圖。卜聲根據(jù)橢圓定義得戶用+忸叫31+依閭初，+|PQ|+，代入得U+在上=4療，解得1=(4-271”再由兩竭叫得晦琲才一1+/仆.代入得(4- 2 點(diǎn)對 + (272 - 2對=4/-7=-1)化簡得,，由此解得白口布一百。(2)借助有關(guān)圖形性質(zhì)回避交點(diǎn)坐標(biāo)例3.已知直線1：*+2P-3口與。C-凝+y+x-2ay+a0相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)匚4_LCF時(shí)，求。c的方程。提示：圓心C到弦AB的距離(弦心距)注意到由圓的弦的性質(zhì)得=而=八=加二,由此解得a的值。(3)利用有關(guān)問題的深入認(rèn)知回避交點(diǎn)坐標(biāo)這是處置直線與曲線乃至兩

30、曲線相交問題的重要策略，現(xiàn)以例4示范說明。2口.-I-例4.已知圓M與圓V-了戶1口二口相交于不同兩點(diǎn)A、B,所得公共弦AB平行于已知直線2工一4-1口，又圓M經(jīng)過點(diǎn)C(-2,3),D(1,4),求圓M的方程。解(利用對圓的根軸方程的認(rèn)知迪避交點(diǎn)坐標(biāo))：設(shè)圓M方程為工、產(chǎn)野士口又已知圓方程為八得上述兩圓公共弦AB所在直線方程加+如力戶伊-1口).口D2=_=a+2/=-14.由題設(shè)得中了E注意到點(diǎn)C、D在圓M上，故有3H9TZ?十4區(qū)十尸1=一17a將、聯(lián)立解得D=2 = 10F21所求圓M的方程為1+/+以-1021=口四、高考真題1.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢

31、圓在焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，0A+OBH共線。(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且0M=WA+0B6L，證明,01為定值。分析：(1)求橢圓離心率，首先要求關(guān)于a,b,c的等式。為此，從設(shè)出橢圓方程與直線AB的方程切入，運(yùn)用對A、B坐標(biāo)既設(shè)又解”的策略；設(shè)而不解”。(2)注意到這里的點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，故考慮對點(diǎn)的坐標(biāo)解:工y(1)設(shè)橢圓方程為戊h則直線ab方程為y=c將代入橢圓方程得(aa+浜講-2(!?aM+a由韋達(dá)定理得(ca-2a)-0由題意3口O此個(gè)一土口a3e3-(a3+2a)(e3-ia)02a*c口與與-又三,或十國與I共線一13(71斗Fa)+(工1+

32、/)=口o取勺中工力=攵O/=Qa7=3(-t3)=2er2=ie27e即所求橢圓的離心率為-（2）由（1）得/3,，橢圓方程化為爐+犯，=城設(shè)而心區(qū)切，由題設(shè)得出加煙，內(nèi)沁嶺必）X=丘】十國.y=M十5點(diǎn)M在橢圓上#話+3檔）后3必）+2%（為迪+牙必”貨X.4-=瑞耳三久:電T3=C3.A3=C3又由（1）知，2822L一十一一一一-可工14-3（+三上+=ca-C34-3e3=I3M (# + *)二通?220將、代得即只4為定值。點(diǎn)評(píng)：對于（1）,立足于對A、B坐標(biāo)既設(shè)又解”，對。A+0B與a共線的充要條件叉門十九）十（工】十與）口,先轉(zhuǎn)化”而后代入”，與先代入”而后化簡比較，計(jì)算量要

33、明顯減少。因此，諸如此類的問題，要注意選擇代入”的形式或時(shí)機(jī)，以求減少解題的計(jì)算量。2.P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓# + 上=1一 一2 上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，已知PF與PQ共線，MF與FN共1 線，且PF，MF = 0 ,求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。分析：這里必=辰,b=1,c=1,故F（0,1）由題設(shè)知PQLMN ,四邊形PMQN的面積等于,因此解題從求忸口MN切入。解：這里胃二企,b=1,c=1,F（0,1）,由PF-MF=。得戶產(chǎn)_LMF,即戶21MM直線PQ,MN中至少有一條直線斜率存在。不妨設(shè)pq的斜率為k,則直線pq的方程為1又設(shè)將代入橢圓方程得：工1-A

34、02k1+2鹿產(chǎn) 且.11+2._（1）當(dāng)*手口時(shí)，直線MN的斜率為上2卷（-孑十12點(diǎn)紜十1）同理可得（-乎十2=1|MN|PQ|.四邊形PMQN的面積;4伏-1)4抬十/2)(爐+2)0心+1)次4+$1+25+2(Jt2+J-)口二M+4令上，則口一（當(dāng)且僅當(dāng)fc=1時(shí)等號(hào)成立）q43+2)口5+川NZS=.當(dāng)*=1時(shí)，9,S是以為自變量的增函數(shù)（2）當(dāng)*=口時(shí)，MN為橢圓的長軸，I,I-IS12.所求式的取值范圍為UN”)直線AB的方程為y-3-fx-l)即匯事Y-4.Q(2)由題設(shè)知，線段CD垂直平分線段AB直線cd的方程為1y-3=工-1即工-，+2=0將與橢圓方程聯(lián)立，消去y得-

35、.-4.-r一，,一CD的中點(diǎn)為幽4516-口。O八3尾十勒二一14一衛(wèi)%勾=丁且一W二|,即必-釜注意到由(1)可得網(wǎng)J1+%7小依4T2)由可得必卜、可卜訃由.當(dāng) 212 時(shí),ab 12時(shí)，a、b、c、D四點(diǎn)均在以M為圓心，以為半徑的圓上。點(diǎn)評(píng)：在這里，對A、B及C、D的坐標(biāo)均是 既設(shè)又解”，解到中途運(yùn)用韋達(dá)定理導(dǎo)出同坐標(biāo)之間的關(guān)系式；對于（ 要切實(shí)認(rèn)知條件的特殊性，根據(jù)問題的特殊性，這時(shí)化生為熟，轉(zhuǎn)化為熟悉的弦長或弦中點(diǎn)問題。2),4.已知方向向量為的直線l過點(diǎn)（。2仃）和橢圓 J /（八人。）的焦點(diǎn)，且橢圓c的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上 （1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)E （-2, 0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N ,滿足3（