相似綜合題(解析匯報(bào)版)

1、相似綜合題（解析版）一解答題（共35 小題）1（ 2017? 婁底）如圖，在 Rt ABC中， ACB=90，以 BC為直徑的 O交 AB 于點(diǎn) D， E 是 AC的中點(diǎn)， OE交 CD于點(diǎn) F（ 1）若 BCD=36， BC=10，求 的長(zhǎng)；（ 2）判斷直線 DE與 O的位置關(guān)系，并說明理由；2（3）求證： 2CE=AB? EF【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；MB：直線與圓的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）連接 OD，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，求出圓心角DOB即可解決問題；（ 2）欲證明 DE是切線，只要證明 OD DE即可；（ 3）首先證明 EF是 ADC的中位線，再證明 ACD ABC

2、即可解決問題；【解答】 解：（ 1）連接 OD BCD=36， DOB=72的長(zhǎng) = （2）連接 ODAE=EC， OB=OC，OE AB，CD AB，OE CD，OD=OC， DOE=COE，第1頁（共 46頁）在 EOD和 EOC中， EOD EOC， EDO=ECO=90，OD DE，DE是 O的切線（ 3） OE CD，DF=CF， AE=EC，AD=2EF， CAD=CAB， ADC= ACB=90， ACD ABC，2AC=AD? AB，AC=2CE，24CE=2EF? AB，22CE=EF? AB【點(diǎn)評(píng)】 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、 切線的判定、三角形的中位線定理、 全等三

3、角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)， 解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線， 構(gòu)造全等三角形解決問題， 屬于中考?？碱}型2（ 2017? 攀枝花）如圖， ABC中，以 BC為直徑的 O交 AB于點(diǎn) D， AE平分 BAC交 BC 于點(diǎn) E，交 CD于點(diǎn) F且 CE=CF（ 1）求證：直線 CA是 O的切線；（ 2）若 BD= DC，求的值【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；ME：切線的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）若要證明直線CA是 O的切線，則只要證明ACB=90即可；（2）易證 ADF ACE，由相似三角形的性質(zhì)以及結(jié)合已知條件即可求出的值【解答】 解：（ 1）證明： BC為直徑， BDC=A

4、DC=90， 1+ 3=90AE平分 BAC， CE=CF， 1= 2， 4= 5， 2+ 3=90，第2頁（共 46頁） 3= 4， 2+ 5=90， ACB=90，即 AC BC，直線 CA是 O的切線；（ 2）由（ 1）可知， 1= 2， 3= 5， ADF ACE，BD=DC，tan ABC=， ABC+BAC=90， ACD+ BAC=90， ABC=ACD， tan ACD= ，sin=，ACD【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判斷和性質(zhì)、 相似三角形的判斷和性質(zhì)、 圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記切線的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3（ 2017? 十堰）已知 AB為 O的直徑， BC AB于

5、 B，且 BC=AB， D為半圓 O上的一點(diǎn)，連接 BD并延長(zhǎng)交半圓 O的切線 AE于 E（1）如圖 1，若 CD=CB，求證： CD是 O的切線；第3頁（共 46頁）（2）如圖 2，若 F 點(diǎn)在 OB上，且 CD DF，求的值【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理； ME：切線的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）連接 DO， CO，易證 CDO CBO，即可解題；（2）連接 AD，易證 ADF BDC和 ADE BDA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)即可解題【解答】 解：（ 1）連接 DO， CO，BC AB于 B， ABC=90，在 CDO與 CBO中， CDO C

6、BO， CDO=CBO=90，OD CD，CD是 O的切線；（2）連接 AD，AB是直徑， ADB=90， ADF+BDF=90， DAB+ DBA=90， BDF+BDC=90， CBD+ DBA=90， ADF=BDC， DAB= CBD，在 ADF和 BDC中， ADF BDC，第4頁（共 46頁）=， DAE+DAB=90， E+DAE=90， E= DAB，在 ADE和 BDA中， ADE BDA，=，=，即=，AB=BC，=1【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題中求證和是解題的關(guān)鍵ADFBDCADE BDA4（ 2017? 廣東）如圖，是O

7、的直徑，=4，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)（不與，B重ABABOBO合），作 CE OB，交 O于點(diǎn) C，垂足為點(diǎn)E，作直徑 CD，過點(diǎn) C的切線交 DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P， AF PC于點(diǎn) F，連接 CB（ 1）求證： CB是 ECP的平分線；（ 2）求證： CF=CE；（3）當(dāng)=時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度（結(jié)果保留）【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理； MC：切線的性質(zhì)； MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（ 2）欲證明 CF=CE，只要證明 ACF ACE即可；（ 3）作 BM PF于 M則 CE=CM=CF，設(shè) CE=CM=CF=4a， PC=4a，

8、 PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出 BM，求出 tan BCM的值即可解決問題；【解答】（ 1）證明： OC=OB， OCB=OBC，PF是 O的切線， CE AB， OCP=CEB=90， PCB+OCB=90， BCE+ OBC=90， BCE=BCP，第5頁（共 46頁）BC平分 PCE（2）證明：連接ACAB是直徑， ACB=90， BCP+ACF=90， ACE+ BCE=90， BCP=BCE， ACF=ACE， F= AEC=90， AC=AC， ACF ACE，CF=CE（ 3）解：作 BM PF于 M則 CE=CM=CF，設(shè) CE=CM=CF=3a， PC=4a，PM=a，

9、 BMC PMB，=，22BM=CM? PM=3a ，BM=a，tan BCM=， BCM=30， OCB=OBC= BOC=60，的長(zhǎng) =【點(diǎn)評(píng)】 本題考查切線的性質(zhì)、 角平分線的判定、 全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型5（ 2017? 泰安）如圖，四邊形 ABCD中， AB=AC=AD，AC平分 BAD，點(diǎn) P 是 AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 PD AD（ 1）證明： BDC= PDC；（ 2）若 AC與 BD相交于點(diǎn) E，AB=1， CE： CP=2：3，求 AE的長(zhǎng)第6頁（

10、共 46頁）【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出BDC= PDC；（ 2）首先過點(diǎn) C作 CM PD于點(diǎn) M，進(jìn)而得出 CPM APD，求出 EC的長(zhǎng)即可得出答案【解答】（ 1）證明： AB=AD， AC平分 BAD，AC BD， ACD+BDC=90，AC=AD， ACD=ADC， ADC+BDC=90， PD AD， ADC+PDC=90， BDC=PDC；（ 2）解：過點(diǎn) C作 CM PD于點(diǎn) M， BDC=PDC，CE=CM， CMP=ADP=90， P=P， CPM APD，=，設(shè) CM=CE=x，CE： CP

11、=2： 3，PC=x，AB=AD=AC=1，=，解得： x=，故 AE=1=第7頁（共 46頁）【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出CPM APD是解題關(guān)鍵6（ 2017? 天水） ABC和 DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BAC= EDF=90， DEF的頂點(diǎn)E與的斜邊的中點(diǎn)重合，將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段與線ABCBCDEFDE段 AB相交于點(diǎn) P，線段 EF與射線 CA相交于點(diǎn) Q（ 1）如圖，當(dāng)點(diǎn) Q在線段 AC上，且 AP=AQ時(shí)，求證： BPE CQE；（ 2）如圖，當(dāng)點(diǎn) Q在線段 CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證： BPE CEQ；并求當(dāng)

12、 BP=2，CQ=9時(shí) BC的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； KD：全等三角形的判定與性質(zhì)； KW：等腰直角三角形； R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由 ABC是等腰直角三角形，易得B= C=45， AB=AC，又由 AP=AQ，E 是 BC的中點(diǎn)，利用SAS，可證得： BPE CQE；（2）由 ABC和 DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得 B= C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得BEP= EQC，則可證得：BPE CEQ；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長(zhǎng)，即可得BC的長(zhǎng)，【解答】（ 1）證明：ABC是等腰直角三角形， B= C=4

13、5， AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC的中點(diǎn)，BE=CE，在 BPE和 CQE中，第8頁（共 46頁）， BPE CQE（ SAS）；（2）解： ABC和 DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形， B= C= DEF=45， BEQ=EQC+ C，即 BEP+DEF= EQC+ C， BEP+45 = EQC+45， BEP=EQC， BPE CEQ，=，BP=2， CQ=9， BE=CE，2BE=CE=3，BC=6【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7（ 2017? 濱州）如圖，點(diǎn)E

14、是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交的外接圓ABCAEBCFABCO于點(diǎn) D，連接 BD，過點(diǎn) D作直線 DM，使 BDM= DAC（1）求證：直線DM是 O的切線；2（2）求證： DE=DF? DA【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； M2：垂徑定理； M5：圓周角定理； ME：切線的判定與性質(zhì)； MI：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD BC，再根據(jù) BDM= DBC，即可判定 BCDM，第9頁（共 46頁）進(jìn)而得到 ，據(jù)此可得直線是O的切線；OD DMDM（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到BED= EBD，即可得出 DB=DE，再判

15、定22DBF DAB，即可得到 DB=DF? DA，據(jù)此可得 DE=DF? DA【解答】 解：（ 1）如圖所示，連接OD，點(diǎn) E 是 ABC的內(nèi)心，=，BADCAD = ，OD BC，又 BDM= DAC， DAC=DBC， BDM=DBC，BC DM，OD DM，直線 DM是 O的切線；（ 2）如圖所示，連接 BE，點(diǎn) E 是 ABC的內(nèi)心， BAE=CAE= CBD， ABE= CBE， BAE+ABE= CBD+ CBE，即 BED=EBD，DB=DE， DBF=DAB， BDF= ADB， DBF DAB，2=，即 DB=DF? DA，2DE=DF? DA【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角形

16、的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平分弦所對(duì)一條弧的直徑， 垂直平分弦， 并且平分弦所對(duì)的另一條弧；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角第 10 頁（共 46 頁）8（ 2017? 衢州）如圖， AB為半圓 O的直徑， C為 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CD切半圓 O于點(diǎn) D，連接 OD作 BE CD于點(diǎn) E，交半圓 O于點(diǎn) F已知 CE=12， BE=9（ 1）求證： COD CBE（ 2）求半圓 O的半徑 r 的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出E=

17、90 = CDO，再由 C= C，得出 COD CBE（2）由勾股定理求出BC=15，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案【解答】（ 1）證明： CD切半圓 O于點(diǎn) D，CD OD， CDO=90，BE CD， E=90= CDO，又 C=C， COD CBE（2）解：在Rt BEC中， CE=12， BE=9，BC=15， COD CBE，即，解得： r =【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵9（ 2017? 黃岡）已知：如圖，MN為 O的直徑， ME是 O的弦， MD垂直于過點(diǎn)E 的直線DE，垂足為點(diǎn)D，且

18、 ME平分 DMN求證：（ 1）DE是 O的切線；2（2） ME=MD? MN第 11 頁（共 46 頁）【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；ME：切線的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）求出 OE DM，求出 OEDE，根據(jù)切線的判定得出即可；（ 2）連接 EN，求出 MDE=MEN，求出 MDE MEN，根據(jù)相似三角形的判定得出即可【解答】 證明：（ 1） ME平分 DMN， OME=DME，OM=OE， OME=OEM， DME=OEM，OE DM，DM DE，OE DE，OE過 O，DE是 O的切線；（ 2）連接 EN，DM DE，MN為 O的直徑， MDE=MEN=90，

19、NME=DME， MDE MEN，=，2ME=MD? MN【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵10（ 2017? 阿壩州）如圖，ABC 和 ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，點(diǎn) P 為射線 BD， CE的交點(diǎn)（ 1）求證： BD=CE；（ 2）若 AB=2， AD=1，把 ADE繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)，當(dāng) EAC=90時(shí)，求 PB的長(zhǎng)；第 12 頁（共 46 頁）【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)； KW：等腰直角三角形； R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（

20、1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC， AD=AE，依據(jù)同角的余角相等得到DAB=CAE，然后依據(jù) SAS可證明 ADB AEC，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BD=CE；（2）分為點(diǎn)E在上和點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形， 然后再證明，ABABPEBAEC最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可【解答】 解：（ 1） ABC和 ADE是等腰直角三角形，BAC= DAE=90，AB=AC， AD=AE， DAB= CAE ADB AECBD=CE（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在 AB上時(shí)， BE=AB AE=1 EAC=90，CE=同（ 1）可證 ADB AEC DBA=ECA PEB=AEC， PEB

21、AEC=PB=當(dāng)點(diǎn) E 在 BA延長(zhǎng)線上時(shí)， BE=3第 13 頁（共 46 頁） EAC=90，CE=同（ 1）可證 ADB AEC DBA=ECA BEP=CEA， PEB AEC=PB=綜上所述， PB的長(zhǎng)為或【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、 等腰三角形的性質(zhì)、 全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得 PEB AEC是解題的關(guān)鍵11（ 2017? 眉山）如圖，點(diǎn) E 是正方形 ABCD的邊 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié) DE，過頂點(diǎn) B 作 BF DE，垂足為 F，BF分別交 AC于 H，交 CD于 G（1）求證： BG=DE；（2）若點(diǎn) G為 CD的中點(diǎn)，求的值【考點(diǎn)】

22、S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； KD：全等三角形的判定與性質(zhì)； LE：正方形的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）由于 BF DE，所以 GFD=90，從而可知CBG= CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明 BCG DCE，從而可知BG=DE；（2）設(shè) CG=1，從而知 CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證 ABH CGH，所以，從而可求出HG的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的值【解答】 解：（ 1） BF DE， GFD=90， BCG=90， BGC= DGF， CBG=CDE，在 BCG與 DCE中，第 14 頁（共 46 頁） BCG DCE（ ASA），BG=DE，（ 2）設(shè) CG=

23、1，G為 CD的中點(diǎn)，GD=CG=1，由（ 1）可知： BCG DCE（ ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sin CDE=，GF=，AB CG， ABH CGH，= ，BH=， GH=，=【點(diǎn)評(píng)】 本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型12（ 2017? 畢節(jié)市）如圖，在 ?中 過點(diǎn)A作 ，垂足為，連接，為BE上ABCDAEDCEBE F一點(diǎn)，且 AFE= D（ 1）求證： ABF BEC；（ 2）若 AD=5， AB=8， sinD = ，求 AF的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定

24、與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；T7：解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）由平行四邊形的性質(zhì)得出ABCD， ADBC， AD=BC，得出 D+ C=180，ABF= BEC，證出 C= AFB，即可得出結(jié)論；（ 2）由勾股定理求出 BE，由三角函數(shù)求出 AE，再由相似三角形的性質(zhì)求出 AF的長(zhǎng)【解答】（ 1）證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，AB CD，AD BC，AD=BC，第 15 頁（共 46 頁） D+ C=180， ABF=BEC， AFB+AFE=180， C= AFB， ABF BEC；（ 2）解： AE DC， AB DC， AED=BAE=90，在 Rt ABE中，根

25、據(jù)勾股定理得：BE=4，在 Rt ADE中， AE=AD? sinD =5 =4，BC=AD=5，由（ 1）得： ABF BEC，即，解得： AF=2【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵13（ 2017? 河池）（ 1）如圖 1，在正方形ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 BC，CD上， AE BF于點(diǎn)M，求證： AE=BF；（2）如圖 2，將 （ 1）中的正方形 ABCD改為矩形 ABCD，AB=2，BC=3，AE BF于點(diǎn) M，探究AE與 BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】 9：相似三角形的判定與性質(zhì)；：全等三角形的

26、判定與性質(zhì)；：正方形的性質(zhì) 菁SKDLE優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，AB與的關(guān)系，根據(jù)兩直線ABCCBC垂直，可得 AMB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得ABM與 BAM的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得 BAM與 CBF的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得 ABE BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；（ 2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 ABC= C，由余角的性質(zhì)得到 BAM=CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】（ 1）證明：四邊形 ABCD是正方形， ABC=C， AB=BCAE BF， AMB=BAM+ ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF

27、第 16 頁（共 46 頁）在 ABE和 BCF中， ABE BCF（ ASA），AE=BF；（2）解： AE=BF，理由：四邊形ABCD是矩形， ABC=C，AE BF， AMB=BAM+ ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF， ABE BCF，=，AE=BF【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵14（ 2017? 常德）如圖，直角ABC中， BAC=90， D 在 BC上，連接AD，作 BFAD分別交 AD于 E， AC于 F（1）如圖 1，若 BD=BA，求證： ABE DBE；2（2）

28、如圖 2，若 BD=4DC，取 AB的中點(diǎn) G，連接 CG交 AD于 M，求證： GM=2MC； AG=AF? AC【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過 G作 GH AD交 BC于 H，由 AG=BG，得到 BH=DH，根據(jù)已知條件設(shè)DC=1，BD=4，得到 =2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到= =，求得=2；BH DHGM MC過C作 交的延長(zhǎng)線于，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到= ，由CN ADADNCN AG知 GM=2MC，得到 2NC=AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論【解答】

29、 證明：（ 1）在Rt和Rt中，ABEDBE第 17 頁（共 46 頁） ABE DBE；（ 2）過 G作 GHAD交 BC于 H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，設(shè) DC=1， BD=4，BH=DH=2，GH AD， = = ，GM=2MC；過 C作 CN AC交 AD的延長(zhǎng)線于N，則 CN AG， AGM NCM，=，由知 GM=2MC， 2NC=AG， BAC=AEB=90， ABF=CAN=90 BAE， ACN BAF，=，AB=2AG，=， 2CN? AG=AF? AC，2AG=AF? AC【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

30、熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15（ 2017? 綏化）如圖，在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，平分，為的中ABCDABECDEB FCE點(diǎn)，連接 AF， BF，過點(diǎn) E 作 EH BC分別交AF，CD于 G，H兩點(diǎn)（ 1）求證： DE=DC；（ 2）求證： AF BF；（ 3）當(dāng) AF? GF=28 時(shí)，請(qǐng)直接寫出 CE的長(zhǎng)第 18 頁（共 46 頁）【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； KD：全等三角形的判定與性質(zhì)； LB：矩形的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 152：幾何綜合題【分析】（ 1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到DCE= DEC，進(jìn)而得出DE=DC；（ 2）連

31、接 DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出 DFC=90，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出 BF=CF=EF= EC，再根據(jù) SAS判定 ABF DCF，即可得出 AFB= DFC=90，據(jù)此可得 AF BF；（ 3）根據(jù)等角的余角相等可得BAF= FEH，再根據(jù)公共角EFG= AFE，即可判定EFG AFE，進(jìn)而得出EF2=AF? GF=28，求得 EF=2，即可得到CE=2EF=4【解答】 解：（ 1）四邊形ABCD是矩形，AB CD， DCE=CEB，EC平分 DEB， DEC=CEB， DCE=DEC，DE=DC；（2）如圖，連接DF，DE=DC，F(xiàn) 為 CE的中點(diǎn)，DF EC， DFC=

32、90，在矩形 ABCD中， AB=DC， ABC=90，BF=CF=EF=EC， ABF=CEB， DCE=CEB， ABF=DCF，在 ABF和 DCF中，第 19 頁（共 46 頁）， ABF DCF（ SAS）， AFB=DFC=90，AF BF；（ 3） CE=4 理由如下： AF BF， BAF+ABF=90，EH BC， ABC=90， BEH=90， FEH+CEB=90， ABF=CEB， BAF=FEH， EFG=AFE， EFG AFE，2=，即 EF=AF? GF，AF? GF=28，EF=2，CE=2EF=4【點(diǎn)評(píng)】 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角

33、形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線， 構(gòu)造全等三角形 在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)， 應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用16（ 2016? 齊齊哈爾）如圖，在 ABC中， AD BC， BE AC，垂足分別為 D， E，AD 與 BE 相交于點(diǎn) F（ 1）求證： ACD BFD；（ 2）當(dāng) tan ABD=1， AC=3 時(shí)，求 BF的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有第 20 頁（共 46 頁）【分析】（ 1）由 C+ DBF=90， C+ DAC=90，推出 D

34、BF= DAC，由此即可證明（2）先證明AD=BD，由 ACD BFD，得=1，即可解決問題【解答】（ 1）證明： AD BC，BE AC， BDF=ADC= BEC=90， C+ DBF=90， C+ DAC=90， DBF=DAC， ACD BFD（ 2） tan ABD=1， ADB=90=1，AD=BD， ACD BFD， = =1， BF=AC=3【點(diǎn)評(píng)】 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)， 解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型17（ 2017? 桂林）已知：如圖，在ABC中， AB=BC=10，以 AB為直徑作 O分別交 AC， BC于點(diǎn) ，

35、，連接和，過點(diǎn)E作，垂足為，交于點(diǎn) D EDEDBEFABFBDP（ 1）求證： AD=DE；（ 2）若 CE=2，求線段 CD的長(zhǎng)；（ 3）在（ 2）的條件下，求 DPE的面積【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； KH：等腰三角形的性質(zhì)； KQ：勾股定理； M2：垂徑定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）根據(jù)圓周角定理可得ADB=90，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證AD=DE；（2）根據(jù) AA可證 CED CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件可求CD；（3）延長(zhǎng) EF交 O于 M，在 Rt ABD中，根據(jù)勾股定理可求 BD，根據(jù) AA可證 BPE BED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求 BP，進(jìn)一

36、步求得 DP，根據(jù)等高三角形面積比等于底邊的比可得 S DPE： S BPE=13： 32，S BDE：S BCD=4： 5，再根據(jù)三角形面積公式即可求解第 21 頁（共 46 頁）【解答】（ 1）證明： AB是 O的直徑， ADB=90，AB=BC，D是 AC的中點(diǎn)， ABD= CBD，AD=DE；（ 2）解：四邊形 ABED內(nèi)接于 O， CED=CAB， C= C， CED CAB，=，AB=BC=10， CE=2，D是 AC的中點(diǎn)，CD=；（3）解：延長(zhǎng)EF交O于，M在 Rt ABD中， AD=， AB=10，BD=3，EM AB，AB是 O的直徑， = ， BEP=EDB， BPE B

37、ED，=，BP=，DP=BD BP=，S DPE： S BPE=DP： BP=13： 32，S BCD= 3=15， S BDE：S BCD=BE： BC=4： 5，S BDE=12，S DPE=第 22 頁（共 46 頁）【點(diǎn)評(píng)】 考查了圓周角定理、 等腰三角形的性質(zhì)、 相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)注意準(zhǔn)確作出輔助線、掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵18（ 2017? 巴中）如圖， AH是 O的直徑， AE平分 FAH，交 O于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 的直線 FG AF，垂足為 F， B為半徑 OH上一點(diǎn)，點(diǎn) E、 F 分別在矩形 ABCD的邊 BC和 CD上（1）求證：直線是O的切線；FG（2）若 AF=12， BE=6，求的值【考點(diǎn)】 S9：相似三角形的判定與性質(zhì)； LB：矩形的性質(zhì)； ME：切線的判定與性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（ 1）連接 OE，證明 FG是 O的切線，只要證明OEF=90即可；（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EF=BE=6，再證明 ADF FCE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=【解答】（ 1）證明：如圖，連接OE，OA=OE， EAO=AEO，AE平分 FAH， EAO=FAE， FAE=AEO，AF OE， AFE+OEF=180，AF GF， AFE=OEF=90，OE GF，點(diǎn) E 在圓上，