3高等數(shù)學(xué)完整版詳細(xì)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)13高等數(shù)學(xué)完整版詳細(xì)高等數(shù)學(xué)完整版詳細(xì)第一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC第1頁/共175頁第二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。證證.)1(mM 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同時在端點最值不可能同時在端點),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)

2、至至少少存存在在一一點點則則在在),()( fxf, 0)()( fxf第2頁/共175頁第三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。, 0 x若若; 0)()( xfxf則有則有, 0 x若若; 0)()( xfxf則有則有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()( ff. 0)( f只只有有第3頁/共175頁第四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)其結(jié)論可能不成立論可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2一切條件一切條件滿足

3、羅爾定理的滿足羅爾定理的不存在外不存在外上除上除在在f . 0)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能使使; 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,第4頁/共175頁第五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1 1.10155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0

4、)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實實根根第5頁/共175頁第六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)

5、1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定理相比條件中注意注意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成第6頁/共175頁第七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩端點的函數(shù)值相等兩端點的函數(shù)值相等所得曲線所得曲線ba第7

6、頁/共175頁第八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第8頁/共175頁第九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。,),()(內(nèi)內(nèi)可

7、可導(dǎo)導(dǎo)在在在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可寫成也可寫成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf第9頁/共175頁第十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證明證明證

8、證 1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx第10頁/共175頁第十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .

9、)1ln(1xxxx 即即第11頁/共175頁第十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分?？挛骺挛鳎–auchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .第12頁/共175頁第十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(a

10、FA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba第13頁/共175頁第十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba,)(xx

11、F 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf第14頁/共175頁第十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(, 1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析:結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè), 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1

12、, 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即第15頁/共175頁第十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.第16頁/共175頁第十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件試舉例說明拉格

13、朗日中值定理的條件缺一不可缺一不可.第17頁/共175頁第十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)連續(xù)的條件；的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內(nèi)不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微可微的條件；的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.第18頁/共175頁第十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。練練 習(xí)習(xí) 題題第19頁/共175頁第二十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。二、試證明對函數(shù)二、試證明對函數(shù)rqxpxy 2應(yīng)用拉氏中值定理應(yīng)用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是位于區(qū)

14、間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設(shè)四、設(shè)0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當(dāng)當(dāng)1 x，exex . .六六、證證明明方方程程015 xx只只有有一一個個正正根根 . .第20頁/共175頁第二十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。第21頁/共175頁第二十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2

15、,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量, ,導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；5 5、恒為零、恒為零. .練習(xí)題答練習(xí)題答案案第22頁/共175頁第二十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個函數(shù)兩個函數(shù)時時或或如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xx

16、x,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 第23頁/共175頁第二十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領(lǐng)域內(nèi)點的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則極限來確定未定式的值

17、的方法稱為洛必達(dá)法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時以及以及時時當(dāng)當(dāng) xaxx第24頁/共175頁第二十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點在在 ,為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim

18、)()(limAFfxFxfaax 第25頁/共175頁第二十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(第26頁/共175頁第二十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbx

19、axaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 第27頁/共175頁第二十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 第28頁/共175頁第二十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求

20、極限方法結(jié)合使用，效果更好其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 第29頁/共175頁第三十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 .),00()( 型型

21、 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或第30頁/共175頁第三十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:第31頁/共175頁第三十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnli

22、m0 第32頁/共175頁第三十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式第33頁/共175頁第三十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式

23、原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件第34頁/共175頁第三十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取對數(shù)取對數(shù)令令gfy 第35頁/共175頁第三十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不

24、存存在在？舉舉例例說說明明.第36頁/共175頁第三十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在第37頁/共175頁第三十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達(dá)法則除了可用于求洛必達(dá)法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式

25、，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題第38頁/共175頁第三十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。二、二、 用洛必達(dá)法則求下列極限：用洛必達(dá)法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .第39頁/共175頁

26、第四十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), , 在在處處點點0 x的連續(xù)性的連續(xù)性. .第40頁/共175頁第四十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三、連續(xù)三、連續(xù). .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第41頁/共175頁第四十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0

27、)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第42頁/共175頁第四十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)內(nèi)，若若在在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)

28、(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)內(nèi)，若若在在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在baxfy 第43頁/共175頁第四十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)

29、符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性).,(:D又又第44頁/共175頁第四十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點的分界點方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)

30、間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點不存在的點的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第45頁/共175頁第四十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時，時，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1時，時，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 2 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1

31、)., 2第46頁/共175頁第四十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時時當(dāng)當(dāng) x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時，時，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,()., 0 32xy 第47頁/共175頁第四十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例4 4證證.)1ln(,0成成立立試試證證時時當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)

32、(), 0(,), 0)( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上上單單調(diào)調(diào)增增加加但但在在 第48頁/共175頁第四十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立然成立.應(yīng)用：利

33、用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式程實根的個數(shù)和證明不等式.第49頁/共175頁第五十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題思考題 若若0)0( f，是否能斷定，是否能斷定)(xf在原點的在原點的充分小的鄰域內(nèi)單調(diào)遞增？充分小的鄰域內(nèi)單調(diào)遞增？第50頁/共175頁第五十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題解答思考題解答不能斷定不能斷定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf第51頁/共175頁第五十二頁，編輯于星期五：十五

34、點 二十五分。 )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時，時，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時，時，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點的任何點的任何鄰域內(nèi)，鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf第52頁/共175頁第五十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為_ _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_._.

35、二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習(xí)習(xí) 題題第53頁/共175頁第五十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當(dāng)當(dāng)0 x時，時，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當(dāng)當(dāng)4 x時，時，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有幾個實根有幾個實根. .五、五、 設(shè)設(shè))(xf在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf

36、 , ,試證試證 明：對于明：對于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 第54頁/共175頁第五十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、 1,( , ,), 1 ； 1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1 ,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減

37、少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在 1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習(xí)題答案練習(xí)題答案第55頁/共175頁第五十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。 3 3、在、在32,2 kk上單調(diào)增加上單調(diào)增加, , 在在22,32 kk上單調(diào)減少上單調(diào)減少, ,), 2, 1, 0( k. .四、四、(1)(1)ea1 時沒有實根；時沒有實根；(2)(2)ea10 時有兩個實根；時有兩個實根；(3)(3)ea1 時只有時只有ex 一個實根一個實根. .第56頁/共175頁第五十七頁，編輯于星期五：十五點 二十

38、五分。oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第57頁/共175頁第五十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內(nèi)的一個點內(nèi)的一個點是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xf

39、xfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得極值使函數(shù)取得極值的點稱為的點稱為極值點極值點.第58頁/共175頁第五十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。 設(shè)設(shè))(xf在點在點0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點使導(dǎo)數(shù)為零的點xfxf 注意注意:.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻

40、不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不是極值點不是極值點但但 x第59頁/共175頁第六十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. . (3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(

41、xf 符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. . 定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)第60頁/共175頁第六十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判斷極值點判斷極值點在駐點左右的正負(fù)號在駐點左右的正負(fù)號檢查檢查xf .)4(求求極極值值(不是極值點情形不是極值點情形)第61頁/共175頁第六十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1 1解解.59

42、3)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得駐駐點點列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極極小小值值.22 )1( f極極大大值值,10 )3)(1(3 xx第62頁/共175頁第六十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下第63頁/共175頁第六十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那

43、末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值第64頁/共175頁第六十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例2 2

44、解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下第65頁/共175頁第六十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 第66頁/共175頁第六十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例3 3解解.)2(1)(

45、32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)xfx 時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時，時，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點點連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點也可能是函數(shù)的極值點.M第67頁/共175頁第六十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點臨界點

46、. .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點臨界點取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)第68頁/共175頁第六十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考思考題題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點點，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.第69頁/共175頁第七十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x

47、時，時， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于是是0 x為為)(xf的的極極小小值值點點第70頁/共175頁第七十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。當(dāng)當(dāng)0 x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x時時，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側(cè)側(cè)都都不不單單調(diào)調(diào).故命題不成立故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 第71頁/共175頁第七十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。練練 習(xí)習(xí) 題題第72頁/共175頁第七十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。二、求下列函數(shù)的極值：二、求下列函數(shù)的極值：1 1、 xeyxcos ；2

48、 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 證明題：證明題：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23滿足條滿足條032 acb，則函數(shù)無極值則函數(shù)無極值. . 2 2、設(shè)設(shè))(xf是是有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)0)( xf， 則則0 x為為)(xf的的極極值值點點. .第73頁/共175頁第七十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),無；無； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee;

49、;二、二、1 1、極大值、極大值 keky2422)24(, ,極小值極小值 ), 2, 1, 0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、極大值、極大值eeey1)( ；3 3、極小值、極小值1)0( y；4 4、極小值、極小值0)0( y. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第74頁/共175頁第七十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點，則為零的點，則并且至多有有限個導(dǎo)數(shù)并且至多有有限個導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，上連續(xù)，除個別點外處上連續(xù)，除個別點外處在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf第75頁/共17

50、5頁第七十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。步驟步驟: :1.求駐點和不可導(dǎo)點求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是則這個極值就是最值最值.(最大值或最小值最大值或最小值)第76頁/共175頁第七十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) x

51、xxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f; 7;142 )4(f第77頁/共175頁第七十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。，最最大大值值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最最小小值值14123223 xxxy第78頁/共175頁第七十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例2 2敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘的分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度

52、為速度為2千米千米/分鐘分鐘問我軍摩托車何問我軍摩托車何時射擊最好（相時射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好）？第79頁/共175頁第八十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。解解公里公里5 . 0(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts 公里公里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值點點求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分分

53、鐘鐘射射擊擊最最好好處處發(fā)發(fā)起起追追擊擊后后故故得得我我軍軍從從B第80頁/共175頁第八十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。實際問題求最值應(yīng)注意實際問題求最值應(yīng)注意: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值;值值或最小或最小函數(shù)值即為所求的最函數(shù)值即為所求的最點，則該點的點，則該點的若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐)(第81頁/共175頁第八十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。例例3 3某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月每月180元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加加10元時，就

54、有一套公寓租不出去，而租出的元時，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花費房子每月需花費20元的整修維護(hù)費試問房租定元的整修維護(hù)費試問房租定為多少可獲得最大收入？為多少可獲得最大收入？解解設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x第82頁/共175頁第八十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時收入最高。元時收入最

55、高。最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 第83頁/共175頁第八十四頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例4 4形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點使曲線在該點上求一點，上求一點，曲邊曲邊成一個曲邊三角形，在成一個曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxy第84頁/共175頁第八十五頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。解解如圖如圖,),(00yxP設(shè)所求切點為設(shè)所求切點為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy

56、,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x第85頁/共175頁第八十六頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角形中面積的故故 s第86頁/共175頁第八十七頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。注意最值與極值的區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局

57、部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值的步驟實際問題求最值的步驟.第87頁/共175頁第八十八頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題思考題 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？第88頁/共175頁第八十九頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。思考題解答思考題解答結(jié)論不成立結(jié)論不成立.因為最值點不一定是內(nèi)點因為最值點不一定是內(nèi)點. .例例xxfy )( 1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f第89頁/共175頁第九十頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、

58、填空題：填空題：1 1、最值可、最值可_處取得處取得. .2 2、函數(shù)、函數(shù)2332xxy ( (41 x) )的最大值為的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.3 3、 函數(shù)函數(shù)2100 xy 在在0,80,8上的最大值為上的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.4 4、 設(shè)有重量為設(shè)有重量為 5kg5kg 的物體，置于水平面上，受力的物體，置于水平面上，受力f的作用而開始移動，摩擦系數(shù)的作用而開始移動，摩擦系數(shù) =0.25=0.25，問力，問力f與與水平線的交角水平線的交角 為為_時，才可使力時，才可使力f的大小為的大小為最小，則此問題的目標(biāo)函數(shù)為最小，則此問題的目標(biāo)函數(shù)為

59、_，討論區(qū)間為討論區(qū)間為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題第90頁/共175頁第九十一頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。5 5、 從一塊半徑為從一塊半徑為R的圓缺片上挖去一個扇形做成一個的圓缺片上挖去一個扇形做成一個漏斗，問留下的扇形的中心角為漏斗，問留下的扇形的中心角為_時，做時，做成的漏斗的容積為最大？此問題的目標(biāo)函數(shù)為成的漏斗的容積為最大？此問題的目標(biāo)函數(shù)為_考察區(qū)間為考察區(qū)間為_._.二、二、 求函數(shù)求函數(shù)xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求數(shù)列求數(shù)列 nn210的最大項的最大項 . .四、四、 要造一圓柱形油灌，體積為要造一圓柱形油灌，體積為V，問底半徑，問底半徑

60、r和高和高h(yuǎn)等于多少時，才能使表面積最?。窟@時底直徑與等于多少時，才能使表面積最?。窟@時底直徑與高的比是多少？高的比是多少？第91頁/共175頁第九十二頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )圍成一曲邊三角形圍成一曲邊三角形OAB，在曲線弧，在曲線弧OB上求一點，使得過此點所作曲上求一點，使得過此點所作曲線線2xy 的切線與的切線與OA，OB圍成的三角形面積最大圍成的三角形面積最大. .第92頁/共175頁第九十三頁，編輯于星期五：十五點 二十五分。一、一、1 1、區(qū)間端點及極值點；、區(qū)間端點及極值點；2 2、最大值、最大值80)4