C第五章測量誤差的基本知識

1、第第5 5章章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識5.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述5.2 5.2 評定精度的指標評定精度的指標5.3 5.3 誤差傳播定律誤差傳播定律5.4 5.4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差5.5 5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差本章內容如下：本章內容如下： 誤差即觀測值與真值之間的差值。 = = L L - - X X觀測者、儀器、外界條件觀測者、儀器、外界條件觀測條件不同的各次觀測，其結果具有不同精度。觀測條件不同的各次觀測，其結果具有不同精度。 觀測條件相同的各次觀測，其結果具有同等精度。觀測條件相同的各次觀測，其結果具有同等精度。v

2、 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差( (system error) 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，誤差在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值都相同，或按一定的規(guī)律變化。出現(xiàn)的符號和數(shù)值都相同，或按一定的規(guī)律變化。v 偶然誤差偶然誤差( (accident error) ) 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，誤差在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值從單個上看沒有規(guī)律性，而從整體上分出現(xiàn)的符號和數(shù)值從單個上看沒有規(guī)律性，而從整體上分析卻具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性析卻具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 。又稱真誤差。又稱真誤差( (ture erro

3、r) )。v 粗差粗差( (gross error) ) 在觀測中出現(xiàn)的讀錯、記錯或測錯等，統(tǒng)稱為粗差。粗差在觀測中出現(xiàn)的讀錯、記錯或測錯等，統(tǒng)稱為粗差。粗差在觀測結果中是不允許出現(xiàn)的。為了杜絕粗差的產(chǎn)生，除在觀測結果中是不允許出現(xiàn)的。為了杜絕粗差的產(chǎn)生，除需認真仔細作業(yè)外，必須采取必要的檢核措施。需認真仔細作業(yè)外，必須采取必要的檢核措施。 設三角形閉合差為L1L3L2v 處理方法處理方法 系統(tǒng)誤差可以采取以下方法進行處理：系統(tǒng)誤差可以采取以下方法進行處理：1.1.對稱觀測；對稱觀測；2.2.加改正數(shù)；加改正數(shù)；3.3.將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內。將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內。180iiii 0

4、3 30 0.138 29 0.134 59 0.272 36 21 0.097 20 0.092 41 0.189 69 15 0.069 18 0.083 33 0.152 912 14 0.065 16 0.073 30 0.138 1215 12 0.055 10 0.046 22 0.101 1518 8 0.037 8 0.037 16 0.074 1821 5 0.023 6 0.028 11 0.051 2124 2 0.009 2 0.009 4 0.018 2427 1 0.005 0 0 1 0.005 27以上 0 0 0 0 0 0 合 計 108 0.498 109

5、 0.502 217 1.000 正 誤 差個數(shù)個數(shù)k k頻率頻率k k/ /n n負 誤 差誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d（） 合 計個數(shù)個數(shù)k k個數(shù)k頻率頻率k k/ /n n頻率頻率k k/ /n n 偶然誤差分布情況統(tǒng)計偶然誤差分布情況統(tǒng)計（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會 超過一定的限度；超過一定的限度；（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能 性大；性大；（3）絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的機會相等；）絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的機會相等；（4）當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術

6、平均值）當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值 趨近于零。即趨近于零。即偶然誤差具有如下特性：偶然誤差具有如下特性： 0limlim21 nnnnn直方圖誤差分布曲線誤差分布曲線22221)(ef 平均誤差即算術平均誤差，其定義為：在對某量進行一平均誤差即算術平均誤差，其定義為：在對某量進行一系列觀測中，各次觀測誤差的絕對值的算術平均值叫算術平系列觀測中，各次觀測誤差的絕對值的算術平均值叫算術平均誤差，記為均誤差，記為 。X。niiXXnX101當當n較大時，可用下式估算為：較大時，可用下式估算為：1nnXXXi5.2 5.2 評定精度的指標評定精度的指標v 定義定義 標準差標準差(sta

7、ndard deviation)nnlim 中誤差中誤差(mean square error)nm * * 在一定的觀測條件下，標準差是一個固定的常數(shù)，在一定的觀測條件下，標準差是一個固定的常數(shù)，而中誤差則是隨著觀測次數(shù)的多少及讀取的觀測值大小而中誤差則是隨著觀測次數(shù)的多少及讀取的觀測值大小而改變的隨機變量，當觀測次數(shù)逐漸增大時，中誤差逐而改變的隨機變量，當觀測次數(shù)逐漸增大時，中誤差逐漸趨近于標準差漸趨近于標準差。是反映一組真誤差離散程度的指標。是反映一組真誤差離散程度的指標。v 中誤差的計算中誤差的計算 例：同精度下對某一三角形進行了例：同精度下對某一三角形進行了1010次觀測，求得每次觀次

8、觀測，求得每次觀測所得的三角形閉合差分別為（單位：測所得的三角形閉合差分別為（單位：）：）：3 3，-2-2，-4-4，2 2，0 0，-4-4，3 3，2 2，-3-3，-1-1。7 . 21013234024232222222222 m 另一臺儀器的結果（單位：另一臺儀器的結果（單位：）：）：3 3，1 1，-2-2，2 2，0 0，-3-3， 2 2， 1 1，-1-1，0 0。8 . 1 10011230221322222222m683. 021)(222dedfP955. 021)(222222222dedfP997. 021)(333323322dedfPv 容許誤差容許誤差m2容

9、m3極v 極限誤差極限誤差( (limit error) )v 定義定義 誤差的絕對值與觀測值之比稱為該觀測值的誤差的絕對值與觀測值之比稱為該觀測值的相對誤差相對誤差，常用常用1/1/N 的形式表示。的形式表示。DmDmK1 例：分別丈量了例：分別丈量了100m100m及及200m200m的兩段距離，觀測值的中誤差均的兩段距離，觀測值的中誤差均為為2cm2cm，試比較兩者的觀測成果質量。，試比較兩者的觀測成果質量。5000110002. 011Dm10000120002. 022Dm中誤差的絕對值與觀測值之比稱為該觀測值的中誤差的絕對值與觀測值之比稱為該觀測值的相對中誤差相對中誤差K。5.3

10、5.3 觀測值與算術平均值的中誤差觀測值與算術平均值的中誤差 LXnlimlim () limnnnLXnXn lim0nn即即，n趨近無窮大時，算術平均值即為真值趨近無窮大時，算術平均值即為真值 。 設在相同的觀測條件下對某未知量觀測了設在相同的觀測條件下對某未知量觀測了n次，觀測值為次，觀測值為l1, l2, l3 , ln，現(xiàn)在要根據(jù)這，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定出該未知量的最或個觀測值確定出該未知量的最或然值。設未知量的真值為然值。設未知量的真值為X ，以，以L表示上式觀測值的算術平均表示上式觀測值的算術平均值，則有值，則有 式中：式中：i = liX取極限：取極限：現(xiàn)在來推導算術平均

11、值的中誤差公式?，F(xiàn)在來推導算術平均值的中誤差公式。 式中，式中，1 / n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設其中為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設其中誤差均為誤差均為m?，F(xiàn)以?，F(xiàn)以M表示算術平均值的中誤差，則算術平均值表示算術平均值的中誤差，則算術平均值的中誤差為的中誤差為nlnlnlnL11121mnMmnnmnmnmM1122222 觀測量的算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，觀測量的算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用用v表示。當觀測次數(shù)為表示。當觀測次數(shù)為n時，有時，有 nnlLvlLvlLv2211 lnLv nlL 0v 將 代入上式，得代入上式，得 觀測值改

12、正數(shù)的重要特性觀測值改正數(shù)的重要特性: 即對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。即對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。 由真誤差與觀測值改正數(shù)的定義可知：由真誤差與觀測值改正數(shù)的定義可知： XlnXlXln2211 nnvXLvXLvXL2211兩邊同時平方并相加，得兩邊同時平方并相加，得 vXLvvXLn22 0vXL2nvv 因為因為 ，令，令 ，代入上式，得，代入上式，得 XL nlL nnXlXnlXL因為因為 所以所以 )(22221132212213221222212222nnnnnnnnn 013221lim nnnnnnn122 nnnvvn1nm2因為因為 nmnvvm

13、22所以所以整理后，得整理后，得 1nvvm這就是用觀測值改正數(shù)求觀測值中誤差的計算公式。這就是用觀測值改正數(shù)求觀測值中誤差的計算公式。 例：某一段距離共丈量了六次，結果如下表所示，求算術平例：某一段距離共丈量了六次，結果如下表所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。 v 定義定義v 公式推導公式推導)(21nxxxfZ，)(2211nnxxxxxxfZZ，nnxxfxxfxxfZ2211)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 ( knnkkknnnnxxfxxf

14、xxfZxxfxxfxxfZxxfxxfxxfZjinjijijinnxxxfxfxxfxxfxxfZ1,22222221212kxxxfxfkxxfkxxfkxxfkZjinjijijinn1,2222222121222222221212nnzxfxfxf22222221212nnzmxfmxfmxfmkxxfkxxfkxxfkZnnkk22222221212limlimv 常用函數(shù)的中誤差公式常用函數(shù)的中誤差公式kxz nxxxz21nnxkxkxkz2211xzkmm 22221nzmmmmnmmz2222222121nnzmkmkmkm 倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)線性

15、函數(shù)mlL3003010100121lllL 例：用長例：用長30m的鋼尺丈量了的鋼尺丈量了10尺段，若每尺段的中誤差尺段，若每尺段的中誤差ml= =5mm，求全長，求全長L及其中誤差。及其中誤差。mmmmlL5010mmmmlL1610例：有函數(shù)式如下，若例：有函數(shù)式如下，若x的中誤差的中誤差mx為已知，求為已知，求mz。22 3 122121xyxyyyzxzyyzxyxymmmmmyyzmmxymmxy5 4122223322221212121xzmmxzxxzxyxyyyz757 1)22(23223122121方法一方法一: :方法二方法二: : 函數(shù)式中各觀測值之間必須相互獨立函數(shù)

16、式中各觀測值之間必須相互獨立5.5 5.5 不等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差 設對某未知量分兩組進行觀測，第一組測設對某未知量分兩組進行觀測，第一組測4次，觀測值為次，觀測值為L1、L 2、L 3、L 4，第二組測，第二組測2次，觀測值為次，觀測值為L 1、L 2，它，它們都是等精度觀測，則們都是等精度觀測，則6214321LLLLLLx2 421243211LLxLLLLx6242421432121LLLLLLxxx表示各觀測值可靠程度的數(shù)值（表示各觀測值可靠程度的數(shù)值（p）。）。v 權的定義權的定義v 權的確定權的確定設不等精度觀測值的中誤差分別為設不等精度觀測值的中誤差分別為m1

17、，m2，mn)0( 2222211，nnmpmpmp22222112222121 nnnnmpmpmpmmmppp或：【例例】設以不等精度觀測某角度，各觀測結果的中誤差分別為設以不等精度觀測某角度，各觀測結果的中誤差分別為：m1=11，m2= =22，m3= =33，則它們的權各為則它們的權各為91411 12332222112mpmpmp，時，4936362332222112mpmpmp，時，941442332222112mpmpmp，時，v 單位權與單位權中誤差單位權與單位權中誤差) 2 1(220nimmpii， iipmm10 等于等于1 1的權稱為的權稱為單位權單位權，與這個單位權相

18、對應的中誤差稱為，與這個單位權相對應的中誤差稱為單位權中誤差單位權中誤差，一般用，一般用m0表示。對于中誤差為表示。對于中誤差為mi的觀測值，其權的觀測值，其權pi為為 設對某未知量進行了一組不等精度觀測，觀測值分別為設對某未知量進行了一組不等精度觀測，觀測值分別為L1，L 2，Ln，其對應的權為其對應的權為p1，p2，pn，則加權平均值則加權平均值即為不等精度觀測值的最或然值即為不等精度觀測值的最或然值。計算公式為計算公式為：nnnpppLpLpLpppLx212211nnLppLppLppx221122222222212212nnmppmppmppM20202202220212pmmppmppmppMn 0pmM npm0nppM 10npvvm)1(nppvvMmpppHpHpHpH340.163213322110mm