第三章立體的投影

1、12 基本體是構(gòu)成形體的基本單元，基本體是構(gòu)成形體的基本單元，在幾何造型中又稱為在幾何造型中又稱為基本基本體素。體素。 單一的幾何體稱為基本體。如：棱單一的幾何體稱為基本體。如：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、環(huán)等。柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、環(huán)等。3表面僅由平面圍成的表面僅由平面圍成的基本體基本體 平面體平面體表面包含曲面的表面包含曲面的基本體基本體 曲面體曲面體 構(gòu)成基本體的所有表面以及形成該構(gòu)成基本體的所有表面以及形成該形體的特征線（軸線）投影的總和形體的特征線（軸線）投影的總和 規(guī)定規(guī)定 ：可見輪廓畫成粗實(shí)線，不可見輪廓畫成虛線，可見輪廓畫成粗實(shí)線，不可見輪廓畫成虛線，軸線畫成單點(diǎn)劃線，粗實(shí)

2、線與虛線重合時(shí)畫成粗實(shí)線軸線畫成單點(diǎn)劃線，粗實(shí)線與虛線重合時(shí)畫成粗實(shí)線4棱柱棱柱側(cè)棱面?zhèn)壤饷嫔系酌嫔系酌胬饩€棱線底邊底邊棱柱的棱線相互平行棱柱的棱線相互平行下下底面底面5H、V投影投影(俯視圖、主視圖俯視圖、主視圖) 長相等長相等(長對正長對正)V、W投影投影(主視圖、左視圖主視圖、左視圖) 高相等高相等(高平齊高平齊)H、W投影投影(俯視圖、左視圖俯視圖、左視圖) 寬相等寬相等(寬相等寬相等)能否將左視圖畫能否將左視圖畫 到主、俯之間到主、俯之間?鏈接主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖6能否將左視圖畫能否將左視圖畫 到主、俯之間到主、俯之間?主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖錯(cuò)誤7例：例

3、：棱柱表面上一點(diǎn)棱柱表面上一點(diǎn)A A，已知已知aa，求，求a a、aaaa(a)基本方法基本方法面內(nèi)取點(diǎn)方法面內(nèi)取點(diǎn)方法(b)(b)(b)8棱錐棱錐錐頂錐頂棱錐的棱線相交于錐頂棱錐的棱線相交于錐頂側(cè)棱面?zhèn)壤饷娴酌娴酌胬饩€棱線底邊底邊9sabcacbsba(c)sSA BC10SABC例例 棱錐表面的折線棱錐表面的折線MNK(MNK(m mn nk k) )求另二投影求另二投影如何在平面上取點(diǎn)？如何在平面上取點(diǎn)？m(k)nsacacbsba(c)sbM SA N SBK SBCnkmmnk連線連線注意分析點(diǎn)、直線注意分析點(diǎn)、直線所在表面的可見性所在表面的可見性11截切：截切： 用一個(gè)平面與立體相

4、交，截去立體的一用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物體的平面。用以截切物體的平面。 截交線截交線 截平面與物體表面的交線。截平面與物體表面的交線。 截?cái)嗝娼財(cái)嗝?因截平面的截切，在物體上形因截平面的截切，在物體上形 成的平面。成的平面。討論的問題：截交線的分析和作圖討論的問題：截交線的分析和作圖 。12截交線與截?cái)嗝娼仄矫娼亟痪€截?cái)嗝?3 截交線是一個(gè)由直線組成的截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形封閉的平面多邊形，其，其 形狀取決于平面體的形狀及截平面相對平面體的截形狀取決于平面體的形狀及截平面相對平面體的截切位置。切位置。平面立體的截交線是一個(gè)多邊形

5、，它的頂點(diǎn)是平平面立體的截交線是一個(gè)多邊形，它的頂點(diǎn)是平面立體的棱線或底邊與截平面的交點(diǎn)。面立體的棱線或底邊與截平面的交點(diǎn)。截交線的每截交線的每條邊是條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。求求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面。共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面。14 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。 求

6、截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面的交分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。線，并連接成多邊形。15 平面與三棱錐相交sabcc”a”b”sPvs”12311”2”233”例、求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。具體步驟如下：(1) 求Pv與sa、sb、sc的交點(diǎn)1、2、3為截平面與各棱線的交點(diǎn)、的正面投影。(2) 根

7、據(jù)線上取點(diǎn)的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。(3) 連接各點(diǎn)的同面投影即等截交線的三個(gè)投影。(4) 補(bǔ)全棱線的投影。16例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個(gè)棱面相交？幾個(gè)棱面相交？截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？17我們采

8、用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！18有多個(gè)截平面截同一個(gè)立體時(shí)截有多個(gè)截平面截同一個(gè)立體時(shí)截交線的求法交線的求法:1 分別求出截平面截立體所得的截交線分別求出截平面截立體所得的截交線;2 求出截平面相互之間的交線求出截平面相互之間的交線;3 補(bǔ)全立體未被截切的能廓線。補(bǔ)全立體未被截切的能廓線。19例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )、兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面同時(shí)位于三個(gè)面上。上。三面共點(diǎn)：三面共點(diǎn)：2 2 1 1 注意：注意： 要逐個(gè)截平面分析和要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體

9、只繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交線后再取局部。線后再取局部。2021例例:求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影作圖方法作圖方法:1 求棱線與截平面求棱線與截平面 的共有點(diǎn)的共有點(diǎn)2 連線連線 3 根據(jù)可見性處理輪廓線根據(jù)可見性處理輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?222312(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例 補(bǔ)全俯視圖和左視圖的投影補(bǔ)全俯視圖和左視圖的投影 24作 業(yè) 3-1（1）（2）25OO圓柱體

10、圓柱體軸線軸線底面底面圓柱面圓柱面1 圓沿與其垂直圓沿與其垂直的直線拉伸形成的直線拉伸形成2 矩形繞其邊矩形繞其邊旋旋轉(zhuǎn)形成轉(zhuǎn)形成L圓柱面的形成圓柱面的形成3.2 3.2 曲面立體（回轉(zhuǎn)體）曲面立體（回轉(zhuǎn)體）26OO對對V V面的外面的外形輪廓線形輪廓線對對W W面的外面的外形輪廓線形輪廓線外形輪廓線投外形輪廓線投影的對應(yīng)關(guān)系影的對應(yīng)關(guān)系圓柱面投影圓柱面投影可見性判斷可見性判斷27OO例例 圓柱體表面一點(diǎn)圓柱體表面一點(diǎn)M M ，已知，已知m m求求m m ，mmm(m)m( )（n）(n)(n“)28例例 ADCADC位于圓柱體表面，已知位于圓柱體表面，已知a a c c dd，求求acdac

11、d、a a c c dda c d不平行軸線不平行軸線故故ADCADC為曲線為曲線找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)求求H H投影投影求求W W投影投影光滑連接曲線光滑連接曲線外形輪廓線上的外形輪廓線上的點(diǎn)是曲線投影的點(diǎn)是曲線投影的虛、實(shí)分界點(diǎn)虛、實(shí)分界點(diǎn)29圓錐體圓錐體S底面底面圓錐面圓錐面錐頂錐頂軸線軸線方式二方式二:直角三角形繞其直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成直角邊旋轉(zhuǎn)而成L方式一方式一: 圓沿與其垂直的圓沿與其垂直的直線拉伸形成。拉伸過程直線拉伸形成。拉伸過程中其直徑均勻變化中其直徑均勻變化圓錐面的形成圓錐面的形成過圓錐面上任一點(diǎn)可作過圓錐面上任一點(diǎn)可作一條直線通過錐頂、亦一條直線通過錐頂、亦可在圓錐面上

12、作一圓可在圓錐面上作一圓30Sss對對V V面的外面的外形輪廓線形輪廓線對對W W面的外面的外形輪廓線形輪廓線外形輪廓線投外形輪廓線投影的對應(yīng)關(guān)系影的對應(yīng)關(guān)系圓錐面投影圓錐面投影可見性判斷可見性判斷s31sss例例 圓錐體表面一點(diǎn)圓錐體表面一點(diǎn)M M，已知，已知m m，求，求mm，mmSmm( )m如何在曲面內(nèi)取點(diǎn)？如何在曲面內(nèi)取點(diǎn)？輔助線如何作？輔助線如何作？32sss例例 BACBAC位于位于圓錐體表面，已知圓錐體表面，已知V V投影，求投影，求H H、W W投影投影ab(c)BAC不通過錐頂，不通過錐頂，故為曲線故為曲線找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)求求H H、W W面面投影投影光滑連接曲線光滑連接曲

13、線d (e)acbde(a)bcde33圓球圓球OO軸線軸線圓球表面無直線！圓球表面無直線！圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成而成球面球面圓球面的形成圓球面的形成34abcOO外形輪廓線投外形輪廓線投影的對應(yīng)關(guān)系影的對應(yīng)關(guān)系球面投影可見性判斷球面投影可見性判斷A-正平圓正平圓B-水平圓水平圓C-側(cè)平圓側(cè)平圓35nnnOON( )例例 圓球表面一點(diǎn)圓球表面一點(diǎn)N N，已知，已知nn，求，求n n ，nn（m）（m）mM在左下后球表面上36作 業(yè)3-2（1）（2）37截交線截交線截平面截平面截平面截平面截交線截交線38截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表

14、面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。 截交線都是截交線都是封閉的平面圖形封閉的平面圖形。39 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對位置，以便的相對位置，以便確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對位置，分析截平面與投影面的相對位置，明確明確截交截交 線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見未知予見未知投影。

15、投影。 畫出截交線的投影畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。見性。 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。40 截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置平面與圓柱軸線的相對位置垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P41例例1 1、如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個(gè)、如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截

16、交線的另外兩個(gè)投影。投影。平面與圓柱相交 由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點(diǎn)的方法求出。具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點(diǎn)。（2）再作出適當(dāng)數(shù)量的一般點(diǎn)。（3）將這些點(diǎn)的投影依次光滑的連接起來。1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4）補(bǔ)全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。8”6”42比較不同角度的正垂面截交圓柱所得的截交線的投影。平面與圓柱相交4545=4543 在形狀較為復(fù)雜的機(jī)件上，有時(shí)會(huì)見到由平面與曲面立體相交而形成的具有缺口的曲面立體和穿孔的曲面立體，只要逐個(gè)作出各個(gè)

17、截平面與曲面立體的截交線，并畫出截平面之間的交線，就可以作出這些曲面立體的投影圖。44分 析： 該立體是在圓柱筒的上部開出一個(gè)方槽后形成的 。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩個(gè)平行于軸線的側(cè)平面Q 。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面和Q彼此相交于直線段。 例2、 補(bǔ)畫被挖切后立體的投影 。 平面與圓柱相交45作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。( 3) 作出穿孔的三面投影圖。QP46平面與圓錐相交有五種情況，如圖所示。平面與圓錐相交47 根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位根據(jù)截平

18、面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。置不同，截交線有五種形狀。過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線P PV V圓圓P PV V= 90= 90P PV V橢圓橢圓拋物線拋物線P PV V=雙曲線雙曲線P PV V= 0= 048例例1 1、如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的、如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。另外兩個(gè)投影。平面與圓柱相交 此種截交線為一橢圓。由于圓錐前后對稱，故橢圓也前后對稱。橢圓的長軸為截平面與圓錐前后對稱面的交線正平線，橢圓的短軸是垂直與長軸的正垂線。正平線正垂線49正平線正垂線平面與圓錐相交具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點(diǎn)。121

19、21”2”34345665（2）再作一般點(diǎn)。（3）依次光滑連接各點(diǎn)，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。（4）補(bǔ)全側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。3”4”5”6”78787”8”5051例例3:求圓錐被截切后的正面投影求圓錐被截切后的正面投影.分析分析:截交線的正面投影為雙曲線截交線的正面投影為雙曲線.作圖作圖:1 求特殊點(diǎn)。求特殊點(diǎn)。最高點(diǎn)最高點(diǎn)最低點(diǎn)最低點(diǎn)2 求一般點(diǎn)。求一般點(diǎn)。3 連線。連線。5253 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是截交線的形狀都是圓圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，不同，其其截交線的投影可能為圓、橢圓截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成

20、一條直線或積聚成一條直線。平面與球相交54例例1 1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。積聚為直線。 兩個(gè)側(cè)平面截圓球的兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。視圖上積聚為直線。5556作 業(yè)3.3(1，2,3)57習(xí) 題 課58小小 結(jié)結(jié)一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是的封閉

21、的平面多邊形，多邊形的邊是截平截平 面與棱面的交線面與棱面的交線。求截交線的方法：求截交線的方法：棱線法棱線法 棱面法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截 平面與被截立體軸線的相對位置。平面與被截立體軸線的相對位置。 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。59 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要要先先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接，最后光滑連接各點(diǎn)。各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。素線的投影。 分析截平面與被截

22、立體對投影面的相對分析截平面與被截立體對投影面的相對 位置，以位置，以確定截交線的投影特性確定截交線的投影特性。 求截交線求截交線三、解題方法與步驟三、解題方法與步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對位置，以分析截平面與被截立體的相對位置，以 確定截交線的形狀確定截交線的形狀。60 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)逐個(gè)截截 平面平面進(jìn)行截交線的分析與作圖進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有。當(dāng)只有 局部被截切局部被截切時(shí)，先時(shí)，先按整體被截切求出截按整體被截切求出截 交線交線，然后，然后再取局部再取局部。 求求復(fù)合回轉(zhuǎn)體復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分

23、析復(fù)的截交線，應(yīng)首先分析復(fù) 合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它 們的連接關(guān)系，然后們的連接關(guān)系，然后分別求出分別求出這些這些基本基本 回轉(zhuǎn)體的截交線回轉(zhuǎn)體的截交線，并依，并依次將其連接次將其連接。61例例 : 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影6263123(4)1”3”4”1243 例例 求做立體被截切后的投影求做立體被截切后的投影64例：求左視圖例：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)虛實(shí)分界點(diǎn)6566例：求左視圖例：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置解題步驟：解題步驟： 同一立體被多個(gè)同一立體被多