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文檔簡介
1、第十三章第十三章能能 量量 方方 法法物體在外力作用下發(fā)生變形,物體的應變能在數值物體在外力作用下發(fā)生變形,物體的應變能在數值上等于外力在加載過程中上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功,在相應位移上所做的功,即即V在彈性范圍內,彈性體因外力作用發(fā)生變形而在體在彈性范圍內,彈性體因外力作用發(fā)生變形而在體內積蓄的能量,稱為彈性應變能,簡稱為應變能。內積蓄的能量,稱為彈性應變能,簡稱為應變能。 固體力學中,把與功和能有關的一些定理統稱固體力學中,把與功和能有關的一些定理統稱為能量原理。為能量原理。對構件的變形計算及超靜定結構的求解,能量原理對構件的變形計算及超靜定結構的求解,能量原理都有重要作
2、用。都有重要作用。W =13.1 概概 述述V彈性固體的應變能是可逆的,即當外力逐漸解除時,彈性固體的應變能是可逆的,即當外力逐漸解除時,它又可在恢復變形中,釋放出全部應變能而作功。它又可在恢復變形中,釋放出全部應變能而作功。W =如果超過彈性范圍,塑性變形將耗散一部分能量,如果超過彈性范圍,塑性變形將耗散一部分能量,應變能不能全部再轉變?yōu)楣?。應變能不能全部再轉變?yōu)楣Α?13.2 桿件變形能計算桿件變形能計算1.1.軸向拉伸和壓縮(線彈性范圍)軸向拉伸和壓縮(線彈性范圍) WV lF 21EAlFF 21EAlFEAlFN2222lNxxEAxFVd)(2)(2FFllFll當沿桿件軸線軸力為
3、變量時,利用當沿桿件軸線軸力為變量時,利用上式先求微段上式先求微段dx內的應變能,再積內的應變能,再積分求整個桿件的應變能。分求整個桿件的應變能。2.2.扭轉扭轉 (線彈性范圍)(線彈性范圍) WV eM21peeIGlMMV21lpxxIGxTVd)(2)(2ppeIGlTIGlM2222當扭矩沿軸線為變量時,先求微段當扭矩沿軸線為變量時,先求微段dx內的應變能,再積分。內的應變能,再積分。而扭轉角而扭轉角peIGlM3.彎曲(線彈性范圍)彎曲(線彈性范圍) WV 純彎曲:純彎曲:eM21IElMIElMe2222IElMMVee21IElMe轉角轉角橫力彎曲:橫力彎曲:取微段計算取微段計算
4、( (不計剪力時不計剪力時) )lxxIExMVd)(2)(2 橫力彎曲時,橫截面上有剪力和彎矩,且都隨截橫力彎曲時,橫截面上有剪力和彎矩,且都隨截面位置而變化。面位置而變化。對于細長梁,對應于剪切的應變能與彎曲應變能相對于細長梁,對應于剪切的應變能與彎曲應變能相比,一般很小,可以不計。比,一般很小,可以不計。 取微段取微段dx,把它看作純彎曲情況計算微段把它看作純彎曲情況計算微段內的應內的應變能,再積分。變能,再積分。綜合上述各式綜合上述各式, , 其統一形式其統一形式: :FWV21 在線彈性情況下,廣義力與廣義位移間是線形關系。在線彈性情況下,廣義力與廣義位移間是線形關系。F式中式中稱為
5、廣義力稱為廣義力, ,為為 對應的廣義位移。對應的廣義位移。F13.3 應變能的普遍表達式應變能的普遍表達式1F2FiFi2 1 iiFFFFWV21212121332211即:線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的即:線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。二分之一的總和。應變能只與外力和位移的應變能只與外力和位移的最終值有關最終值有關, , 與加載順序與加載順序無關。無關。注意:式中的位移注意:式中的位移 是力系作用下沿是力系作用下沿i力方向上的位力方向上的位移。移。i不能這樣計算。變形能的計算不能用疊加原理不能這樣計算。變形能的計算不能用疊加原理1F2F2F
6、1F?21WWW1W2W討論討論: :應變能一般不能疊加,只有一種載荷在另一種載荷應變能一般不能疊加,只有一種載荷在另一種載荷引起的變形上不作功才可疊加計算。如引起的變形上不作功才可疊加計算。如)(xFN)(xFN)(xM)(xM)(xT)(xTLLPLNGIdxxTEIdxxMEAdxxFV2)(2)(2)(222軸力、扭矩和彎矩各自的變形不同軸力、扭矩和彎矩各自的變形不同, , 相互不做功相互不做功應變能可相互疊加(略掉剪力的影響)應變能可相互疊加(略掉剪力的影響)拉、扭、彎組合變形拉、扭、彎組合變形例題例題13-113-1 試求圖示懸臂梁的應變能,并利用功能原理求試求圖示懸臂梁的應變能,
7、并利用功能原理求自由端自由端B的撓度。的撓度。Fxl解:解:xFxM)(lEIlFxIExMV6d2)(322BwFW21: :得得由由,WV EIFlwB33例題例題13-2 懸臂梁在自由端承受集中力懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩Me作用。設作用。設EI為常數,試求梁的應變能。為常數,試求梁的應變能。LFMeAB解解 彎矩方程:彎矩方程:FxMxMe)(應變能:應變能:EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622)(212)(322222xLFMeAB法二法二: :用普遍定理用普遍定理EILMEIFLwwweMAFAAe23)()(23EILME
8、IFLeMAFAAe2)()(2EILMEIFLMEILFMFwWVeeAeA22621212232AeAMFwWV2121x例題例題13-3 已已知知 、l、F、EA求求: : 與F 的關系的關系 。lFCBAl解解:1. :1. 軸力軸力: :FBlFNFNFN=F / 2sin = Fl / (2 )2. 2. 桿的變形桿的變形: : l = FN l / EA = Fl2 / (2EA ) l = l 2 + 2 l = l 1 + ( / l )2 1/2 l l 1+ 2/(2l2) l = 2 / (2l ) = Fl 2 / (2EA ) 3 =Fl3EA由功能原理得由功能原理
9、得: :W = F / 2 = 2 FN l / (2EA) = V 2FN=Fl / (2) , 代入上式得F / 2 = F 2l 3 / (42EA) 3 =Fl32EA錯在何處錯在何處?則有則有: :W = F / 4設設 F = k 3 ,因該題為幾何非線性問題因該題為幾何非線性問題13.4 互等定理互等定理j i位移發(fā)生點位移發(fā)生點作用載荷作用載荷12F1F2F21222F11121 設在線彈性體上作用設在線彈性體上作用F1、F2,引起兩力作用點沿,引起兩力作用點沿力作用方向的位移力作用方向的位移 、 。12定義符號定義符號1212221112121FFFW212111222212
10、1FFFWF21222F11121 若先作用若先作用F1, ,后作用后作用F2, ,外力所作的功。外力所作的功。 若先作用若先作用F2, ,后作用后作用F1, ,外力所作的功。外力所作的功。外力所做的功只與外力和位移的最終值有關外力所做的功只與外力和位移的最終值有關, ,與加載順序無與加載順序無關。關。功的互等定理功的互等定理: :212121FF位移互等定理位移互等定理: :211221FF 若若: : 例題例題13-4 13-4 求圖示簡支梁中點求圖示簡支梁中點C 截面的撓度。截面的撓度。Al/2Bl/2CM21BCMwFIElFMwFC1621IElMwC1621:由此得由此得1CwB2
11、Fl/2l/2l/2l/2MAABB 解:由功的互等定理解:由功的互等定理13.5 卡氏定理卡氏定理332211212121FFFWViF1F2F3F32 1i則原各力作用點將產生位移則原各力作用點將產生位移變形能的增加量:變形能的增加量:( (各力在位移增量上做的功各力在位移增量上做的功) ) iiiiFFFFV221121iF i,21若只給若只給 以增量以增量 ,其余不變,其余不變iFiF略去二階小量,則:略去二階小量,則: iiFFFV2211如果把原有諸力看成第一組力如果把原有諸力看成第一組力,把把 看作第二組力看作第二組力,根據互等定理:根據互等定理:iFiiiiFFFF2211所
12、以所以:iiFViiFV0iFiiFV變形能對任一載荷變形能對任一載荷Fi 的偏導數的偏導數,等于等于Fi作用點沿作用點沿Fi方方向的位移向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理推導過程使用了互等定理,所以只適用線彈性結構。推導過程使用了互等定理,所以只適用線彈性結構。對橫力彎曲:對橫力彎曲:iiFV對桁架桿件受拉壓:對桁架桿件受拉壓:njjjjNEALFV122njijNjjjNiiFFEALFFV1軸受扭矩作用:軸受扭矩作用:LiPiidxFxTGIxTFV)()(LidxFxMEIxM)()(LidxEIxMF)2)(2幾種常見情況幾種常見情況使用卡氏第二定理的注意事項使用卡氏第二定理的注意事項
13、 Fi 視為變量,結構反力和變形能等都必須表示為視為變量,結構反力和變形能等都必須表示為Fi 的函數。的函數。為為 Fi 作用點沿作用點沿 Fi 方向的方向的變形。變形。整體結構在外載作用下的線彈性變形能。整體結構在外載作用下的線彈性變形能。V例題例題13-513-5 求求A 點的撓度。點的撓度。變形變形彎矩方程:彎矩方程:解:解:變形能:變形能:?思考:如何求?思考:如何求 A 截面轉角。截面轉角。xFxM)(lEIlFxIExMV6d2)(322EIFlFVA33在在 A 截面加力偶截面加力偶Me = 0, ,FxMxMe)(x ALFEIMe例題例題13-613-6ABR F求求: :
14、BV(鉛直位移)(鉛直位移) 已知已知: : F, R, EI解解: : 1. 寫寫 M (x) 并對并對F 求偏導求偏導M ( ) = FRsin M/ F = Rsin :2. 求求 BV BV =M ( )EIRdMF = /2EI(FRsin )(Rsin ) Rd10 =/22EI(1-cos2 )dFR30 = /22EI( - sin2 )FR3021=4 EIFR3( )ABRF求求: BH (水平位移)(水平位移) 已知已知: F, R, EI解解: : 1. 寫寫 M (x) 并對并對F1 求偏導求偏導 :2.2.求求: BH F1M ( ) = -FRsin -F1R(1
15、- cos ) M/ F1 = - R(1- cos ) =/2EI(-FRsin )(-R)(1- cos ) Rd10 =/2EIsin (1-cos )dFR30 =/2EI(-cos - sin2 )FR3021=2EIFR3BH =M ( )EIRdMF1F1= 0( )例題例題13-713-7F1F2ABl已知已知: EI , F1 , F2 , l .若用卡氏第二定理求若用卡氏第二定理求wB , , 下列哪個答案下列哪個答案是正確的是正確的 ? ?A. wB = VF1B. wB = VF2C. wB = V(F1-F2)D. wB = V(F2-F1)解解: :M (x) =
16、- F1 x + F2 x = - (F1F2) x xV =lM (x) dx2 EI2=(F1F2)2 l 36 EIwB = VF1A=(F1F2) l 33EI wB = - wBBA wB = - wBDA wB = wBCA四個答案都是正確的四個答案都是正確的 !結論結論: : 求偏導時求偏導時, ,對力的大小和指向沒有任何要求對力的大小和指向沒有任何要求! !例題例題13-8FABaaCF已知已知: EI , F , a .的含義是什么的含義是什么 ?VF求: wA解:F2ABaaCF1VF= +VF1F1FVF2F2F= +VF1VF2= wA + wBAB: M (x) =
17、- F1 x MF1= - xBC: M (x) = - F1(a + x) - F2 x MF1= - (a + x)+F(a + x) +F xEI(a + x)dxa0wA =F x dxEI2a0=7Fa32EI( )xx例題例題13-913-9將梁上將梁上A、B處的力處的力F 用用F1、F2表示,由復合函數的微表示,由復合函數的微分法則可得:分法則可得:例題例題13-10 xlMxMB)(222)(22qxqlMxlMqlxMBBxMxMxMEIMVlMBMMBBBBBd)()(10000lxMxMxMBCBBMBM00)(0)(,段:EIqlxlxqxqlqlxEIlB247d22
18、2130222)(,22)(0220lxMxMqxqlqlxxMABBBMBM段:作業(yè)作業(yè)13.3 (c), 13.7(b), 13.9 (c), 13.12 13.6 虛功原理虛功原理對于對于剛體剛體:虛位移應是虛位移應是約束條件許可的無限小位移。約束條件許可的無限小位移。對于對于變形體變形體:虛位移是虛位移是約束條件和變形協調條件約束條件和變形協調條件許可的無限小位移。許可的無限小位移。 外力作用下處于平衡狀態(tài)的桿件的位移外力作用下處于平衡狀態(tài)的桿件的位移 真實位移。真實位移。一、虛位移一、虛位移由其他原因由其他原因( (力、溫度變化等力、溫度變化等) )又引起桿件變形而產又引起桿件變形而
19、產生的位移,稱為虛位移。生的位移,稱為虛位移。212121FF功的互等定理功的互等定理 不是不是 發(fā)生的位移,發(fā)生的位移,只是位置只是位置1處的一種可能處的一種可能位移,或叫虛位移。位移,或叫虛位移。121F如如: :二、虛功原理二、虛功原理 對于剛體:平衡的條件是所有外力在任意虛位移上對于剛體:平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。所作的虛功之和為零。 對于變形體:對于變形體: 平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛 功恒等于內力在虛變形上的虛功。(虛應變能)功恒等于內力在虛變形上的虛功。(虛應變能) 三三、虛功的計算虛功的計算外
20、力外力:F1, F2, , , 對應內力:對應內力:FN, T, M, 虛位移:虛位移:v1*, v2*,., 虛變形:虛變形:*l*外力虛功:外力虛功: W =F1v1*+F2v2*+內力虛功:內力虛功: *)(TdMdldFdWN *)(dTdMldFWN內力虛功:內力虛功:虛功原理是最一般的功能原理虛功原理是最一般的功能原理W外外=W內內:F1v1*+F2v2*+ *)(TdMdldFdWN *)(dTdMldFWN *)(dTdMldFN則有:則有:dxEIxMd)(*dMFv對于梁,施加單位力對于梁,施加單位力F =1, , 力力F 產生的內力產生的內力MdEIMxMvw)(* 13
21、.7 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分1F2FC求:求:C截面撓度截面撓度 。)(xM)(xM1F2FCC10F1F2FC0F原力系位移原力系位移虛位移虛位移單位力位移單位力位移實位移實位移l(x)dM1虛功原理表達式虛功原理表達式單位載荷法適用于線性和非線性單位載荷法適用于線性和非線性彈性或非彈性桿件或桿系彈性或非彈性桿件或桿系。l(x)dMlxIExMxMd)()(l(x)d M桁架桿件受拉壓:桁架桿件受拉壓:niiiNiNiEAlFF1軸受扭矩作用:軸受扭矩作用:lpxIGxTxTd)()(莫爾定理莫爾定理(莫爾積分)(莫爾積分) dxEIxMd線彈性范圍線彈性范圍莫爾定理(莫爾積
22、分)只適用于線彈性結構莫爾定理(莫爾積分)只適用于線彈性結構niiiNiNiEAlFF1lxIExMxMd)()(lpxIGxTxTd)()(+2.2.如果所求如果所求為正為正, , 表明表明與單位力的方向相同。與單位力的方向相同。1.1.上式中上式中應看成廣義位移,把單位力看成與廣義位應看成廣義位移,把單位力看成與廣義位移對應的廣義力時為正。移對應的廣義力時為正。注意:注意:對拉壓、扭轉、彎曲組合變形:對拉壓、扭轉、彎曲組合變形:使用莫爾定理注意事項使用莫爾定理注意事項莫爾積分必須遍及整個結構。莫爾積分必須遍及整個結構。M(x) 結構在原載荷(實載荷)下的內力。結構在原載荷(實載荷)下的內力
23、。所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功 的量綱。的量綱。與與M(x)的坐標系必須一致,每段桿的坐標的坐標系必須一致,每段桿的坐標 系可自由建立。系可自由建立。)(xM 沿所求沿所求的方向的方向加加時結構產生的內力。時結構產生的內力。)(xM例題例題13-11 試用莫爾試用莫爾定理計算圖定理計算圖(a)所所示懸示懸臂梁自由端臂梁自由端B的撓度和的撓度和轉角。轉角。FABABABlxxx11(a)(b)(c)xxMFxxM)(,)(lBxIExMxMvd)()(lxIEFx02d EIFl33FABABABlxxx11解解: :在在B截面上加單位力截
24、面上加單位力1)(,)(xMFxxMlBxIExMxMd)()(lxIEFx0dEIFl22FABABABlxxx11在在B截面上加單位力偶截面上加單位力偶13.7 計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法 在應用莫爾定理求位移時,需計算下列形式的積分:在應用莫爾定理求位移時,需計算下列形式的積分:lxIExMxMd)()(lxxMxMd )()(對于等直桿,對于等直桿,EI=const,可以提到積分號外,故只需計算積,可以提到積分號外,故只需計算積分分直桿在單位力作用直桿在單位力作用,彎矩圖必定是直線或折線彎矩圖必定是直線或折線tan xxM)(llxxMxxxMxMdtand)()()(C
25、xtanCMlCMxyyoo)(xM)(xMdxCCxIEMxIExMxMCld)()(lCMxyyoo)(xM)(xMdxCCx 例題例題13-12 試用圖乘法求試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。的撓度和轉角。IEMxIExMxMwClBd)()(32212lFlIE IEFl33解解(1 1)求自由端的撓度)求自由端的撓度lFFlFlAB1M1FlFm=1(2) (2) 求自由端的轉角求自由端的轉角1212FlIEBIEFl22例題例題13-13 圖示梁的抗彎剛度為圖示梁的抗彎剛度為EI,試求,試求D點點的鉛垂位移。的鉛垂位移。解:解:32232aFaIEwDIE
26、Fa3aaFaFaF 例題例題13-14 圖示開口剛架,知圖示開口剛架,知EI。求。求A、B兩截面的相對角兩截面的相對角位移位移 AB 和沿力作用線方向的相對線位移和沿力作用線方向的相對線位移 AB 。加一對與加一對與F 相同方相同方向的單位力向的單位力解:由結構對稱性,可取一解:由結構對稱性,可取一半研究,然后疊加。半研究,然后疊加。21212318123IEFaABIEFa323AB 0 例題例題13-15 圖示剛架,圖示剛架,AC, BC長長 a, EI=const。求求A截面的截面的水平位移水平位移 AH 和轉角和轉角A 。ABaaCqABaaC1ABaaC1ABaaCqABaaC12qaqa2qa111xqaxMAC2)(xxMAC)(2)(2qyqayyMBCyyMBC)(EIqadyEIyMyMdxEIxMxMaaA83)()()()(4解:求支座約束反力,列解
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