晶體的對稱性

1、 晶體的對稱性晶體的對稱性重點：重點：1）基本的對稱操作；）基本的對稱操作；2）宏觀對稱類型；）宏觀對稱類型；3）微觀對稱類型；）微觀對稱類型；1.對稱的概念對稱的概念 對稱對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復。就是物體相同部分有規(guī)律的重復。此外，對稱的圖形此外，對稱的圖形還必須符合另一個條件，那就是這些相同的部分，通過一定的還必須符合另一個條件，那就是這些相同的部分，通過一定的對對稱操作稱操作(如旋轉、反映、鏡面如旋轉、反映、鏡面)可以發(fā)生重復；換句話說也就是相同可以發(fā)生重復；換句話說也就是相同的部分通過一定的操作彼此可以重合起來，使圖形恢復原來的形的部分通過一定的操作彼此可以重合起來，使圖形恢

2、復原來的形象。象。對稱操作對稱操作是指憑借是指憑借對稱要素對稱要素能夠使對稱物體中的各個相同部分，能夠使對稱物體中的各個相同部分，作有規(guī)律重復的變換動作。而作有規(guī)律重復的變換動作。而對稱要素對稱要素則是指在進行對稱操作時則是指在進行對稱操作時所憑借的幾何要素所憑借的幾何要素點、線、面等。點、線、面等。2.晶體對稱性的判定晶體對稱性的判定 由于晶體的自限性，使得晶體內部的原子的規(guī)則排列反映由于晶體的自限性，使得晶體內部的原子的規(guī)則排列反映在晶體的宏觀形態(tài)上，晶體表現出對稱性。在晶體的宏觀形態(tài)上，晶體表現出對稱性。 對于外表具有很多晶面的晶體，往往不能直接判別它的對對于外表具有很多晶面的晶體，往往

3、不能直接判別它的對稱特征，必須經過稱特征，必須經過測角測角和和投影投影以后，才可對它的對稱規(guī)律進行以后，才可對它的對稱規(guī)律進行分析研究。通過對大量晶體進行測角和投影，歸納成分析研究。通過對大量晶體進行測角和投影，歸納成32種典型種典型的的宏觀對稱類型宏觀對稱類型。由于在由于在宏觀對稱類型宏觀對稱類型，全部對稱要素相交于，全部對稱要素相交于一點一點(晶體中心晶體中心)，在進行對稱操作時至少有一點不移動，因此，在進行對稱操作時至少有一點不移動，因此稱之為點群。稱之為點群。該點群中的對稱操作中不包括該點群中的對稱操作中不包括平移平移。而若對稱操作中包括平移，。而若對稱操作中包括平移，共構成了共構成了

4、230中微觀的對稱類型中微觀的對稱類型。所有以上的對稱類型都源于以。所有以上的對稱類型都源于以下基本對稱操作的組合。下基本對稱操作的組合。3.基本的對稱操作1）簡單對稱操作的變換關系（a）線性變換線性變換： 和剛體一樣，晶格中任何兩點間的距離，在操作前后應保和剛體一樣，晶格中任何兩點間的距離，在操作前后應保持不變，在數學上表示，這些操作就是熟知的線性交換。注意：持不變，在數學上表示，這些操作就是熟知的線性交換。注意：在討論晶體問題時，一般應采用斜坐標系，但為方便起見，這里在討論晶體問題時，一般應采用斜坐標系，但為方便起見，這里采用直角坐標系，并不會影響結論的正確性。采用直角坐標系，并不會影響結

5、論的正確性。 設經過某個操作，把晶體中任一點設經過某個操作，把晶體中任一點x變?yōu)樽優(yōu)閤 ，該操作可以表該操作可以表示為線性變換：示為線性變換：xj= ajixi，（i，j=1，2，3）式中 x=ix1+jx2+kx3 x = ix1+jx2+kx3若采用矩陣表示若采用矩陣表示： x=Ax其中其中x= x=321xxx321xxxA=333231232221131211aaaaaaaaax1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)由于操作前后，兩點間的距離保持不變，即由于操作前后，兩點間的距離保持不變，即232221232221xxxxxxxxAxAx而而AxAxAxAxxxxxx222

6、32221xxxxx232221所以所以IAA其中其中I是單位矩陣，所以得出是單位矩陣，所以得出A為正交矩陣為正交矩陣。如令如令 代表矩陣代表矩陣A的行列式，則得到的行列式，則得到A1AA又又AA 12A所以所以1A（b）轉動轉動x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)將某一圖形繞將某一圖形繞x1轉過轉過角，該圖形角，該圖形中任一點（中任一點（x1,x2,x3)變?yōu)榱硪稽c變?yōu)榱硪稽c（x1,x2,x3)，則變換關系如下：，則變換關系如下： x1= x1x2=)cos(cos2xcos)sinsincos(cos2xsincossincos3222xxtgxxx3=)sin(cos2x

7、cos)sincoscos(sin2xcossincossin3222xxtgxx則正交變換則正交變換321xxx321xxxcossin0sincos0001正交矩陣正交矩陣A為為cossin0sincos0001A1A（c）中心反演中心反演 取中心為原點，經過中心反演后，圖形中任一點（取中心為原點，經過中心反演后，圖形中任一點（x1,x2,x3) 變變?yōu)榱硪稽c（為另一點（ -x1,-x2,-x3)，則變換關系如下，則變換關系如下x1= -x1， x2=- x2，x3 =- x3則正交變換則正交變換321xxx321xxx正交矩陣正交矩陣A為為1A100010001100010001A（d）

8、鏡像鏡像x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,-x3)鏡像對稱操作是將圖形的任一點鏡像對稱操作是將圖形的任一點（x1,x2,x3) 變?yōu)榱硪稽c（變?yōu)榱硪稽c（ x1,x2,-x3)，即以，即以x3=0面作為鏡面。面作為鏡面。則變換關系如下：則變換關系如下：x1= x1， x2=x2， x3 =- x3則正交變換則正交變換321xxx321xxx正交矩陣正交矩陣A為為1A100010001100010001A2）基本的對稱操作（a）n度旋轉對稱軸度旋轉對稱軸 如果晶體繞某一對稱軸旋轉如果晶體繞某一對稱軸旋轉=2/n以后自身能重合，則稱以后自身能重合，則稱該軸為該軸為n度旋轉對稱軸。由于晶格

9、周期性的限制，晶體可能的轉度旋轉對稱軸。由于晶格周期性的限制，晶體可能的轉動討論如下。動討論如下。由于晶格的對稱操作并不涉及到由于晶格的對稱操作并不涉及到晶格的平移，在操作時應至少保晶格的平移，在操作時應至少保持一點不同，所以采用雙轉軸來持一點不同，所以采用雙轉軸來推導晶體的旋轉對稱軸，存在一推導晶體的旋轉對稱軸，存在一定的局限性，應采用單轉軸推導定的局限性，應采用單轉軸推導方法。方法。A1 1ABB1 1 A B 如圖如圖A、O、B 是某一晶列上相鄰的三個格點，周期為是某一晶列上相鄰的三個格點，周期為a。如果。如果繞過繞過O 點垂直于晶列的轉軸順時針轉點垂直于晶列的轉軸順時針轉角，角，A轉到

10、轉到A1，晶體自身晶體自身重合，則重合，則A1點必為一格點。再繞過點必為一格點。再繞過O 點的轉軸逆時針轉點的轉軸逆時針轉角，角，晶體恢復到未轉動時的狀態(tài)，但此時晶體恢復到未轉動時的狀態(tài)，但此時B處格點轉到處格點轉到B1點，則點，則B1處必為一格點。可以知道處必為一格點?？梢灾繟B/A1B1，平行晶列具有相同的周期，平行晶列具有相同的周期，則則其中其中n為正整數或零為正整數或零n = 2，|cos|=1， = ，2；n = 1，|cos|=1/2， = /3，2/3，4 /3，5 /3；n = 0， |cos|=0， = /2，3/2OBAA1B1|cos|211anaBA12/|cos|

11、n643212, , , , ,n,n晶體中允許的旋轉對稱軸只能是晶體中允許的旋轉對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。度軸。綜合上述證明得：綜合上述證明得：12346因為順時（或逆時）針轉動因為順時（或逆時）針轉動4 /3， 3/2 ，5 /3分別等價于分別等價于逆時（或順時）針轉動逆時（或順時）針轉動2 /3， /2 ， /3，所以晶格轉動的所以晶格轉動的獨立轉角為獨立轉角為： 2 ， ， 2/3， /2 ， /3 ；晶體中不存在5度或6度以上的轉軸。上述結果也可以直觀的理解為：長方上述結果也可以直觀的理解為：長方形、正三邊形、正方形、正六邊形可形、正三邊形、正方形、正六邊形可以在平面內周期

12、性的重復排列，而不以在平面內周期性的重復排列，而不留空隙，但正五邊形卻不能相互緊密留空隙，但正五邊形卻不能相互緊密排列做重復排列而不留空隙，因此晶排列做重復排列而不留空隙，因此晶體中不存在體中不存在5度的轉軸。度的轉軸。對 稱 軸的度數n2346符號對稱軸度數的符號表對稱軸度數的符號表晶體中對稱軸的度數常用不同的符號代表，如下表所示晶體中對稱軸的度數常用不同的符號代表，如下表所示（b）n度旋轉度旋轉-反演軸反演軸若繞某一固定軸若繞某一固定軸u旋轉旋轉2/n角度以后，再經過中心反演（即角度以后，再經過中心反演（即x -x，y -y，z -z），），晶體能夠自身重合，則稱晶體能夠自身重合，則稱u為

13、為n度旋轉度旋轉-反演軸。反演軸。這樣的對稱軸只有這樣的對稱軸只有1，2，3，4，6度。為了區(qū)別于轉軸，在軸的度。為了區(qū)別于轉軸，在軸的度次上加度次上加“-”來表示旋轉來表示旋轉-反演軸。即反演軸。即 。6, 4, 3, 2, 112i112m21 123456i 336=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 ABDCEFGHCADGFHEB正四面體既無四度軸也無對稱心，正四面體既無四度軸也無對稱心， 是基本的對稱操作。是基本的對稱操作。4總上所述，晶體的宏觀對稱性中有以下八種的基本對稱操作，即總上所述，晶體的宏觀對稱性中有以下八種的基本對稱操作，即1，2，3，4，

14、6，i，m， 。4 所有點對稱操作都可由這所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個個晶體的全部對稱操作構成一個群群，每個操作都是群的一個元素。，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉轉-反演點對稱操作構成的群，反演點對稱操作構成的群，全部對稱要素相交于一點全部對稱要素相交于一點(晶體晶體中心中心)，在進行對稱操作時至少有一點不移動，在進行對稱操作時至少有一點不移動，稱之為稱之為點群點群。 理論證明，所有晶體只有理論證明，所有晶

15、體只有3232種點群，即只有種點群，即只有32種不同的點對種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現為晶體外形的對稱及物理稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現為晶體外形的對稱及物理性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。 如果考慮平移，如果考慮平移，多出以下兩類微觀對稱操作類型多出以下兩類微觀對稱操作類型： n度度螺旋軸和滑移反映面。螺旋軸和滑移反映面。根據晶體的對稱性，按有無某種特征對稱元素為標準，將晶體分根據晶體的對稱性，按有無某種特征對稱元素為標準，將晶體分成成7個晶系：個晶系：立方晶系：在立方晶胞立方晶系：在立方晶胞4個方向體對角線上均有三重旋轉軸個方向體對角線上均有三重旋轉軸(a=b=c, =90)六方晶系：有六方晶系