第四章1 彎曲內(nèi)力(圖)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1第第 4 章章1 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力4-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖4-2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4-4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力24-5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力 梁的切應(yīng)力強度條件梁的切應(yīng)力強度條件4-6 梁的合理設(shè)計梁的合理設(shè)計 I-3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣

2、性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力34-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖I. 關(guān)于彎曲的概念關(guān)于彎曲的概念 受力特點：受力特點： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。于軸線的橫向外力或外力偶作用。 變形特點：變形特點： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。 梁梁以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力4彎曲變形動畫演示彎曲變形動畫演示材料力學(xué)材料力學(xué)()

3、電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5彎曲動畫演示彎曲動畫演示材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力6工程實例工程實例材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力7工廠廠房的桁車大梁：工廠廠房的桁車大梁：FF材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力8樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽臺的挑梁：陽臺的挑梁：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力PaAB陽臺梁陽臺梁欄桿欄桿PABPaMeq材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力11 對稱彎曲對稱彎曲外力外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)

4、，因而變形后梁的軸內(nèi)，因而變形后梁的軸線線(撓曲線撓曲線)是在該縱對是在該縱對稱面內(nèi)的平面曲線。稱面內(nèi)的平面曲線。 非對稱彎曲非對稱彎曲梁不具有縱對稱面梁不具有縱對稱面(例如例如Z形截形截面梁面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。撓曲線不與梁的縱對稱面一致。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力常見構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ面常見構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ面材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力平面彎曲的條件平面彎曲的條件具有縱向?qū)?/p>

5、稱面；具有縱向?qū)ΨQ面；外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)；外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)；梁的軸線變成對稱面內(nèi)的一條平面曲線。梁的軸線變成對稱面內(nèi)的一條平面曲線。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力對稱彎曲對稱彎曲構(gòu)件的幾何形狀、構(gòu)件的幾何形狀、 材料性能、材料性能、 外力外力均對稱于桿件的縱向?qū)ΨQ面；均對稱于桿件的縱向?qū)ΨQ面；對稱彎曲一定是平面彎曲；對稱彎曲一定是平面彎曲； 但平面彎曲不一定是對稱彎曲但平面彎曲不一定是對稱彎曲材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力15本章討論對稱彎曲時梁的內(nèi)力和應(yīng)力。本章討論對稱彎曲時梁的內(nèi)力和應(yīng)力。 對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁對

6、稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。面彎曲。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力16II. 梁的計算簡圖梁的計算簡圖 對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內(nèi)的平面力系，故在計算簡圖中通常就用梁的稱面內(nèi)的平面力系，故在計算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。軸線來代表梁。 這里加這里加“通常通?！倍质且驗楹喼Я涸谒矫鎯?nèi)二字是因為簡支梁在水平面內(nèi)對稱彎曲時不能用軸線代表梁。對稱彎曲時不能用軸線代表梁。F材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案

7、彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力17(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端固定端實例如圖實例如圖a，計算簡圖如圖，計算簡圖如圖b, c。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力18 2. 固定鉸支座固定鉸支座實實例如圖中左邊的支座，計例如圖中左邊的支座，計算簡圖如圖算簡圖如圖b、e。 3. 可動鉸支座可動鉸支座實例如圖實例如圖a中右邊的支座，中右邊的支座，計算簡圖如圖計算簡圖如圖c、f。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力19(2) 梁的基本形式梁的基本形式簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力懸臂梁懸臂梁材料力學(xué)材料力

8、學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力21 在豎直荷載作用下，圖在豎直荷載作用下，圖a、b、c所示梁的約束所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，稱為靜定梁。稱為靜定梁。(3) 靜定梁和超靜定梁靜定梁和超靜定梁 圖圖d、e所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。程確定，稱為超靜定梁。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力22 試求圖試求圖a所示有中間鉸所示有中間鉸C的梁在的梁在A、B處的約處的約束力。束力。例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2

9、31. 帶中間鉸的梁可用平衡方程求此反力。該梁左帶中間鉸的梁可用平衡方程求此反力。該梁左端端A為固定端，有為固定端，有3個未知約束力個未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和和MA；右端右端B處為可動鉸支座，有處為可動鉸支座，有1個未知約束力個未知約束力FBy。此梁總共有此梁總共有4個未知的約束力。個未知的約束力。(b)例題例題 4-1解解:材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力24 對于平面力系，雖然僅可列出對于平面力系，雖然僅可列出3個獨立的平個獨立的平衡方程，但此梁具有中間鉸衡方程，但此梁具有中間鉸C，根據(jù)鉸不能傳遞，根據(jù)鉸不能傳遞力矩的特點，作用在中間鉸一側(cè)力矩的特點，作用在中間鉸一側(cè)

10、( (梁的梁的AC或梁或梁CB段段) )梁上的外力梁上的外力( (荷載和約束力荷載和約束力) )對于中間鉸對于中間鉸C的力的力矩應(yīng)等于零，還可列出矩應(yīng)等于零，還可列出1個獨立的平衡方程。這個獨立的平衡方程。這樣就可利用樣就可利用4個平衡方程求解個平衡方程求解4個未知的約束力。個未知的約束力。故該梁是靜定梁。故該梁是靜定梁。例題例題 4-1(b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力252. 以以CB段（圖段（圖c）為分離體，求）為分離體，求FBy。 0m5mN105m2.5m3mN1020033 ByCFMkN29 ByF(c)例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案

11、彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力26 0, 0AxxFF 0kN29m3mkN20kN50, 0 AyyFF kN81AyF3. 以整體（以整體（AB梁）（圖梁）（圖b）為分離體，求）為分離體，求FAx ，F(xiàn)Ay ， MA 。(b)例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力27mkN5 .96 AM 0m5 . 61029mN105m4m3mN1020m1N105003333 AAMM(b)例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力28 該梁的約束力亦可將梁在中間鉸該梁的約束力亦可將梁在中間鉸C處拆開，先利處拆開，先利用用CB梁作為分離體求約束力梁作為分離體

12、求約束力FBy ，F(xiàn)Cx和和FCy，其中，其中FCx，F(xiàn)Cy為為AC梁對梁對CB梁的作用力，將梁的作用力，將FCx，F(xiàn)Cy等值等值反向后加在反向后加在AC梁的梁的C截面處，然后利用截面處，然后利用AC梁作為分梁作為分離體求約束反力離體求約束反力FAx，F(xiàn)Ay和和MA。這種先求副梁的支。這種先求副梁的支反力，再求主梁支反力的方法，簡稱為反力，再求主梁支反力的方法，簡稱為“先副后先副后主主”，這是求多跨靜定梁支反力常用的方法。，這是求多跨靜定梁支反力常用的方法。(d)(c)例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力29 作用在該梁作用在該梁CB段上的荷載是要通過中間鉸傳段

13、上的荷載是要通過中間鉸傳遞到梁的遞到梁的AC段上的，但作用在段上的，但作用在AC段上的荷載是不段上的荷載是不會傳遞給會傳遞給CB段的。故習(xí)慣上把梁的段的。故習(xí)慣上把梁的AC段稱為段稱為基本基本梁梁( (或稱主梁或稱主梁) )，把梁的，把梁的CB段稱為段稱為副梁（或稱次副梁（或稱次梁）梁）。具有中間鉸的梁稱為多跨靜定梁。具有中間鉸的梁稱為多跨靜定梁。例題例題 4-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力30思考：思考： 如果上述例題中所示的梁上，沒有原來的荷如果上述例題中所示的梁上，沒有原來的荷載，但另外加一個作用在中間鉸載，但另外加一個作用在中間鉸C上的集中荷載上的集中荷載F =

14、100 kN，試求該梁的約束力。，試求該梁的約束力。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力314-2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖I. 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩(shearing force and bending moment) 圖圖a所示跨度為所示跨度為l的簡支梁的簡支梁其約束力為其約束力為 lFaFlalFFBA , 梁的左段內(nèi)任一橫截面梁的左段內(nèi)任一橫截面m-m上的內(nèi)力，由上的內(nèi)力，由m-m左左邊分離體邊分離體(圖圖b)的平衡條件的平衡條件可知：可知： xlalFxFMlalFFFAA ,S材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)

15、力32 它們的指向和轉(zhuǎn)向如它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖圖b中所示。顯然這些內(nèi)中所示。顯然這些內(nèi)力是力是 m-m右邊的梁段對于右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用左邊梁段的作用力和作用力矩。力矩。 故根據(jù)作用與反作用原理，故根據(jù)作用與反作用原理，m-m左邊的梁段對左邊的梁段對于右邊梁段于右邊梁段(圖圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應(yīng)與上式的作用力和作用力矩數(shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點也可由所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點也可由m-m右邊分離體的平衡條件加以檢驗：右邊分離體的平衡條件加以檢驗： 0, 0SByFFFF材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力33 0, 0SByF

16、FFF 00 xlFxaFMMBC xlalFxllFaxaFxlFxaFMB 從而有從而有 lalFlFaFFFFB S從而有從而有材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力34 梁的橫截面上位于橫梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動梁軸相垂直方向的錯動(剪切剪切)相對應(yīng)，故稱為相對應(yīng)，故稱為剪剪力力；梁的橫截面上作用在；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱為為彎矩彎矩。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3

17、5 為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號相同，剪得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號相同，剪力和彎矩的正負(fù)號要以其所在橫截面處梁的微段力和彎矩的正負(fù)號要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定。的變形情況確定。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力36 綜上所述可知：綜上所述可知： (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，或右側(cè)梁段上向下的

18、外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。則引起負(fù)值的剪力。 (2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。 (a) 不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。負(fù)值的彎矩。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力37 (b) 截面左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起截面左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值

19、正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。正負(fù)與之相反。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例 簡支梁在中點處受集中力偶作用，左半段有均布載荷，簡支梁在中點處受集中力偶作用，左半段有均布載荷，試求試求A A+ +，C C- -，C C+ +，B B- - 各面上的內(nèi)力。各面上的內(nèi)力。ABq2qaaCaAFBFx解：解：(1) 求支座約束力：求支座約束力：)(45223022qaaqaqaFMAB)(410qaqaFFFABy材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力(2

20、) 求指定截面的內(nèi)力：求指定截面的內(nèi)力：面：面：AFSFM045MqaFFASABq2qaaCaAFBFx材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力面：面：AFMSF面：面：AFSFM2qa面：面：ABq2qaaCaAFBFxBFSFM041MqaFFBS222412141qaqaqaaFMqaqaFFAAS22432141qaqaaFMqaqaFFAAS材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,44360,70,40,3ABBABAMRMqPRKNYRRPqRKN 例例 求圖示梁求圖示梁 C、B 截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和

21、彎矩。 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力0,1110,2132CACCAYQRqKNMMRMqKN （二二）C 截面的剪力和彎矩，取脫離體圖如圖截面的剪力和彎矩，取脫離體圖如圖 a 所示。所示。 圖圖 a材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力（三）（三）B 截面的剪力和彎矩，分別取截面的剪力和彎矩，分別取 B左左 截面和截面和 B右右 截面脫離體圖如圖截面脫離體圖如圖 b、c 所示。所示。 圖圖 b33:33352BABAQRqKNBMRMqKN m 右右左左左左材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力14:12152BBQPqKNBMPqKN m

22、 右右左左右右圖圖 c材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例：例：求圖求圖（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求內(nèi)力。截面法求內(nèi)力。 1 1-1 1截面處截取的分離體截面處截取的分離體 如圖（如圖（b b）示。示。圖（圖（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiAqqLab1122qLQ1AM1圖（圖（b）x1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面處截取的分離體如圖（截面處截取的分離體如圖（c） )ax( qQqLY

23、0222222)(21qLxaxqMxy圖（圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（圖（c）材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力L)axqaxqqL Q222()(梁任一截面上的剪力梁任一截面上的剪力, , 在數(shù)值上在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有橫向外力的等于該截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和代數(shù)和. .2222)(21qLxaxqMqqLab1122x2梁任一截面上的彎矩梁任一截面上的彎矩, , 在數(shù)值上在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力等于該截面一側(cè)所有外力( (包括力包括力偶偶) )對該截面形心之矩的代數(shù)和對該截面形心之矩的代數(shù)和. .材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲

24、應(yīng)力彎曲應(yīng)力1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122例：例：梁梁1-11-1、2-22-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。解解：（：（1 1）確定支座反力）確定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA8 . 01AsRF(2) 1(2) 1-1-1截面左段右側(cè)截面：截面左段右側(cè)截面：065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0ABRM5 . 08 . 021ARM8 . 05 . 1)(7 . 0kN5 . 08 . 025 . 1)(6 . 2mkN 2 2-2-2截面右段左側(cè)截面：截面右段左側(cè)截

25、面：9 . 25 . 12 . 12sF)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12 . 15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA1sF1M8 . 02sF2MBRq材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力49II. 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種

26、變化規(guī)律的圖形則分別稱為顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖剪力圖和和彎彎矩圖矩圖。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力50 圖圖a所示懸臂梁受集度為所示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。例題例題 4-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力51 lxqxxqxxMlxqxxF 02202S1. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 由分離體（圖由分離體（圖b）的平衡，得剪力方程和彎矩）的平衡，得剪力方程和彎矩方程分別為方程分別為(b)FS(x)

27、M(x)例題例題 4-2解解:材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力522. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖由由(1)式可知式可知FS圖為斜直線，由圖為斜直線，由 x=0， FS =0；x=l， FS =ql可畫出可畫出FS圖如圖圖如圖c所示。所示。由由(2)式可知，式可知，M圖為二次拋物線，由圖為二次拋物線，由x=0， M=0；x=l/2， M =-ql2/8； x=l， M =-ql2/2可畫出可畫出M圖如圖圖如圖d所示所示 )1(0SlxqxxF lxqxxqxxM 0 )2(222 (c)(d) 例題例題 4-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力53

28、按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的軸的下方下方(即彎矩值繪于梁的受拉側(cè)即彎矩值繪于梁的受拉側(cè))。 (c)(d) 例題例題 4-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力54 由圖可見，該梁由圖可見，該梁橫截面上的最大剪力橫截面上的最大剪力為為FS,max=ql，最大彎矩，最大彎矩( (按絕對值按絕對值) ) 為為 ，它們，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。橫截面上。22maxqlM (c)(d) 例題例題 4-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎

29、曲應(yīng)力55 圖圖a所示簡支梁受集度為所示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。的均布荷載作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。例題例題 4-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力561. 求約束力求約束力2qlFFBA 例題例題 4-32. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 )1(02SlxqxqlqxFxFA )2(02222lxqxqlxxqxxFxMA 由分離體（圖由分離體（圖b）的平衡，得）的平衡，得FS(x)M(x)(b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力573. 作剪力圖和彎

30、矩圖作剪力圖和彎矩圖 )1(02SlxqxqlxF )2(0222lxqxqlxxM 由由(1)式可知，式可知，F(xiàn)S圖為斜直線，由圖為斜直線，由x=0，x=l的的FS值可畫出值可畫出FS圖。圖。 由由(2)式可知，式可知，M圖為二次拋物線，由圖為二次拋物線，由x=0，l/4，l/2，的，的M值可畫出值可畫出M圖。圖。例題例題 4-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力58 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力( (按按絕對值絕對值) )其值為其值為 ，發(fā)生在兩個支座各，發(fā)生在兩個支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為

31、發(fā)生在跨中橫截面上。發(fā)生在跨中橫截面上。2max,SqlF 82maxqlM 例題例題 4-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力59 圖圖a所示簡支梁受集中荷載所示簡支梁受集中荷載F 作用。寫出梁的作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例題例題 4-4F材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力601. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程AC和和CB兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。因此需分段列出。求約束力為求約束力為lFaFlFbFBA ,例題例

32、題 4-4解解:F材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力61AC段梁段梁 )2(0 )1(0 SaxxlFbxFxMaxlFbFxFAA FS(x)M(x)例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力62CB段梁段梁 )3(SlxalFalblFFlFbxF )4( lxaxllFaaxFxlFbxM FS(x)M(x)例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力632. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 由由(1)和和(3)式可見式可見FS圖為平行于圖為平行于x軸的水平線，軸的水平線，如圖如圖b所示所示 )1(0SaxlFbxF

33、)3(SlxalFaxF 例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力64 )4()(lxaxllFaxM )2(0axxlFbxM 由由(2)和和(4)式可見式可見M圖為斜直線如圖圖為斜直線如圖c所示所示例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力65由圖由圖b和圖和圖c可見，在可見，在b a的情況下，的情況下，lFbF max,SlFabM max例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力66 在集中力在集中力F作用（作用（C截面）處，其左、右兩側(cè)截面）處，其左、右兩側(cè)的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于的剪力發(fā)生突變，

34、且二者的差值等于F，即，即FlFblFbFFlFbFlFbFCCCC )(,S,S,S,S，右右左左右右左左 其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力為集中力所造成的。若集中力F視為作用在視為作用在D Dx段段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖d）。）。例題例題 4-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力67 圖圖a所示簡支梁，在所示簡支梁，在C截面受集中力偶矩截面受集中力偶矩Me作作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。

35、剪力圖和彎矩圖。例題例題 4-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力681. 求約束力求約束力 lMFlMFBAee,例題例題 4-5解解:2. 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程由分離體圖可見，作用由分離體圖可見，作用于于AC段和段和BC段上的集段上的集中力相同，從而兩段梁中力相同，從而兩段梁的剪力方程相同，即的剪力方程相同，即 lxlMFxFA 0eS材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力69至于兩段梁的彎矩方程則不同：至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：段梁： axxlMxFxMA 0e例題例題 4-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲

36、應(yīng)力70CB段梁：段梁： lxaxllMMxlMMxFxMA eeee 例題例題 4-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力713. 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 axxlMxM 0 e lxaxllMxM e lxlMxF 0eS由由FS，M方程畫出方程畫出FS圖和圖和M圖，分別圖，分別如如(b)，(c)所示所示例題例題 4-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力72 由圖由圖b和圖和圖c可見，梁的所有橫截面上的剪力相可見，梁的所有橫截面上的剪力相同，均為同，均為FS=Me/ l 。在。在ba的情況下，的情況下，C截面右側(cè)截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩

37、絕對值最大，且值為橫截面上的彎矩絕對值最大，且值為Mmax=Meb/l。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，也。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在微范圍內(nèi)的分是因為集中力偶實際上只是作用在微范圍內(nèi)的分布力偶的簡化。布力偶的簡化。例題例題 4-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力73思考思考1：一簡支梁受移動荷載：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。作用，如圖所示。試問：試問： (a) 此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？荷載作用處？為什么？ (b) 荷載荷載F 移動到什么位置時此梁橫截面上的移動到什

38、么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力74思考思考2：對于圖示帶中間鉸：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問：的梁，試問： (a) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下的同樣的集中力的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？矩圖是否相同？ (b

39、) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？C材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力75思考思考3：根據(jù)對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。根據(jù)對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。(a) 結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為剪力圖為 反對稱；反對稱；(b) 結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。

40、剪力圖為正對稱。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力76 簡支梁受力如圖簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力771. 求支座的約束力求支座的約束力得得和和由由 00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程可利用平衡方程 對所求約束力進對所求約束力進行校核。行校核。 0yF例題例題 4-6解解:(a) xBAl/2l/2CqFAFB材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)

41、力彎曲應(yīng)力782. 分段建立剪力方程和彎矩方程分段建立剪力方程和彎矩方程 AC段段： 22183)(qxqlxxM )20(lx qxqlxF 83)(S)20(lx (a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力79CB段：段：（以（以x截面右截面右邊為分離）邊為分離） qlxF81)(S )2(lxl )(81)(xlqlxM )2(lxl (a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力803求控制截面的內(nèi)力，繪求控制截面的內(nèi)力，繪FS 、M圖圖 FS圖圖：AC段內(nèi)段內(nèi)

42、剪力方程是剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故只需求出線，故只需求出A和和C端截面的剪力值端截面的剪力值qlFA83S 右右qlFC81S 左左(a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力81 CB段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，剪力圖為水平線。段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，剪力圖為水平線。由由FSC可畫出可畫出該段剪力圖。梁的剪力圖如圖該段剪力圖。梁的剪力圖如圖b所所示示 (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl/2l/2Cq例題例題 4-6qlxF81)(S)2(lxl 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子

43、教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力82M圖：圖：AC段內(nèi)彎矩方程是段內(nèi)彎矩方程是x的二次函數(shù)，彎矩的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線，圖為二次拋物線，需求出三個截面的需求出三個截面的彎矩。彎矩。0 AM2161qlMC (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl/2l/2Cq例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力83此外，尚需考察該段內(nèi)彎矩有無極值，由此外，尚需考察該段內(nèi)彎矩有無極值，由)0)(0d)(d1S xFxxM21289)83(qllM lx83 得得(b) FSx38 l18 ql38 ql極值彎矩為極值彎矩為(a) xBAl/2l/2Cq例題例題 4-

44、6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力84CB段內(nèi)彎矩方程段內(nèi)彎矩方程是是x的一次函數(shù)，的一次函數(shù)，只需求出兩個端只需求出兩個端點的彎矩。點的彎矩。0 BM2161qlMC (b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2梁的彎矩圖如圖梁的彎矩圖如圖c c所示。所示。(a) xBAl/2l/2Cq例題例題 4-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力M(x1)(1xFSBF)(2xFSM(x2)1. 列內(nèi)力方程分為兩段列內(nèi)力方程分為兩段AFx1x2AC段：段：)0(245)()0(45)(12111111axqxqaxxMaxqxq

45、axFSCB段：段：)2()2 (4)2 ()()2(4)(222222axaxaqaxaFxMaxaqaxFBS例例7 7 列出例列出例3 3剪力和彎矩方程，繪制剪力和彎矩方程剪力和彎矩方程，繪制剪力和彎矩方程。ABq2qaaCa54AFqa14BFqax材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力ABq2qaaCa54AFqa14BFqax54qa14qa214qa234qamax54SqaF2max34Mqa2. 繪制內(nèi)力圖繪制內(nèi)力圖3. 最大內(nèi)力最大內(nèi)力材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力87解解：1 1、支反力、支反力2 2、寫出內(nèi)力方程、寫出內(nèi)力方程),(2

46、)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。畫出梁的內(nèi)力圖。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力883 3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN

47、)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)仔細(xì)觀察內(nèi)力圖的特點仔細(xì)觀察內(nèi)力圖的特點材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力外力規(guī)律發(fā)生變化的截面外力規(guī)律發(fā)生變化的截面控制截面：控制截面：集中力作用點、集中力作用點、外力偶作用面、外力偶作用面、分布載荷的起點、分布載荷的起點、終點等。終點等。總結(jié)總結(jié)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力寫內(nèi)力方程時注意事項寫內(nèi)力方程時注意事項3 3、x x截面處必須是任意截面；截面處必須是任意截面；4 4、x x截面處必須是遠(yuǎn)離外力的作用點；截面處必須是遠(yuǎn)離外力的作用點；5 5、寫出、寫出x x截面處的內(nèi)力就是內(nèi)力方程，