數(shù)字信號(hào)處理課件-第七章-1

1、數(shù)字信號(hào)處理Digital Signal Processing第七章第七章 有限脈沖響應(yīng)（有限脈沖響應(yīng)（FIRFIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)作業(yè)：作業(yè)：新書新書 第第1 1、3 3、4 4、5 5、1717；舊書；舊書 第第1 1、3 3、4 4、5 5、13, 13, 但前四個(gè)題都有一些不同，新書第但前四個(gè)題都有一些不同，新書第1 1、3 3題沒題沒讓畫線性相位結(jié)構(gòu)，讓畫線性相位結(jié)構(gòu)， 新書第新書第4 4、5 5題給出了過度帶寬題給出了過度帶寬序言序言FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 的差分方程的差分方程因?yàn)樗且环N線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示因?yàn)樗且环N線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積

2、和形式表示比較、得：比較、得：10)()(Niiinxany10)()()(Niinxihny)(ihai10)(NiiizazH對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)(與與IIR數(shù)字濾波器比較數(shù)字濾波器比較)優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) ：（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號(hào)產(chǎn)生相，避免被處理的信號(hào)產(chǎn)生相 位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、 數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；（2）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問題極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問題；（

3、3）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一定的延時(shí)，任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一定的延時(shí)， 轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿足；因果性總是滿足；（4）無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：（1）要獲得好的過渡帶特性，需要較高的階數(shù)要獲得好的過渡帶特性，需要較高的階數(shù)；（2）無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析一般無(wú)解析 設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。FIR窗函數(shù)法濾波器的設(shè)計(jì)方法 頻率采樣法切比雪夫等波紋逼近法7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和

4、特性數(shù)字濾波器的條件和特性 7.1.1 線性相位的條件線性相位的條件FIR濾波器的頻率響應(yīng)為濾波器的頻率響應(yīng)為)(10)()()(jgNnnjjeHenheH式中式中 是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)，稱為是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)，稱為幅度特性幅度特性， 稱為稱為相位特性相位特性。注意。注意 與與 的不同，后者的不同，后者是絕對(duì)值，總?cè)≌龜?shù)。是絕對(duì)值，總?cè)≌龜?shù)。)(jeH)()(gH)(gH以上兩種情況表示相位是通過坐標(biāo)原點(diǎn)以上兩種情況表示相位是通過坐標(biāo)原點(diǎn) 或是或是通過通過 的斜直線，二者都滿足系統(tǒng)的群時(shí)延的斜直線，二者都滿足系統(tǒng)的群時(shí)延為常數(shù)。為常數(shù)。00)0(線性相位線性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性

5、函數(shù)意味著一個(gè)系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性函數(shù)第第二二類類線線性性相相位位 第第一一類類線線性性相相位位 )( )(0dd)(式中式中 為常數(shù)為常數(shù).滿足第一類線性相位的條件滿足第一類線性相位的條件h(n)是實(shí)序列，且對(duì)是實(shí)序列，且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，即：偶對(duì)稱，即： 21101NNnnNhnh， 10NnnznhzH 101NnnznNh ) )( () )( (1 11 11 10 01 11 10 0m m1 1zHzzmhzzmhzHNNmmNNmN)()(1) 1(zHzzHNm =N-1-n( ) m =N-1-nn=0,m=N-1n=N-1,m=0 )1(21)()21cos(

6、)()(10 NNnnhHNng 22110 NnNhnh.滿足第二類線性相位的條件滿足第二類線性相位的條件h(n)是實(shí)序列且對(duì)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱。奇對(duì)稱。 將將 代入代入H(z)的表達(dá)式，幅度特性和相位特性的表達(dá)式，幅度特性和相位特性分別為：分別為：jez )()(1) 1(zHzzHN0( ) 2) 1(21)()21sin()()(10NnNnhHNng2) 1(21)()21sin()()(10NNnnhHNng或或以上公式等價(jià)，課本中取右邊的公式作為結(jié)果以上公式等價(jià)，課本中取右邊的公式作為結(jié)果 20) 1( N 偶對(duì)稱偶對(duì)稱)(nh 20) 5 . 0( N2奇對(duì)稱奇對(duì)

7、稱)(nh圖圖1 1 線性相位特性線性相位特性總結(jié)：線性相位的定義和條件總結(jié)：線性相位的定義和條件第一類線性相位的條件第一類線性相位的條件: : h(n)是實(shí)序列且對(duì)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱偶對(duì)稱第二類線性相位的條件第二類線性相位的條件: : h(n)是實(shí)序列且對(duì)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱奇對(duì)稱第第二二類類線線性性相相位位 第第一一類類線線性性相相位位 )( )(0 211NnNhnh 22110NnNhnh各類數(shù)字各類數(shù)字濾波器的濾波器的幅頻特性幅頻特性根據(jù)前面的公式，幅度函數(shù)根據(jù)前面的公式，幅度函數(shù) 為：為：)g(H分四種情況分四種情況1h(n)偶對(duì)稱，即偶對(duì)稱，即h(n)=

8、h(N-1-n)，N為奇數(shù)為奇數(shù)7.1.2線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性10)21cos()()(NngNnnhHN為奇數(shù)為奇數(shù)式中式中h(n)對(duì)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，以偶對(duì)稱，以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)合并，由于為中心，把兩兩相等的項(xiàng)合并，由于N是奇數(shù)，所以余下是奇數(shù)，所以余下中間項(xiàng)中間項(xiàng)n=(N-1)/2，則幅度函數(shù)表示為：則幅度函數(shù)表示為： 2/ )3(021cos)(221)(NngNnnhNhH 10)21cos()()(NngNnnhH 令令n=(N-1)/2COS0=1N為奇數(shù)為奇數(shù)12Nmn

9、32合并后還剩+1項(xiàng)N102312NnmNnm時(shí)，時(shí)，則則 2/ ) 1(1cos)21(221)(NmgmmNhNhH 21, 2 , 1,212)(,21)0( NnnNhnaNha(1)/20( )( )cosNgnHa nn令令則則由于由于 偶對(duì)稱，因此偶對(duì)稱，因此 對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱?？梢栽O(shè)計(jì)各類濾波器。對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱?？梢栽O(shè)計(jì)各類濾波器。n、2、20、0、關(guān)于關(guān)于coscos Hg將將m換成換成nh(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)各類濾波器各類濾波器( )的對(duì)稱性由確定gHcosn 2h(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱， 即即h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù)為偶數(shù) 12/010

10、21cos)(221cos)(NnNngNnnhNnnhH令令 ，則則 2/121cos22NmgmmNhH推導(dǎo)過程與前面相似，只是因?yàn)檫@里推導(dǎo)過程與前面相似，只是因?yàn)檫@里N是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以 中沒有單獨(dú)項(xiàng)，相等項(xiàng)合并后有中沒有單獨(dú)項(xiàng)，相等項(xiàng)合并后有：N為偶數(shù)為偶數(shù)( )gH2Nmn 2/121cos)(NngnnbH 將將m用用n代替可得代替可得 ：式中式中nNhnb22)( 由于由于 奇對(duì)稱，所以奇對(duì)稱，所以 對(duì)對(duì)也為奇對(duì)稱，且由于也為奇對(duì)稱，且由于 時(shí)，時(shí)， ， ， 故故 有一零點(diǎn)，因此，有一零點(diǎn)，因此，這種情況不能用于設(shè)計(jì)這種情況不能用于設(shè)計(jì) 時(shí)時(shí) 的濾波器的濾波器，如高通、帶阻

11、濾波器如高通、帶阻濾波器。 0H1jez( )gH1cos( ()2n對(duì)1cos( ()02n( )0gH1( )0zH z即：即：h(n)偶對(duì)稱偶對(duì)稱，N為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，可以設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器?？梢栽O(shè)計(jì)低通、帶通濾波器。各類濾波器各類濾波器3.h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n)21(sin)(2)21(sin)()(23010NnNngNnnhNnnhH上面的第二式中，由于上面的第二式中，由于h(n)=-h(N-n-1)，所以可以求得所以可以求得h(N-1)/2=0，即即h(n)奇對(duì)稱，因此，在求和公式中，第奇對(duì)稱，因此，在求和公式中，第n項(xiàng)和項(xiàng)和 (

12、N-n-1)項(xiàng)相等，項(xiàng)相等，將相同項(xiàng)合并，即得上式中第二式。將相同項(xiàng)合并，即得上式中第二式。N為奇數(shù)為奇數(shù))21sin()(Nnnh正弦項(xiàng)也對(duì)正弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱奇對(duì)稱令令m=n- -(N- -1)/2，得得： mmNhHNmg211sin212令令n=m，得：得： nncnnNhHNnNng211211sin)(sin212即即 21, 2 , 1,212)(sin)(211NnnNhncnncHNng 由于由于 點(diǎn)呈奇對(duì)稱，所以點(diǎn)呈奇對(duì)稱，所以對(duì)這些點(diǎn)對(duì)這些點(diǎn)也奇對(duì)稱。也奇對(duì)稱。由于由于時(shí)時(shí)，相當(dāng)于相當(dāng)于H(z)在在處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于的濾波的濾波器設(shè)計(jì)，

13、故器設(shè)計(jì)，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。即即: h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器。只能設(shè)計(jì)帶通濾波器。sin=02n對(duì)， ,( )gH=02， ,sin=0( )0gnH，1z (0)0( )0HH和各類濾波器各類濾波器( )的對(duì)稱性由確定gHsinn4.h(n)奇對(duì)稱，即奇對(duì)稱，即h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)為偶數(shù) 12021sin2)(NngNnnhH令令，則有則有12Nnm)21(sin)()21(sin)12(2)(,),21(sin)12(2)(212121NnNngNmgnndnnNhHmnmmNh

14、H則再令N為偶數(shù)為偶數(shù) 由于由于在在處為零，所以處為零，所以Hg()在在處為零，即處為零，即H(z)只在只在z =1上有零點(diǎn)，并上有零點(diǎn)，并對(duì)對(duì)呈奇對(duì)稱。呈奇對(duì)稱。因此，因此，這種情況不能用于設(shè)計(jì)這種情況不能用于設(shè)計(jì) 的濾波器，如低的濾波器，如低通、帶阻濾波器。通、帶阻濾波器。 即：即：h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為偶數(shù)，為偶數(shù)，只能用于設(shè)計(jì)高通、只能用于設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器。帶通濾波器。)21(sinn2,02,02,0四種線性相位四種線性相位FIR濾波器的幅度特性和相位特性一覽表濾波器的幅度特性和相位特性一覽表P199(0)0H各類數(shù)字各類數(shù)字濾波器的濾波器的幅頻特性幅頻特性四種線性相位四種

15、線性相位FIR 幅度特性與相位特性可設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性與相位特性可設(shè)計(jì)的濾波器第一種情況：第一種情況：h(n)偶對(duì)稱、偶對(duì)稱、N奇數(shù)，奇數(shù)，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況：第二種情況：h(n)偶對(duì)稱、偶對(duì)稱、N偶數(shù)，可以設(shè)計(jì)低通、帶通濾波偶數(shù)，可以設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況：第三種情況：h(n)奇對(duì)稱、奇對(duì)稱、N奇數(shù)，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其奇數(shù)，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況：第四種情況：h(n)奇對(duì)稱、奇對(duì)稱、N偶數(shù)，可以設(shè)計(jì)高通、帶通濾波偶數(shù)，可以設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)

16、低通和帶阻。器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。7.1.3線性相位線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性濾波器的零點(diǎn)特性)1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh )()(11101101zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN令令m=N-1-n，則則由該式可看出，若由該式可看出，若z=zi是是H(z)的零點(diǎn)，則的零點(diǎn)，則z=zi-1也也一定是一定是H(z)的零點(diǎn)。由于的零點(diǎn)。由于h(n)是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，H(z)的零點(diǎn)還的零點(diǎn)還必須共軛成對(duì)，所以必須共軛成對(duì)，所以z=zi* 及及 z=1/zi*也必是零點(diǎn)。也必是零點(diǎn)。 所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互

17、為倒數(shù)的共軛對(duì)，這種共軛對(duì)共有四種可能的情況：共軛對(duì)，這種共軛對(duì)共有四種可能的情況： 11zHzzHN既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，數(shù)的兩組共軛對(duì)， zi、zi*、1/zi、1/zi* 圖圖7.1.1中中的的z1等等p200在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，zi、zi* 圖圖7.1.1中的中的z3等。等。不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù)，共軛就是不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù)，共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn)自己，所

18、以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn), ,zi,1/zi 圖圖7.1.1中的中的z2等。等。既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，zi=1或或zi=-1 圖圖7.1.1中的中的z4等。等。四個(gè)零點(diǎn)四個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn) 我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對(duì)于第二種我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對(duì)于第二種FIRFIR濾波器濾波器（h(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱，N為偶數(shù)）為偶數(shù)） 即即 的零點(diǎn)，既在單位圓上，又在實(shí)軸上，所的零點(diǎn)，既在單位圓上，又在實(shí)軸上，所以必有單根以必

19、有單根。不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。( )0H1( )jzeH 是對(duì)于第三種情況，對(duì)于第三種情況，F(xiàn)IR濾波器，濾波器，h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，因?yàn)闉槠鏀?shù)，因?yàn)?所以所以z=1，z=-1都是都是H(z)的單根；不能設(shè)計(jì)低通、高通和帶阻的單根；不能設(shè)計(jì)低通、高通和帶阻濾波器。濾波器。 對(duì)于第四種濾波器，對(duì)于第四種濾波器，h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為偶數(shù)，為偶數(shù)，H(0)=0，所以所以z=1是是H(z)的單根。不能設(shè)計(jì)低通和帶阻濾波器。的單根。不能設(shè)計(jì)低通和帶阻濾波器。 線性相位濾波器是線性相位濾波器是FIRFIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。濾波器中最重要的一

20、種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。束條件。(0)0( )0HH，7.1.4 7.1.4 線性相位濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)線性相位濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)設(shè)N為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則 10NnnznhzH 12012)(NnNNnnznhznh對(duì)第二項(xiàng)進(jìn)行變量代換，令對(duì)第二項(xiàng)進(jìn)行變量代換，令m=N-n-1，則有，則有120120) 1(120120) 1(1)(1)()(NnNnnNnNnNmmNnznNhznhzmNhznhzH替換用把nm由于由于 時(shí)時(shí))h(N-n-h(n)1 )22. 1 . 7(, )()(120)1( NnnNnzznhzH N為奇數(shù)時(shí)，則中間項(xiàng)為奇數(shù)時(shí)，則中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出。單獨(dú)列出。1() 112(1)201( )( )(),(7.1.23)2NNnN nnNH zh n zzhz N為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)+ +代表第一類線性相位，代表第一類線性相位， - - 代表第二類線性相位。代表第二類線性相位。對(duì)于對(duì)于FIR濾波器的直接結(jié)構(gòu)，共需濾波器的直接結(jié)構(gòu)，共需N個(gè)乘法器，但對(duì)線性相位個(gè)乘法器，但對(duì)線性相位FIR濾波器，濾波器，N為偶