二面角的求法(精華版)（課堂PPT）

1、11、掌握二面角的定義法；、掌握二面角的定義法；2、掌握二面角的三垂線法；、掌握二面角的三垂線法；3、掌握二面角的垂面法、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面積法、掌握二面角的射影面積法;5、掌握二面角的向量法。、掌握二面角的向量法。2 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角這條直線叫做二面角的棱的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí):l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角C

2、AB E1、定義、定義3 ABP l二面角的平面角必須滿足：二面角的平面角必須滿足： 3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱）角的兩邊都要垂直于二面角的棱 1）角的頂點(diǎn)在棱上）角的頂點(diǎn)在棱上 2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) 二面角的平面角的范圍二面角的平面角的范圍: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)點(diǎn), 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線兩條射線, 這兩條射線所成的角叫這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。A1B1 P1 注意注意:

3、 :(與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)) APB= A1P1B1一、幾何法：一、幾何法：1、定義法、定義法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)O O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于分別作垂直于a a 的兩條射線的兩條射線OA,OBOA,OB，則，則AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一個(gè)平面在一個(gè)平面 內(nèi)選一點(diǎn)內(nèi)選一點(diǎn)A A向另一平面向另一平面 作垂線作垂線ABAB，垂足為垂足為B B，再過(guò)點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)B B向棱向棱a a作垂線作垂線BOBO，垂足，垂足 為為O O，連結(jié)連結(jié)AOAO，則，則AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角

4、。3、垂面法、垂面法:過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于點(diǎn)于點(diǎn)O，則，則BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂線法、三垂線法:ABOa PABCD過(guò)過(guò)E作作EDPC于于D， 則則BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。連結(jié)連結(jié)BD， 過(guò)過(guò)B作作BEAC于于E， E ABC為正為正， BE=a23在在RtPAC中，中，E為為AC中點(diǎn)，中點(diǎn)，則則DE=在在RtDEB中中a42tan BDE=DEBE6 BDE=arctan 6例例1:已知正三角形已知正三角形ABC，PA面面ABC，且，且PA=AB=a， 求

5、二面角求二面角A-PC-B的大小。的大小。三垂線法三垂線法: :幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明：定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法我們首選的方法。三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連

6、結(jié)這個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)算簡(jiǎn)便，所以我們常用此法。算簡(jiǎn)便，所以我們常用此法。垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。以上三種方法作平面角都需寫(xiě)出作法、證明、指出平面角以上三種方法作平面角都需寫(xiě)出作法、證明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角時(shí)用。在解答題中要先證明射射影法是在不易作出平面角時(shí)用。在解答題中要先證明射影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)

7、系，再用公式, ,這種方法雖然避免了找平面角，但計(jì)算較繁，所以不常用這種方法雖然避免了找平面角，但計(jì)算較繁，所以不常用。練習(xí)練習(xí)1:正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中， E為棱為棱AA1的中點(diǎn)，求平面的中點(diǎn)，求平面EB1C和平面和平面ABCD所成的二面角。所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E1 111cosA B CEB CSSEFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH練習(xí)練習(xí)2：在正方體：在正方體AC1中，中，E,F分別是中分別是中點(diǎn)點(diǎn),求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳所成的銳二面角的大小。二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C

8、練習(xí)練習(xí)2：在正方體：在正方體AC1中，中，E,F分別是中分別是中點(diǎn)點(diǎn),求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳所成的銳二面角的大小。二面角的大小。1cosAFCGA FCESS練習(xí)練習(xí)3：三棱錐：三棱錐P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角）求二面角P-BC-A的大??；的大??； （2）求二面角）求二面角A-PC-B的大小。的大小。PABCDEcosABCPBCSS111、方向向量法、方向向量法:二、向量法：二、向量法：lABCD,arccoslBCl ABCDABl CDlBA CDBA CDBA CDBA CD 二面角中、且，二

9、面角的大小等于將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)垂的方向向量（在二面角的面內(nèi)垂直于二面角的棱且指向該面方向直于二面角的棱且指向該面方向的向量）所成的角。的向量）所成的角。121113ACABDC例 ：在正方體中，求二面角的大小。1111OCDBDABACxyz解解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，BD的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為O，則，則B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）,0 , 2 , 2DB ,2 , 1, 10 , 1 , 12 , 0

10、 , 21OA2 , 1 , 11OC12 121020DB OA （）12 ( 1)2 1020DB OC A1OBD，C1OBD 即為二面角即為二面角A1-BDC1的平面角。的平面角。11OA ,CO 31COACOAC,OAcos111111 OOO二面角二面角A A1 1BDBDC C1 1的大小為的大小為31arccos13求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小?；パa(bǔ)求出二面角的大小。 mn如圖：二面角的大小等于如圖：二面角的大小等于 -2、平面法向量

11、法、平面法向量法:142、平面法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小?；パa(bǔ)求出二面角的大小。mn如圖：二面角的大小等于如圖：二面角的大小等于15例例4:在底面是直角梯形的四棱錐在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD， AD= SA=AB=BC=1，求面求面SCD與面與面SBA所成的二面角的大小所成的二面角的大小.12xyz解：以解：以A為原點(diǎn)，如圖為原點(diǎn)，如圖 建立空間直角坐標(biāo)系。建立空間直角坐標(biāo)系。0,

12、0,1 ,1,1,0 ,10,0 ,1,0,02SCDB則：16, ,SCDnx y z設(shè)平面的法向量為,0,011,1, 1 ,0, 12nSC nSDn SCn SDSCSD 01,2,1202xyzxznyyzz 10,02SABAD平面的法向量為0 1 06cos,1362nADn ADnAD 6,cos3n ADarc 因?yàn)槎娼菫殇J角因?yàn)槎娼菫殇J角 。 6cos3arc二面角的大小為17 11111111111 .2 .ABCDABC DEBCFCDFDFAB FD EAB FCEFA練習(xí)：在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)， 是棱上的動(dòng)點(diǎn)。確定 的位置，使得平面；當(dāng)平面時(shí)，求二面角

13、的大小。C1CB1BEA1D1DAFxyz18AAxyz解：以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 11111 .,0,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0,0,1,0 ,0,0,1 ,11,0,1 ,1,1,10,1,1 ,1,0 ,1,02DFxABCDABCDEF x設(shè)則11111111, 1 ,1,0,1 ,1,021 10D EABAFxD EABD EAB 11110D EAB FD EAFD EAF 平面11022xx 111102FCDFD EAB F是的中點(diǎn)，即， ， 時(shí)，平面 11 112 .,0 ,0,12 22EFEC 19111, ,0,0C EFnx y znEF nECn EFn EC 設(shè)平面的法向量為1101221,1,1202xynyz10,0,1AEF