中考復(fù)習(xí)之拋物線與幾何圖形

1、中考復(fù)習(xí)：拋物線與幾何圖形縱觀近幾年的中考試卷，在壓軸題里面，以函數(shù)（特別是二次函數(shù)）為載體，綜合幾何圖形的題型是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，這類試題常常需要用到數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想等，這類試題具有拉大考生分?jǐn)?shù)差距的作用它既突出考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，又突出了與高中銜接的重要內(nèi)容本課時(shí)主要研究拋物線與等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形的綜合問(wèn)題，解決這類試題的關(guān)鍵是弄清函數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，在解題的過(guò)程中，將函數(shù)問(wèn)題幾何化同時(shí)能夠?qū)W會(huì)將大題分解為小題，逐個(gè)擊破例1：（2013湖南湘西)如圖，已知拋物線 與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(2，

2、0)（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；4412bxxy（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC，并求線段BC所在直線的解析式；【解題思路】令【解題思路】令x0，求得，求得y的值，即得出點(diǎn)的值，即得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求得點(diǎn)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求的的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求的直線直線BC的解析式；的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說(shuō)明理由；【解題思路】考慮到【解題思路】考慮到AOC與與COB都是直角都是直角三角形，可判定夾直角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例，三角形，可判定夾直角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例，從而可判斷兩個(gè)三角形是否相似；從而可判斷

3、兩個(gè)三角形是否相似；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形，若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解題思路】先假設(shè)存在，拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)都是3，可設(shè)縱坐標(biāo)為c，分三種情況ACAQ，CQCA，QAQC，分別建立關(guān)于c的方程求解【必知點(diǎn)】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是高頻考點(diǎn)；（2）判斷兩個(gè)三角形相似，在已知一角相等的前提下，可尋找另一角相等，或利用夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)說(shuō)明；（3）探究一個(gè)三角形是否是等腰三角形的時(shí)候，實(shí)際上就是討論什么時(shí)候有兩條邊相等，因此需要分三種情況討論例2：（2013四川攀枝花）如圖，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

4、（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求拋物線的解析式；【解題思路】已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)拋物線兩根式的解析式求解；（2）若P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，記PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； 【解題思路】設(shè)【解題思路】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建P點(diǎn)橫坐標(biāo)為變量點(diǎn)橫坐標(biāo)為變量的面積的面積S的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)配方法求最值的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)配方法求最值（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DEx軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)m，使得ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例3：（2013山東萊蕪）如圖，拋物線 yax2+bx+c（a0）

5、經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B(1，0)、C(2，1)，交y軸于點(diǎn)M.（1）求拋物線的表達(dá)式；【解題思路】利用三點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式【解題思路】利用三點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】在各個(gè)象限內(nèi)，分類討論以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似.因?yàn)闆](méi)有相似的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以需要點(diǎn)在不同象限內(nèi)時(shí)，PAN的形狀，確定出對(duì)應(yīng)邊，然后利用相似三角

6、形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等.然后將對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)例4：（2013浙江舟山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B連結(jié)AB，ACAB，交y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使ADAC，連結(jié)BD作AEx軸，DEy軸221144yxmmm（1）當(dāng)m2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；【解題思路】將【解題思路】將m2，x0直接代入二次函數(shù)直接代入二次函數(shù)解析式，便可求得點(diǎn)解析式，便可求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；的縱坐標(biāo)；【解題思路】延長(zhǎng)【解題思路】延長(zhǎng)EA，交，交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)F，構(gòu)造出，構(gòu)造出AFC與與AED全等，從而得到全等，從而得到AF=AE，根據(jù)，根據(jù)B、A點(diǎn)坐標(biāo)特征分別

7、用含點(diǎn)坐標(biāo)特征分別用含m的代數(shù)式表示出線段的代數(shù)式表示出線段AF、AE、BF的長(zhǎng)度，借助相似可求得的長(zhǎng)度，借助相似可求得DE的長(zhǎng)度；的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； 【解題思路解題思路】關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)A點(diǎn)的坐點(diǎn)的坐標(biāo)寫出標(biāo)寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)等量代換，尋求出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)等量代換，尋求出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時(shí)?以A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?【解題思路】利用【解題思路】利用P點(diǎn)的坐標(biāo)在第點(diǎn)的坐標(biāo)在第問(wèn)的函數(shù)問(wèn)的函數(shù)圖象上，問(wèn)題可獲得解決圖象上，問(wèn)題可獲得解決. 例5：（2013廣東湛江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交 x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）（1）求此拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與OC的位置關(guān)系，并給出證明； 【解題思路】分